高三数学课件：含参不等式恒成立

令 又
y t x （t > 0） , 则
y x 2 xy 1 2 x xy y 1 x
a≥
恒成立
令1+2t=m（m > 1），则
1 2t 1 t 2
（t > 0） 恒成立
f(m)=
m 4m 4 1 ( m 1)2 m 2 2m 5 (m 5 ) 2 m 2
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
-2 2 <k<2 2 取值范围是 —————————— 。
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
11
y
y=x2+2
y=2 2 x
设 y1= x2+2 (x [-3,3]) y2= kx
在同一坐标系下作它们的图
2
y=kx
象如右图:
由图易得: -2
值范围。
4 、已知f(x)= 2x a (xR) 在区间 [-1，1]上是增函数。 x2 2
（1）求实数 a 的值所组成的集合A；
1 （2）设关于x 的方程f(x)= x 的两根为x1、x2，试问：是否存 在实数m，使得不等式 m2 + t m + 1≥| x1 - x2| 对任意a A 及t[-1，1] 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，
四、课后练习：
1、当x (0,1)时，不等式x2< loga(x 值范围是_____________。
+ 1)恒成立，则实数a的取
2、若不等式|x-a|+|x-1|>2 对x R恒成立，则实数a的取值 范围是_____________。
3、若不等式ax2-2x+2>0 对x(1,4)恒成立，求实数a的取

4 5 1 (当且仅当m= 5 时等号成立) 2 2 5 2
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 1 2
即a ≥
5 1 2
小结：
4、 通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)
（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求
函数最值的方法，使 问题获解。
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是: b-1≤a≤2 ； b
—————————— 。 y
x2
(x (0,
1 2 ))
y2= logax
在同一坐标系下作它们 的图象如右图: 由图易得:
y=x2 1 4
0
1 2
1
x
1 y=log 16x
1 16 ≤a ＜1
例2、①若不等式x2
<logax对x

1 （0, 2 ）恒成立，则实数a的取
值范围是 ————————————。
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： a <0 a=b=0 或
C<0 Δ=b -4ac<0 ______________________。
2
ａ≥[f (x)] max ３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;
ａ≤[f (x)] min ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。
b-1≤a≤2
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
b b
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
b-1≤a≤2
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立 ( bx- பைடு நூலகம் )max ≤a ≤(bx+
x
)min
1 x
……
（*）
请说明理由。
二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
................
(*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
-３ -
2 0 2 ３
x
2 <k<2 2
y= - 2
2x
小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。 练习2、 若
x ≤ kx-1 对x [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范
k≥2 围是：_____________。
例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成 立，则实数a的取值范围是 —————————。 解: 分离参数得: a ≥
此时 而 故
x 1 在(0,1]上递减 bx + x 1 ) =b+1 (x=1时取得) ( bx+ min x
( bx- 1 )max=b-1
(x=1时取得)
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1 又 a>0 ∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 ∴
x=0时，|f(x)|≤1恒成立 x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
一、基础知识点：
１、f(x)=ax+b,x [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ y
＞
f()<0 f()<0
α
o
β
x
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是： 或 C>0 Δ=b2-4ac<0 ______________________。 a=b=0 a >0
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ， 解得:
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；

当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： (1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0 解得: 综上可知:

-11<m<1；

g(m)>0恒成立 x R
g(-2)=3x2-3x+3>0 g(2)=-x2+x+3>0
即
1 13 1 13 <x< 2 2
∴ x （

1 13 ， 13 ） 1 2 2
小结：
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
3 1<m< 2
适合条件的m的范围是:
-11<m < 2 。
3
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
................
(*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]） 则
（2）当0<b≤1，讨论：对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。
解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1
-1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx - 1 ≤ a ≤ 1 +bx x x
∵ x ∈(0,1]， b>1 ∴ 又 ∴
1≥ 2 bx+ x (x= 1 时取等号 ) b b bx - 1 在(0,1]上递增 x ( bx- 1 )max=b-1 (x=1时取得 ) x
三、课时小结：
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
练习1:
对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p
x<-1或x>3 恒成立，则实数x的取值范围是： ——————————。
例2、①若不等式x2
1 16 ≤a＜1 取值范围是 ————————。
的取值范围是
设 y1= ①解：
<logax对x

1 （0, 2 ）恒成立，则实数a的
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k