8.6椭 圆(人教A版·数学理)

2 2 2
直线 l 与椭圆 C1 相切， 2 2 2 2 ∴Δ=16k m -4(2k +1)(2m -2)=0. 2 2 即 2k -m +1=0. 2 直线 l 与抛物线 C2：y =4x 相切, 则
①
y kx m
2 y 4x
2 2 2
消去 y 得 k x +(2km-4)x+m =0. 2 2 2 ∴Δ=(2km-4) -4k m =0,即 km=1. 由①②解得 k
x 2 y2 x 2 y2 1 B 1 20 19 9 8 x 2 y2 x 2 y2 C 1 D 1 5 4 3 2
A
二、填空题 7.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1,F2 在 x 轴上，离心率为 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 .
x 2 y2 1. 4 3
2.【解析】选 A.因为|a|+|b|=6 表示动点 M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为 6，所以曲线 C 是椭圆， 且长轴长 2a=6,即 a=3， 又 c=2,∴e=
2 . 3
3.【解析】选 B.点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|,又 AM 是圆的半径,∴ |PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由椭圆的定义知,P 的轨迹是椭圆.
此时椭圆方程为
x 2 y2 1. 5 4 x 2 y2 1 (a＞b＞0). a 2 b2
7.【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为
e
2 c 2 , . 2 a 2
根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4, b 2 2，
所以椭圆方程为
x 2 y2 1. 16 8
x 2 y2 4.过椭圆 2 2 1 (a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭 a b
圆的离心率为( )
A
2 2
B
3 3
C
1 2
D
1 3
5.已知 F1,F2 分别是椭圆
x 2 y2 1 (a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点 B 也在 a 2 b2 2 , 则直线 AB 的方程 2
到四边形 PQSR 一边的距离为 d,试求 d=1 时 a,b 满足的条件.
答案解析 1.【解析】选 A.圆 C 的方程可化为(x-1) +y =16. 知其半径 r=4, ∴长轴长 2a=4,∴a=2. 又e
2 2
c 1 , a 2
2 2 2
∴c=1,b =a -c =4-1=3, ∴椭圆的标准方程为
(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为
(2)在(1)的条件下，设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B，且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐 标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (3)过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆
x 2 y2 1 (a＞b＞0)相交于 P，S，R，Q 四点，设原点 O a 2 b2
一、选择题 1.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 程是( )
1 , 且它的长轴长等于圆 C:x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭圆的标准方 2
x 2 y2 1 4 3 x2 C y2 1 4
A
x 2 y2 1 16 12 x 2 y2 D 1 16 4
当 P 不在 y 轴上时，设直线 PS 的斜率为 k,P(x1,kx1),则直线 RQ 的斜率为
.
轴左侧交于 A,B 两点，若△F2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于 三、解答题 10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1:
x 2 y2 1 (a＞b＞0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 a 2 b2
C1 上, (1)求椭圆 C1 的方程. 2 (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y =4x 相切，求直线 l 的方程.
椭圆上，且满足 OA OB 0 (O 为坐标原点)， AF2 F1F2 0， 若椭圆的离心率等于 是( )

2 x 2 3 C y x 2
A y
B y
2 x 2 3 D y x 2
)
6.以 F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线 x-y+3=0 有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(
∵Δ=(16k) -4×12(1+4k )＞0,
2 2
3 3 ) ( , ).① 2 2 16k 又x1 x 2 , 1 4k 2 12 x1 x 2 , 1 4k 2 由0＜AOB＜90 OAOB ＞0, OAOB x1x 2 y1 y 2＞0, 所以OAOB x1x 2 y1 y 2 k (,
11.已知椭圆 C：
x 2 y2 6 3 1 ,且经过点( ， ). 2 1 (a＞b＞0)的离心率为 2 a b 3 2 2
(1)求椭圆 C 的方程. (2)过点 P(0，2)的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求△A已知椭圆 C：
x 2 y2 1 (a＞b＞0). a 2 b2 3 , 求椭圆的标准方程. 2
b2 b2 4.【解析】选 B.由题意知点 P 的坐标为 ( c, )或( c, ), 因为∠F1PF2=60°，那么 a a 2c 3 这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为 3， 2ac 3b 2， . 2 b 3 a
5.【思路点拨】由 OA OB 0 知，A,B 两点关于原点对称，设出 A 点坐标,利用向量列方程求解. 【解析】选 A.设 A(x1,y1)，因为 OA OB 0， 所以 B(-x1,-y1), AF2 =(c-x1,-y1)， F1F2 =(2c,0)， 又因为 AF2 F1F2 =0，所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0，即 x1=c，代入椭圆方程得 y1
=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) 2 =(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4, ∴-2＜k＜2. ② 由①②得 k∈ ( 2,
3 3 ) ( , 2). 2 2 x y 1 1 1,由d 1得 2 2 1, a b a b
(3)由椭圆的对称性可知 PQSR 是菱形,原点 O 到各边的距离相等. 当 P 在 y 轴上，Q 在 x 轴上时，直线 PQ 的方程为
2
设 k -1=t(t＞0), 则(x1-x2) =
2
36t
3t 4
2

36 36 3 . 16 9t 24 2 9t 16 24 4 t t
当且仅当 9t
16 4 3 . , 即t 时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值 t 3 2
12.【解析】(1)由已知 2a=4,∴a=2, 又e
2
2 2 2
c 3 x 2 y2 c 2 3c 2 因 , c) 在椭圆 2 2 1 上，所以 2 2 1， 2 2 a b 4a 4b
3 1或e 3 1(舍 )．
答案： 3 1 【误区警示】本题易出现答案为 3 1或 3 1 的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的 范围. 10.【解析】(1)由题意得 c=1,b=1, a
②
2 2 , m 2; k , m 2. 2 2 2 2 x 2, y x 2. 2 2 a 2 b2 b2 2 b 1 1 ,得 ① 2 2 a a 3 a 3 9 1 2 1 2 4a 4b
②
所以直线 l 的方程 y
11.【解析】(1)由 e
2
由椭圆 C 经过点( ， )，得 联立①②,解得 b=1,a= 3 ,
3 1 2 2
所以椭圆 C 的方程是
x2 y 2 1. 3
(2)易知直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y=kx+2. 2 2 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 y 得(1+3k )x +12kx+9=0. 2 2 2 令Δ=144k -36(1+3k )＞0，得 k ＞1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 所以 S△AOB=|S△POB-S△POA| =
答案:
x 2 y2 1 16 8
8.【解析】因为|OM|=3,数形结合得|PF2|=6, 又|PF1|+|PF2|=10, ∴|PF1|=4. 答案:4 9.【解析】因为△F2AB 是等边三角形，所以 A( 为 c =a -b ， 4 2 2 4 4 2 所以，4a -8a c +c =0，即 e -8e +4=0， 所以， e 4 2 3，e
c 3 , c 3. a 2
2 2 2
因此,b =a -c =4-3=1,
x2 ∴椭圆的标准方程为 y 2 1. 4
(2)显然直线 x=0 不满足题设条件， 可设直线 l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
x2 y2 1 由 4 得(1+4k2)x2+16kx+12=0. y kx 2
2 . 过 F1 的直线 l 交 C 2
x 2 y2 8.设 F1,F2 分别是椭圆 1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM|=3，则 P 点到椭 25 16
圆左焦点距离为 9.已知 F1,F2 分别是椭圆 .