2019年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）副标题题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x |2x 2+x ＞0}，B ={x |2x +1＞0}，则A ∩B =（ ）A. {x|x >−12}B. {x|x >12}C. {x|x >0}D. R2. 在复平⾯面内，若复数（2-i ）z 对应的点在第⾯象限，则z 可以为（ ）A. 2B. −1C. iD. 2+i 3. 已知圆C ：x 2+2x +y 2=0，则圆心C 到直线x =3的距离等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ，n 的值分别为（ ） A. −1,12B. 12,−1C. −12,1D. 1, 125. 正方体被一个平面截去⾯一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 梯形 6. 若x ，y 满足{x +y ≥0y +1≤0y ≥2x −6，则|x -y |的最大值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 47. 南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“V 1,V 2相等”是“S 1,S 2总相等”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，70%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值） 最高可能为（ ）A. 68%B. 88%C. 96%D. 98%二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在等差数列{a n }中，a 2+a 6=2，则a 4=______．10. 抛物线C ：y 2=2px 上一点（1，y 0）到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为______．11. 在△ABC 中，若b cos C +c sin B =0，则∠C =______．12. 已知函数f(x)=2sin(x +π4)，若对于闭区间[a ，b ]中的任意两个不同的数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，写出一个满足条件的闭区间______．13. 设函数f(x)={ax −1,x ≥a.e x −2x,x<a,若a =1，则f （x ）的最小值为______；若f （x ）有最小值，则实数a 的取值范围是______．14. 设A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义：m ={1,x ∈A,0,x∉A,n ={1,x ∈B 0,x∉B①若A ⊆B ．则对任意x ∈R ，m （1-n ）=______；②若对任意x ∈R ，m +n =1，则A ，B 的关系为______． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f(x)=4cosxsin(x −π6)+1．（Ⅰ）求f(2π3)的值；（Ⅱ）求f （x ）的最小正周期，并画出f （x ）在区间[0，π]上的图象．16.已知等比数列{a n}的首项为2，等差数列{b n}的前n项和为S n，且a1+a2=6，2b1+a3=b4，S3=3a2．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；，求数列{c n}的前n项和．（Ⅱ）设c n=b an17.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=√3，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=2，E为侧棱PA上一点．PA，求证：PC∥平面EBD；（Ⅰ）若PE=13（Ⅱ）求证：平面EBC⊥平面PAC；（Ⅲ）在侧棱PD上是否存在点F，使得AF⊥平面PCD？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．19.已知A(−2，0)，P(1，32)为椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上两点，过点P且斜率为k，-k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．20.已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-ln x．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：；∴A∩B={x|x＞0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：当z=2时，（2-i）z=4-2i，对应的点在第四象限，不合题意；当z=-1时，（2-i）z=-2+i，对应的点在第二象限，符合题意；当z=i时，（2-i）z=1+2i，对应的点在第一象限，不合题意；当z=2+i时，（2-i）z=5，对应的点在实轴上，不合题意．故选：B．分别取z为四个选项中的数逐一分析得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：圆C：x2+2x+y2=0，即（x+1）2+y2=1，故圆心C（-1，0），则圆心C到直线x=3的距离为|3-（-1）|=4，故选：D．根据圆的标准方程求出圆心坐标，从而求得点到直线的距离．本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：E为△ABC的边AC的中点，∴=+=-+，又，则m=-1，n=，故选：A．由题意利用向量的数乘以及线性运算，求出的表达式；再根据所给的表达式，求出m，n的值．本题主要考查向量的数乘以及线性运算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A．根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形．本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题．6.【答案】D【解析】解：x，y满足，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=x-y过点A时，z取得最小值，0，当直线z=x-y过点，B时，z取得最大值，4，则|x-y|的最大值为：4．故选：D．根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可推出结果．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．8.【答案】C【解析】解：不妨设共有选票100张，有效票x张，则无效票有（100-x）张，由题意可知同时同意甲，乙，丙三人的选票为无效票，若要有效票率最高，则每张有效票的同意人数均为最大值2，∴2x+3（100-x）=（0.88+0.7+0.46）×100，解得x=96．故有效率最高为96%．故选：C．