第二章(1) 数学模型(微分方程)A

建立系统（元件）数学模型常用方法： 1.分析法－对系统（元件）各部分的运动”机理”进 行分析，应用物理规律、化学规律找出系统输
入/输出变量之间的数学关系。
应用：系统内部运动机理（原理）比较清楚.
2.实验法－人为施加某种测试信号，记录系统的输
出响应.然后再根据测得的系统输入输出之间的
关系,找出系统中变量之间的数学关系。
根据物料平衡原理，dt时间内水箱液体 的增加，应与进水量相等：
dh q 1 q 2 C dt
d h q 1 q 2 C dt
根据托里拆定理，出水量与水位高度的 平方根成正比： h h q 2 q 2 线性化 R
0
R
1 R 2 h0R0
微分方程: C 线性化
C
dh h q 1 非线性! dt R 0
2.2 控制系统微分方程的建立 系统最基本的数学模型是反映系统变量之间 动态特性的微分方程式。 建立微分方程的步骤如下： ①将系统划分为若干环节,确定各个环节的输 入量和输出量。 ②从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各 变量所遵循的物理、化学定律，列出各个环节的 原始方程(线性化) 。 ③消去中间变量，写出仅包含系统输入、输出 变量的微分方程式。
图2-3 所示为电枢控制直流 电动机的原理图。要求以电枢 电压Ua(t)（v）为输入量，电 动机转速ωm（t）（rad/s） 为输出量，列写微分方程。 图中Ra(Ω)、La(H)分别是 电枢电路的电阻和电感，Mc是 折合到电动机轴上的总负载转 距。激磁磁通为常值。
＋ Ua
输入
＋
La ia
if Ra
激磁磁通
由电枢电压Ua(t)在电枢回路 中产生电枢电流ia(t)
1）电枢回路电压平衡方程：
dia (t ) U a (t ) La Ra ia (t ) Eb ① dt Eb是电枢反电势，它是当电枢旋转 时产生的反电势，其大小与激磁磁 通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即
＋
La ＋ Ua ia
d 2U 2 dU 2 R1 R2 C1C 2 ( R1C1 R1C 2 R2 C 2 ) U 2 U1 2 dt dt
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个 二阶线性微分方程。
【例4】建立惯性环节的微分方程。其中，U1（t） 为输入量，U2(t)为输出量。
C R2
D/A1
1μ
200K
u1
→ i1 100K
R 1 i2 ↓
u2
100K
A/D1
R0
解：利用运算放大器“虚地” 的概念，得
u1 i 1 R1
由i1=i2，得
u2 du 2 i 2 ( C ) R2 dt
传递函数：
du 2 u 2 u1 C dt R 2 R1
R 2 / R1 G( s) R 2 Cs 1
du c RC uc u i dt
G( s)
上述问题中有3个变量,需列出2个独立方程. 由此推知,N个变量的问题应建立N-1个独立方程
【例2】求图示RLC回 路的微分方程。
R + u(t)
输入
L uc(t)
输出
C
+ _
+ y _
i(t)
_
解：以 u L (t ),i(t ) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
传递函数：
【例9】建立热容系统的微分方程。
解：根据热容定义和热平衡方程， u r dt时间内加给热炉的热量应 与其炉内温度的上升所需热量 平衡。
Cd c (qc q0 )dt
c
qc q0 i
箱体热容C，热阻R
热炉向外散出的热量与炉内外温差成正比： 电炉丝通电发出的热量为：
u2 qc r r
【例6】.建立下列机械系统的微分方程.
