机构学和机器人学3运动学中的矩阵法
矩阵论论文-旋转矩阵在机器人运动学中的应用
旋转矩阵在机器人运动学中的应用摘要：旋转矩阵是机器人学的重要的数学工具，在机器人运动学中应用甚广，非常适合机器人的机构描述与运动学分析。
在介绍有关性质的基础上，本文还给出了部分算例，可为机器人学科的教学与科研提供有一的支持。
关键词：旋转矩阵机器人运动学引言：机器人机构的运动学和动力学分析涉及到各个关节的空间位置和姿态以及关节之间的空间关系。
矩阵的旋转变换不仅仅应用到机器人上，还涉及到了很多领域，比如彩票，再次不对此进行深入分析。
正文：首先介绍下机器人坐标系统，刚体运动是指物体上任意亮点之间距离保持不变的运动，机器人运动学、动力学及其控制，实质上就是研究刚体运动的问题。
其次介绍下几个概念：位置和姿态：要全面的确定一个刚体在三位空间的状态就需要有三个位置的自由度和三个姿态自由度。
刚体姿态的描述可以是用：横滚、俯仰和侧摆来实现，我们将物体的六个自由度的状态成为物体的位姿。
刚体运动的坐标表示：早在19世纪初期，Chasles已经证明：刚体从一位置到另一位置的运动可通过绕某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动得到。
在基坐标系B和手坐标系H的原点补充和，且姿态也不同的情况下r0,r,rp,R的含义如下图：：规定一个过度坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B保持一致。
可得到rp=ro+rc=r0+Rr.齐次坐标变换：在此我们不再介绍齐次坐标的由来，由齐次坐标得到的上面r到rp的变换的表达式为：T矩阵为齐次变换矩阵，建成齐次矩阵。
齐次矩阵T是个4x4的矩阵，一般的能够用来表示平移、旋转、伸缩的变换。
可以把T的4部分表示为：其中R3x3是表示两坐标系间的旋转关系的旋转矩阵，f1x3矩阵表示沿3根坐标轴的透视变换，f3x1=[a b c]的转置，表示两坐标系间的平移，右下角的演艺元素矩阵k1x1为使物体产生总体变换的比例因子，在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取1，征缴变换都是线性变换，故其次变换是用其次平移变换也可以解释为两个向量之和。
齐次变换矩阵在机器人运动学中的应用
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}
机器人学的矩阵
机器人学的矩阵《机器人学中的矩阵：一份超有趣的指南》嘿，朋友，今天咱们来唠唠机器人学里的矩阵这玩意儿。
你可别一听矩阵就觉得头疼，其实没那么可怕的。
我有个朋友小李，那家伙刚开始接触机器人学的时候，看到矩阵就像看到外星符号一样。
有一次我们在一块儿学习，他瞅着那些方方正正的矩阵数字，眼睛都快瞪出来了。
他就特无奈地跟我说：“这矩阵到底是个啥呀，就一堆数字摆这儿，能有啥用？”我就笑他，我说：“你可别小瞧这堆数字，这矩阵啊，就像是机器人的魔法密码。
”在机器人学里呀，矩阵就像一个超级管家。
比如说机器人的运动控制。
我另一个朋友小张，他在搞一个小机器人项目，想要让机器人的手臂精准地抓取东西。
这时候矩阵就派上大用场了。
机器人手臂每个关节的运动，都可以用矩阵来描述呢。
我就跟小张说：“你看啊，这矩阵就像给机器人手臂的每个关节都画了一张详细的地图，告诉它怎么动，动多少。
”小张一开始还半信半疑，等他慢慢把矩阵运算搞明白后，那机器人手臂就像被施了魔法一样，精准地抓取东西，他可高兴了，还说：“哎呀，这矩阵还真神了。
”再说说机器人的坐标变换。
想象一下，机器人在一个空间里活动，它得知道自己在啥位置吧，还得知道周围东西的位置。
这时候矩阵就像一个翻译官。
我和我的同学们一起讨论这个事儿的时候，有个同学就说：“这就好比我们在一个迷宫里，矩阵就是那个给我们指出哪条路通向哪儿的小箭头。
”不同的坐标系之间的转换，靠的就是矩阵这个神奇的工具。
比如说从机器人自身的坐标系转换到世界坐标系，矩阵就把这两个看似不同的世界给连接起来了。
还有机器人的视觉处理方面。
我认识一个搞机器人视觉的大神老王。
他跟我说，在处理图像的时候，矩阵就像一个大筛子。
图像里的每个像素点都可以看成是矩阵里的一个元素。
老王说：“你知道吗？就像我们挑豆子一样，通过矩阵的运算，我们可以把图像里有用的信息筛选出来，把那些没用的杂质去掉。
”比如说要识别图像里的一个物体，矩阵就能够通过各种变换和计算，把这个物体的特征凸显出来，就像在一堆豆子里准确地挑出那颗特别的豆子。
