高考学霸笔记数学

合集下载

高考理数学霸手写笔记 01数学好题本

32
由扫描全能王扫描创建
33
由扫描全能王扫描创建
22
由扫描全能王扫描创建
23
由扫描全能王扫描创建
24
由扫描全能王扫描创建
25
由扫描全能王扫描创建
26
由扫描全能王扫描创建
27
由扫描全能王扫描创建
28
由扫描全能王扫描创建
29
由扫描全能王扫描创建
30
由扫描全能王扫描创建
31
由扫描全能王扫描创建
12
由扫描全能王扫描创建
13
由扫描全能王扫描创建
14
由扫描全能王扫描创建
15
由扫描全能王扫描创建
16
由扫描全能王扫描创建
17
由扫描全能王扫描创建
18
由扫描全能王扫描创建
19
由扫描全能王扫描创建
20
由扫描全能王扫描创建
21
由扫描全能王扫描创建
1
由扫描全能王扫描创建
2
由扫描全能王扫描创建
3
由扫描全能王扫描创建
4
由扫描全能王扫描创建
5
由扫描全能王扫描创建
6
由扫描全能王扫描创建

由扫描全能王扫描创建
8
由扫描全能王扫描创建
9
由扫描全能王扫描创建
10
由扫描全能王扫描创建
11
由扫描全能王扫描创建

学霸笔记高中数学

学霸笔记高中数学
1. 概率：
（1）概率的定义：概率是指事件发生的可能性，用来表示一
个事件发生的可能性大小。

（2）概率的计算公式：概率的计算公式为：P（A）=满足条
件A的概率/全部可能的概率。

（3）概率的性质：概率的性质有：
1）概率的值在0到1之间；
2）概率的和为1；
3）对称性：如果事件A和事件B相互独立，则P（A）=P （B）；
4）互斥性：如果事件A和事件B不可能同时发生，则P（A）+ P（B）=1。

2. 三角函数：
（1）三角函数的定义：三角函数是指一类以角度为变量的函数，它们的值取决于角的大小。

（2）三角函数的公式：
1）正弦函数：y=sin x
2）余弦函数：y=cos x
3）正切函数：y=tan x
（3）三角函数的性质：
1）正弦函数和余弦函数的值在-1到1之间；
2）正切函数的值在-∞到+∞之间；
3）正弦函数、余弦函数和正切函数的周期都是2π；
4）正弦函数、余弦函数和正切函数的图像都是周期函数。

