八年级数学下册1.1等腰三角形第4课时等边三角形的判定习题课件
北师大版八年级下册数学 第一章 三角形的证明 等腰三角形(第4课时)
课堂小结
等腰三角形 的拓展
等边三角形 的判定
三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
特殊的直角三 角形的性质
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半
探究新知
方法总结 选用等边三角形判定方法的技巧 (1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定. (2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三 角形来判定. (3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形来判定.
巩固练习
变式训练
在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形， 则需添加的一个条件是 AB＝AC或∠B＝∠C .
证明：∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,
课堂检测
BE = AF， 在△AEF和△BDE中, ∠EBD =∠EAF， ∴△AEF≌△BDE(SASB),D∴=EFA=EE，D,
证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°. 即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°, ∴∠ABD=∠DBC=30°. ∴△BDC是直角三角形(∠又BD∵C∠=9C0=°60).°, 又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm).
课堂检测
拓广探索题
如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延 长线上,且BE=AF=CD. 求证:△DEF是等边三角形.
北师版八年级数学下册1.1 等腰三角形3 第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定1．理解并掌握等边三角形的判定定理，并会运用定理进行判定．2．掌握含30°角的直角三角形的性质，并学会运用该结论进行相关的计算和证明．自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题．知识探究1．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．自学反馈1．在等边△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°．2．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠A ＝60°，则BC ＝2．3．在Rt △ABC 中，若∠BCA ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，则BC ＝2．活动1 小组讨论例1 填空：(1)如图1，BC ＝AC ，若BC ＝AB 或AC ＝AB 或∠A ＝60°或∠B ＝60°或∠C ＝60°，则△ABC 是等边三角形；(2)如图2，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BD ＝4.若AB ＝8，则△ABC 是等边三角形；(3)如图3，在Rt △ABC 中，∠B ＝30°.若AC ＝6，则AB ＝12；若AB ＝7，则AC ＝3.5．例2 如图，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD ⊥AB.求证：AD ＝14AB.证明：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴AC ＝12AB. ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∴∠DCB ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝30°.∴AD ＝12AC ＝14AB. 活动2 跟踪训练1．如图，△ABC 是等边三角形，O 为△ABC 内任意一点，OE ∥AB ，OF ∥AC ，分别交BC 于点E ，F ，△OEF 是等边三角形吗？为什么？解：△OEF 是等边三角形．理由：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°.∵OE ∥AB ，OF ∥AC ，∴∠OEF ＝∠B ＝60°，∠OFE ＝∠C ＝60°.∴△OEF 是等边三角形．根据三个角都相等的三角形是等边三角形或有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形判定．2．如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B)A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米活动3 课堂小结1．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．2．含30°角的直角三角形中存在线段与线段的比例关系，是今后证明线段倍分关系的重要途径．。
初中数学北师大版八年级下册《1.1等腰三角形第4课时》课件
是顶角还是底角
A
60
②当∠B＝60°时.
°
B
C
求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：如图 ,在△ABC中，AB =AC , 有 60一°个角．为
求证：△ABC是等边三角形．
证明：①当∠A＝60°时
A
∵AB=AC
∴∠B＝∠C
60
∵在△ABC中，∠A= 60 °
1
∴∠B＝∠C＝ (1820。－∠A) = 60° ∴∠A= ∠ B =∠C.
总结：涉及到等腰三角形，不论是边还是角，大家要有 分类讨论的意识
定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE
是等边三角形. 证明：∵ △ABC是等边三角形，
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证证明：：∵△∠AAB＝C为∠B等边三角形.
A
∴AC＝BC
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC
B
C
∴AB＝AC＝BC
判定定∴理△A1B:三C为个等角边都三相角等形的. 三角形是等边三角形.
