2009年山东省济南市中考数学试卷

2009年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）﹣2的绝对值的结果是．2．（4分）图中几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于G、H．∠AGE=60°，则∠EHD的度数是（）A．30°B．60°C．120° D．150°4．（4分）估计20的算术平方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间5．（4分）2009年10月11日，第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局．建筑面积约为359 800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是多少平方米（保留三个有效数字）（）A．35.9×105B．3.60×105C．3.59×105D．35.9×1046．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．67．（4分）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（）A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，308．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．9．（4分）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm210．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.411．（4分）如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a ∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC 重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：1、f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；2、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；3、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以上变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，3） C．（5，﹣3）D．（﹣5，3）二、填空题（共5小题，满分15分）13．（3分）分解因式：x2﹣9=．14．（3分）如图，⊙O的半径OA=5cm，若弦AB=8cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．15．（3分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．16．（3分）“五一”期间，我市某街道办事处举行了“迎全运，促和谐”中青年篮球友谊赛．获得男子篮球冠军球队的五名主力队员的身高如下表：（单位：厘米）号码4791023身高178180182181179则该队主力队员身高的方差是厘米2．17．（3分）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD=60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB=1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为米．（精确到0.1米，≈1.73）．三、解答题（共7小题，满分57分）18．（7分）（1）计算：（x+1）2+2（1﹣x）；（2）解分式方程：．19．（7分）（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF；（2）已知，如图②，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O 于点D，CO的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C 的度数．20．（8分）有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．（1）写出k为负数的概率；（2）求一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）21．（8分）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：职工甲乙月销售件数（件）200180月工资（元）18001700（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？22．（9分）已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．23．（9分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N 同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．24．（9分）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m 之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2009年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）﹣2的绝对值的结果是2．【分析】根据绝对值的定义直接求得结果．【解答】解：﹣2的绝对值是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．（4分）图中几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据实物的形状和主视图的概念判断即可．【解答】解：图中几何体的主视图如选项B所示．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．3．（4分）如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于G、H．∠AGE=60°，则∠EHD的度数是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【分析】欲求∠EHD的度数，须先求∠EHC的度数，这需看∠EHC和已知条件∠AGE是什么关系，由题中已知条件知，∠EHC和∠AGE为同旁内角，根据平行即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，所以∠EHC=∠AGE=60°，∴∠EHD=180°﹣∠EHC=180°﹣60°=120°．故选C．【点评】解答这类题常因对平行线的性质掌握不熟练而选错．特别注意弄清两个角之间的位置关系．4．（4分）估计20的算术平方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．【解答】解：∵16＜20＜25，∴＜＜，∴4＜＜5．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（4分）2009年10月11日，第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局．建筑面积约为359 800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是多少平方米（保留三个有效数字）（）A．35.9×105B．3.60×105C．3.59×105D．35.9×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的开始，后面所有的数都是有效数字．【解答】解：359 800=3.59800×105=3.60×105．故选B．【点评】此题考查科学记数法、有效数字的概念．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．有效数字则是左边第一个不是0的数起到精确到的位数止，只与a有关，取舍时要注意遵循四舍五入的原则．6．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．6【分析】依据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2=﹣，这里a=1，b=﹣5，据此即可求解．【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2=5．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答这类题学生常常因记不准确上面的根与系数的关系式而误选C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．7．（4分）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（）A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，30【分析】由图提供的信息可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．