机器人运动分析中的矩阵变换(PPT52页)
▲雅可比矩阵的定义 ▲微分运动与广义速度 ▲雅可比矩阵的构造法 ▲PUMA560机器人的雅可比矩阵 ▲逆雅可比矩阵 ▲力雅可比矩阵
上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐 次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立 了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解， 建立了操作空间与关节空间的映射关系。
本章将在位移分析的基础上，进行速度分 析，研究操作空间速度与关节空间速度之间 的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空 间之间的速度线性映射关系，同时也用来表 示两空间之间力的传递关系。
oz
az
0
0
0
ddi
对于移动关节
nz
oz
T
Ji
az
0
0
0
对于转动关节
(P n)z
(
P
0)
z
T
Ji
(
P
a) nz
z
oz
az
例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比 有6列。此处用矢量积法计算J(q)
J ( q) J1 J2
J6
ny oy ay
( (
P P
n) o)
z z
d d
x y
(
P
a) nz
z
d
z
x
oz
y
az z
简写为：
T d RT RT S(P) d
T
0
RT
其中，R是旋转矩阵
nx ox ax
R
ny
oy
a
y
.
nz oz az
S(P)为矢量P的反对称矩阵 S(P)矩阵具有以下性质：
机器人学导论 等效旋转矩阵
机器人学导论等效旋转矩阵机器人学导论导论机器人学是研究机器人的运动、感知、决策和控制等方面的一门交叉学科。
它涉及多个领域，如计算机科学、电子工程、力学、控制理论等。
机器人学的目标是设计和开发能够完成特定任务的智能化机器人系统。
等效旋转矩阵等效旋转矩阵是机器人运动中常用的一种表示方法。
它可以将三维空间中的旋转变换表示为一个三维矩阵，从而方便进行运动规划和控制。
1. 旋转矩阵的定义在三维空间中，一个点P(x,y,z) 绕坐标轴分别旋转角度α,β,γ 后得到新点P’(x’,y’,z’)。
则可以通过如下公式计算旋转矩阵R：其中，Rx, Ry, Rz 分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的矩阵，α, β, γ 分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的角度。
2. 等效旋转矩阵的定义在机器人运动中，通常需要将多个旋转变换组合起来来实现特定任务。
这时，可以将多个旋转变换合并为一个等效旋转变换，从而简化运动规划和控制。
等效旋转矩阵的定义如下：其中，R1, R2, …, Rn 分别表示多个旋转变换的旋转矩阵。
3. 等效旋转矩阵的计算方法计算等效旋转矩阵的方法有多种，下面介绍两种常用的方法。
（1）欧拉角法欧拉角法是一种将三个绕不同轴的旋转变换合并为一个等效旋转变换的方法。
具体步骤如下：① 将三个绕不同轴的旋转变换分别表示为三个矩阵R1, R2, R3。
② 将这三个矩阵相乘得到一个等效矩阵R = R3 × R2 × R1。
③ 将等效矩阵R分解为三个绕不同轴的旋转变换，即可得到欧拉角表示。
（2）四元数法四元数法是一种将多个旋转变换合并为一个等效旋转变换的方法。
具体步骤如下：① 将多个旋转变换分别表示为四元数q1, q2, …, q n。
② 将这些四元数相乘得到一个等效四元数q = qn × … × q2 × q1。
③ 将等效四元数q转换为等效旋转矩阵即可。
4. 总结等效旋转矩阵是机器人运动中常用的一种表示方法，它可以将多个旋转变换合并为一个等效变换，从而方便进行运动规划和控制。
机器人运动学雅克比矩阵第8讲机器人的微分运动与速度
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度V 的传递 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q?i 对手爪
角速度 ? 的传递比，因此将 J 分块为：
?V?
??? ??
?
?J i1 ??J a1
Ji2 Ja2
? ?
?q?1 ?