高考数学学霸纠错笔记导数及其应用含解析

不能正确识别图象与平均变化率的关系A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10015005-=-，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝1510170504-=-，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．【试题解析】①易知P 点在曲线3y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为203k x =. ∵A 在曲线上，∴300y x=，∴32000832x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()200120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=. 故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-; （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1));第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-; 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1;第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1C ．ln 2018D ．e【答案】B 【解析】()(2018ln ),f x x x =+()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，又因为0()2019f 'x =，所以02019ln 2019x +=，解得01x =，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-; （2）sin ()ln x xf x x=. 【错解】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+; （2）2sin (sin )sin cos ()()sin cos 1ln (ln )x x x x x x xf x x x x x x x x'+''====+'.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量;（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=-; （2）22sin (sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()()ln (ln )ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x''⋅-⋅+-''===. 【参考答案】（1）()22f x a x '=-;（2）2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-'=.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导;②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导; ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导; ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导;⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导;3．已知()f x =1()2f '= A ．2ln2--B ．2ln2-+C ．2ln2-D ．2ln2+【答案】D【解析】依题意有()()121122ln 22x x x f x x-⋅⋅⋅'=，故12ln22ln221f +⎛⎫=⎪⎭'=+ ⎝，所以选D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）()221y x =+; （2）22cos y x =. 【错解】（1）()221y x '=+; （2）2sin2xy =-. 【错因分析】这是复合函数的导数，若()(),y f u u h x ==，则x u x y y u '='⋅'.如（1）中，22,1y u u x ==+，()()222221241x y u x x x x x '=⋅=+⋅=+，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．【试题解析】解法一：（1）∵()2242121y x x x =+=++，∴344y x x '=+.（2）∵221cos cos 2x y x +==，∴1sin 2y x '=-. 解法二：（1）()()()22221141y x x x x '=+⋅+'=+．（2）12coscos 2cos sin sin 2222()()(22)x x x x x y x '=⋅'=⋅-⋅'=-. 【参考答案】（1）()241y x x '=+;（2）1sin 2y x '=-.1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构; ②正确分析出复合过程;③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导; ④善于把一部分表达式作为一个整体; ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量; ②求每一层基本初等函数的导数;③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4⎛ ⎝⎭处的切线方程是__________．【答案】20x y -+=【解析】πcos 3y x '⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以斜率为π1cos 032⎛⎫+= ⎪⎝⎭，切线方程为1,20.22y x x y -=-+= 审题不细致误设函数()2ln af x ax x x=--.（1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间;（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴45a =. ∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞，，，单调递减区间为1()22，．（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=，∴220ax x a -+≥恒成立， ∴20440a a >⎧⎨∆=-≤⎩，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域;二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集;三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分．【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．∵()22a f x a x x '=+-， ∴()2104af a '=+-=，∴45a =.∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，．（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=，∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+对x >0恒成立． ∵222111x x x x=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，;（2）[1,)+∞.用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域; ②求导数()y f x '=';③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域;②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根;③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间;④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域;②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号; ③得单调区间．5．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系; （2）当0b =时，讨论()f x 的单调性;（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()e xf x x k <+成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=;（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增;②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增;在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增;在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减;（3）[)2,-+∞. 【解析】（1）由题意，得22()32f 'x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得(1)0f '=. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，2()32f 'x x ax =+，由()0f 'x =知240a ∆=≥.① 当0a =时，0∆=，()0f 'x ≥在R 恒成立， ∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()0f 'x >，解得0x >或23x a <-; 由()0f 'x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增;在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()0f 'x >，解得23x a >-或0x <; 由()0f 'x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增;在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，3()f x x x =-，由()()e xf x x k <+，得()3e xx x x k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x ，21e x x k ∴-<+，21e x k x ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21e ,0xg x x x =-->，则()2e xg'x x =-，令()2e xh x x =-，则()2e xh'x =-，由()0h'x =，解得ln2x =. 由()0h'x >，解得0ln2x <<; 由()0h'x <，解得ln2x >.∴导函数()g'x 在区间()0,ln2上单调递增;在区间()ln2,+∞上单调递减，()()ln22ln220g'x g'∴≤=-<，∴()g x 在()0,+∞上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）;② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可);③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立;④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.极值的概念理解不透彻已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.【错解】7-或0由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．【试题解析】由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0. 当4,11a b ==-时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意.当3,3a b =-=时，2()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去. 综上可知，4,11a b ==-，所以7a b +=-. 【参考答案】7-对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．−2 B ．3C ．−2或3D ．−3或2【答案】B 【解析】()()()()23222()2(131)133f 'x f x x a x a a x a x x a a =++-+-⇒+-+=-+，由题意可知(1)0f '=，()2(1)12(1)303f 'a a a a ⇒+-+=-⇒+==或2a =-，当3a =时，()222389(9)(1)()2(1)f 'x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-，当1,9x x ><-时，()0f 'x >，函数单调递增;当91x -<<时，()0f 'x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点;当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f 'x x a x x x x +-=-++=-=+≥-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论;（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()limlimx x y f x+x f x f x x x∆→∆→∆∆-'==∆∆. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程; （2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再由点斜式写出方程;（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝. （2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋. （3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 5．复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==,的导数间的关系为x u x y y u '='⋅'，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号;（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内的单调性.2．