【解答】解：根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．故选C．【点评】本题考查了众数和中位数的概念．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．8．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【分析】先求出每个不等式的解集再求出其公共解集．【解答】解：该不等式组的解集为1＜x≤2，故选C．【点评】本题考查了不等式组解集表示．按照不等式的表示方法1＜x≤2在数轴上表示如选项C所示，解答这类题时常常因表示解集时不注意数轴上圆圈和黑点所表示意义的区别而误选D．9．（4分）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm2【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：∵OB=6，OC=8，∴BC==10cm，∴圆锥的底面周长是2π×6=12πcm，∴这个漏斗的侧面积为S=×BC×12π=60π（cm2）．故选C．【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算的知识，解答这类题往往因为扇形的面积公式记不准确而误选其它选项．10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4【分析】利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．【解答】解：连接EC，由矩形的性质可得AO=CO，又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC=AE，设AE=x，则ED=AD﹣AE=5﹣x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2=DE2+DC2，即x2=（5﹣x）2+32，解得x=3.4．故选D．【点评】本题考查了利用线段的垂直平分线的性质、矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．11．（4分）如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a ∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC 重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．【解答】解：根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积，②F、A重叠之后到E与A重叠前，设AE=a，EF被重叠部分的长度为（t﹣a），则重叠部分面积为S=（t﹣a）•（t﹣a）tan∠EFG=（t﹣a）2tan∠EFG，∴是二次函数图象；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，﹣（t﹣a）2tan∠EFG，符合二④F与B重合之后，重叠部分的面积等于S=S△EFG次函数图象，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象，学会分段讨论是解题的关键，需要构建函数解决问题，属于中考常考题型．12．（4分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：1、f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；2、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；3、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以上变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，3） C．（5，﹣3）D．（﹣5，3）【分析】先根据题例中所给出点的变换求出h（5，﹣3）=（﹣5，3），再代入所求式子运算f（﹣5，3）即可．【解答】解：按照本题的规定可知：h（5，﹣3）=（﹣5，3），则f（﹣5，3）=（5，3），所以f（h（5，﹣3））=（5，3）．故选B．【点评】本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力，解答时注意按照从里向外依次求解，解答这类题往往因对题目中的规定的含义弄不清楚而误选其它选项．二、填空题（共5小题，满分15分）13．（3分）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．14．（3分）如图，⊙O的半径OA=5cm，若弦AB=8cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为3cm．【分析】根据当点P到圆心O的最短距离时，OP⊥AB，再利用勾股定理求出即可．【解答】解：∵当点P到圆心O的最短距离时，OP⊥AB，∵⊙O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，P为AB上一动点，∴点P到圆心O的最短距离为：PO==3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理和垂线段最短问题，得出当点P 到圆心O的最短距离时，OP⊥AB是解决问题的关键．15．（3分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．【分析】先结合图，根据勾股定理易求OA、OB、AB，从而可知△AOB是等腰三角形，进而可求其AB上的高，利用三角形的面积公式易求OA上的高，再利用勾股定理可求BE，利用余弦定义可求cos∠AOB．【解答】解：过B作BE⊥OA于E，过O作OD⊥AB于D，设每一格的边长是1，则OB==2，同理OA==2，AB==2，∴OA=OB，∵OD⊥AB，∴AD=BD=，∴OD==3，∵S=A B•OD=OA•BE△AOB∴2×3=2•BE，∴BE=，在Rt△OBE中，OE==，∴cos∠AOB==．故答案是．【点评】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的计算，解题的关键作辅助线，构造直角三角形．16．（3分）“五一”期间，我市某街道办事处举行了“迎全运，促和谐”中青年篮球友谊赛．获得男子篮球冠军球队的五名主力队员的身高如下表：（单位：厘米）号码4791023身高178180182181179则该队主力队员身高的方差是2厘米2．【分析】先计算出身高的平均数，再根据方差的公式计算．【解答】解：这五个数的平均数是=180，依据方差的计算公式可得这五个数的方差是：S2=[（178﹣180）2+（180﹣180）2+（182﹣180）2+（181﹣180）2+（179﹣180）2]，=×10=2（cm2）．【点评】本题考查了方差的知识，一些同学对方差的公式记不准确或计算粗心而出现错误．17．（3分）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD=60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB=1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为62.1米．（精确到0.1米，≈1.73）．【分析】在Rt△CBD中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△CBD中，DC=BC•sin60°=70×≈60.55（米）．∵AB=1.5，∴CE=60.55+1.5≈62.1（米）．故答案为：62.1．【点评】本题属于基础题，考查了利用三角函数的定义进行简单计算的能力．三、解答题（共7小题，满分57分）18．（7分）（1）计算：（x+1）2+2（1﹣x）；（2）解分式方程：．【分析】（1）完全平方公式展开是三项；（2）两边都乘最简公分母，化为整式方程，再求解．【解答】解：（1）原式=x2+2x+1+2﹣2x=x2+3；（2）去分母得：2（x﹣1）=x﹣3，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是原方程的解．∴原方程的解为x=﹣1．【点评】本题需注意完全平方公式的运用以及分式方程的解法．19．（7分）（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF；（2）已知，如图②，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O 于点D，CO的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C 的度数．【分析】（1）先证明△BCF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得出：AE=CF；（2）先求出∠EBO，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可求出∠AOC，从而求出∠C的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∴∠ADE=∠FBC．（1分）在△ADE和△CBF中，∵AD=BC，∠ADE=∠FBC，DE=BF，∴△ADE≌△CBF．（2分）∴AE=CF．