第八章 机器人运动学
机器人运动学
机器人运动学随着科技的不断发展，机器人已经逐渐成为了人们生活中不可或缺的一部分。
机器人的出现不仅改变了人们生活的方方面面，还为工业、医疗等领域带来了巨大的变革。
作为机器人领域的核心技术之一，机器人运动学是机器人技术中的重要组成部分。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学分析、运动规划等方面进行详细的阐述。
一、机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人运动的学科，主要研究机器人的运动规律、运动学模型、运动学分析和运动规划等问题。
机器人运动学的基本概念包括机器人的自由度、坐标系、位姿等。
1. 机器人的自由度机器人的自由度是指机器人能够自由运动的方向和数量。
机器人的自由度通常是由机器人的关节数量决定的。
例如，一个具有6个关节的机器人，其自由度就是6。
机器人的自由度越大，机器人的运动能力就越强。
2. 坐标系坐标系是机器人运动学中的重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
机器人通常使用笛卡尔坐标系或者极坐标系来描述机器人的位置和姿态。
在机器人运动学中，通常使用基座坐标系和工具坐标系来描述机器人的运动。
3. 位姿位姿是机器人运动学中的另一个重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
位姿通常由位置和方向两个部分组成。
在机器人运动学中，通常使用欧拉角、四元数或旋转矩阵来描述机器人的位姿。
二、机器人运动学分析机器人运动学分析是指对机器人的运动进行分析和计算，以确定机器人的运动规律和运动学模型。
机器人运动学分析通常涉及到逆运动学、正运动学和雅可比矩阵等内容。
1. 逆运动学逆运动学是机器人运动学分析中的重要内容，用于确定机器人关节的运动规律。
逆运动学通常包括解析解法和数值解法两种方法。
解析解法是指通过数学公式来计算机器人关节的运动规律，数值解法是指通过计算机模拟来计算机器人关节的运动规律。
2. 正运动学正运动学是机器人运动学分析中的另一个重要内容，用于确定机器人末端执行器的位置和姿态。
正运动学通常包括前向运动学和反向运动学两种方法。
机器人运动学
58
斯坦福机器人反向运动学方程求解
• 已知斯坦福机器人的运动学方程为T6=A1A2A3A4A5A6， 以及T6 矩阵与各杆参数a、α、d，求关节变量θ1~θ6 ， 其中θ3= d3。
• 求θ1：
59
斯坦福机器人反向运动学方程求解
• 求θ1：
• “+”号对应右肩位姿，“-”号对应左肩位姿。60
斯坦福机器人反向运动学方程求解
2 机器人运动学
• • • • 齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述 齐次变换 机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵 机器人运动学方程及其求解
1
齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述 • • • • • 点的直角坐标描述 点的齐次坐标描述 坐标轴方向的齐次坐标描述 动坐标系位姿的齐次坐标描述 对象物位姿的齐次坐标描述
n cos30 cos60 cos90 0 T 0.866 0.500 0.000 0
P 2 1 cos90 0 T 0.500 0.866 0.000 0 a 0.000 0.000 1.000 0
2
点的直角坐标描述
式中：Px、Py、Pz是点P在坐标 系{A}中的三个位置坐标分量。
点的直角坐标描述
3
点的齐次坐标描述
• 齐次坐标的表示不是惟一的，将其各元素同 乘一非零因子ω后，仍然代表同一点P，即
4
坐标轴方向的齐次坐标描述
坐标轴方向的描述
5
• 4 1列阵[a b c w]T中第四个元素不为零，则表示空 间某点的位置； • 4 1列阵[a b c w]T 中第四个元素为零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则表示某轴（矢量）的方向。
44
正向运动学方程求解
机器人运动学课件
轨迹规划实现
坐标系选择
在进行轨迹规划时，需要选择合适的坐标系，如笛卡尔坐 标系和关节坐标系等，以便于描述机器人的运动轨迹和关 节角度。
插值函数选择
选择合适的插值函数能够保证机器人的运动轨迹的光滑性 和连续性，需要根据实际需求和约束条件来确定插值函数 的形式和参数。
插值点选择
选择合适的插值点是实现精确轨迹的关键，需要根据实际 需求和约束条件来确定插值点的数量和位置。
根据不同的分类标准，轨迹规划可以分为多种类型，如基于时间的轨迹 规划、基于空间的轨迹规划、笛卡尔空间的轨迹规划和关节空间的轨迹 规划等。
轨迹规划方法
基于多项式的轨迹规划方法
基于样条曲线的轨迹规划方法
该方法通过使用多项式函数来描述机器人 的运动轨迹，具有简单、易实现的特点， 但可能会产生较大的轨迹误差。