有效票率最高时，每张有效票都选2人，不妨设共100张选票，有效票x张，列方程求出x即可．本题考查了简单逻辑推理，属于中档题．9.【答案】1【解析】解：由a2+a6=2a4=2，得a4=1，故答案为：1．根据题意，由等差数列的性质即可求出．本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，属于基础题．10.【答案】y2=8x【解析】解：抛物线C：y2=2px的准线方程为：x=-，由抛物线的定义以及抛物线C：y2=2px上一点（1，y0）到其焦点的距离为3，可得1-（）=3，解得p=4，所以抛物线方程为：y2=8x．故答案为：y2=8x．求出抛物线的准线方程，利用已知条件以及抛物线的定义，列出方程，求出p 即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的简单性质以及抛物线的定义的应用，是基本知识的考查．11.【答案】3π4【解析】解：∵bcosC+csinB=0∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0，∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=-1，∵0＜C＜π，∴C=．故答案为：．直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．12.【答案】[π4，5π4]（答案不唯一）【解析】解：若对于闭区间[a，b]中的任意两个不同的数x1，x2，都有成立，则f（x）在[a，b]上是减函数，由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，≤x≤，即函数的一个闭区间为[，]，故答案为：[，]．条件等价为函数f（x）在[a，b]上是减函数，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，将不等式等价转化为单调递减是解决本题的关键．13.【答案】0 [0，+∞）【解析】解：（1）当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f′（x）=e x-2，∴当x＜ln2时，f′（x）＜0，当ln2＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（ln2，1）上单调递增，∴f（x）在（-∞，1）上的最小值为f（ln2）=2-2ln2，当x≥1时，f（x）=x-1在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在[1，+∞）的最小值为f（1）=0，∵2-2ln2＞0，∴f（x）的最小值为0．（2）若0＜a≤ln2，则f（x）在（-∞，a）上单调递减，∴f（x）＞e a-2a≥2-2ln2＞0，f（x）在[a，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（a）=a2-1，而a2-1＜0，∴f（x）有最小值a2-1．若a＜0，则f（x）在（a，+∞）上单调递减，f（x）没有最小值，若a=0，f（x）在（-∞，a）上单调递减，f（x）＞e a-2a=1，在（a，+∞）上f（x）=-1，故f（x）有最小值-1．若a＞ln2，则f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，a）上单调递增，在[a，+∞）上单调递增，∴f（x）有最小值f（ln2）=2-2ln2或a2-1，∴当a≥0时，f（x）有最小值．故答案为：0，[0，+∞）．（1）判断f（x）的单调性，分别计算f（x）在各段上的最小值；（2）讨论a与ln2，0的关系，得出f（x）的单调性，判断f（x）的有无最小值．本题考查了函数的单调性判断，函数的最值计算，考查分类讨论思想，属于中档题．14.【答案】0 A=∁R B【解析】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1-n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．综上可得：m（1-n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A=∁R B．故答案为：0，A=∁R B．①由A⊆B．由x∉A时，m=0，可得m（1-n）．x∈A时，必有x∈B，可得m=n=1．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，即可得出A，B的关系．本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：（I）f(2π3)=4cos2π3sin(2π3−π6)+1=4cos2π3sinπ2+1=4×(−12)×1+1=-1．……………………………………………………．（3分）（Ⅱ）f(x)=4cosxsin(x−π6)+1=4cosx(sinxcosπ6−cosxsinπ6)+1=4cosx(√32sinx−12cosx)+1=2√3sinxcosx−2cos2x+1=√3sin2x−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)=2sin(2x−π6)．…………………………………………………………………..（9分）所以f（x）的最小正周期T=2π2=π．…………………………………………………．（10分）因为x∈[0，π]，所以2x−π6∈[−π6，11π6]．列表如下：2x−π6−π60π2π3π211π6x0π12π37π125π6πf（x）-1020-2-1………………………..（13分）【解析】（Ⅰ）根据公式直接代入求解即可．（Ⅱ）利用辅助角公式进行化简，结合五点法作图进行作图即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d．由a1+a2=6，得a1+a1q=6．因为a1=2，所以q=2．所以a n=a1q n−1=2⋅2n−1=2n．由{S3=3a2,2b1+a3=b4,得{3b1+3d=12,2b1+8=b1+3d,解得{d=3.b1=1,所以b n=b1+（n-1）d=3n-2．………..（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n，b n=3n-2．所以c n=b an=3×2n−2．从而数列{c n}的前n项和T n=3×(21+22+23+⋯+2n)−2n=3×2×(1−2n)1−2−2n=6×2n-2n-6．．（13分）【解析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d．利用已知条件列出方程组，求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=3n-2．求出．然后分组求解即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力．17.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”．根据题意，P(A)=410=25．……………………………………………………．（3分）（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A，B，其它三年设为C，D，E，从五年中随机选出两年，共有10种情况：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有7种情况，所以该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率为710．