1.定义：三条边都相等的三角形
是等边三角形. 2.判定定理1：三个角都相等的
A 30°
？
C
几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30° 1
∴ BC = AB2
例2 已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，CD⊥AB于D．求证 : ∠ACB=910°，∠A=30° ∴BC= A2B ,∠B=60°
北师大版八年级数学下册《等边三角形》课件
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
∵ ∠A=600 , AB=BC ∴△ABC是等边三角形
提升训练:
1.如图，△ ABC,△ CDE都是正三角形，
求证： △ ACD ≌ △ BCE 。 A
B
D 1C
3.有一个角等于 60°的等腰三角形 是等边三角形吗？
顶角 底角
分类讨论： 当顶角是60°时； 当底角是60°时。
已知：在△ABC中，AB =AC ,有__一_个__角_为__6_0_°___
求证：△ABC是等边三角形．
A
证明：①当∠A＝60°时
∵AB=AC
∴∠B＝∠C
∵在△ABC中，∠A= 60 °
D，E，F为各边中点， 则图中共有等边三角形( D ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.如图，等边△ABC， DE∥BC,分别交边AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
12
5．已知：PB=PQ=QC=AP=AQ,
求∠BAC的大小． 动动手，画个草图！
120°
617
42 1
三线合一 轴对称图形 对称轴3条
归纳：等边三角形的性质
名 称
图形
性质
等
三条边都相等
边
三
A
三个角都相等，且都为60°
角
形B
C 三线合一
轴对称图形，有三条对称轴
1.三个内角都相等的三角形是？
A
是等边三角形！
为什么啊？
请你证明！
B
C
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
北师大八年级数学下课件：1.1等边三角形的判定课件
？ 满足什么条件的三角
形是等边三角形
方法一：
三边都相等的三角形是 等边三角形（定义）
方法二：从角看
有两个角相等的三角 形是等腰三角形。
方法二：
三个角都相等的三角 形是等边三角形。
小明认为还有第三种方法“两条边相等且
有一个角是60°的三角形也是等边三角形
”，
分
(你1) 同意A 吗？
A (2)
类 讨
60°
智勇大闯关 第二关
三角形的三条边长a,b,c满足
(ab)2|bc|0
该三角形是( C ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
《我是冠军》
智勇大闯关 第三关
如图, △ABC是等边三角形,DEF分别 是三边上的点,且AD=BE=CF,请问 △DEF是等边三角形吗?说明理由.
2.在△ABC中，AB=AC，若要使△ABC为
等边三角形，还应补充一个条件，这个条件
是
（只填写一个条件）
A
B
C
3.在△ABC，∠A=60°，
10cm
AB=AC=10cm，则BC=
.
例.如图，E、F是△ABC中BC边上的点，且 BE=EF=CF=AE=AF,求∠BAC.
A
B
E
F
C
注：边相等可转换为角相等
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
类 类等Βιβλιοθήκη 判定3：一个角是60°的等腰三角形 比 讨 互
∵ ∠A=600 , AB=BC
相
∴△ABC是等边三角形
转
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
新北师大八下数学下册第一章等腰三角形习题(共4课时)含答案
第1课时等腰三角形的有关概念知识要点基础练知识点1全等三角形1.(成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(C)A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC2.(荆州中考)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是SSS.知识点2等腰三角形的性质3.如果一个等腰三角形的两边长分别是 5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是(D)A.15 cmB.15 cm或16 cmC.17 cmD.16 cm或17 cm4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为(D)A.30°B.75°C.75°或105°D.30°或75°知识点3等腰三角形三线合一5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(C)A.5B.6C.8D.106.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=4.综合能力提升练7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B'的位置上,则下列关于线段AC的性质的说法正确的是(D)A.是边BB'上的中线B.是边BB'上的高C.是∠BAB'的平分线D.以上三种性质都有8.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是(B)A.20°B.30°C.35°D.40°9.若实数m,n满足等式|m-4|+-=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两边的边长,则△ABC的周长是(B) A.22 B.20C.16D.20或1610.(张家界中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为15°.11.如图,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,M是CD的中点.求证:AM⊥CD.证明:连接AC,AD.在△ABC和△AED中,∴△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD,∴△ACD是等腰三角形.∵M是CD的中点,∴由三线合一知AM⊥CD.12.如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.求证:DE=DF.解:过点E作EG∥AC交BC于点G,∴∠F=∠DEG,∠EDG=∠FDC,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∴∠B=∠EGB,∴BE=EG.∵BE=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,∴△EGD≌△FCD(AAS),∴DE=DF.拓展探究突破练13.(常州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC;(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE是△ABC的两条高线,∴∠BEC=∠BDC=90°,∴△BEC≌△CDB,∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°.∵∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=100°.第2课时等腰三角形的有关性质知识要点基础练知识点1等腰三角形中相等的线段1.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,BE,CD交于点O.若AB=AC,BE是边AC上的中线,且BE=CD,则线段CD(D)A.是边AB上的中线B.是边AB上的高线C.是∠ACB的平分线D.不一定是边AB上的中线2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2BM,AN=2NC.求证:DM=DN.证明:∵AM=2MB,∴AM=AB.同理AN=AC.又∵AB=AC,∴AM=AN.∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.在△AMD和△AND中,∴△AMD≌△AND(SAS),∴DM=DN.知识点2等边三角形的性质3.(福建中考)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)A.15°B.30°C.45°D.60°4.如图所示,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则∠DFC 的度数为(A)A.60°B.45°C.40°D.30°5.边长为 6 cm的等边三角形中,其一边上高的长度为3cm.6.