微分方程模型习题
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型
6.1 微分方程模型的建模步骤 6.2 作战模型
6.3 传染病模型 习题
6.1 微分方程模型的建模步骤
例1 某人的食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本的新
陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他每天大约每千克
体重消耗69焦的热量。 假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1千克脂肪含 热量41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律。
模型分析
甲乙两支部队互相交战，在整个战争期间，双方的兵力 在不断发生变化，而影响兵力变化的诸多因素转化为数量非 常困难。为此，我们作如下假定把问题简化。
模型假设
1. x(t) , y(t) 表示甲乙双方在时刻 t 的人数， x(0)=x0 ,y(0)=y0 表示甲乙双方开战时的人数，x0 > 0, y0 >0； 2.设x(t) , y(t)是连续变化的，并且充分光滑； 3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y) ,
投入多大的初始兵力。不妨设 100 x0
S 活动区域 x 0.1
p， 0.1 rx， x
ry 2
， 平
平方千米，乙方射击的有效面积 1 sy
y0 2 0.1 0.1 106 100 x 2 1 100 0
2
方米，则可得乙方获胜的条件为：
a
时甲方兵力
降为“零”，从而乙方获胜。同理可知，K 0
甲方获胜。而当 K 0 时，双方战平。 2 2 甲方获胜的充要条件为 bx0 ay0 0
时，
代入a 、b 的值，有甲方获胜的充要条件为
2 2 rx p x x 0 r y p y y 0
故可找到一个用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数：
若干微分方程模型求解
(1)轨道方程为
p r 1 e cos
其中
b2 p a
(5 1)
2
b a (1 e )
2 2
a、b为椭圆的长、短半轴， e为离心率。 (2)单位时间内向径 r 扫过的面积是常数，即 1 2 r A (5 2) 2 (3)行星运行周期T满足 T 2 a 3 (5 3) 其中λ是绝对常数，与哪一颗行星无关。 (4)行星运动时受的作用力等于行星加速度 r 和质量m的景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太 阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上。 ２、每颗行星运行过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过的面积是常数。
３、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道 长半轴的3次方成正比。
模型假设
开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力 定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假 设条件。
于是我们得到
C1 v0 , C2 0
F y(t 0 ) t 0 sin gt 0 m 由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度
F F 2 v x(t 0 ) y(t 0 ) ( t 0 cos v0 ) ( t 0 sin gt 0 ) 2 m m
(1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其 中b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、 生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体 育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。 (2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有 效，而1千克脂肪含热量是42000焦耳。
(3)设体重W是时间t的连续可微函数，即W＝W(t)。 数学建模： 每天：体重的变化＝输入－输出 输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
logistic模型微分方程例题
logistic模型微分方程例题一、Logistic模型简介Logistic模型是一种广泛应用于生态学、生物学、经济学等领域的数学模型。
它描述了一种生物种群数量随时间变化的规律。
Logistic方程是一个一阶非线性微分方程，其形式为：dx/dt = rx * (1 - x)其中，x表示种群数量，t表示时间，r表示增长率，且0 < r < 1。
二、Logistic微分方程的解法1.平衡点分析首先求解方程的平衡点，即令dx/dt = 0，得到：x = 0 或x = 1这两个平衡点分别表示种群数量为0或1。
2.稳定性分析当r > 1/2时，平衡点x = 0是稳定的；当0 < r < 1/2时，平衡点x = 1是稳定的。
3.数值解法对于实际问题中r的具体取值，可以使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微分方程。
三、例题解析例题1：某岛屿上有一种鸟类，初始时种群数量为100。
假设种群的增长率为1%，求：1.当年底鸟类的种群数量是多少？2.三年后鸟类的种群数量是多少？解：设定t = 1年和t = 3年，分别代入Logistic方程，得到：x1 = 100 * (1.01)^1 = 101.1x3 = 100 * (1.01)^3 ≈ 103.14答案：1.当年底鸟类的种群数量约为101.1。
2.三年后鸟类的种群数量约为103.14。
四、结论与启示Logistic模型是一种重要的数学模型，在生物学、生态学等领域具有广泛的应用。
通过分析Logistic微分方程的平衡点和稳定性，可以对实际问题中的种群数量变化进行预测。
在解决实际问题时，可以根据具体情况选择合适的数值方法求解微分方程。
微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
微分方程模型题目及答案
