实数完备性定理的证明及应用

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实数完备性定理的证明及应用

学生：xxx 学号：

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导老师：xxx 职称：副教授

摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性

Testification and application about Real Number

Completeness

Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval.

Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence

引言

在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实

数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.

1. 基本定义[1]

定义1 设S 是R 中的一个数集．若数η满足： (1) 对一切x ∈S ，有x η≤，即η是S 的上界；

(2) 对任何α<η，存在x ∈S ，使得x >α，即η又是S 的最小上界， 则称数η为数集S 的上确界，记作η=sup S ．

定义2 设S 是R 中的一个数集．若ξ满足： (1) 对一切x ∈S ，有x ≤ξ，即ξ是S 的下界；

(2) 对任何β>ξ，存在x ∈S ，使得x <ξ，即ξ又是S 的最大下界， 则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=．

定义3 设闭区间列[]{},n n a b 具有如下性质: (1) [],n n a b ?[]11,n n a b ++，1,2,n =；

(2) lim()0n n n b a →∞

-=，

则称[]{},n n a b 为闭区间套，或简称区间套．

定义4[2] 设S 为数轴上的点集，ξ定点(它可以属于S ，也可以不属于S )．若

ξ的任何邻域都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．

其等价定义：对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域都含有S 中异于ξ的点，即

()

,u S ξε≠?，则称ξ为S 的一个聚点．

定义5 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合(即H 的一个元素都是形如

(),αβ的开区间)．若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间，则称H 为S 的一

个开覆盖，或称H 覆盖S ．若H 中开区间的个数是无限(有限)的，则称H 为S 的一个无限(有限)开覆盖．

2. 六个定理及证明

定理1 维尔斯特拉斯聚点定理(Weierstrass 聚点定理) 直线上的有界无限点集S 至少有一个聚点． 定理2 柯西收敛准则(又叫实数完备性定理)

数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ， 使得,n m N >时，都有m n a a -<ε．

定理3 确界原理

有上(下)界的数集必有上(下)确界． 定理4 单调有界定理

任何有界的单调数列一定有极限． 定理5 区间套定理

若[]{},n n a b 是一列闭区间，(1,2,)n =，又设 (1) [],n n a b ?[]11,n n a b ++，(1,2,)n =； (2) lim()0n n n b a →∞

-=，

则存在唯一的ξ∈[],n n a b ，(1,2,)n =．

定理6 有限覆盖定理(也叫海涅-波莱尔定理)

设[],a b 是闭区间，H 为[],a b 的一个开覆盖，则在H 中必存在有限个开区间，它构成[],a b 的开覆盖．

3. 六个定理等价的证明

以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以循环证明方式，证明其等价性．

维尔斯特拉斯聚点定理?柯西收敛准则?确界原理?单调有界定理?区间

套定理?有限覆盖定理?维尔斯特拉斯聚点定理． 3.1 维尔斯特拉斯聚点定理?柯西收敛准则

证明 若对?ε>0，?N >0，当,n m N >时，n m a a -<ε．取ε=1．则1N ?>0，当n >1N 时，有1n N a a -<1，则n a ≤1+1N a ．令

M =max {}

1112,,,,1N N a a a a ???+，

则对?n ，都有n a ≤M ．从而数列{}n a 有界．

(1) 若{}n a 看作点集，是一个有限点集，至少有一项i a 重复出现无穷多次，就以i a 为项构成子列，则{}i a 是常数列，必收敛．记lim k n i k a a ξ→∞

==，则

k k n n n n a a a a ξξε-≤-+-<．

即 lim n n a ξ→∞

=．

(2) 若{}n a 构成无穷点集，由聚点定理{}n a 必有一个聚点ξ．由聚点定义2，必存在{}k n a ?{}n a ，且

lim k n k a ξ→∞

=

则

k k n n n n a a a a ξξε-≤-+-<．

即 lim n n a ξ→∞

=．

3.2 柯西收敛准则 ?确界原理

证明 设S 为非空有上界实数集，由实数的阿基米德性，对任何正数α，在整数k α，使得k ααλ=，α为S 的上界，而

(1)k ααλαα-=-

不是S 的上界，即在α'∈S ，使得(1)k ααα'>-．

分别取1

,1,2,n n

α==???．则对每一个正整数，存在相应的n λ，使得n λ为S 的

上界，而1

n n

λ-不是S 的上界，故存在α'∈S 使得

1

n n

αλ'>-． (1)

又对正整数m ，m λ是S 的上界．故有m λα'≥结合(1)式得

1n m n λλ-<

． 同理有 1

m n m

λλ-<，

从而得

∣m λ－n λ∣＜11max ,m n m n λλ??

