完全平方(微课件)颜昌炎乐昌坪梅中学
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《完全平方公式》课件
易于求解的形式。
几何中的应用
计算面积
完全平方公式可以用来计算一些图形的面积，例如正方形的面积、直角三角 形的面积等。
证明勾股定理
通过完全平方公式，可以证明勾股定理的逆定理。
实际生活中的应用
建筑学
在建筑学中，完全平方公式可以用来计算一些结构的稳定性，例如桥梁、房屋等 结构的强度和稳定性。
物理学
在物理学中，完全平方公式可以用来计算一些物理量，例如加速度、速度等。
熟悉公式的各种应用场景，如因式 分解、化简等。
完全平方公式的进一步探讨
公式的证明
通过几何图形和代数方法证明 完全平方公式。
公式的变形
掌握公式的各种变形，如两数 和的平方、两数差的平方等。
公式的推广
了解公式的推广和应用，如二 次以上完全平方公式。
前置知识的回顾与预习
01
02
03
整式乘法
复习整式乘法的运算规则 和方法。
平方差公式
巩固平方差公式的应用和 证明。
二次根式
了解二次根式的概念和性 质，为学习完全平方公式 打下基础。
THANKS
谢谢您的观看
03
完全平方公式的应用
代数中的应用
01
简化表达
完全平方公式可以用来简化表达式的计算，例如计算乘法或除法时可
以使用公式简化计算过程。
Байду номын сангаас
02
因式分解
通过完全平方公式，可以将一个二次式分解成两个一次式的乘积，这
有助于解决一些代数问题。
03
解决方程
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来转化方程，将其化为更
公式概述
完全平方公式是指对于任意的实 数a和b，$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$的公式。
完全平方公式课件ppt学习教案
算一算
（1）(x+2y)2 = （2）(4-y)2 =
（3）(2m-n)2=
第13页/共37页
第十四页，共37页。
例2、运用完全(wánquán)平方公
式计算(：1) ( 4m2 - n2 )2
分析 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(fēnxī
4m2 n2
a b
解)：：=（( 4m)22－－ n2）2
运用(yùnyòng)完全平方公式进行简 便计算：
(1) 1042 解： 1042 = (100+4)2
=10000+800+16
=10816
(2) 99.92 解： 99.92 = (100 –0. 1)2
=10000 -20+0.01
=9998.01
第22页/共37页
第二十三页，共37页。
利用完全平方公式(gōngshì)计算：
1012=
8.92=
1992=
第23页/共37页
第二十四页，共37页。
例3 计算(jìsuàn)：
(1)
2 3
a
2
3 2
b3
2
解：原式=
3 2
b3
2 3
a
2
2
9 b6 2a2b3 4 a4
4
9
(-a+b)2 =(b-a)2
第24页/共37页
第二十五页，共37页。
（2）（ - 3 x2y 1)2
乘法(chéngfǎ)公式的综合应用 例 2：运用乘法公式计算：
(1)(x＋y－z＋1)(x－y＋z＋1)； (2)(a－b－c)2.