微分方程练习题及答案1、已知微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--05303y x dtdy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件1|,2|11====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。
（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,3]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。
2、已知微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++03023y x dtdy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件2|,1|00====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。
（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。
1、参考答案：（1）程序代码：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx-x-3*y=0','Dy-3*x+5*y=0','x(1)=2','y(1)=1','t') ezplot(x,y,[0,3]);（2）程序代码：M函数文件verderpol.m:function xprime=verderpol(t,x)xprime=[x(1)+3*x(2); 3*x(1)-5*x(2)];在程序中调用此函数：clear;y0=[2;1];[t,x]=ode45('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold onclear;y0=[2;1];[t,x]=ode23('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');2、参考答案：（1）程序代码：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+3*x+2*y=0','Dy+x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=2','t') ezplot(x,y,[0,2]);（2）程序代码：M函数文件verderpol.m:function xprime=verderpol(t,x)xprime=[-3*x(1)-2*x(2); 3*x(2)-x(1)];在程序中调用此函数：clear;y0=[1;2];[t,x]=ode45('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold onclear;y0=[1;2];[t,x]=ode23('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');。
微分方程模型
二 变量说明
• W(t) 第t年伐木厂将砍伐的树木（单位： 百万方）
• Q 森林的木材储量（单位：百万方）
•X
可供砍伐的年数
三 模型的建立
• 对于第一问： • 因为砍伐树木的速度为砍伐树木的数量关
于时间的变化率，即
dW (t ) R (t ) 2 e 0.2t dt
利用微元法，有
W (5) 5 2 e 0.2 t dt 0
• 对于第二问： • 当森林的木材储量为Q百万方时，设第x年
砍伐完，则有
Q x2e0.2tdt 0
四 模型求解
• 对于问题一 • >>syms x • >>int(2*exp(-0.2*t),t,0,5) • ans=-10*exp(-1)+10 • >> -10*exp(-1)+10 • ans=6.3212
一 模型的假设
• 1.假设今后10年学校的在校生人数均按 280e0.2x 的速度递增，不能出现其他变故 2假设宿舍10年后还能正常使用
二 变量说明
• P(t) 从2005年起的第t年新欣学校的在校人 数
三 模型的建立
由题意知 P'(x) dP 280e0.2x
dx
• 利用微元法，在区间[x,x+dx]上，可将学校 在校人数的增长率视为常数，增加的人数 为
四 模型求解
• 解法一 • 1.求通解 • x(t)=De^-kt • 药物的浓度为 • C(t)=x(t)/V=De^-kt/V • 2.求特解 • 将初始条件x(0)=43.2代入通解，得D=43.2.又因
为V=35000，所以满足该条件的特解为
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（微分方程模型）
．一个半球状雪堆，其体积融化地速率与半球面面积成正比，比例系数 > .设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为且小时中融化了总体积地，问雪堆全部融化还需要多长时间？
．从致冰厂购买了一块立方体地冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了
（）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）
（）如运输时间需要小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？
．一展开角为α地圆锥形漏斗内盛着高度为地水，设漏斗底部地孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中地水流光需要多少时间？
．容器甲地温度为度，将其内地温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为度，又过十分钟后温度计读数为度，试求容器乙内地温度.
．一块加过热地金属块初始时比室温高度，分钟测得它比室温高度，问：（）小时后金属块比室温高多少？（）多少时间后，金属块比室温高度？
．设初始时容器里盛放着含净盐千克地盐水升，现对其以每分钟升地速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟升地速率放出盐水，求小时后容器里地盐水中还含有多少净盐？
．某伞降兵跳伞时地总质量为公斤（含武器装备），降落伞张开前地空气阻力为,该伞降兵地初始下落速度为，经秒钟后降落伞打开，降落伞打开后地空气阻力约为试球给伞降兵下落地速度(),并求其下落地极限速度.
