含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
一元二次不等式(二)含参数不等式的解法与恒成立问题修改版
二次函数的区间恒成立问题
恒成立问题求参数范围常规思路： 方法一：利用函数性质(二次函数性质). 方法二：分离参数，转化为求函数最值.
a<f(x)恒成立
a<f(x)min a>f(x)恒成立 a>f(x)max
例1
课堂互动讲练 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)
时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
m 6或m 2 即 m 0 m 3 0
X=m/2
o
x1
x2
∴ 2≤ m<3.
（三）二次函数图象的应用
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值 的集合： (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解： (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
0 f (0) 0
m 6或m 2 即 m 3 0
x1 o
X=m/2
∴ m>3.
x2
（三）二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m 值的集合： (3)两根都小于0;
解： (3) ∵两根都小于0
X=m/2
x1
2 5 2 ∴不等式变为－3ax ＋－3ax＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0， 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0.
1 ∴所求不等式的解集为x－3<x<2 .
方法二：由已知得 a<0
1 c － ×2＝ 知 a 3
2
1 1 ∴－ ， 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根． 2 3 b 1 1 －2＋3＝－a 由根与系数的关系得 －1×1＝2 2 3 a
高中数学 恒成立汇总方法-教师版
恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。
然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。
但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。
例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。
（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。
则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
例1：已知函数()x x f x e ae -=-，若'()f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______思路：首先转化不等式，'()x xf x e ae -=+，即x xa e e +≥a 与xe便于分离，考虑利用参变分离法，使,a x 分居不等式两侧，()2x x a e ≥-+，若不等式恒成立，只需()()2maxx xa e≥-+，令()()(223x xxg x ee =-+=-+（解析式可看做关于x e 的二次函数，故配方求最值）()max 3g x =，所以3a ≥ 答案：3a ≥例2：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________思路：恒成立的不等式为2ln ax x x-<，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 解：233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞ ∴只需要()3maxln a x x x >-，令()3ln g x x x x =-'2()1ln 3g x x x =+- （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x 变为1x，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定()'gx 的符号，不妨先验边界值）()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程） ()'gx ∴在()1,+∞单调递减，()()''10()g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减()()11g x g ∴<=- 1a ∴≥- 答案：1a ≥-小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
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(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档
恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
恒成立与存在性问题-讲义(教师版)
恒成立与存在性问题一、课堂目标1．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．2．理解含参导数中的分类讨论与数形结合思想．【备注】【教师指导】1.本讲是导数部分的重难点内容，重点是让学生掌握单变量型函数的恒成立与存在性问题；难点是双变量型函数的恒成立与存在性问题；重点数学思想是让学生掌握构造法和参变分离法.2.本讲关联知识包括导数的概念及运算、导数与函数的单调性、极值与最值问题.二、知识讲解1. 单变量型【备注】【教师指导】什么是单变量型？比如：只含有一个变量的不等式叫做单变量不等式.知识精讲（1）恒成立问题①，恒成立②，恒成立③，恒成立④，恒成立（2）存在性问题①，成立②，成立③，成立④，成立知识点睛常用解题方法（1）构造法：转化为求含参函数的最值问题求解.构造法属于常用及通用方法，解题思路：将所给不等式构造成左边为含参函数，右侧是常数，通常是零，将左侧设计成函数，根据题意求解最值，恒常数．例如，证明不等式的问题转化为，进而构造辅助函数，然后利用导数研究函数的单调性，接着证明函数的最小值大于．（2）参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数函数的最值问题求解．①解题思路：将所给不等式变形，将参数分离出来，使参数在不等式左侧，其他项移到右侧，右侧形成新的函数，根据题意求解新函数的最值，判断参数的范围.②参变分离只对部分函数适用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是好求导，如果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．经典例题A. B.C. D.1.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）．【答案】B【解析】方法一：方法二：因为函数的定义域为，，对任意，，则的导函数，所以在定义域内递增，那么，故函数值小于零的解集为．【备注】【教师指导】本题考查简单的构造法证明不等式恒成立问题，第一步：可构造函数，第二步：再进一步求导，判断单调性，第三步：已知，将带入到，，因此解集为（）（，）令，则，因为，所以，即，所以在上单调递增．又因为，所以，所以，所以的解集是．故选．【标注】【知识点】导数与单调性（1）（2）2.已知函数．求证：；若在区间上恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）证明见解析；的最小值为.【解析】（1）（2）要证：只需证明：在恒成立，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时在恒成立所以．-要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在恒成立因为==①当时，，不满足题意②当时，令，则或（舍）．