思路导引：(1)适当变形，把“x＋1”看作一个整体，把“y －z”看作另一个整体，即可运用平方差公式．(2)可将原式中的
完全平方公式课件2
定义
完全平方是指一个数的平方等于另一个数的平方 之和的情况。
特征
完全平方的数字可以写成两个整数的乘积的形式。
完全平方公式的定义和意义
完全平方公式是一种用来将一个二次多项式表示成一个平方项和一个常数项之和的方法。它在解方程、三角函 数和几何中有广泛的应用。
第一类完全平方公式
1
公式
(a + b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2
我们将介绍一个真实案例，讲述完全平方公式在工程建设中的实际应用，以及对项目成功的影响。
知识拓展：什么是不完全平方
我们将扩展讲解不完全平方的概念和特征，并与完全平方进行比较。
知识拓展：什么是勾股数和勾 股定理
我们将介绍勾股数和勾股定理的概念以及与完全平方公式之间的关系。
拓展阅读：数学史上的完全平方
完全平方公式在解方程中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些复杂的二次方程，并在实际问题中找到解。
完全平方公式在三角函数中的 应用
完全平方公式可以用于证明和简化一些三角函数的恒等式和性质。
完全平方公式在几何中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些几何问题，如计算面积和求解直角三角形的边长。
完全平方公式的证明与思考
我们将探索数学史上与完全平方相关的重要事件和著名数学家的贡献。
反思与评价：完全平方公式学 习心得
让大家有机会分享自己在学习完全平方公式过程中的心得体会，并对课程进 行反思和评价。
例子
例如，5^ 2 - 3^ 2 = (5 + 3)(5 3) = 64
第三类完全平方公式
1 公式
(a - b)^ 2 = a^ 2 - 2ab + b^ 2
《完全平方公式》课件
数学运算技巧
在进行数学运算时，完全 平方公式可以作为一种常 用的技巧，用来简化计算 过程。
03
完全平方公式的证明
使用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种严谨的证明方法，通过逐步推导，最终得出结论。
详细描述
首先，我们需要对完全平方公式进行定义，然后通过数学归纳法，从公式的基本情况开始证明，逐步 推广到一般情况。在证明过程中，需要注意每个步骤的逻辑严谨性和正确性，以确保最终结论的正确 性。
$(7+8)^2$
计算下列各式的值
$(5+6)^2$
请简述完全平方公式的应用场景 和优势。
答案与解析
• $(3+4)^2 = 3^2 + 2\times3\times4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49$ • $(5+6)^2 = 5^2 + 2\times5\times6 + 6^2 = 25 + 60 + 36 = 111$ • $(7+8)^2 = 7^2 + 2\times7\times8 + 8^2 = 49 + 112 + 64 = 225$ • 完全平方公式是一种非常实用的数学工具，可以帮助我们快速计算出任意一个数的平方，同时也可以帮助
预测模型
在统计学和预测模型中，完全平方公式可以 用来建立回归模型并预测未来趋势。例如， 在时间序列分析中，完全平方公式可以用来
拟合时间序列数据并预测未来的值。
05
完全平方公式的扩展知识
完全立方公式
完全立方公式
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
完全平方公式-课件
《能力练习册》：P82-83.
你能挑战它吗？
(1)(-4m+n)2 (2)(-x-2y)2
你能用今天所学的内容把我算出 来吗？
(1) 1022 =10404
(2) 992 =9810
课堂小结 完全平方公式：
★(a+b)2= a2 +2ab+b2 ★(a-b)2= a2 - 2ab+b2
课后作业
课本：P112： 必做题：第 2题， 选做题：第 8 题.
完全平方公式
温故而知新
1.单项式与多项式相乘的法则是什么？
2a (a+b)=
2.多项式与多项式相乘的法则是什么？
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd
自主探究1：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
____________________________
____________________________
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
如何记忆完全平方公式？
项数
位置
符号
三项 积的二倍
放中央
两项平方 均为正
★首平方加尾平方，
积的2倍在中央 。
积二倍符 号看两项：
同号得正， 异号得负.
思维诊断
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
____________________________
说说你的发现: 左边: 两数差的平方; 右边: 这两数的平方和,减去它们的积的2倍.
大胆猜想2：
完全平方差公式
(a-b) 2= a2- 2ab + b2
你能挑战它吗？
(1)(-4m+n)2 (2)(-x-2y)2
你能用今天所学的内容把我算出 来吗？
(1) 1022 =10404
(2) 992 =9810
课堂小结 完全平方公式：
★(a+b)2= a2 +2ab+b2 ★(a-b)2= a2 - 2ab+b2
课后作业
课本：P112： 必做题：第 2题， 选做题：第 8 题.
