简谐运动及其图像

专题一：简谐运动及其图象知识点一：弹簧振子1.弹簧振子如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。

小球滑动时的摩擦力可以忽略，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略。

这样就成了一个弹簧振子。

注意：①小球原来静止的位置就是平衡位置。

小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。

②小球的运动是平动，可以看作质点。

③弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。

2.弹簧振子的位移——时间图象（1）振动物体的位移是指由平衡位置指向振子所在处的有向线段，可以说某时刻的位移。

说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。

因而振子对平衡位置的位移方向始终背离平衡位置。

（2）振子位移的变化规律（3）弹簧振子的位移－时间图象是一条正（余）弦曲线。

知识点二：简谐运动1.简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。

简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。

弹簧振子的运动就是简谐运动。

2.描述简谐运动的物理量（1）振幅（A）振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是表征振动强弱的物理量。

（2）周期（T）和频率（f）周期和频率的关系是：（3）相位（φ）相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。

3. 固有周期、固有频率简谐运动的周期只由系统本身的特性决定，与振幅无关，因此T叫系统的固有周期，f叫固有频率。

弹簧振子的周期公式：，其中m是振动物体的质量，k为弹簧的劲度系数。

4.简谐运动的表达式y=Asin（ωt+φ），其中A是振幅，，φ是t=0时的相位，即初相位或初相。

知识点三：简谐运动的回复力和能量1.回复力：使振动物体回到平衡位置的力。

（1）回复力是以效果命名的力。

性质上回复力可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力。

如在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧在伸长和压缩时产生的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

（2）回复力的作用是使振动物体回到平衡位置。

回复力的方向总是“指向平衡位置”。

（3）回复力是是振动物体在振动方向上的合外力，但不一定是物体受到的合外力。

2.对平衡位置的理解（1）平衡位置是振动物体最终停止振动后振子所在的位置。

（2）平衡位置是回复力为零的位置，但平衡位置不一定是合力为零的位置。

（3）不同振动系统平衡位置不同。

竖直方向的弹簧振子，平衡位置是其弹力等于重力的位置；水平匀强电场和重力场共同作用的单摆，平衡位置在电场力与重力的合力方向上。

3．简谐运动的动力学特征F回＝-kx ，a回＝－kx/m，其中k为比例系数，对于弹簧振子来说，就等于弹簧的劲度系数。

负号表示回复力的方向与位移的方向相反。

也就是说简谐运动是在跟对平衡位置的位移大小成正比、方向总是指向平衡位置的力作用下的振动。

弹簧振子在平衡位置时F回=0。

当振子振动过程中，位移为x时，由胡克定律（弹簧不超出弹性限度），考虑到回复力的方向跟位移的方向相反，有F回= -kx，k为弹簧的劲度系数，所以弹簧振子做简谐运动。

4.简谐运动的能量特征知识点四：简谐运动过程中各物理量大小、方向变化情况1.全振动振动物体连续两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的的过程，即物体运动完成一次规律性变化。

2.弹簧振子振动过程中各物理量大小、方向变化情况过程：物体从A由静止释放，从A→O→B→O→A，经历一次全振动，图中O为平衡位置，A、B为最大位移处：取OB方向为正：小结：弹簧振子的运动过程是完全对称的。

(1)B、O、A为三个特殊状态O为平衡位置，即速度具有最大值v max，而加速度a＝0A为负的最大位移处，具有加速度最大值a max，而速度v＝0B为正的最大位移处，具有加速度最大值a max，而速度v＝0（2）其运动为变加速运动与变减速运动的交替过程，在此过程中，机械能守恒，动能和弹性势能之间相互转化加速度a与速度v的变化不一致(3)任一点C的受力情况重力G与弹力N平衡；F回＝F弹＝kx，可看出回复力方向始终与位移方向相反知识点五：简谐运动图象的应用1. 简谐运动图象的物理意义图象描述了做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即是位移——时间函数图象。

注意振动图象不是质点的运动轨迹。

2. 简谐运动图象的特点简谐运动的图象是一条正弦（余弦）曲线。

（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图1。

（2）从最大位移处开始计时，函数表达式，图象如图2。

3.简谐运动图象的应用(1)确定振动质点在任一时刻的位移。

如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1=+7cm、x2=-5cm。

(2)确定振动的振幅、周期和频率。

图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振动振幅是10cm；振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。