描述机器人末端执行器的 方向变化。
齐次变换矩阵
用于描述平移和旋转的复 合变换，包括旋转和平移 矩阵的组合。
03
机器人运动学方程
齐次变换
齐次变换定义
齐次变换描述了刚体在空间中的位置和姿态，由平移和旋转组成 。
齐次变换矩阵
齐次变换可以用一个4x4的矩阵来表示，该矩阵包含了刚体的位置 信息和姿态信息。
绝对位置
相对于参考坐标系的机器 人位置。
相对位置
相对于机器人上某固定参 考点的位置。
姿态描述
方向描述
描述机器人的朝向，通常使用欧拉角 （俯仰角、偏航角、滚动角）或四元 数表示。
姿态矩阵
通过旋转和平移矩阵描述机器人末端 执行器的姿态。
坐标系转换
平移变换
描述机器人末端执行器在 空间中的位置变化。
旋转变换
根据机器人的关节类型和连接方式， 通过几何关系和运动约束建立机器人 末端执行器的位置和姿态的运动学方 程。
机器人运动学正解逆解-课件
坐标系的确定
1.第一个关节指定为关节 n,第二个关节为n+1,其余 关节以此类推。 2.Z轴确定规则：如果关 节是旋转的，Z轴位于按 右手规则旋转的方向， 转角 为关节变量。如 果关节是滑动的，Z轴为 沿直线运动的方向，连 杆长度d为关节变量。关 节n处Z轴下标为n-1。
y5
O5
关节5 坐标系4
A4
连杆4
d6 z4
O4
z3 y 3
O3
连杆3
关节4 坐标系3
d3 A2 x2 y2
O2
关节3 坐标系2
x3 y4
关节2 坐标系1
A3 z2 A1
O1
连杆2
z5
x4
x5
z1
连杆1
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
y1
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标 系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系
第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式
第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写 入D-H参数表
# 1 2 3 4
d 0 0 0 0
a 0
90 0 0 -90
机器人 运动学
机器人运动学机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科。
它是机器人技术的重要组成部分，对于机器人的设计、控制和应用具有重要意义。
机器人运动学主要研究机器人在空间中的运动规律，包括位置、速度和加速度等。
通过研究机器人的运动学特性，可以实现对机器人的精确控制和规划。
机器人运动学主要包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是指根据机器人关节的位置和长度，求解机器人末端执行器的位置。
它通过解析几何、向量运算和矩阵变换等数学方法，将机器人关节的位置参数转化为末端执行器的位置参数，从而实现对机器人的位置控制。
逆运动学是指根据机器人末端执行器的位置，求解机器人关节的位置和长度。
逆运动学是机器人运动学的核心内容，也是机器人控制的关键问题之一。
通过逆运动学，可以实现对机器人末端执行器的精确控制，从而实现机器人在空间中的精确定位和定向。
机器人运动学的研究还包括机器人的姿态和轨迹规划。
姿态是指机器人在空间中的朝向和姿势，轨迹是指机器人在运动过程中的路径和速度。
通过研究机器人的姿态和轨迹规划，可以实现机器人在复杂环境中的灵活运动和避障控制。
机器人运动学的应用非常广泛。
在工业领域，机器人运动学被应用于自动化生产线的控制和优化，实现了生产效率的提高和生产成本的降低。
在医疗领域，机器人运动学被应用于手术机器人的控制和操作，实现了微创手术和精确手术的目标。
在军事领域，机器人运动学被应用于无人飞机和无人车辆的控制和导航，实现了作战效能的提高和战场风险的降低。
机器人运动学的发展离不开先进的传感器和控制技术的支持。
传感器可以实时感知机器人的位置和环境信息，控制技术可以根据机器人的位置和运动规律，实现对机器人的精确控制和运动规划。
总结起来，机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科，主要包括正运动学、逆运动学、姿态和轨迹规划等内容。
机器人运动学的研究和应用对于机器人技术的发展和应用具有重要意义，将为我们创造更多的便利和机会。
机器人运动学分解
2.2 齐次变换及运算
ｙj ｙi
2018年10月25日6时35分
第2章
机器人运动学
机 2.2.1 直角坐标变换 器 2、旋转变换 人 ④旋转变换矩阵的逆矩阵 旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求 及 出，也可以用逆向的坐标变换求出。 其 以绕z轴旋转θ 角为例，其逆向变换即为绕z轴旋转 -θ角，则其旋转变换矩阵就为： 控 cos sin 0 cos sin 0 制 sin cos 0 z , sin cos 0 z , R R 原 ij ij 0 1 0 1 理 0 0