-< ???

．

于是对任给0ε?>，存在0N >，使得当,m n N >时，有

m n λλε-<

由柯西收敛准则，数列｛n λ｝收敛，记

lim n n λλ→∞

= (2)

现在证明λ就是S 的上确界．

首先，对任何α∈S 和正整数n ，有αλ≤，由(2)式得αλ≤．即λ是S 的一个上界．

其次，对任给的0δ>，由

1

n →0（n →∞）及(2)式，对充分大的n 同时有 12n δ<，n λ＞2

δλ-． 又因为n λ1

n

-不是S 的上界，故存在S α'∈，使

α'＞1

n n

λ-

结合上式

2

2

δ

δ

αλλδ'>-

-

=-

所以λ为S 的上确界．

同理可证S 为非空下界数集，则必存在下确界．

3.3 确界原理?单调有界定理

证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界．a ={}sup n a ．下面证明a 就是{}n a 的极限．

事实上，任给ε>0，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得

N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当n N ≥时有N n a a a ε-<≤．

另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有n a a a ε≤<+，所以

n N ≥，时有εε+<<-a a a n ．这就证得lim n n a a →∞

=．

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界． 3.4 单调有界定理?区间套定理[7]

证明 由闭区间列[]{},n n a b 的性质知，1221n n a a a b b b ≤≤

≤≤≤

≤≤．则

{}n a 为递增有界数列．依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有n a ξ≤，(1,2,

)n =．

同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件lim()0n n n b a →∞

-=有

lim lim n n n n b a ξ→∞

→∞

==，且n b ξ≥，(1,2,)n =；

综上 n n a b ξ≤≤． 最后证明ξ是唯一的． 设数ξ'也满足

n n a b ξ'≤≤，(1,2,)n =；

则由n n a b ξ≤≤，n n a b ξ'≤≤可知

()lim 0n n n b a ξξ→∞

'-≤-=，

故有

ξξ'=．

3.5 区间套定理?有限覆盖定理

证明 用反证法．假设有限覆盖定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[],a b ，将[],a b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为[]11,a b ，则[]11,a b ?[],a b ，且

112

b a

b a --=

．再将[]11,a b 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为[]22,a b ，则[]22,a b ?[]11,a b ，且

2222

b a

b a --=

． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列[]{},n n a b ．它满足

[],n n a b ?[]11,n n a b ++，(1,2,

)n =；

0()2n n n

b a

b a n --=

→→∞， 即[]{},n n a b 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖． 由区间套定理，存在唯一的一点ξ[],n n a b ∈，(1,2,)n =；由于H 是[],a b 的一个开覆盖，故存在开区间(),αβ∈H ，使ξ∈(),αβ．于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有[],n n a b ?(),αβ．

这表明[],n n a b 只须用H 中的一个开区间(),αβ来覆盖，与挑选[],n n a b 时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾．以而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[],a b ．

3.6 有限覆盖定理?聚点定理

证明 若S 为R 上的有界无穷点集，则存在0M >，使S ?[],M M -． 对任意x ∈[],M M -，任意ε>0，记

()[]{}

,,i i H u x x M M ε=∈-，

显然H 覆盖了[],M M -．由有限覆盖定理，存在

()[]{}

,,,1,2...i i H u x x M M i k ε*=∈-=

也覆盖了[],M M -．即

()1

,k

i i u x ε=?[],M M -?S ．

由于S 是无穷点集，至少有一个0i x ，使得()0,i u x ε含有S 中无穷多个点．则0

i x 是S 的聚点．

4. 实数完备性定理的应用

以上我们对实数完备性定理进行了循环证明，下面我们将对其在闭区间上连续函数性质的应用做一些举例证明．

例1 证明有界性定理．

证明（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性，对没一点'[,]x a b ∈， 都存在领域''(;)x U x δ及正数'x M ，使得

()''',(;)[,].x x f x M x U x a b δ≤∈

考虑开区间集

{}

'''(;)[,],x H U x x a b δ=∈

显然H 是[,]a b 的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集覆盖了

[,]a b ，且存在正整数12,,

,,k M M M 使得对一切(;)[,]i i x U x a b δ∈有(),i f x M ≤

(1,2,,)i k =．令

1max ,i i k

M M ≤≤=

则对任何[,],x a b x ∈必属于某(,)().i i i U x f x M M δ?≤≤这就证得在[,]a b 上有界． 例2 证明最大最小值定理

最大值最小值定理 若函数f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有最大值与最小值．