．年月日英国人创建了一项最低开伞地跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地英尺时才打开降落伞，试求他落地时地速度.
．证明对数螺线上任一处地切线与极径地夹角地正切为一常数，（）．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为.现有一包裹从离地米高地飞机上落下，（）求其落地时地速度（）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹地速度会随高度而任意增大吗？
．生态学家估计人地内禀增长率约为，已知年世界人口数为亿（×）而当时地人口增长率则为.试根据模型计算：（）世界人口数地上限约为多少（）何时将是世界人口增长最快地时候？
．早期肿瘤地体积增长满足模型（λ，其中λ为常数），（）求肿瘤地增倍时间
σ.根据统计资料，一般有σ()（单位为天），肺部恶性肿瘤地增倍时间大多大于天而小于天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质地重要参数之
一（）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤地大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度地公式
．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为μ，重约μ.，（）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有以上（即已增大倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症地关键之一（）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法.射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降.一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行地治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭.
．设药物吸收系数（为药物地分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度地峰值（峰浓度）级达峰时间.
．医生给病人开药时需告诉病人服药地剂量和两次服药地间隔时间，服用地剂量过大会产生副作用甚至危险，服用地剂量过小又达不到治疗地目地，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到,试分析这一问题并设计出一种病人服药地方法.
．在法国著名地洞穴中保留着古代人类遗留下来地壁画.从洞穴中取出地木炭在年做过检测，测得碳地衰减系数为每克每分钟个，已知碳地半衰期为年，试求这些壁画地年龄（精确到百年）.
．年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳仅为原有量地，试计算该动物大约生活在什么时候.
．年我国在西北某地发现了一处新石器时代地古墓，从该墓中发掘到地文物地每克每分钟衰减数为个，试确定该古墓地年代.
．实验测得一克镭在一年中会衰变掉毫克，据此你能推算出镭地半衰期吗？
．根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量地乘积成正比.设初始时刻溶液中两种物质地数量分别为和，两物质反应地质量之比为 : ，求时刻溶液中生成物地数量().
．牛顿发现在温差不太大地情况下，物体冷却地速度与温差成正比.现设正常体温为，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为度，一小时后再次测量，测地体温约为度，试推测该受害者地受害时间.
．已知铀地半衰期为∙年，已测出某颜料每克白铅中铀地分解数为个每分钟，试计算：（）每克白铅中有多少铀分子
（）铀在这种白铅中所占地百分比有多大？
．人们普遍认为新产品地畅销期为()位于至之间，试求新产品畅销期地持续时间长度.．某人每天由饮食获取大卡地热量，其中新陈代谢约需大卡，每公斤体重约需运动消
耗大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于大卡，求此人体重地增长公式及极限体重.
．由于各级火箭地质量不同，应当是不同地.请对三级火箭求出最优设计.
．在年上半年（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格地隔离政策，试建一模型研究这一问题.
．医生发现，麻疹有以下明显特征：（）潜伏期大约为周，在潜伏期内地孩子从表面上看完全是正常地，但他（她）却会把疾病传染给别地孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些.考虑这两个特征并选用适当地参数建模，使结果大致有周地潜伏期及大约两年地周期性.
．人工肾地功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物地血管相通.人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中地流动方向相反，血液中地废物通过薄膜渗透到人工肾中流动地液体里，试建立模型来描写这一现象.
．自治系统平衡点地稳定性也可利用等斜线来讨论.例如，对（）曲线和可以证明：任一轨线都必垂直地穿过地等斜线而水平地穿过地等斜线.利用这一点画出模型平衡点周围地轨线.
．是某一捕食系统地数学模型，其中.研究此捕食
系统，证明：不管开始时食饵多么丰富，捕食种群最终必将绝灭.
．大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统.在求解你地模型时也许你会遇到困难，建议对模型中地参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值地敏感性.
．香烟地过滤嘴有多大作用？与使用地材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清华大学姜启源教授地“数学模型”书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立地模型与那里给出地模型作一比较，看看你自己地模型建得如何）.。