如图,在等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线上一点,CE=CD,DM⊥BC于点M.求证:M是BE的中点.证明:连接BD.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵CD=CE,∴∠CDE=∠E=30°.∵BD是AC边上的中线,∴BD平分∠ABC,即∠DBC=30°,∴∠DBE=∠E,∴DB=DE,又∵DM⊥BE,∴DM是BE边上的中线,即M是BE的中点.综合能力提升练7.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(A)A.顶角的一半B.底角的一半C.90°减去顶角的一半D.90°减去底角的一半8.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是(A)A.100°B.80°C.70°D.50°9.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,则下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确结论的个数是(B)A.3B.2C.1D.010.(徐州中考)边长为a的正三角形的面积等于a2.11.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下几个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③∠AOB=60°.恒成立的有①②③.(把你认为正确的序号都填上)12.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以PB为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.解:猜想:AP=CQ.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠PBQ=60°,∴∠ABC=∠PBQ,∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中,∴△ABP≌△CBQ(SAS).∴AP=CQ.拓展探究突破练13.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h.”请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在△ABC内(如图2),点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间的关系如何?请写出你的猜想,不用证明.解:当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h仍然成立.理由:连接PA,PB,PC,则S△PAB+S△PBC+S△PCA=S△ABC,∴AB·PD+BC·PF+CA·PE=BC·AM,∴PD+PE+PF=AM,即h1+h2+h3=h.当点P在△ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是h1+h2-h3=h.提示:∵S△PAB+S△PCA-S△PBC=S△ABC,∴AB·PD+CA·PE-BC·PF=BC·AM,∴PD+PE-PF=AM,∴h1+h2-h3=h.第3课时等腰三角形的判定知识要点基础练知识点1等腰三角形的判定1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)A.∠A=3°,∠B=60°B.∠A=50°,∠B=80°C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周长为182.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是(B)A.(4,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)3.(桂林中考)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是3.知识点2反证法4.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,第一步应假设(D)A.a∥bB.a与b垂直C.a与b不一定平行D.a与b相交5.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°,应先假设(B)A.三角形中有一个内角小于60°B.三角形中每一个内角都小于60°C.三角形中有一个内角大于60°D.三角形中每一个内角都大于60°综合能力提升练6.如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=5,则线段DE的长为(A)A.5B.6C.7D.87.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设a=b.8.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是等腰直角三角形.9.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是①②③④.(写出所有正确答案的序号)①∠BAD=∠CAD;②BD=CD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.10.如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.解:△AFC是等腰三角形.理由:∵∠BAD=∠BCE,∠B=∠B,BD=BE,∴△ABD≌△CBE,∴AB=CB,∴∠BAC=∠BCA,∴∠FAC=∠FCA,∴△AFC是等腰三角形.拓展探究突破练11.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E.(1)求证:△ADE是等腰三角形;(2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.解:(1)∵BD=AB,∴∠BAD=∠BDA.∵DE⊥BC,∴∠BDE=90°.又∵∠BAC=90°,∴∠EAD=∠EDA,∴△ADE是等腰三角形.(2)还有三个等腰三角形:△ABD,△ABC,△CDE.第4课时等边三角形的判定知识要点基础练知识点1等边三角形的判定1.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为(C)A.6B.8C.9D.122.如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上分别截出AD=AE,则△ADE(C)A.不是等边三角形B.不一定是等边三角形C.一定是等边三角形D.无法判断3.如图,点D在BC上,点E在AD上,BE=AE=CE,并且∠BED=∠CED=60°.下列结论:①△ABC是等边三角形;②BD=CD;③BE平分∠ABC;④AD ⊥BC.其中正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2含30°角的直角三角形4.如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为(C)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=4 cm,则BC=2cm.综合能力提升练6.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是(D)A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A 等于(B)A.25°B.30°C.45°D.60°8.(淄博中考)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(B)A.4B.6C.4D.89.如图,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),∠AON=60°.(1)OP=10时,△AOP为等边三角形;(2)OP=5或20时,△AOP为直角三角形.拓展探究突破练10.如图,△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.证明:由条件知∠ACD=120°,∴∠ACE=∠ECD=60°,在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠B=∠ACE,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AE=AD,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE是等边三角形.。
北师大版八年级数学下册第一章《等边三角形的判定》课件
是!
