计量经济学理论与实践

（三）模型设计—数学模型
❖ 经济理论模型：公式化，提供变量关系 D=f(P,Y…)
D/P<0；D/Y>0；
（四）计量模型
假定： ❖ （1）省略次要变量，选择主要变量 ❖ （2）f的数学形式 ❖线性：D= 1+2P+3Y+û ❖ 其中1，2和3为参数，未知 2<0; 3>0 ❖ （3）随机扰动项u
2.2.3 样本回归函数（SRF）
Ŷi=â1+ â2Xi (相对于E(Y|Xi)=a1+a2Xi) Ŷi= E(Y|Xi)的估计量 â1 = a1的估计量 â2 = a2的估计量
两个随机样本，对应给定的每个Xi只有一个Y值，问：能从 样本数据中估计出PRF吗？
样本数据一
X
Y
80
70
100 65
120 90
（ 1
2 Xi
ui）
1
xi xi2
2
xi X i xi2
xi xi2
ui
2
x（ i xi
X）
xi2
xi xi2
ui
2
xi xi2
ui
E(ˆ2 ) 2
xi xi2
E(ui )
2
证明：2. ˆ1
Y
ˆ2 X
1 n
Yi
xi xi2
1 n
Xi X
xi X i X X 0 xi2
E(ˆ1 ) 1
1 n
xi
X xi2
E (ui
)
1
参数最小二乘估计量的统计性质3：最小方差性
❖ 最小二乘估计量的方差
var(ˆ1)
2
1 n
X2 xi2
2
n
X
2 i
xi2
var(ˆ2 ) 2 xi2
最小二乘估计量的分布
如果此概率值小于0.05(根据情况而定)，就拒绝H0。
假设检验中的两类错误 第一类错误 Type I Error 否真错误, 后果往往较为严重
出现第一类错误的概率为 等于显著性水平 第二类错误 Type II Error 存伪错误, 出现第二类错误的概率为
不能同时降低两类错误!
3、拟合优度检验
即： ui ~N（0， 2 ） 注：在实际建模时，除了假定6以外，对模型是否满足假定都要进行
检验。对于假定6，由中心极限定理，当样本趋于无穷大时，对于 任何实际模型都是满足的。
参数最小二乘估计量的统计性质1：线性
Yi 1 2 X i ui 一、线性性：ˆ是因变量Yi的线性函数，也是扰动项ui的线性函数 证明：
yi2 yˆi2 uˆi2 2 yˆiuˆi 对i求总和得
yi2 yˆi2 uˆi2 2 yˆiuˆi yˆiuˆi ˆ2 xiuˆi ˆ2 xi ( yi yˆi )
ˆ2 xi yi ˆ2 xi2 0
1.1.2计量经济学的发展
20~30 年代 ❖ H. 舒尔兹：消费理论与市场行为 ❖ P. 道格拉斯：边际生产力 ❖ J.丁伯根：景气循环 ❖ R.费里希:需求弹性、边际生产力、总体经济的稳定性 40~70年代（宏观经济） ❖ H. 泰尔：二阶段最小二乘法 80年代~今 ❖ D. 亨德利：协整理论
Yi
X
1 n
xi X xi2
Yi
1 n
xi
X xi2
（ 1
2 Xi
ui）
1
Hale Waihona Puke 1 nxiX xi2
2
Xi n
xi X i X xi2
1 n
xi X xi2
ui
1 n
xi
X xi2
1
X xi2
xi 1
Xi n
xi X i X xi2
线性 (Y)
PRF的随机设定
PRF：Yi=1+2Xi+ui=E(Y|Xi)+ui 系统性成分或确定性成分；随机或非确定性成
分 问：么在是给常定量X？i下，上述等式中什么是变量，什
随机扰动项是从模型中省略下来的而又集体地影响着Y 的全部变量的替代物。显然的问题是：为什么不把 这些变量明显地引进到模型中来？换句话说，为什 么不构造一个含有尽可能多个变量的复回归模型呢 ？理由是多方面的： ▪ 理论的含糊性 ▪ 数据的欠缺 ▪ 核心变量与周边变量 ▪ 内在随机性 ▪ 替代变量 ▪ 省略原则 ▪ 错误的函数形式
2. ˆ1 Y ˆ2 X ˆ2是Yi的一个线性函数 ˆ1也是Yi的一个线性函数
注：ˆ也是随机变量 因为Yi i 2 X i ui，ˆ也是 扰动项ui的线性函数
参数最小二乘估计量的统计性质2：无偏性
二、无偏性：即E(ˆ)
证明：1. ˆ2
xi xi2
Yi
xi xi2
如果古典假定6成立
即，ui服从N (0, 2 )
则ˆ2服从N ( 2 ,
2
xi2 )
ˆ1服从N (1, 2 n
X
2 i
xi2
)
