一元二次方程重难点
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一.一元二次方程的定义
二.有关一元二次方程根的考查(根与系数的关系及两方程公共根问题) 三.一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法) 四.含绝对值的一元二次方程 五.根的判别式及韦达定理
①根与系数的关系——对方程根的个数的判别
②利用判别式解参数取值围——含参变量的一元二次方程 ③通过判别式,证明方程根的个数问题
④利用韦达定理求代数式的值(2
21212121212
11,,,,x x x x x x x x x x +-±±等) ⑤利用韦达定理求参数的值 五.一元二次方程整数根问题 六.一元二次方程的应用
一.一元二次方程的定义
定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 关于一元二次方程的定义考查点有三个:①二次项系数不为0;②最高次数为2;③整式方程 一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠,a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项.
二.有关一元二次方程根的考查(根与系数的关系及两方程公共根问题)
关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式,然后再考察恒等变换。(将根代入方程,这是很多同学都容易忽略的一个条件) 1.与根有关的代数式化简求值
【例】已知x 是一元二次方程x 2+3x-1=0的实数根,求代数式:2
35(2)362
x x x x x -÷+---的
值.
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一元二次方程重难点
基础学习
【巩固】先化简,再求值:222412
()4422
a a a a a --÷-+--,其中a 是方程x 2+3x+1=0的根.
2.公共解问题
【思考】已知两个二次方程x 2+ax+b=0与x 2+cx+d=0有一个公共根为1,求证:二次方程2
022
a c
b d
x x +++
+=也有一个根为1.
【例1】一元二次方程x 2−2x −54=0的某个根,也是一元二次方程x 2−(k +2)x +9
4
=0的根,求k 的值.
【巩固】当k 为何值时,方程x 2-(k+2)x+12=0和方程2x 2-(3k+1)x+30=0有一公共根?
求出此公共根.
【变式1】若两个不同的关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0有一个共同的实数根,求a 的值及这两个方程的公共实数根.
【变式2】已知a >2,b >2,试判断关于x 的方程x 2-(a+b )x+ab=0与x 2-abx+(a+b )=0有没有公共根.请说明理由.
【拓展1】已知:关于x 的方程ax 2+bx+c=0,bx 2+cx+a=0,cx 2+ax+b=0有一个相同的实数根,且a •b •c ≠0,求a+b+c 的值
【拓展2】设a ,b ,c 为△ABC 的三边,且二次三项式x 2+2ax+b 2与x 2+2cx-b 2有一个公因式,证明:△ABC 一定是直角三角形.
三.一元二次方程的解法及求根公式(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法)
【例1】解方程:
(1
20++=. (2)(3x+1)(2x-5)=-2(2x-5)
(3)
2
154
111
x x x x -+=+-- (4)
24221933
x x x x =+---+
(7)
x+28=0 (2)
x+6=0
【巩固】(1)已知关于x 的方程x 2-(2a+1)x+a 2+a=0的两个实数根中,只有一根大于5,求a 的取值围.
(2)已知x ,y 满足方程x 4+y 4+2x 2y 2-x 2-y 2-12=0,求x 2+y 2的值.
在解方程里面,一般采取的方法是配方法,应用公式法,因式分解法,其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法,因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握,一般来说,对于初学者而言,在解方程里面最常使用的是公式法,但在熟练掌握根与系数的关系之后,配方法相较会简单一些。 【例1】若m 、n 为有理数
,
无理数,
m+是有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)
的一个根,证明:
m-也是这个方程的一个根.
【例2】设x 1、x 2是方程x 2-6x+a=0的两个根,以x 1、x 2为两边长的等腰三角形只可以画出一个,试求a 的取值围.
【例3】当x 满足条件13311
(4)(4)2
3x x x x +<-⎧⎪
⎨-<-⎪⎩时,求出方程x 2-2x-4=0的根.
【巩固】(1)解方程:x 2-x-5=0.
(2)若不等式组2311
(3)2
x x x +<⎧⎪
⎨>-⎪⎩整数解是关于x 的方程2x-4=ax 的根,求a 的值.
四.含绝对值的一元二次方程
【例1】阅读例题,模拟例题解方程.
例:解方程x 2+|x-1|-1=0. 解:(1)当x-1≥0即x ≥1时,原方程可化为:x 2+(x-1)-1=0即x 2+x-2=0,解得x 1=1,x 2=-2(x 2不合题意,舍去);
(1)当x-1<0即x <1时,原方程可化为:x 2-(x-1)-1=0即x 2-x=0,解得x 3=0,x 4=1(x 4不合题意,舍去). 综合(1)、(2)可知原方程的根是x 1=1,x 2=0. 请模拟以上例题解方程:x 2+|x+3|-9=0.
【巩固】解方程:(1)219
1()1010
x x -=+|x 2-1| (2)24562x x x +-=-
【例2】解方程:(1)x 2-|x-2|-6=0. (2)x 2-4|x|-5=0.