D
F
BE
C
《我是冠军》
智勇大闯关 第四关
如图是由15根火柴组成的两个等边三角形, 你能只移动三根火柴将此图变成四个等边 三角形吗？
课
判定1.三边相等（定义）
A
∵AB=BC=AC
堂 小 结
∴△ABC是等边三角形
化边
判定2：三个角相等
B
C 思角
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
论 分想 相
∴△ABC是等边三角形
智勇大闯关 第二关
三角形的三条边长a,b,c满足
(ab)2|bc|0
该三角形是( C ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
《我是冠军》
智勇大闯关 第三关
如图, △ABC是等边三角形,DEF分别 是三边上的点,且AD=BE=CF,请问 △DEF是等边三角形吗?说明理由.
学习要求:掌握等边三角形的三个判定， 并能灵活运用三个判定条边相等
性
两个角相等
质 三线合一
等边三角形
三边都相等 三个角都相等，等于60º
三线合一
轴对称图形（1条） 轴对称图形（3条）
满足什么条件的三角 形是等腰三角形?
方法一：从边看
有两边相等的三角形是 等腰三角形（定义）
论
60°
B
C
B
C
边相等转化为角相等
判定1.三边相等（定义）
A
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
判定2：三个角相等
B
C
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
判定3：一个角是60°的等腰三角形 ∵ ∠A=600 , AB=BC ∴△ABC是等边三角形
北师大版八年级下册1.1.4等边三角形的判定课件
证明： ∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点， ∴OE＝BE，OF＝CF. ∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°. ∴∠OEF＝∠OFE＝60°. ∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°. ∴△OEF是等边三角形．
• 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°， • ∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( A ) • A．6 • B．6 2 • C．6 3 • D．12
2. 如 图 ， 已 知 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ C ＝ 30° ，
AB⊥AD，则下列关系式正确的为( B )
A．BD＝CD
那么它所对的直角边等于斜边的一半． 要点精析： (1)适用条件——含30°角的直角三角形， (2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关
系．
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的
高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，
CD是腰AB上的高.求证：CD＝
1 D．腰与底边相等
2.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边 中点，则图中共有等边三角形(D ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的
三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角
体悟新知二
知识点
做一做 用两个含30°角的全等的三角尺，你
能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等 边三角形吗？由此你能发现什么结论？说 说你的理由.
等边三角形PPT课件
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
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• 探究2
操 作探 究
①当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的角）摆在一起，
新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由；
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
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验证：我们可以用两个同样大小的三角尺
二、 等边三角形的判定
1．三个边都相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
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• 探究1
操 作探 究
用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短直角边(即300 角所
对的直角边)与斜边，记录下数据，你有什么发现？
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（3）等边三角形各边上中线,高
A
和所对角的平分线都三线合一. D
E
O
（4）等边三角形是轴对称 B F C
图形，有三条对称轴.
A
B
C
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△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到 E,使CE=CD, 求证:BD=DE A
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ AB=AC=BC，
B
C
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1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）
A ∵AB=BC=AC
一般三角形
∴△ABC是等边三角形 等边三角形
B
C
2. 三个角都相等的三角形是 ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
等边三角形.
A
∴△ABC是等边三角形
等腰三角形
等边三角形
B
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明1第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
B
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
A 30° C
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上
的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°，
CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ 1 AB.
∴ CD＝ 1 AB. 2
D A
B
C
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝ AB ． 4
证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°
∴ BC = AB， ∠B = 60°． 2
∴∠BCD = 30°． ∴ BD = CB .
且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：∵ AB＝BC， ∴△ABC 是等腰三角形， 又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE， ∴∠EDF＝∠FDC＝60°. 又∵ DF∥ BA， ∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°. ∴△ABC 是等边三角形.
1
求证： BC = 2 AB.
A
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
30°
30° 30°
转化
B
C
“线段相等”问题
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
A
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵ AC＝AC，
30°
∴△ABC≌△ADC (SAS).
三角形 的证明
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