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：
xi cos x j sin y j 0 z j yi sin x j cos y j 0 z j z 0 x 0 y 1 z i j j j
关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n
运动学方程：
M=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知qi，求M。 逆问题：已知M，求qi。
2018年10月25日6时35分
第2章
机器人运动学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
2.1 机器人的位姿描述 2.2 齐次变换及运算 2.3 机器人运动学方程
2.4 机器人微分运动
习题
2018年10月25日6时35分
第2章
机器人运动学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示
2.1.2 机器人的坐标系
2018年10月25日6时35分
第2章
机器人运动学
机 器 人 及 其 控 制 原 理
机器人运动学
机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的一门学科。
它通过分析机器人的构造和动力学参数，研究机器人在特定环境下的运动规律和遵循的动力学约束，以实现机器人的准确控制和运动规划。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学模型、运动学正解和逆解等方面进行介绍。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是机器人学中的一个重要分支，主要研究机器人在空间中的运动状态、末端执行器的位置和姿态等基本概念。
其中，运动状态包括位置、方向和速度等；末端执行器的位置和姿态是描述机器人末端执行器在空间中的位置和朝向。
通过研究和分析这些基本概念，可以实现对机器人运动的控制和规划。
2. 运动学模型运动学模型是机器人运动学研究的重要工具，通过建立机器人的运动学模型，可以描述机器人在运动过程中的运动状态和姿态变化。
常见的运动学模型包括平面机器人模型、空间机器人模型、连续关节机器人模型等。
每种模型都有其独特的参数和运动学关系，可以根据实际情况选择合适的模型进行分析和研究。
3. 运动学正解运动学正解是指根据机器人的构造和动力学参数，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
具体而言，根据机器人的关节角度、关节长度和连杆长度等参数，可以通过连乘法求解机器人末端执行器的位姿。
运动学正解是机器人运动学中的常见问题，解决这个问题可以帮助我们了解机器人在空间中的运动规律和运动范围。
4. 运动学逆解运动学逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人的关节角度。
反过来，控制机器人的运动状态就需要求解逆运动学问题。
运动学逆解是机器人运动学研究的重要内容之一，它的解决可以帮助我们实现对机器人的准确定位和控制。
总结：机器人运动学是研究机器人运动和姿态变化的学科，通过运动学模型、运动学正解和运动学逆解等方法，可以描述机器人的运动状态、末端执行器的位置和姿态。
深入研究机器人运动学，可以实现对机器人的准确控制和运动规划。
随着机器人技术的不断发展，机器人运动学的研究也得到了越来越广泛的应用和重视。
机器人控制技术运动轨迹
(8.2)
由图8.5可知:
下面通过相对于机械手末端的变换来定义末端执行器, 我们沿着这样的表示习惯: 末端执行器的z轴指向执行任务的方向，而y轴表示手爪的开合方向，于是如图8.6所示的抓手就可描述为 图8.6 手爪变换 (8.3)
我们已经在图8.1中描述了销钉，现在再看一下带有两个孔眼的金属块H。 H的正视图如图8.7所示，借助于变换矩阵HRi（i＝1、2，是孔眼的序号）来描述它的特征。
按照上述描述，机械手的位置由Z来确定，任务的执行就是改变抓手的位置。现在利用下列符号来描述任务的变化: P 销钉在基坐标中的位置； H 带有两孔眼的金属块在基坐标中的位置； H HRi 金属块上第i个孔相对H坐标系的位置； P PG 抓取销钉的抓手相对于销钉的位置； P PA 抓手接近销钉； P PD 抓手提起销钉； HR PHA 销钉接近第i个孔眼； HR PCH 销钉接触孔眼； HR PAL 销钉开始插入； HR PN 插入后的销钉。
z
规定机械手末端执行器（手爪）的一系列位置Pn(见图8.3)，就能把这一任务描述为相应于这些编号位置的机械手运动和动作的序列。
图8.3 末端执行器的位置
