均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”
） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，
可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +
∈，且满足
134
x y
+=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0，所以
3434
3
x y x y
xy
+≥=(当且仅当34x y =，即x=6
，y=8时取等
号)1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值
解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16
2
1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立
技巧二：配凑项求 例2：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
解：
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解：
当
，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设2
3
0<
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。 例4. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解：
当
,即
时,4
1)591
y x x ≥+⨯
=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 练习：1、已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；
2、2
03
x <<
，求函数(23)y x x =-技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错解
．．：
0,0x y >>，且
191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫
+=++≥= ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在
1992
x y xy
+≥1
9
x y
=
即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否
有误的一种方法。 正解：
19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +
的最小值
2：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。
(3) 设0,0.a b >>11
33a
b
a b
+与的等比中项，则的最小值为（ ）
． A ．8 B ．4 C ． 1 D ．
14
解析：因为333=⋅b
a
，所以1=+b a 。
又0,0,a b >>所以4222)11)((11=⋅+≥++=++=+b
a a
b b a a b b a b a b a ，当且仅当b a a b =即2
1
==b a 时取“=”。故选（Ｂ）．
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。例：求函数2
y =
的值域。
(2)t t =≥，则2
y =1
(2)t t t =
=+≥
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）
231,(0)
x x y x x
++=> （2）
1
2,33
y x x x =+
>- (3)1
2sin ,(0,)sin y x x x
π=+∈ 的最大值.
技巧六、已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤
a 2＋
b 2
2
。
同时还应化简
1＋y 2 中y 2
前面的系数为 1
2
， x
1＋y 2 ＝x 2·1＋y 22
＝
2
x ·
12 ＋y 22
下面将x ，
12 ＋y 2
2 分别看成两个因式： x ·
12 ＋y 2
2 ≤x 2＋(
12 ＋y 2
2
)22 ＝
x 2＋y 22 ＋1
2 2
＝3
4
即x
1＋y 2 ＝ 2 ·x
12 ＋y 22 ≤ 34
2
技巧七：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝
1
ab
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16
t
≥
2
t ·16
t
＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥
1
18
当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥2
2 ab
令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴
ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥
1
18
点评：①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230
ab a b =++）（+
∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧八、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝
3x ＋
2y 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，
a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
，本题很简单
3x ＋
2y ≤
2
（
3x ）2＋（
2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2
5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10
＋(3x ＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
变式:
求函数15()2
2
y x =<<的最大值。 解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=
又0y >
，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。
故max y =。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
技巧9：消元
例1.设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2
y xz 的最小值是_________.
2222
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得
当且仅当即时，取“”.
故的最小值为 技巧10.换元
例1.
求函数
y =
的最大值.
22,0,2,(0)
21
00;1014
212=.
23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=
≤
=+
==-则
当时，当时，当且仅当，即所以时
练习题：
1.若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1
b
，则α＋β的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 2. 已知三个函数
y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝
8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y
2n
＝1(m >0，n >0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________．
3. 已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1
c
的最小值为________．
4. 设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →
＝2
3，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，
其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最
小值是________．
5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1
x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，
每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
6. 设正实数,,x y z 满足22
340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,
212x y z +-的最大值为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．9
4
D ．3
7.已知2
2
2
,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为______.
8. 已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=
14a b +的最小值是
A ．7
2
B ．4
C ． 9
2
D ．5
9. 设,x y 为实数，若22
41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。 10.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 11. 设0a ＞b ＞，则()
2
11
a a
b a a b +
+-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 B. 4 C. D. 11
2
11.
习题答案：1. ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1
b ＝1
＋
a ＋
b ab
＝1＋
1
ab
，∵
ab ≤a ＋b
2，∴ab ≤(a ＋b )24＝1
4
.∴原式≥1＋4.当且仅当a=b=1/2时，
∴α＋β的最小值为5.故选D.
2. 由题易得，点A 的坐标为(2,4)，因为点A 在直线x m ＋y
2n ＝1(m >0，n >0)上，所
以1＝2
m ＋
4
2n
≥2
2m ·4
2n
，∴mn ≥16，所以log 2m ＋log 2n ＝log 2(mn )≥4，当且仅当m=n=4时，故log 2m ＋log 2n 的最小值为4.