函数的极值与导数的关系一般地，对于函数()y f x =，①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点;()f a 叫做函数f (x )的极小值.②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言;②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）;③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点; ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值;②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f (f )是奇函数，所以f −1=0，解得f =1，所以f (f )=f 3+f ，f′(f )=3f 2+1，所以,，所以曲线f =f (f )在点,处的切线方程为f −f (0)=f′(0)f ，化简可得f =f . 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线f =f (f )在某个点,处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f′(f )，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.3．已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4(),x y 处的切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．【答案】DB 、C 错误; 又当πx =时，0y =，当0y <，选项A 错误; 本题选择D 选项.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 5．函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+，令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数，所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.6．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()21x f x '>，()522f =，则关于x 的不等式()1e 3ex x f <-的解集为A ．()20,eB ．(),ln2-∞C ．()0,ln2D ．()2e ,+∞【答案】B【解析】令()()1,0g x f x x x=+>，则()()()22211x f x g x f x x x -=-='''， ∵()21x f x '>，∴()()2210x f x g x x -='>'，∴函数()()1g x f x x=+在()0,+∞上单调递增．又()522f =，∴()()12232g f =+=．结合题意，不等式()1e 3e x x f <-可转化为()()11e 2e 2x x f f +<+，即()()e 2xg g <，∴0<e 2x <，解得ln2x <，原不等式的解集为(),ln2-∞．故选B ．【名师点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，再根据所构造的函数的单调性进行解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题的关键．由()21x f x '>构造函数()()1g x f x x =+，则有()()2210x f x g x x -='>'，从而得到函数()()1g x f x x=+在()0,+∞上单调递增．又()()12232g f =+=，所以不等式()1e 3e x x f <-可化为()()11e 2e 2x x f f +<+，根据函数()g x 的单调性可得0<e 2x <，于是可得所求结果．7．已知定义在()0,+∞上的函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于 A ．−3 B ．1 C ．3D ．5【答案】D【解析】设函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-在公共点（a ,b ）（a ＞0）处的切线相同，由题得()()62,4,f x x h x x =-'=所以26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，解之得a =1,b =−4,m =5.故答案为D.【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.8．若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦B ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】依题意可得()25102f x a x ax =-'-≥对x ()1,2∈恒成立，即25102ax x a-+≤对x ()1,2∈恒成立.设g (x )= a 2512x x a-+，x ()1,2∈. 当a >0时，()()5110212450g a ag a a ⎧=-+≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩，解得112a ≤≤.当a <0时，g (0)=10a <，−522a -=504a<，()()01,2g x x ∴<∈对恒成立.综上，a 的取值范围为()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦. 故选B.【名师点睛】本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，是一道中档题，其基本解题思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零;当函数为减函数时，导数小于等于零，已知函数单调性求参数的范围问题往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好地考查了学生的计算能力． 9．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2]C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞，，【答案】A【解析】由题意得，方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则33m x x -=-，x ∈[0,2]，令33y x x =-，x ∈[0,2]，则233y x '=-，令0y '>，解得x >1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又x =1时，2y =-;x =2时，y =2;x = 0，y = 0，∴函数33y x x =-，x ∈[0,2]的值域是[]2,2-，故[]2,2m -∈-，∴[]2,2m ∈-，故选A. 10．函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B;令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D. 【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.11．已知函数()()()32211132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是A ．()0,3B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()0,11,3D ．()1,11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()()()()2213221,f x x a x a a x a x a ⎡⎤=+-+-=---⎣⎦' 令()0f x '=,则x =a 或x =2a −1.若1a =,则()21,0a a f x '=-≥R 在上恒成立,函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点; 若1a >,则21a a <-, 由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以3,13a a <∴<<;若1a <,则21a a >-,由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以0,01a a >∴<<.综上所述,0113a a <<<<或,故选C.【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较21a a -与的大小，11a a ><分和进行讨论.12．曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x –2【解析】由f =f (f )=2ln f ，得f ′(f )=2f .则曲线f =2ln f 在点,处的切线的斜率为f =f ′(1)=2，则所求切线方程为f −0=2(f −1)，即f =2f −2.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;②写出切线的点斜式方程;③化简整理.14．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】−3√32【解析】f′(f )=2cos f +2cos 2f =4cos 2f +2cos f −2=4(cos f +1)(cos f −12)，所以当cos f <12时函数单调递减，当cos f >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (f )取得最小值，此时,，所以f (f )min =2×(−√32)−√32=−3√32，故答案是−3√32. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>，即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=-令()ln g t t =-，则4()4g t t -'= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增;当8t 时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域;（2）求导数()f x ';（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根;（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值;（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.16．已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点;（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析;（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>;当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>;当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x .又当0,[0,π]a x ∈时，ax ≤0，故()f x ax .因此，a 的取值范围是(,0]-∞.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.17．已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点;（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减;当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<. 又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.18．已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性;（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【答案】（1）见详解;（2）8[,2)27. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3a x =．若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>;当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减; 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增;若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>;当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩ 所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27．【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.19．已知函数()3213f x x bx cx c =+++. （1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ; （2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围．【答案】（1）12b =，2c =-;（2）(],0-∞. 【解析】（1）()22f x x bx c '=++，∴由()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2107202b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 122b c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，此时()()()2221f x x x x x '=+-=+-，当()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取得极小值，符合题意，故12b =，2c =-. （2）()3213g x x bx c =++， ∴()22k g x x bx '==+，221x bx +<对一切01x <<恒成立， ∴122x b x <-对一切01x <<恒成立. 又122x y x =-在()0,1上为减函数， 1022x x ∴->， ∴0b ≤. 故b 的取值范围为(],0-∞.【名师点睛】本题考查利用导数求解极值点、导数的几何意义;求解极值点的方法是利用导函数零点的个数结合原函数的单调性来确定，要注意导函数的零点并不一定是函数的极值点，要成为极值点其左右两边的单调性必须相异;研究函数的切线斜率实质上即为研究函数的导函数的取值. （1）由题意可得()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩，求得122b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，检验即可;。