MOVE P1 接近销钉 MOVE P2 移动到销钉的位置 GRASP 抓住销钉 MOVE P3 垂直提起销钉 MOVE P4 按一定角度接近孔眼 MOVE P5 接触到孔眼时停止 MOVE P6 调整销钉的位置 MOVE P7 插入销钉 RELEASE 松开销钉 MOVE P8 离开
现在，任务可由一系列变换式来描述，由此解出机械手的控制输入T6 ，这些变换式如下: P1: Z T6 E = P PA 接近销钉 P2: Z T6 E = P PG 到达抓取销钉的位置 GRASP 抓取销钉 P3: Z T6 E = P PD PG 提起销钉 P4: Z T6 E = H HRi PHA PG 接近第i个孔眼 P5: Z T6 E = H HRi PCH PG 接触第i个孔眼 P6: Z T6 E = H HRi PAL PG 插入销钉 P7: Z T6 E = H HRi PN PG 插入完成 RELEASE 松开手爪 P8: ZT6E = H HRi PN PA 回到起
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§8.1.2 运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的两类问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节位移量，求操作 机末端执行器相对于固定参考坐标系的位置和姿态（齐次 变换问题）。
由运动学的观点来看，杆件形态由两个参数决定：杆
件长度 li 和杆件扭转角 αi。杆件的相对位置关系，由另
外两个参数决定：杆件的距离 di 和杆件的回转角 θi 。
li — 关节 Ai 轴和 Ai+1 轴线公法线的长度。
li —
αi— 关节Ai 轴线与Ai+1 轴线在垂直于li 平面内的夹—角a。i
移动关节，怎么建立坐标系？
¾ 先建立 ∑Oi-1 ¾ 然后建立∑Oi+1 ¾ 最后建立 ∑Oi
Ai+1 Ai
杆件 i-1
杆件 i
Ai-1
Oi
Oi-1
注意： • 定义Oi 在 li+1和 Ai+1 轴的交点上，这样使ai=0，计算简便。
§8.4 相邻关节坐标系间的齐次变换过程
——机器人运动学正解
z4
O4
x3
A3
A2
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
A1
O2
x5
o3 , o4 , o5重合
∴d4 = d5 = 0
O1
z1
y1
x1 d2
li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑Oi –1 坐标
¾ 相邻坐标系间变换过程
Ai+1
将xi-1轴绕 zi-1 轴转 θi 角度，将其与xi轴平行；
沿 zi-1轴平移距离 di ，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；
沿 xi 轴平移距离 li， 使两坐标系原点及
Ai-1
Ai
αi zi
yi
x 轴重合；
绕 xi 轴转 αi 角度，
1
⋅
1A2
⋅⋅⋅
A i−1 i
例：Stanford 机器人运动学方程
• 为右手坐标系
A5
A6
y6
z6
• 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴 线的交点
O6
x6
A4
y3
• zi轴：与Ai+1关节轴重 合，指向任意
• xi轴： Zi和Zi-1构成的面 的法线
• yi轴：按右手定则
d6
z3
O3
d3
zi轴： 与Ai+1 关节轴 Ai-1 重合，指向任意
Ai
杆件 i-1
杆件 i
αi zi
yi
xi轴：与公法线 li 重
θ
合，指向沿li 由Ai 轴
线指向 Ai+1 轴线
yi轴：按右手定则
li
xi oi
li−1 di
zi−1 oi−1
yi−1
θi
xi−1
z 杆件长度li — zi-1 轴与 xi 轴交点到 Oi 的距离（zi-1 与zi 轴公垂线长）
运动学逆问题的多解性
机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时 会产生多解.显然对于真实的机器人，只有一组解与 实际情况相对应，因此必须作出判断，以选择合适的 解。
通常采用如下方法剔除多余解：
1．根据关节运动空间合适的解。例如求得机器人某 关节角的两个解为
θ i1 = 40 0
θ i 2 = 40 0 + 180 0 = 220 0
第八章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考 系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不 考虑引起这些运动的力和力矩
将机器人的空间位移解析地表示为时间的函 数，研究机器人关节变量和机器人末端执行器 位置和姿态之间的关系
§8.1 机器人运动学所讨论的问题
§8.1.1 研究的对象
原点Oi：设在 li 与Ai+1 轴线的交点上 zi轴： 与Ai+1 关节轴重合，指向任意 xi轴： 与公法线 li 重合，指向沿 li 由Ai 轴线指向Ai+1 轴线 yi轴： 按右手定则（右手坐标系）