【备注】【教师指导】第一问利用构造法求解恒成立问题，让学生更加深刻的理解构造法，要注意定义域.第二问同样是利用构造法，但是会涉及到前面所学的分类讨论问题，因此教师在讲解时要注意对于分类讨论的部分每一条都要写清楚，让学生掌握这类题目的解法.所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为.【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；利用导数求单调性证不等式巩固练习3.已知函数．若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．【答案】（1）．【解析】（1）令．所以．（）当时，因为，所以．∴此时在上是递增函数．又．∴不能恒成立，即关于的不等式不能恒成立．∴这种情况不存在．（）当时，．∴当时，．当时，．∴函数的最大值为．令．∵，，又在上是减函数．∴当时，．所以整数的最小值为．【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；双变量问题；利用导数解决不等式恒成立问题经典例题4.已知函数，．若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）．【解析】（1）因为函数在处取得极值，所以解得,经检验满足题意．由已知,则令,则易得在上递减，在上递增,所以,即．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数单调区间（含参一次型导函数）【思想】分类讨论思想【备注】【教师指导】本题考查利用参变分离法证明不等式恒成立问题，先将代入，可将参数进行分离，不等式右边可看做一个新的函数，研究其单调性、最值.需要给学生明确遇到恒成立与存在性问题，实际则是对函数最值的求解，遇到含参函数需要对其单调性讨论，再求解最值.巩固练习5.已知函数，．若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）．【解析】（1）∵在上恒成立，∴，即，在上恒成立，令，，∴，令，，∴在上递增，在递减，∴，∴．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参一次型导函数）；利用导数解决不等式恒成立问题经典例题6.已知函数．若对，使成立，求实数的取值范围（其中是自然对数的底数）．【答案】（1）的取值范围为．【解析】（1），，令，，，由，当时，，在单减，当时，，在单增，，；，∴在的最大值为，所以，，所以实数的范围为．【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数解决不等式能成立问题【备注】【教师指导】1.本题考查利用参变分离法证明单变量不等式是能成立问题，也就是存在性问题，2.这道题用参变分离法会更简单，参变分离后，右侧形成的导数更容易求导，令其为一个新的函数，3.对新的函数求导，求单调性，再求最值.4.让学生明白能成立，即可.巩固练习（1）（2）7.已知，，其中是自然常数，．当时，求的极值．若有解，求的取值范围．【答案】（1）（2）极小值为，无极大值．．【解析】（1）（2）由题意，函数，则，∴当时，，此时为单调递减，当时，，此时为单调递增，∴当的极小值为，无极大值．∵，，所以在上有解，即在上有解，令，，∴，令，则，当时，，此时为单调递增，当时，，此时为单调递减，∴，∴实数的取值范围是．【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的最值；利用导数证明不等式能成立问题2. 双变量型知识精讲（1）恒成立问题①，恒成立②，恒成立（2）存在性问题①，成立②，成立③，，成立④，，成立⑤，，成立知识点睛常用解题方法（1）构造法根据结构特点，把一个变量看成主元，另一个变量看成副元去构造关于主元的函数.（2）参变分离法根据式子结构特点，先进行参变分离，构造辅助函数，通过对辅助函数性质的研究，来求解参变量取值范围.经典例题（1）（2）（3）8.已知函数，．当时，求函数的极值．当时，讨论函数单调性．是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）时，；时，．当时，增区间为，，减区间为；当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，，减区间为．存在，．【解析】（1）（2）当时，，．当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以时，；时，．当时，【备注】【教师指导】本题第一问，带入知求解即可第二问，导函数属于能分解的二次函数型，讨论两根大小第三问考查双变量的恒成立问题.可先构造函数，再进行参变分离，再进行单调性的分析，从而求得最值，得到参数的范围.极大值极小值极大值极小值（3），①当 ，即时，由可得或，此时单调递增；由可得 ，此时 单调递减；②当 ，即时，在上恒成立，此时单调递增；③当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时 单调递减．综上：当 时，增区间为， ，减区间为；当 时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，，减区间为．假设存在实数 ，对任意的 ，，且，有恒成立，不妨设，则由恒成立可得：恒成立，令，则 在上单调递增，所以 恒成立，即 恒成立，∴ ，即恒成立，又 ，∴在时恒成立，∴，∴当 时，对任意的 ，，且，有恒成立．【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；求函数单调区间（含参二次型导函数）；利用导数解决不等式恒成立问题巩固练习（1）（2）9.设，．令，求的单调区间．若任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）单调递减区间为，无单调递增区间．．【解析】（1）（2）由题意知，，令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，，取得极大值，也是最大值为，故，在上递减，所以的单调递减区间为，无单调递增区间．已知可转化为时，恒成立，令，则在上为单调递增的函数，故恒成立，即恒成立，令，则，∴当时，，在上单调递减，，即，故实数的取值范围是．【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；二阶导问题；通过构造函数证明不等式；利用导数证明不等式恒成立问题；双变量问题；利用导数求函数的单调性、单调区间经典例题10.已知函数，，若，，使得成立，求的取值范围．【备注】【教师指导】本题考查双变量存在性证明不等式问题，本题建议教师用两种方法为学生讲解，一种是整体构造法，一种是参变分离法.让学感受各类题目的不同解法.更难一些的题目在【题集】中可选择.【答案】．【解析】由分析可知，只需取到的最小值即可．而．接下来有两个解法：解法一：整体法．易知只需取到的最大值，而，，考虑到此时，进行如下分类：①若，则，单调递增，在处取到最大值；②若，则，单调递减，在处取到最大值；③若，则在上单调递减，上单调递增，此时在或处取到最大值．综上所述，的最大值为或．∴只需且，解得．解法二：参变分离．此时是存在，使得，考虑到是正数，故：，而在上是单调增函数，故其最大值为，∴．【标注】【知识点】导数与最值巩固练习11.已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，在上单增，若，则，问题转化为，使，即在上能成立，即在上至少有一个实数解，而，∴得，故．【标注】【知识点】利用导数证明不等式能成立问题（1）（2）12.已知函数．若函数在上为减函数，求实数的最小值．若，，使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）实数的最小值为．．【解析】（1）方法一：（2）∵在上为减函数，∴在上恒成立，∴恒成立，∴，即实数的最小值为．∵，，使，∴，，∵，，∴当时，取得最大值，∴，∴，，亦即，设，要使得，只需满足，∵，且当时，，，∴，在上单调递减，∴，则，方法二：∴实数的取值范围是．命题“若，，使成立”，即，由（）得，时，，问题等价于当，时，有．当时，由（）得，在上为减函数，∴，∴．当时，由于在上为增函数，所以．（i ）若，即，在上恒成立，故在上为增函数，所以，，不合，舍．（ii ）若，即，由的单调性和值域知，存在唯一的，使得，，，为减函数，，，为增函数，所以，，．，不合题意．综上，．【标注】【知识点】双变量问题；利用导数解决不等式能成立问题；隐零点问题三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！【备注】四、出门测（1）（2）13.已知函数，，．讨论的单调区间．若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）当时，的单调减区间是，无单调增区间；当时，的单调减区间是，单调增区间是．．【解析】（1）（2），，当时，即时，在上恒成立，所以的单调减区间是，无单调增区间，当时，即时，由得，由，得，所以的单调减区间是，单调增区间是．由题意，，恒成立，，，，，．①时，，在递增，∴，，舍去；②时，，在递减，∴，，成立；③时，，，∴，．递增，舍去．综上，．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题。