由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T=0.2s；频率。

(3)确定各时刻质点的速度、加速度(回复力)的方向。

加速度方向总与位移方向相反。

只要从振动图象中认清位移的方向即可。

例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2便为正；判定速度的方向的方法有：a.位移——时间图象上的斜率代表速度。

某时刻的振动图象的斜率大于0，速度方向与规定的正方向一致；斜率小于0，速度的方向与规定的正方向相反；b.将某一时刻的位移与相邻的下一时刻的位移比较，如果位移增大，振动质点将远离平衡位置；反之将靠近平衡位置。

例如图中在t1时刻，质点正远离平衡位置运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动。

(4)比较不同时刻质点的速度、加速度、动能、势能的大小。

加速度与位移的大小成正比。

如图中|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|；而质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能、速度则越小。

如图中，在t1时刻质点的势能E P1大于t2时刻的势能E P2，而动能则E k1＜E k1，速度v1＜v1。

规律方法指导1．正确分析振动物体的受力回复力是根据效果来命名的，而不是某种特殊性质的力，它可以是重力、弹力、摩擦力，或者是几个力的合力。

2.简谐运动的对称性和周期性①瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系。

另外速度的大小具有对称性，方向可能相同或相反。

②过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如。

③由于简谐运动有周期性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解，分析时应特别注意：物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定；时间也存在周期性关系。

3.简谐运动中路程和时间的关系振动质点在△t时间经过的路程与△t和质点的初始状态有关，计算比较复杂。

若质点运动时间△t是周期T的整数倍，即满足△t=nT（n＝1、2……），则那么振动质点在△t时间通过的路程S＝n×4A；如果时间△t是的整数倍，即△t=n（n＝1、2……），那么振动质点在△t时间通过的路程为S＝n×2A；如果为△t为T/4，分三种情形：①计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），则S＝A；②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则S＞A；③计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则S＜A。

4.简谐运动图象反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间的变化规律。

要掌握好这一规律，需要把图象和振动物体实际的运动联系起来，要能够对物理图景有充分的想象能力。

典型例题透析类型一一——简谐运动的判定1、如图所示，光滑水平面上放有一质量为m的物体，弹簧的劲度系数分别为k l、k2，弹簧现在均处于原长，试证明物体开始振动之后的运动为简谐运动。

举一反三【变式】轻质弹簧上端固定在天花板上，下端悬挂物体m，弹簧的劲度系数为k，现将物体从平衡位置向下拉开一段距离后释放，试证明物体的运动是简谐运动。

类型二——简谐运动过程中各物理量的变化2、一弹簧振子做简谐运动，下列说确的是：（）A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大C．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同举一反三【变式1】如果下表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是：（）A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v B．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度vC．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v D．若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v【变式2】如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下述正确的是：（）A.振幅不变B.振幅减小C.最大动能不变D.最大动能减小类型三——简谐运动的图象3、一质点做简谐运动的振动图象如图所示：（1）该质点振动的振幅是___________；周期是___________；初相是___________。

（2）写出该质点简谐运动的表达式，并求出当t=1s时质点的位移。

举一反三【变式】做简谐运动的弹簧振子振动图象如图所示，下列说法中正确的是：（）A．t=0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零B．t=1s时，质点位移最大，速度为零，加速度最大C．t1和t2时刻振子具有相同的速度和动能D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度E．5s振子通过的路程是25cm，而位移是5cm，回复力为零，加速度为零，但速度为最大值，动能最大，势能为零，选项A错误。

类型四——简谐运动的周期性和对称性4、一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M 点，再经0.1s第二次通过M点，则质点振动周期为多大？举一反三【变式】质点在O点附近做简谐运动，从质点经过O点时开始计时，质点第一次经过O附近的M点需时3s，又经过2s再一次经过M点，求质点第三次经过M点还需经过多长时间?举一反三【变式】水平放置的弹簧振子做简谐运动，周期为T，t1时刻振子不在平衡位置，且速度不为零；t2时刻振子速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同；t3时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相反。

若t2－t1=t3－t2，则：（）A．t1时刻、t2时刻与t3时刻弹性势能都相等B．t1时刻与t3时刻，弹簧的长度相等C．t3－t1=(2n+)T n=0，1，2，……D．t3－t1=(n+)T n=0，1，2，…6、如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。