人教版数学必修一 实验A版 第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点1

M
祝同学们段考取得优异成绩
△>0
△=0
△＜0
没有实数根
y
两个不相等 有两个相等的 方程ax 方程 2 +bx+c=0 的实数根x 的实数根 1 、x2 实数根 1 = x2 实数根x (a≠0)的根 的根
y y
函数y= ax2 +bx 函数 +c(a≠0)的图象 的图象
x1
0
x2
x
0 x1
x
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
1、求下列函数的零点： 求下列函数的零点： (1)y=- +6x+7； 4x。 (1)y=-x2+6x+7； (2)y=x3-4x。 若函数f(x)=x ax- 的两个零点是2 2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25 + b 2。 3.课本92面习题 课本92面习题A 3.课本92面习题A组1.2
[ 2, 4] 上是否也具有这种特点呢？
结 论
如果函数 y = f (x)在区间[ a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) < 0，那么，函数 y = f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点，
即存在 c∈( a,b) ，使得 f (c) = 0，这个 c也就是方程 f (x) = 0的根。
探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) = x 2 x 3 的 图 象，如右图，我们发现函数 f ( x) = x2 2 x 3在
2
y 5 4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
区间 [ 2,1] 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2
例
a
b
a
b
a
b
a
b
例
求函数 f ( x) = Inx + 2 x 6的零点个数。
练习： 练习：
2 1．函数 f ( x) = Inx 的零点所在的大致区间是（ ） x 1 A． (1,2 ) B． ( 2,3) C． 1, 和 ( 3,4 ) D． ( e, +∞ ) e
2．若方程 2ax2 x 1= 0在 ( 0,1) 内恰有一解，则 a的取值范围（ ）
x2－2x+3=0 x －2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3 － x2－2x－3=0 －
2
y y y
.
2
－1
. .
1
. .
－1
2 1
. . .
1
.
3 2
5
0
1 2
3
x
－1
.
4
.
2

1
.
.
－3 －4
－2
0
x
－1
1
.
0
2
3
x
－ 方程的实数根 x1=－1,x2=3
(x1,0)
没有交点
函数零点的定义： 函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使 我们把使f(x)=0的实数 叫做函数 的实数x叫做函数 对于函数 我们把使 的实数 y=f(x)的零点。 的零点。 的零点 注意： 零点指的是一个实数； 零点指的是一个实数；
零点是一个点吗?
方程 函数 函 数 的 图 象
函数的图象 与x轴的交点
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
(－1,0)、(3,0) － 、
等价关系 方程f(x)=0有实数根 有实数根 方程 函数y=f(x)的图象与 轴有交点 的图象与x轴有交点 函数 的图象与 函数y=f(x)有零点 有零点 函数
课堂练习： 课堂练习：
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： ）－x （1）－ 2＋3x＋5＝0； ）－ ＋ ＝ ； ＝－3； （2）2x(x－2)＝－ ； ） － ＝－ （3） x2 ＝4x－4； ） － ； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5. ） ＝
. . .
它与x轴只有一个交点，所以 它与 轴只有一个交点， 轴只有一个交点 方程x － 有两个相等的实 方程 2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。 数根。
－1
.4
3 2 1
0
1
2 3 4
x
课堂练习
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5 ＝ 1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为 解 ＝ 可化为 2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2 2＋ － ＝ ， f(x)=2x 2x－5 , 作出函数f(x)的图象， 作出函数f(x)的图象， f(x)的图象 － 如下： 如下： 它与x轴有两个交点， 它与 轴有两个交点，所以 轴有两个交点 方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 方程 ＝ 有两个不 相等的实数根。 相等的实数根。
－1
y
.
5 4 3 2 1
. . .
.
0
1
2
3
x
课堂练习
1(3) x2 ＝4x－4 － 1(3)解：x2 ＝4x－4可化为 2－4x 解 可化为x － 可化为 ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 ＝ ， ＋ ， 函数f(x)的图象，如下： f(x)的图象 函数f(x)的图象，如下：
.
y
6 5
.
－4 －3 －2 －1
y
4 3 2
.
－1
.
1
0
1 2
.
3
x
－2 －3 －4 －5 －6
.
课堂练习
拓展：求下列函数的零点。 拓展：求下列函数的零点。 ①y＝lgx ＝ ③y＝2x ＝ ②y＝lg2(x＋1) ＝ ＋ ④y＝2x－2 ＝
评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般 可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的 根，从而得出函数的零点。
－2 －1
8
. . .
6
4
2
.
0
1 2
3 4
.
x
课堂练习
1(2) 2x(x－2)＝－ － ＝－ ＝－3 1(2)解：2x(x－2)＝－ 可化为 解 ＝－3可化为 － ＝－ 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋ ＝ ， 作出函数f(x)的图象,如下 f(x)的图象 如下： ＋3 , 作出函数f(x)的图象 如下： 它与x轴没有交点， 它与 轴没有交点，所以方程 轴没有交点 2x(x－2)＝－ 无实数根。 ＝－3无实数根 － ＝－ 无实数根。
1(1) －x2＋3x＋5＝0 ＋ ＝ 1(1)解 1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, f(x)=－ ＋ 作出函数f(x)的图象，如下： f(x)的图象 作出函数f(x)的图象，如下：
y
它与x轴有两个交点，所以 它与 轴有两个交点， 轴有两个交点 方程－ 有两个不 方程－x2＋3x＋5＝0有两个不 ＋ ＝ 有两个 相等的实数根。 相等的实数根。
A． a < 1 B． a > 1 C． 1 < a < 1 D． 0 < a < 1
分析：令 f (x) = 2ax2 x 1在( 0,1) 内恰有一解，则 f (0) f (1) < 0。
即 1 ( 2 a 2 ) < 0
∴a > 1
课堂小结：
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系； 3、确定函数的零点的方法。 课后作业： 课后作业：
方程的根 和 函数的零点
思考：一元二次方程 思考： ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？ 的图象有什么关系？
方程 函数 函 数 的 图 象
x2－2x+3=0 x －2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3 － x2－2x－3=0 －
2
y y y
.
2
－1
. .0
－3 －4
1
－1 －2
. .
1 2 3
2 1
. . .
1
.
3 2
5
x
－1
.
4
.
2
.
1
.
2
.
0
x
－1
1
.
0
3
x
方程的实数根 x1=－1,x2=3 － 函数的图象 与x轴的交点
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
(－1,0)、(3,0) － 、
判别式△ 判别式△ = b2－4ac