……………………………………………………．（9分）（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．……………．（13分）【解析】（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”．利用古典概型能求出所求概率．（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A，B，其它三年设为C，D，E，从五年中随机选出两年，利用列举法能求出该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率．（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．本题考查概率、方差的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）设AC∩BD=G，连结EG．由已知AB∥CD，DC=1，AB=2，得AGGC =ABDC=2．由PE=13PA，得AEEP=2．在△PAC中，由AEEP =AGGC，得EG∥PC．因为EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PA．由已知得AC=√2，BC=√2，AB=2，所以AC2+BC2=AB2．所以BC⊥AC．又PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面EBC，所以平面EBC⊥平面PAC．（Ⅲ）在平面PAD内作AF⊥PD于点F，由DC⊥PA，DC⊥AD，PA∩AD=A，得DC⊥平面PAD．因为AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF．又PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．由PA=√3，AD=1，PA⊥AD，得cos∠APD=PAPD =PFPA，即√32=PF√3，∴PF=32．【解析】（I）取AC，BD的交点G，连接EG，则可证PC∥EG，故而PC∥平面BDE；（II）证明BC⊥AC，BC⊥PA即可得出BC⊥平面PAC，故而平面PBC⊥平面PAC；（III）在平面PAD内作AF⊥PD于点F，可证AF⊥平面PCD，利用相似比即可求出PF的长．本题考查了线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定，属于中档题．19.【答案】（共13分）解：（I）由题意得{a=2，1a2+94b2=1.解得{a=2，b=√3.所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1．又c =√a 2−b 2=1，所以离心率e =ca =12．………………………..（5分） （II ）设直线PB 的方程为y =kx +m （k ＞0），由{y =kx +m ，x 24+y 23=1消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +（4m 2-12）=0．当△＞0时，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）， 则1⋅x 1=4m 2−123+4k 2，即x 1=4m 2−123+4k 2．将P(1，32)代入y =kx +m ，整理得m =32−k ，所以x 1=4k 2−12k−33+4k 2． 所以y 1=kx 1+m =−12k 2−12k+92(3+4k 2)．所以B(4k 2−12k−33+4k 2，−12k 2−12k+92(3+4k 2))．同理C(4k 2+12k−33+4k 2，−12k 2+12k+92(3+4k 2))．所以直线BC 的斜率k BC =y 2−y1x 2−x 1=12．又直线PA 的斜率k PA =32−01−(−2)=12=k BC ，所以PA ∥BC ． 因为四边形PABC 为平行四边形，所以|PA |=|BC |． 所以|4k 2+12k−33+4k 2−4k 2−12k−33+4k 2|=|1−(−2)|，解得k =32或12.k =12时，B （-2，0）与A 重合，不符合题意，舍去．所以四边形PABC 为平行四边形时，k =32．………………………………（13分） 【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解a ，b ，即可求椭圆M 的方程及离心率； （Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出C 、D 坐标，通过四边形PABC 为平行四边形，转化求k 的值．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 20.【答案】（共14分）解：（I ）f （x ）定义域为（0，+∞）.f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a−2)x−1x=(2x+1)(ax−1)x．由已知，得f '（1）=0，解得a =1． 当a =1时，f′(x)=(2x+1)(x−1)x．所以f '（x ）＜0⇔0＜x ＜1，f '（x ）＞0⇔x ＞1．所以f （x ）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．所以函数f （x ）在x =1时取得极小值，其极小值为f （1）=0，符合题意所以a =1．……………………………………………………………………（5分） （II ）令f′(x)=(2x+1)(ax−1)x =0，由0＜a ＜1，得x =1a ＞1．所以f′(x)＜0⇔0＜x ＜1a ，f′(x)＞0⇔x ＞1a ． 所以f （x ）减区间为(0，1a )，增区间为(1a ，+∞)．所以函数f （x ）在x =1a 时取得极小值，其极小值为f(1a )=lna +1−1a ． 因为0＜a ＜1，所以lna ＜0，1a ＞1． 所以1−1a ＜0．所以f(1a )=lna +1−1a ＜0． 因为f(1e )=ae 2+(a−2)e+1＞(a−2)e+1=(a−2+e)e，又因为0＜a ＜1，所以a -2+e ＞0． 所以f(1e )＞0．根据零点存在定理，函数f （x ）在(0，1a )上有且仅有一个零点． 因为x ＞ln x ，f （x ）=ax 2+（a -2）x -ln x ＞ax 2+（a -2）x -x =x （ax +a -3）． 令ax +a -3＞0，得x ＞3−a a．又因为0＜a ＜1，所以3−a a＞1a ．所以当x ＞3−a a时，f （x ）＞0．根据零点存在定理，函数f （x ）在(1a ，+∞)上有且仅有一个零点．所以，当0＜a ＜1时，f （x ）有两个零点．………………………………（14分） 【解析】（ I ）求出函数的f （x ）定义域为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a 即可． （II ）令，由0＜a ＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的判断定理的应用，考查计算能力．。