不等式恒成立、存在性问题的解题方法
不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用变换主元的方法，将m 看作主变元，即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是231,271(++-∈x 。
2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
高二数学专题一：含参不等式及参数问题 知识精讲 人教版
高二数学专题一：含参不等式及参数问题 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：专题一：含参不等式及参数问题二. 重点、难点：含参数的不等式有着丰富的内容，解决含参数不等式的问题不仅需要很熟练的运算能力，而且还需要有明确的数学思想指导，灵活深刻的思维品质。
应注意以下几个问题： 1. 解含有参数的不等式。
2. 已知不等式成立的条件，求参数的X 围。
3. 不等式恒成立，能成立，恰成立的问题。
【典型例题】[例1] 解不等式012>+-x x ax 。
解：0)1(2>+-⇔x x ax（1）当0=a 时，0)1(>-x x 解为)1,0(∈x（2）当0>a 时，0)11(2>+-⋅ax a x xa a 412-=∆①),41(∞+∈a 时，解为),0(∞+∈x②41=a 时，解为),2()2,0(∞+⋃∈x③)41,0(∈a 时，解为),2411()2411,0(∞+-+⋃--∈a a a a x （3）0<a 时，0)11(2<+-x a x a x 0412>-=∆a a解为：)2411,0()2411,(aaa a --⋃-+-∞ [例2] 设na n n x f x x x x ⋅+-++++=)1(321lg )( ，其中R a ∈，2≥n ，*N n ∈，n为常数。
若)(x f 在（∞-，1）上成立，求a 的取值X 围。
解：依题意：0)1(21>+-+++nan n x x x 即0)1(21>+-++a n n x x x ])1()2()1[(x x x n n n n a -+++-> 令])1()1[()(xx nn n x g -++-=x n y )1(=↓……↓-=x nn y )1(∴)(x g y = R 上↑∴∈x （∞-，1） 21)1(max ng y -== ∴21n a ->∴∈a （21n-，∞+） [例3] }09log 5log 1|{<-+=x x x A ，}0)2(2|{2<+--=a a x x x B ，若B B A =⋃，求a 的取值X 围。
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恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
下面介绍几种常用的处理方法。
一、分离参数
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21a x x +
->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()23f x x x =-+，则()2
3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()
21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22
1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2
1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322
a ∴-<< 二、分类讨论
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2
3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
解：设()2
3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。
（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73
a ∴≤又4a >所以a 不存在；
（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭
62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤
（3） 当22
a -> 即：4a <-时，()()m i n 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<-
综上所得：72a -≤≤
变式：若对于R x ∈，不等式0322>++mx mx 恒成立，求实数m 的取值范围。
三、确定主元
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：设()()
()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()2221210202021210
x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩
解得：1122x -++<<变式：已知不等式()()042222<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，求参数a 的取值范围。
四、利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。
例5、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。
解：1log 1a x -<<
（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113
a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a
⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤
综上所得：103
a <≤或3a ≥ 五、数形结合
数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。
例6、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
内恒成立，求实数a 的取值范围。
解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数23y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，若1a >函数log a y x =的图象显然在函
数23y x =图象的下方，所以不成立；
当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫
⎪⎝⎭或在这个点的上方，则，11log 33a
≥ 127a ∴≥ 1127
a ∴>≥ 综上得：1127a >≥ 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。