人教A版选修2-2第一章导数及其应用单元测试试卷(导数的应用,定积分,微积分基本定理)含答案

高二数学第一章单元测试试题（满分150分 时间 120分钟） （导数的应用，定积分，微积分基本定理）一、选择题(每小题5分)1．()220310x k dx +=⎰，则k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()60cos 1x t dx π-=⎰，则常数t 的值为（）A ．3π-B ．1π-C ．32π-D ．52π-3．下列关于积分的结论中不正确的是（ ） A ．11cos d 0x x x -=⎰B ．111sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在区间[],a b 上恒正，则()d 0ba f x x >⎰D ．若()d 0ba f x x >⎰，则()f x 在区间[],ab 上恒正4．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（ ）A ．43B ．54C ．65D ．6．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量()0390x x ≤≤的关系是()3400900x R x x =-+，0390x ≤≤，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）A ．150B ．200C ．250D ．3008．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．259．用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[]1,0-12．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(每小题5分)13．1||-1x e dx ⎰值为______．14．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dxx⎰=______．15．已知函数()()32,f x x ax bx a b R =++∈的图象如图所示，它与直线0y =在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274，则a 的值为_________16．若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.三、解答题(17题10分，其他每小题12分)17．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()12f -=，()00f '=，10()2f x dx =-⎰，求a 、b 、c 的值．18．设()x f 连续，且()x f =⎰+10)(2dt t f x ,求)(x f .19.设函数f(x)=a x 3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值是-12,求a,b,c 的值.20．已知函数()32f x x ax bx c =+++在1x =处有极值,其导函数()f x ¢的图象关于直线13x =对称.（1）说明()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象与()22g x x x =-的图象有且仅有三个公共点,求c 的取值范围．21.已知函数f (x )=x 3-ax 2+bx+c(a,b,c ∈R),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b 的值;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c 的取值范围. 22.已知函数f(x)=ln x −ax .(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在区间[1,e]上的最小值为32,求a 的值;(3)设g(x)=ln x-a,若g(x)<x 2在区间(0,e]上恒成立,求a 的取值范围.参考答案1．∵()223x k dx +⎰()332|220x kx k =+=+． 由题意得：32210k +=， ∵1k =．2．因为()60cos 1x t dx π-=⎰，所以()60sin |1x tx π-=，所以3t π=-3．对于A ，函数cos y x x =是R 上的奇函数,11cos d 0x x x -=⎰正确；对于B ，因为函数sin y x x =是R 上的偶函数，所以1110sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰正确；对于C ，因为()f x 在区间[],a b 上恒正，所以()f x 图象都在x 轴上方，故()d 0ba f x x >⎰正确； 对于D ，若()d 0ba f x x >⎰，可知()f x 的图象在区间[],ab 上，在x 轴上方的面积大于下方的面积，故选项D 不正确.4．由题得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故A ．5．0()ef x dx⎰.6．由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点,故C7．设总利润为334001002000030020000900900()x x x x x P x -+--=-+-=（0390x ≤≤） ，2'()300300x P x =-+（0390x ≤≤），令'()0P x =，可得300x =， 当0300x ≤≤时，'()0P x >,当300390x <≤时，'()0P x <，当300x =时，()P x 取得最大值.8．由题意有2311111=(10)00333S x dx x ⎰==⨯-=，即由抛物线2y x =、x 轴、直线1x =所围成的曲边区域的面积为13，故B. 9．由定积分的几何意义知，区域内的面积为：()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰，又当[],x a b ∈时，()0f x ≤，当[],x b c ∈时，()0f x ≥， 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以∵，∵，∵是正确的.故B.10．由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+, 令g (x )＝11lnx x +-,则g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,又g (e )1e=＞0,g (e 2)2221111lne e e =+-=-＜0,∴存在x 0∵(e ,e 2),使得g (x 0)＝0,∴当x ∵(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∵(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,∴f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减.故C .11．