完全平方公式
温故而知新
1.单项式与多项式相乘的法则是什么？
2a (a+b)=
2.多项式与多项式相乘的法则是什么？
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd
自主探究1：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
____________________________
____________________________
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
如何记忆完全平方公式？
项数
位置
符号
三项 积的二倍
放中央
两项平方 均为正
★首平方加尾平方，
积的2倍在中央 。
积二倍符 号看两项：
同号得正， 异号得负.
思维诊断
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
____________________________
说说你的发现: 左边: 两数差的平方; 右边: 这两数的平方和,减去它们的积的2倍.
大胆猜想2：
完全平方差公式
(a-b) 2= a2- 2ab + b2
1422完全平方公式第1课时课件用
(1)(x+2y)2 【解析】(x + 2y)2 = x2 +2?x ?2y +(2y)2
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
（5）计算 (a+b)2, (a-b)2.
【解析】(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b 2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
2.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(3) (2m-1)2 =4m2-4m+1
(5) 1032
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.
公式的特点：
1.积为二次三项式；
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
（5）计算 (a+b)2, (a-b)2.
【解析】(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b 2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
2.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(3) (2m-1)2 =4m2-4m+1
(5) 1032
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.
公式的特点：
1.积为二次三项式；
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式说课稿PPT课件
教 戏抢分制 法 与
学法：实践探索、小组合作、展示交流、观察、
学 动口、动手、动脑 法
第5页/共16页
教学过程
1 创设情景，引入新课 3 体验新知，学以致用 5 冥想减压，放松身心
2 动手实验，合作探究 4 课堂归纳，小结分享 6 布置作业，延伸新知
第6页/共16页
活动1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
创
设
情
景
（2） 生活中还有那些类似于等腰三角形的图形。
，
引
完全平方公式： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的
入
平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
新
课
第7页/共16页
探究1: 你能根据图一和图二的面积说明完全平方公式吗？
动 手 实 验 ， 合 作 探 究
第8页/共16页
探究2 两个公式的结构特征。
二、过程与方法
经历完全平方公式的探求过程，熟悉完全平方公式的特征， 会运用完全平方公式解决一些简单问题
标 三、情感、态度、
第2页/共16页
教 学 重 重 点： 体会完全平方公式的推导过程，理
解公式的本质，会运用公式进行计算。
难 点 难 点 ：判别要计算的代数式是哪
教
完全平方公式是初中代数的一个重要组 成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多
材 项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是以
分 后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、
析 勾股定理及图形面积计算等内容的重要基础。
第1页/共16页
一、知识与技能
教 学 目
理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进 行简单的计算
新 （2）有效训练：
知
，
学法：实践探索、小组合作、展示交流、观察、
学 动口、动手、动脑 法
第5页/共16页
教学过程
1 创设情景，引入新课 3 体验新知，学以致用 5 冥想减压，放松身心
2 动手实验，合作探究 4 课堂归纳，小结分享 6 布置作业，延伸新知
第6页/共16页
活动1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
创
设
情
景
（2） 生活中还有那些类似于等腰三角形的图形。
，
引
完全平方公式： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的
入
平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
新
课
第7页/共16页
探究1: 你能根据图一和图二的面积说明完全平方公式吗？
动 手 实 验 ， 合 作 探 究
第8页/共16页
探究2 两个公式的结构特征。
二、过程与方法
经历完全平方公式的探求过程，熟悉完全平方公式的特征， 会运用完全平方公式解决一些简单问题
标 三、情感、态度、
第2页/共16页
教 学 重 重 点： 体会完全平方公式的推导过程，理
解公式的本质，会运用公式进行计算。
难 点 难 点 ：判别要计算的代数式是哪
教
完全平方公式是初中代数的一个重要组 成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多
材 项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是以
分 后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、
析 勾股定理及图形面积计算等内容的重要基础。
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一、知识与技能
教 学 目
理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进 行简单的计算
新 （2）有效训练：
知
，
完全平方公式 课件
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
((aa--b)b2=)2a=2 -aa2b--2abab+b+2b2
=a2-2ab+b2
下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当
怎样改正？
(1) (x+y)2=x2 +y2
错
(2) (x -y)2 =x2 -y2
1、 经历完全平方公式的探究过 程及几何解释．
2、理解完全平方公式的结构 特征并能灵活应用公式进行计 算．
1.多项式乘以多项式的法则是什么？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
2.利用法则计算： (1) (m+2)2= _m__2+_4_m_+_4__. (2) (m-2)2 =__m_2_-_4_m_+_4__.