J in Ja2
三逆雅可比矩阵及奇异性雅可比矩阵的奇异性由此可见当雅可比矩阵的行列式为0时既使手爪的速度为一个定值关节速度也将趋于无穷大最终结果会导致关节及该关节的驱动装置损坏
第八讲 机器人的雅可比矩阵 与速度分析
（一）雅可比矩阵的定义 （二）雅可比矩阵的构造法 （三）逆雅可比矩阵 （四）力雅可比 （五）加速度关系
（一）雅可比矩阵的定义
? 把机器人关节速度向量 q?i 定义为：
q? ? ?q?1 q?2 ? ? q?n T
式中，q?i (1,2,? , n) 为连杆 i 相对于
i ? 1的角速度或线速度。
? 手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
? ? V
?
?v?
???
? ?
?
x?
y?
z? ? x
?y
?z T
? q? 与 V之间的线性映射关系称为
比矩阵来确定关节速度向量。
? 当 J 是方阵时，可对J 直接求逆，得到 J ?1?q?，但比较困
难。
? 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 J ?1?q?。
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系 X正向 以1.0m/s 的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ 1＝ 30°，θ 2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。
用矩阵法求解平面连杆机构运动的
用矩阵法求解平面连杆机构运动的方法说明1. 用矩阵法建立平面连杆机构的运动方程式为0f =1）位置方程 （1） 1A B ωω=2）速度方程 （2）1B A A αωω=−+&&3）加速度方程 （3）n n ×式中 —─机构从动件位置参数矩阵，A 阵，即速度及加速度方程中的系数矩阵；——机构原动件1的位置参数列阵；B ω及α——机构从动件的角速度及角加速度列阵。
位置方程（1）为非线性方程组，可用牛顿迭代法求解；速度方程（2）及加速度方程（3）均为线性方程组，可用高斯消去法求解。
求解计算程序框图如图c 所示。
此时需分别编制位置方程（1）的计算矩阵及和列阵及的子程序。
A&A B B &2.牛顿迭代法牛顿迭代法是解非线性代数方程最常用的方法。
该方法是基于非线性方程组中各方程在一点0f =0i f =i x 的邻域内按泰勒级数展开的线性近似表达式111()() (12i N i i i i i i N i Nf f f )f x x f x x x x i N x x x ∂∂∂+Δ=+Δ+⋅⋅⋅+Δ+⋅⋅⋅+Δ=⋅⋅⋅∂∂∂、、、 （4） i x i x i x Δ(i i i )f x x +Δ如果给出一组初值，若能确定的修正量使得上述函数趋于零，便可求得方程的近似解0i f =1i i i x x +=+Δx i x Δ，这样就将方程组的求解问题转化为求修正量的问题，即求下列线性方程组的解111121122221212 = N N N N N N N N f f f x x x 2x f f f f x f x x x x f f f f x x x ∂∂∂∂∂∂Δ−∂∂∂⋅⋅⋅Δ−∂∂∂Δ−∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M M M M M M L （5） 将1i i i x x +=+Δx i x Δi f 值又作为新的初始值，重复上述过程，直到所有的修正量（或值）都达到充分小时终止这个过程，即满足i f ≤i x Δ≤1i x +Δ允差（或允差），此时的一组值即为非线性方程组的近似解。
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机器人学是研究机器人的机械结构、运动规划、感知与控制等方面的学科。
作为人工智能和自动化领域的重要分支，机器人学在工业、医疗、农业、航空航天等领域有着广泛的应用。
本文旨在介绍机器人学中的一个重要概念——变换矩阵。
变换矩阵能够描述机器人在三维空间中的位置和姿态，是机器人学中的核心概念之一。
通过对变换矩阵的研究，可以帮助我们更好地理解机器人的运动规划、姿态表示以及感知与控制等问题。
在本文中，我们将从机器人学基础开始，介绍机器人学的概述和机器人的运动学知识。
然后，我们将详细讨论变换矩阵的应用，包括机器人姿态表示、运动规划以及感知与控制等方面。
最后，我们将介绍变换矩阵的计算方法，包括坐标系变换、旋转矩阵与平移矩阵以及变换矩阵的乘法与逆矩阵等内容。
通过本文的阅读，读者将能够了解机器人学中的变换矩阵的概念、应用和计算方法。