OLS估计量是最优线性无偏估计量
OLS有很多有用的性质， 所以在实践中得到广泛应用
全部估计量 线性无偏估计量
BLUE估计量
1、t假设检验（参数显著性检验）
t 检验方法的直接计算。
计量经济学理论与实践
第一讲 计量经济学的特征以及研究对象
❖1．1 什么是计量经济学 ❖1．2 计量经济学的方法论 ❖1．3 应用与实例
1．1 什么是计量经济学
1.1.1概念
计量经济学是经济科学领域内的一门应用科学， 它以一定的经济理论和实际统计资料为基础，运 用数学、统计学方法与计算机技术，以建立经济 计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性 特征的经济变量关系。
1．3 应用与实例
❖ 乔宝云、范剑勇、冯兴元，中国的财政分权与小 学义务教育
❖ 知识回顾：微积分、线性代数、概率统计（一些 重要的概率分布，估计与假设检验等）
第二讲 线性回归模型双变量模型
❖2．1 基本思想 ❖2．2 双变量模型 ❖2．3 参数估计：最小二乘法 ❖2．4 假设检验
2．1 基本思想
（五）模型估计 1.统计资料：用历史资料估计参数
N=100
D
P
Y
100
5 1000
75
7
600
60
9
300
2.估计方法
OLS: D=112.7-719P+0.0014Y + û(残差)
（六）模型检验
❖ 1.经济合理性—定性（符号和大小） ❖ 2.数学上检验（统计检验和计量检验）
（七）模型应用
❖ 政策模拟，例如： ❖P=9, Y=1400, 根据回归方程式得到D=66.59 ❖P=2, 给定Y不变，问D=?
2．2 双变量模型
2.2.1 明确概念
❖ 条件分布：以X取定值为条件的Y的条件分布 ❖ 条件概率：给定X的Y的概率，记为P(Y|X)。
例如，P(Y=55|X=80)=1/5；P（Y=150|X=260）=1/7 。
❖ 条件期望（conditional Expectation）：给定X的Y 的期望值，记为E(Y|X)。 例如，E(Y|X=80)=55×1/5＋60×1/5＋65×1/5＋ 70×1/5＋75×1/5＝65
1.2.1步骤： ❖ 理论或者假说的陈述 ❖ 收集数据 ❖ 建立数学模型 ❖ 建立统计或者经济计量模型 ❖ 经济计量模型的参数估计 ❖ 检查模型的准确性：模型的假设检验 ❖ 检验来自模型的假说 ❖ 运用模型进行预测
1.2.2实例
（一）理论或者假说的陈述 ❖ 经济理论 需求量D—
价格P 收入Y 相关产品价格（如汽车与汽油） 替代产品价格（如柴油与汽油） 消费者偏好等 （二）收集数据
什么是回归？ 回归分析用来研究一个变量（被解释变量/应变量）与
另一个或多个变量（解释变量/自变量）之间的关系。
相关关系 vs 回归关系 vs 因果关系 1相关关系：是两个变量之间的关系，是对称的； 2回归关系：解释变量与被解释变量的统计关系，是非对称。在回归分
析中，变量之间的线性无关有两种情况：一是一般意义下的线性无关 ，二是非线性关系； 3因果关系：统计关系本身不可能意味着任何因果关系
❖ 决策规则：
❖ H0：2 = 2*
❖ H1：2≠ 2*
❖ 直接计算：
t
ˆ2 2 se(ˆ2 )
ˆ2
* 2
se(ˆ2 )
比较 t 与t ，当t t (t值大)
2
2
统计量的值落入临界域内
统计量是统计上显著的
拒绝H0 Pr(t) (P值小)
决策规则： 直接计算：
2、P值法或概率法
H0：2 = 2* H1：2≠ 2*
1. ˆ2
xi yi xi2
x（i Yi
Y）
xi2
xiYi xi2
xiY xi2
xi xi2
Yi
Y
xi xi2
xi xi2
Yi
( xi ( X i X ) xi nX nX nX 0)
ˆ2是Yi的一个线性函数，是线性估计量(Linear estimator) 证明：
E(Y|Xi)=f(Xi)
(1)
问：PRF的函数形式是什么？
当PRF的函数形式为线性函数，则有，
E(Y|Xi)=1+2Xi
(2)
其中1和2为未知而固定的参数，称为回归系数。1和2也
分别称为截距和斜率系数。
上述方程也称为线性总体回归函数。
总体回归曲线
140
110
80
50
20 50
100
150
200
Y
= 1+2Xi+ui
= â1+ â2Xi +ûi