§8.3.2 关节坐标系的建立方法
Ai+1
原点Oi：设在 li 与 Ai+1 轴线的交点上
Ai+1
di — li 和 li-1 在 Ai 轴线上的交点之间的距离。
θi — li 和 li-1 之间在垂直 Ai-1 杆件 i-1 Ai
于Ai 平面内的夹角。
杆件 i
αi
li
li−1 di
θi
总结：
上述 4 个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件 相对位置关系。
在转动关节中，li
合。
空腔
空洞
空洞：在 zi轴周围，参考点Pn沿z的全长均不能达到的空间。 空腔：参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空
间。
示例: 平面 3连杆机器人
θ3
θ2
l3
l2
l1
θ1
x = l1 cosθ1 + l2 cos (θ1 +θ2 ) + l3 cos (θ1 +θ2 +θ3 ) y = l1 sinθ1 + l2 sin (θ1 +θ2 ) + l3 sin (θ1 +θ2 +θ3 )
,
α i
,
di
是固定值，θi
是变量。
在移动关节中，li , αi , θi 是固定值， d i 是变量。
角度的度量均按右手定则由小号线转向大号线， 逆时针为正。
§8.3 机器人关节坐标系的建立
对于每个杆件 i 都可以在关节轴处建立一个笛卡儿坐 标系∑ Oi (xi, yi, zi）,（i=1, 2, …, n），n 是自由度数， 再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。
z 杆件扭转角αi — 绕 xi 轴由 zi-1 转向 zi 的角度
z 杆件偏移量di —zi-1 轴和 xi 交点至 Oi –1 的距离（xi-1与xi 轴公垂线长）
z 杆件回转角θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi 的角度
两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？
¾ 先建立 ∑Oi-1 ¾ 然后建立∑Oi+1 ¾ 最后建立 ∑Oi
φ = θ1 +θ2 +θ3
l1 > l2 > l3, l1 > l2 + l3
如何确定可达空间?首先，令 θ3变化
然后 θ2变化
最终，变化θ1
§8.6 运动学逆问题
正运动学问题: 已知关节角度或位移，计算末端操作手
的对应位姿.
逆运动学问题: 已知末端操作手的位姿，求解对应的关
节变量.
¾ 逆运动学的定义
4．逐级剔除多余解
对于具有n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。 为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中 选择合适的解。
Ai-1
Ai
Ai+1
Ai+2
注意：
z 由于Ai 和 Ai+1平行，所以公 法线位置任意，如A点位置。
yi-1 zi-1
li-1
Oi-1xi-1
di
A
D
zi
yi
di+1 B yi xi C Oi xi
zi+1 li+1
yi+1 Oi+x1 i+1
z 按照先前的定义，di 为Oi-1点和A点之间的距离，di+1为B点和C点间 的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将Oi点放在C 点时d，i=定Ouu义iu-1uDuvOi。在li+1和Ai+1轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此
¾ 逆运动学的存在性 ¾ 逆运动学的可解性
How do I put my hand here?
¾ 逆运动学的多解性（剔除办法）
¾ 逆运动学解法（数值解、解析解）
Inverse Kinematics: Choose these angles!
运动学逆问题
解的存在性
目标点应位于工作空间内 工作空间的计算通常较困难，通过机器人结构设
两坐标系完全重合。 —以上组合变换描述如下：
li−1 di
zi−1
yi−1
θi
xi−1 Oi−1
A i−1 i
=
R(zi−1,θi )Trans(zi−1, di )Trans(xi , li )R(xi ,αi )
¾ D-H变换矩阵
A i−1 i
⎡cos θ i
=
⎢ ⎢
sin
θi
⎢0
⎢ ⎣
0
− sinθi cos θ i
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ 1⎥⎦
⎡cos θ i
=
⎢ ⎢
sin
θ
i
⎢0
⎢ ⎣
0
− cosα i sinθi cosα i cosθi
sin α i
0
sin α i sinθi − sin α i cosθi
cosα i
0
ai cosθi ⎤
ai