函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤,当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤,即为()221a x x +≤,可化为()212x a x ≤+ 令()22()1x g x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++== 当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减. ∴()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=∴min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故B12设()()e 21x g x x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为11222g e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故D.13．22e -.因为||x y e =是偶函数，11||110-122|2()2(1)x x x e dx e dx e e e e ∴===-=-⎰⎰， 14．6作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z =2x -y 得y =2x -z ，平移直线y =2x -z ，由图象可知当直线y =2x -z 经过点B 时，直线y =2x -z 的截距最小，此时z 最大．由220y x y =⎧⎨--=⎩，得(4,2)B ，即a =z max =2×4-2=6，则1e a dx x ⎰=16e dx x ⎰=6lnx 1|e =6．15．-3．2'()32f x x ax b =++，由题意'(0)0f b ==，32()f x x ax =+，()00f x x x a =⇒==-或，易知0a <，3243401127()()|043124aa a x ax dx x x a --+=+=-=-⎰，所以3a =-．16．-18()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，∴()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-.17． ∵()12f -=，∵2a b c -+=．∵ 又∵()2f x ax b '=+，∵()00f b '==．∵ 而()1120()f x dx ax bx c dx =++⎰⎰，取3211()32F x ax bx cx =++，则()2F x ax bx c '=++，∵1011()(1)(0)232f x dx F F a b c =-=++=-⎰.∵ 解∵∵∵得6a =，0b =，4c =-． 18．记10()a f t dt =⎰,则()2f x x a =+两端积分得111()(2)22f x dx x a dx a =+=+⎰⎰, 122a a =+,12a =-. ∴()1f x x =-19.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c,∴c=0. ∵f'(x)=3ax 2+b 的最小值为-12,且a>0,∴b=-12.又f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直. ∴f'(1)=3a+b=-6,∴a=2. 综上可得,a=2,b=-12,c=0.20． （1）()232f x x ax b '=++,由已知得()10133f a ⎧=⎪⎨-='⎪⎩，即3201a b a ++=⎧⎨=-⎩，解得:11a b =-⎧⎨=-⎩，()()()2321311x x x x f x --=+'-= 由()0f x ¢>，得()1,31,x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝∞⎭+U ， 由()0f x ¢<，得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+?上单调递增，1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）知()32f x x x x c =--+,()()322f x g x x x x c -=-++, 设()322F x x x x c -=++,则()()()2341311F x x x x x '=-+=--,令()0F x '=,得1x =或1x =,列表：两个图象有且仅有三个公共点,只需()12703410F c F c ⎧⎛⎫=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=<⎩,解得4027c -<<.∵c 的取值范围是4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21解:(1)f'(x)=3x 2-2ax+b.∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x 2-2ax+b=0的两根.∴{-1+3=2a3,-1×3=b3,∴{a =3,b =-9. (2)由(1)知f(x)=x 3-3x 2-9x+c, f'(x)=3x 2-6x-9.∴当x ∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54, 要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可, 当c≥0时,c+54<2c,∴c>54; 当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18, ∴c ∈(-∞,-18)∪(54,+∞).故c 的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x )=1x +ax =x+a x .因为a>0,x>0,所以f'(x)>0,因此f(x)在区间(0,+∞)内是增函数. (2)由(1)知f'(x )=x+a x .①若a≥-1,则x+a≥0,从而f'(x)≥0(只有当a=-1,x=1时,f'(x)=0),即f'(x)≥0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为增函数.所以f(x)的最小值为f(1)=-a =32,即a=−32,不符合题意,舍去. ②若a≤-e,则x+a≤0,从而f'(x)≤0(只有当a=-e,x=e 时,f'(x)=0),即f'(x)≤0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为减函数.所以f(x)的最小值为f(e)=1−ae =32,即a=−e2,不符合题意,舍去. ③若-e<a<-1,由f'(x)=0,得x=-a,当1<x<-a 时,f'(x)<0,即f(x)在区间(1,-a)内为减函数;当-a<x<e 时,f'(x)>0,即f(x)在区间(-a,e)内为增函数,所以x=-a 是函数f(x)在区间(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f(x)的最小值为f(-a)=ln(-a)+1=32,即a=−√e.综上,a=−√e.(3)g(x)<x2即ln x-a<x2,所以a>ln x-x2,故g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立,也就是a>ln x-x2在(0,e]上恒成立.令h(x)=ln x-x2,则h'(x)=1x −2x=1-2x2x,由h'(x)=0及0<x≤e,得x=√22.当0<x<√22时,h'(x)>0;当√22<x≤e时,h'(x)<0,即h(x)在区间(0,√22)内为增函数,在区间(√22,e]上为减函数,所以当x=√22时,h(x)取得最大值为ℎ(√22)=ln√22−12.所以当g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立时,a的取值范围为(ln√22-12,+∞).。