（3分）（2）解：∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°．（1分）∵∠ABD=30°，∴∠EBO=∠DBE﹣∠ABD=90°﹣30°=60°．（2分）∵AC是⊙O的切线，∴∠CAO=90°．（3分）又∠AOC=2∠ABD=60°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠CAO=180°﹣60°﹣90°=30°．（4分）【点评】利用了全等三角形的判定和性质，以及切线的性质、圆的直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍．20．（8分）有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．（1）写出k为负数的概率；（2）求一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）【分析】（1）利用概率的计算方法解答；（2）由图表解答．【解答】解：（1）∵共有3张牌，两张为负数，∴k为负数的概率是；（2）画树状图共有6种情况，其中满足一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况有2种，所以一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限的概率为．【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（8分）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：职工甲乙月销售件数（件）200180月工资（元）18001700（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？【分析】（1）可根据列表中给出的条件来列出方程组求解．（2）可依照“职工丙今年六月份的工资不低于2000元”，列出不等式，然后判断出符合条件的答案．【解答】解：（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元由题意得：，解这个方程组得：答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．（2）设该公司职工丙六月份销售z件产品．由题意得：800+5z≥2000，解这个不等式得：z≥240答：该公司职工丙六月至少销售240件产品．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．22．（9分）已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【分析】（1）将A （3，2）分别代入y=，y=ax 中，得ak 的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；（2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x ＜3时，反比例函数的图象在正比例函数的上方；故反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）有S △OMB =S △OAC =×|k |=3，可得S 矩形OBDC 为12；即OC•OB=12；进而可得mn 的值，故可得BM 与DM 的大小；比较可得其大小关系．【解答】解：（1）将A （3，2）分别代入y=，y=ax 中，得：2=，3a=2， ∴k=6，a=，∴反比例函数的表达式为：y=，正比例函数的表达式为y=x ．（2）⇒交点A 为（3，2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x ＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）BM=DM理由：∵MN ∥x 轴，AC ∥y 轴，∴四边形OCDB 是平行四边形，∵x 轴⊥y 轴，∴▱OCDB 是矩形．∵M 和A 都在双曲线y=上，∴BM ×OB=6，OC ×AC=6，∴S △OMB =S △OAC =×|k |=3，又∵S 四边形OADM =6，∴S 矩形OBDC =S 四边形OADM +S △OMB +S △OAC =3+3+6=12，即OC•OB=12，∵OC=3，∴OB=4，即n=4∴m=∴MB=，MD=3﹣=∴MB=MD ．【点评】此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．23．（9分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．【分析】（1）作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【解答】解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．∴KH=AD=3．在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4，BK=AB•cos45°=4=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．又∵∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴，即．解得，．（3）分三种情况讨论：①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t，∴．②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．解法一：由等腰三角形三线合一性质得：EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．在Rt△CEN中，cosC==，又在Rt△DHC中，cosC=，∴．解得t=．解法二：∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC∽△DHC．∴，即．∴t=．③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．解法一：（方法同②中解法一），解得．解法二：∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC．∴，即，∴．综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．【点评】注意梯形中常见的辅助线：平移一腰、作两条高．构造等腰三角形的时候的题目，注意分情况讨论．此题的知识综合性较强，能够从中发现平行四边形、等腰三角形等，根据它们的性质求解．24．（9分）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m 之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）已知抛物线过C（0，﹣2）点，那么c=﹣2；根据对称轴为x=﹣1，因此﹣=﹣1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式．（2）本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点．可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据得出的一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标．（3）△PDE的面积=△OAC的面积﹣△PDC的面积﹣△ODE的面积﹣△AEP的面积△OAC中，已知了A，C的坐标，可求出△OAC的面积．△PDC中，以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出△PDC的面积．△ODE中，可先用m表示出OD的长，然后根据△ODE与△OAC相似，求出OE 的长，根据三角形的面积计算公式可用m表示出△ODE的面积．△PEA中，以AE为底边（可用OE的长表示出AE），P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出△PEA的面积．由此可表示出△ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式．然后根据函数的性质求出三角形的最大面积以及对应的m的值．【解答】解：（1）由题意得，解得，∴此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．（2）连接AC、BC．因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=﹣1的交点即为所求的点P．设直线AC的表达式为y=kx+b，则，解得，∴此直线的表达式为y=﹣x﹣2，把x=﹣1代入得y=﹣∴P点的坐标为（﹣1，﹣）．（3）S存在最大值，理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．∴△OED∽△OAC．∴，即，∴OE=3﹣m，OA=3，AE=m，∴S=S△OAC ﹣S△OED﹣S△AEP﹣S△PCD=×3×2﹣×（3﹣m）×（2﹣m）﹣×m×﹣×m×1=﹣m2+m=﹣（m﹣1）2+∵∴当m=1时，S最大=．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似等重要知识点；（3）中无法直接求出三角形的面积时，可用其他图形的面积经过“和，差”的关系来求出其面积．。