同时，我们也将对变换矩阵的未来发展进行展望，并总结本文的内容。
机器人学的研究对于推动自动化技术的发展具有重要的意义，希望本文能够为读者对机器人学的研究和应用提供一定的帮助和启示。
*（请注意，以上内容仅为示例，具体内容需要根据文章内容和结构进行编写）*文章结构是指文章按照一定的组织方式和逻辑顺序来呈现内容的方式。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 机器人学基础2.1.1 机器人学概述2.1.2 机器人运动学2.1.3 机器人学中的变换矩阵2.2 变换矩阵的应用2.2.1 机器人姿态表示2.2.2 机器人运动规划2.2.3 机器人感知与控制2.3 变换矩阵的计算方法2.3.1 坐标系变换2.3.2 旋转矩阵与平移矩阵2.3.3 变换矩阵的乘法与逆矩阵3. 结论3.1 总结3.2 对变换矩阵的展望3.3 结束语本文的结构按照从前到后的逻辑顺序组织，首先通过引言部分引入了文章的背景和目的，然后在正文部分逐步介绍了机器人学的基础知识、变换矩阵的应用以及计算方法，最后在结论部分进行总结，并对变换矩阵的未来发展进行展望，并以结束语作为文章的结尾。
机器人旋转变换矩阵和平移变换矩阵物理意义
机器人旋转变换矩阵和平移变换矩阵物理意义机器人旋转变换矩阵和平移变换矩阵的物理意义机器人旋转变换矩阵和平移变换矩阵是机器人控制中的重要概念，它们描述的是机器人在关节空间内的变换关系，是机器人形状变换的基础。
本文将从物理意义和数学推导这两个方面来详细阐述旋转变换矩阵和平移变换矩阵的意义。
一、旋转变换矩阵的物理意义旋转变换矩阵是机器人运动学中的重要概念，它主要用于描述机器人各关节之间在关节空间内的相对旋转关系，并能有效地表示机器人关节的空间位置和姿态。
旋转变换矩阵是一个3×3矩阵，它可以用以下公式表示：R= [Ri] = [a1 a2 a3]其中Ri就是机器人每个关节之间的相对旋转矩阵，它表示关节之间绕着指定轴的旋转角度。
特别地，旋转变换矩阵还可以用来表示机器人关节的空间位置和姿态。
如果将3 x 3矩阵R视为一个向量，它便可以描述机器人末端的一个三维坐标系。
旋转变换矩阵由四个矩阵元素a,b,c和d构成，a,b和c分别表示x,y,z轴的旋转角度，而d为一个称为“偏转”的矩阵元素，被用来描述“坐标系间的偏移”，也表示机器人末端的空间位置。
旋转变换矩阵还可以用来表示机器人末端的姿态。
机器人末端有两种姿态，一种是末端朝向、即末端的三维空间位置和方向，另一种是机器人轴向、即机器人末端的转向角。
这两种姿态都可以用旋转变换矩阵来描述，a,b,c三个元素表示末端朝向，而d表示机器人轴向。
二、平移变换矩阵的物理意义平移变换矩阵也是机器人运动学中重要的概念，它用来描述机器人各关节之间在关节空间内的相对位移关系，有效能实现机器人从一个空间点移动到另一个空间点的轨迹设计。
同样，平移变换矩阵也是一个3×3矩阵，可以用以下公式表示：T= [Tj] = [q1 q2 q3]其中Tj为机器人每个关节之间的相对位移矩阵，它表示关节之间的位移距离。
特别地，平移变换矩阵可以用来描述机器人末端关节的位移关系，也可以用来表示机器人关节的空间位置和运动轨迹。
机器人的雅可比矩阵
机器人学院
机器人学技术基础
——雅可比矩阵
LOGO
机器人学院
一、引入
Tn T1T2 Tn
运动学方程只限于静态位 置问题的讨论，未涉及机 器人运动的速度、加速度 和力等动态过程。
nx ox ax px
Tn
ny n0z
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
动力学主要研究运动和 力的关系。
Tq F T D
机器人学院
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器 人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ = JTF
式中： JT为n*6阶机器人力雅可 比矩阵，并且是机器人 速度雅可比J的转置矩阵。
它表示静态平衡状态下，操作力 向关节力映射的线性关系。
思考与速度雅可比有什么不同
机器人学院
机器人学院
• 上述计算中，当θ2趋于0°或180°时，机械手的雅可比行列式 为0，其逆不存在，此时机械手处于奇异状态，相应关节速度 将趋于无穷大。
• 从几何上看，机械手完全伸直或完全缩回时，机械手末端丧失 了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操 作空间的自由度将减少。
机器人学院
)
速度雅可比矩阵反映了关节空间的微小 运动dθ与手部空间（操作空间）微小位 移dX的关系。
dX
X
1
d1
X
2
d2
dY
Y
1
d1
Y
2
d2
X
dX dY
1
Y
1