错
(3) (x-y)2 =x2+2xy +y2 错
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错
(x+y)2 =x2+2xy+y2 (x-y)2 =x2 - 2xy+y2 (x-y)2 =x2- 2xy +y2 (x+y)2 =x2+2xy+y2
例1、运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2 (2) (a- 1 b)2
为什么会相等？
例2、运用完全平方公式计算:
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2 (1)(2m-5n)
解:
2 2 ) -2×2m×5 n (2m-5n) =(2m
+(5n)2
2 b
(a
2 -b) =
- 2 ab + 2 2 -20mn +25n =4m
2 a
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 2012 解： 2012 = (200+1)2 =40000+400+1 =40401 (2) 1982 解： 1982 = (200 –2)2 =40000 -800+4 =39204
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同.
首平方，末平方， 首末两倍中间放
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式或
多项式。
例1
运用完全平方公式计算：
2、归一归
• 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们 乘积的两倍； • (a+b) ² =a² +2ab+b² • 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们 乘积的两倍。 • (a-b) ² =a² -2ab+ b² • 这两个公式统称为完全平方公式 • 即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方 和，加上(或者减去)它们的积的2倍
课题： 完全平方公式
作者：颜昌炎 乐昌坪梅中学
学习目标
1、会推导完全平方公式，并了解公式的几何 解释 2、能说出完全平方公式的特征，会正确运用 完全平方公式进行简单计算。
1、推一推
• ① (a+b) ² =(a+b) (a+b) • =a² +ab+ab+b² • = a² +2ab+ b²
• ① (a-b) ² =(a-b) (a-b) • =a² -ab-ab+b² • = a² -2ab+ b²
【课内探究】
3、看一看 完全平方和公式：
完全平方公式 的图形理解
b ab a
b²abBiblioteka b2 2(a+b)²
a²
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
(a-b)²
a² ab
a b
( a b) a ab ab b
2
2
2
a 2ab b
【课堂小结】
• 通过这节微课的学习你有什么收获？
解:
2 2 ) -2×2m×5 n (2m-5n) =(2m
+(5n)2
2 b
(a
2 -b) =
- 2 ab + 2 2 -20mn +25n =4m
2 a
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 2012 解： 2012 = (200+1)2 =40000+400+1 =40401 (2) 1982 解： 1982 = (200 –2)2 =40000 -800+4 =39204
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同.
首平方，末平方， 首末两倍中间放
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式或
多项式。
例1
运用完全平方公式计算：
2、归一归
• 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们 乘积的两倍； • (a+b) ² =a² +2ab+b² • 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们 乘积的两倍。 • (a-b) ² =a² -2ab+ b² • 这两个公式统称为完全平方公式 • 即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方 和，加上(或者减去)它们的积的2倍
课题： 完全平方公式
作者：颜昌炎 乐昌坪梅中学
学习目标
1、会推导完全平方公式，并了解公式的几何 解释 2、能说出完全平方公式的特征，会正确运用 完全平方公式进行简单计算。
1、推一推
• ① (a+b) ² =(a+b) (a+b) • =a² +ab+ab+b² • = a² +2ab+ b²
• ① (a-b) ² =(a-b) (a-b) • =a² -ab-ab+b² • = a² -2ab+ b²
【课内探究】
3、看一看 完全平方和公式：
完全平方公式 的图形理解
b ab a
b²abBiblioteka b2 2(a+b)²
a²
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
(a-b)²
a² ab
a b
( a b) a ab ab b
2
2
2
a 2ab b
【课堂小结】
• 通过这节微课的学习你有什么收获？