3.[答案] 6＋4 2 [解析] 1
a
＋1
b ＋1
c
＝
a ＋2
b ＋c
a
＋
a ＋2
b ＋c
b
＋
a ＋2
b ＋
c c
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
2b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c b ＋2b c ＋4≥2
2＋2＋22＋4＝6＋42，
等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b
c
同时成立时成立．
即a ＝c ＝
2b ＝1－2
2
时等号成立．
4.[答案] 18
[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →
|cos30°
＝32
|AB |·|AC |＝2
3，∴|AB |·|AC |＝4，
由f (M )的定义知，S △ABC ＝1
2＋x ＋y ，
又S △ABC ＝1
2|AB |·|AC |·sin30°＝1，
∴x ＋y ＝1
2
(x >0，y >0)
∴1x ＋4
y
＝2(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋4y ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫5＋y x
＋4x y ≥2(5＋2
4)＝18，等号在y x
＝
4x y
，即y ＝2x ＝
1
3时成立，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋4y min ＝18. 5. [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为
32Q ＋3
Q
×150%＋x
Q
×50%，
∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋x
Q
×50%)·Q
＝32(32Q ＋3)＋12
x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋1
2x －(32Q ＋3)－x
＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋35
2(x ＋1)(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则
W ＝－(t －1)2＋98(t －1)＋352t ＝50－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2＋32t .
∵t ≥1，∴t
2＋32
t
≥2
t 2·32
t
＝8，即W ≤42，
当且仅当t
2＝32
t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．
6.B ；
7.12；
8.C ；
9. 210
10.解析：考察均值不等式
2
228)2(82⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422
≥-+++y x y x
即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 11.解析：
()
211a ab a a b +
+
-＝211()
a a
b ab ab a a b -++
+
-＝
11()()
ab a a b ab a a b +
+-+-≥2＋2＝4，当且仅当ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立 如取a 2b ＝2
2
满足条件. 答案：D
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0<
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥(当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．已知5x ＋3 y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1 【答案】 C 【解析】 ∵5x ＋3 y ＝1≥215xy ， ∴xy ≥60， 当且仅当3x ＝5y 时取等号． 2．函数f (x )＝x ＋4 x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D 【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4 x ＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －4x ＋3 ＝－1，当且仅当－x ＝－4 x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．
3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4 y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤－∞，94 【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥5 4＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1 (x >－1)的最小值． 【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理． 【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0. 所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4 x ＋1 ＝(x ＋1)＋ 4 x ＋1 ＋5≥2(x ＋1)·4 x ＋1 ＋5＝9 当且仅当x ＋1＝4 x ＋1 ，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1(x >－1)，取得最小值为9. 【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c mx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝ mx ＋n ax 2＋bx ＋c (m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设 mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数． 课后作业
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。 a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则 时取“=”）*a?b?ab 2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?* a?ba2?b2 ?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2 时等号成立。 平均数） 一、基本技巧 技巧1：凑项 例已知x? 技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1 技巧3：利用函数单调性 例 求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换 例已知x?0,y?0，且 19??1，求x?y的最小值。xy 典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是 ?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd 是 A.0 B.1 C. D. 23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab A.1 B. C.4 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 . 6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为ab 1A B C 1 D 7. 设a?0,b? 0.3与3的等比中项，则 8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.65
均值不等式练习题
利用均值不等式求最值的方法 均值不等式a b ab a b +≥>>2 00(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04<
均值不等式的应用(习题-标准答案)
均值不等式应用 一.均值不等式 1. ⑴若 GbwR,则 a 2+b 2 ≥ Iab (2)若 a 、b w R 、则 a b≤^ + -(当且仅当 a=b 时取) _ 2 2. (1)若 Chbe R ∖ 则 ^JL > (2)若 a.heR ∖ 则 a + b≥2y[Jb (当且仅当 a = b 时取“二”) 2 (3)若a.beR ∖则a b≤{- (当且仅当a = b 时取“ = ”) 2丿 3 •若Λ∙>0,则x + -≥2 (当且仅当X = I 时取“=”)；若xvO,则x + -≤-2 (当且仅当X = -I 时取 “二”) X X 若X≠O,则X +丄22≡∣]χ+丄≥2或x+丄≤∙2 (当且仅当Ci=b 时取“=”) XA e X 3 •若ab>O,则- + ->2 (当且仅当a = b 时取“二”) b U -+ - 22即- + -≥2^- + -≤-2 b a b a b a 4. 若a,bwR,则（出）*“_+，（当且仅当a = b 时取“=”） 2 2 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积 的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”. （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1） y=3x'+占 （2） y=x+∖. 解题技巧： 技巧一：凑项 例1:已知x<-.求函数v = 4x-2÷-L-的最大值。 4 4x-5 解：因4x-5<0>所以首先要“调整”符号，又（4Λ∙-2）•— 不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项, 4x-5 若ah≠O ,则 （当且仅当a = b 时取 (2)当 x>0 时，y = x+- 当x<0时, •••值域为 (—8, —2] U [2, ÷∞) =√6 •：值域为9 +8 ) -=2 =-2 (—X —" ) ≤-2