解：根据牛顿力学:
u(t) m b
K
f b by
u(t ) f k f b ma
f
k
ky
y(t)
f b ky 微分方程:
dy & & my b ky u (t ) dt
【例7】建立单容水箱的的微分方程。 解：
液阻R 液容C 液面差变化 H 流量变化 Q 被储存液体变化 V 水头（高度）的变化 H
【例5】建立比例微分器（PD）的微分方程。其中， U1（t）为输入量，U2(t)为输出量。
C 2 0.01μ R 2 100K
A/D1
R1
D/A1
100K
→ i1 C 1
i2 ↓
1μ
R0
100K
解：利用运算放大器“虚地” 的概念，得
u2 du 2 u1 du 1 i 2 ( C 2 ) i 1 C 1 R2 dt R1 dt du 2 u 2 du 1 u 1 C 1 由i1=i2，得 C 2 dt R2 dt R 1 R 2 C1s R 2 / R 1 G( s) ( R 2 C1s R 2 / R 1 ) R 2C 2 s 1
Wm Ea
SM
输出
负 载
Jm,fm
-
图2-3 电枢控制直流电动机原理图
例12、电枢控制直流电动机的微分方程
解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入 的电能转换为机械能.也就是由输入的电枢电压 Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流 ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， 从而拖动负载运动。即：电压→电流→转距 因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分 组成: 1）电枢回路电压平衡方程; 2）电磁转矩方程; 3）电动机轴上的转矩平衡方程.
根据出水量的增量与水位高度的增量近 似成正比： h
q 2 C R
L[ f (t )] f (s)e s
微分方程: 拉氏变换：
d h h q 1 (t 0 ) dt R
RCsh(s) h(s) Rq 1(s)e s
G( s) h R e s q 1 RCs 1
i
2
dt
U 2 U c2
由④、⑤得:
⑤
i1
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由于
dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt
将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1i1 R2 i2 Uc 2
dUc1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt
建立微分方程的关键是什么?
【例1】图由一RC组成的四端无源网络。试列写以Ui （t）为输入量，Uc(t)为输出量的微分方程。
解：设电容两端的电压为 根据电路定理，得
uc
.
ui
R
ui Ri uc
iC du c dt
i
① ②
C
uc
将（1）代入（2），消取中间变量i，得
传递函数：
U c ( s) 1 U i ( s) RCs 1
应用：系统内部运动机理原理不清楚。
举例1. 分析法建立系统数学模型的几个步骤：
1）建立系统和元件的物理模型。 2）列写原始方程。 利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫 电流和电压定律、能量守恒定律等. 3）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅 在建立状态模型时要求），消去中间变量，建 立适当的输入输出模型或状态空间模型。 4)对模型进行检验.
q0
c i R
微分方程：
d c Ru2 r RC c i dt r
【例10】建立无自恒水箱的微分方程。
解：由于输出流量q2为定值，因此 水箱水位高度的变化与输入流 量成正比
d h C q 1 dt
传递函数：
1 G (s) Cs
积分环节
【例11】建立电枢控制直流电动机的微分方程
第二章
教学重点：
连续系统的数学模型
控制系统微分方程、传递函数、系统结构图。
教学难点：
根据系统工作原理图绘制系统”结构图”。
教学内容：
2.1 概述 2.2 控制系统微分方程的建立 2.3 传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.5 控制系统的信号流图 2.6 控制系统的传递函数
2.1 概述
1、控制系统的分析、设计过程
R1 [C1
dU 2 dU 2 d ( R2 i2 U 2 ) C 2 ] R2 C 2 U2 dt dt dt
d 2U 2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1 R2 C 2 R1C1 R1C 2 R2 C 2 U2 2 dt dt dt dt
整理,得微分方程:
提出课题 拟定方案
设计装置
器件组装
试验调试 修改设计
性能ห้องสมุดไป่ตู้试
修改方案
系统设计：根据用户对被控对象性能的要求，设计控 制装置，使被控对象的性能指标满足用户提出的要求. 系统分析：对已经存在的控制系统，分析系统的性能 指标，作出系统性能优劣状况的判断。 系统分析是系统设计的基础.系统设计是系统分析的结 果.
h q 1 h0R0
d h h C q 1 dt R
线性
d h 1 dt 2
G( s)
h R q 1 RCs 1
【例8】建立有延迟的单容水箱的微分方程。
l/v
解：根据物料平衡原理，dt时间内
水箱液体的增加，应与进水量 相等：
q 1 (t ) q 2 (t ) C dh dt
数学模型怎么表示?
4、控制系统数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
复域模型
频域模型
结构图