均值不等式求值的常用技巧及习题含解答：经典
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)
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利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0，所以 23434 3 x y x y xy +≥=g (当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)， 于是 13 xy ≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求 11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解： 当 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
用均值不等式求最值的若干技巧
用均值不等式求最值的若干技巧均值不等式 当且仅当a＝b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当 时，求的最大值。 解析：由知， ，用均值不等式求最大值，和一定是固定值或者乘积一定是固定值。这是两个公式乘积的形式，但和不是固定值。通知 是一个固定值，所以只需给它加上一个系数。 当且仅当 ，即x＝2时取等号。 所以当x＝2时，的最大值为8。 总结:这个问题不能直接用均值不等式来解决，但是系数集合后可以得到和为定值，所以用均值不等式可以得到最大值。 2. 凑项 例2. 已知
，求函数 的最大值。 解析：由题意知 ，首先要调整符号，又 不是定值，故需对 进行凑项才能得到定值。 ∵ ∴ 当且仅当 ，即 时等号成立。 总结:本题需要调整项的符号，匹配项的系数，使其乘积为定值。 3. 分离 例3. 求 的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离。 当 ，即
(当且仅当x＝1时取“＝”号)。 当 ，即 时 (当且仅当x＝－3时取“＝”号)。 ∴ 的值域为 。 小结：分式函数求最值，通常化成 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例4. 已知 ，求的最小值。 解法1：不妨将 乘以1，而1用a＋2b代换。 当且仅当 时取等号，由 即 时，的最小值为
解法2：将分子中的1用 代换。 小结：本题巧妙运用“1”的代换，得到 ，而 与 的乘积是一个固定值，即平均不等式得到的最小值。 三、换元 例5. 求函数 的最大值。 解析：变量代换，令 ，则 当t＝0时，y＝0 当 时， 当且仅当 ，即 时取等号。 故 。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法 均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 【例1】当时，求的最大值。 【解析】由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当，即x=2时取等号。 所以当x=2时，的最大值为8。 【评注】本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 【例2】已知，求函数的最大值。 【解析】由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。 当且仅当，即时等号成立。 【评注】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离 【例3】求的值域。 【解析】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。 当，即时 (当且仅当x=1时取“=”号)。 当，即时 (当且仅当x=-3时取“=”号)。 ∴的值域为。 【评注】分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 【例4】已知，求的最小值。 【解法1】不妨将乘以1，而1用a+2b代换。 当且仅当时取等号，由 即时，的最小值为。 【解法2】将分子中的1用代换。 【评注】本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。 三、换元 【例5】求函数的最大值。 【解析】变量代换，令，则
均值不等式
均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当时，求的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当，即x＝2时取等号。 所以当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 例2. 已知，求函数的最大值。 解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。 ∵ ∴ 当且仅当，即时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离 例3. 求的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当，即时 （当且仅当x＝1时取“＝”号）。 当，即时 （当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴的值域为。 评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例4. 已知，求的最小值。 解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由 即时，的最小值为。 解法2：将分子中的1用代换。 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。 三、换元 例5. 求函数的最大值。 解析：变量代换，令，则 当t＝0时，y＝0 当时，
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 2 . 2 ®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时，号成立: 2 S + ZP ) 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件： ②熟悉一个重要的不等式链：-A-
专题：用均值不等式求最值的常用技巧
专题：用均值不等式求最值的常用技巧 均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04<
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若则的最小值是__________． 2．若,且则的最大值为______________. 3．已知，且，则的最小值为______． 4．已知正数满足，则的最小值是_______. 5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数满足，则的最小值为________ 7．已知，且，则的最小值是________ 8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______ 9．已知，函数的值域为，则的最小值为________． 10．已知，，且，则的最小值为__________． 11．若正数x，y满足，则的最小值是______． 12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______． 14．若，则的最小值为________. 15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______． 16．已知，且，则的最小值为______． 17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____． 19．已知正实数，满足，则的最大值为______.
20．已知，，则的最小值为____．
参考答案 1． 【解析】 【分析】 根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】 则，即 由题意知，则， 则 当且仅当，即时取等号 本题正确结果： 【点睛】 本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式. 2． 【解析】 【分析】 先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值. 【详解】 当时，，，所以最大值为1， 当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为， 综上的最大值为
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0，所以 3434 3 x y x y xy +≥=(当且仅当34x y =，即x=6 ，y=8时取等 号)1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。