高三数学复习资料学霸笔记

高三数学复习资料学霸笔记一个好的学霸笔记是高三学生必备的工具之一。

通过笔记的整理和归纳，可以加深对知识点的理解和记忆，提高数学成绩。

那么，怎么样才能制作优秀的学霸笔记呢？下面给大家分享几个经验和技巧。

第一步：准备工作在开始制作笔记之前，需要先做好一些准备工作。

首先，准备好笔记本，在上面专门记录数学知识点和思路。

其次，需要准备一支好笔，以及各种颜色的荧光笔、彩色笔等，方便区分不同的知识点和重点，美观大方。

第二步：整合知识点在制作笔记时，需要对数学课本和考试重点进行分类整理，把每个知识点都写在笔记本上。

可以根据知识点的难易程度，将其进行标注和划分，方便复习时查找。

第三步：记笔记的技巧记笔记是一个比较轻松的过程，但是需要有一些技巧。

要始终保持清晰的思路，把笔记写得简单明了，易于理解。

可以用图表等形式来简化笔记，更加生动形象。

可以用箭头或者连线来将每个知识点进行关联。

其次，需要注重重点的记忆。

可以用颜色标记出重点和难点，方便自己复习时快速找到。

还可以把难点和重点单独一页写下来，多加练习，将其掌握得更加牢固。

第四步：整理笔记在记笔记时，需要保持笔记的连贯性。

完成后需要对笔记进行整理，重新排版，将各个知识点合理地分组或者扩展。

同时，还要将笔记句子衔接得更流畅，便于阅读。

第五步：复习笔记笔记完成后，不要忘记复习笔记。

可以每天花一些时间整理笔记，将难点和要点重新回顾一下。

如果有时间的话，可以复制一些同学的优秀笔记，观察一下他们的写作方式和技巧。

最后，需要提醒大家，数学学习需要长时间的积累和努力。

制作好的笔记是提高成绩的一个手段之一，但同时也需要配合其他方法一起使用。

总之，好的学霸笔记可以让学习更加轻松和高效，提高阅读和思考的效率，为高考打下坚实的基础。

希望以上的方法和技巧可以对高三的同学们有所帮助。

2020年高考数学学霸纠错笔记集合与常用逻辑用语含解析202101142106

忽略集合中元素的互异性设集合2{},,,1,{,}A x x xy B x y ==，若A B =，则实数,x y 的值为 A ．1x y =⎧⎨∈⎩RB ．1x y =-⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩【错解】由A B =得21x xy y ⎧=⎨=⎩或21x y xy ⎧=⎨=⎩，解得1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以选D ．【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当1x y =⎧⎨∈⎩R 时，A =B ={1,1，y }，不满足集合元素的互异性；当11x y =⎧⎨=⎩时，A =B ={1,1,1}也不满足元素的互异性；当1x y =-⎧⎨=⎩时，A =B ={1，−1,0}，满足题意．【试题解析】由A B =得21x xy y ⎧=⎨=⎩或21x y xy ⎧=⎨=⎩，解得1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，经检验，当取1x y =⎧⎨∈⎩R 与11x y =⎧⎨=⎩时不满足集合中元素的互异性，所以1x y =-⎧⎨=⎩. 【参考答案】B集合中元素的特性：（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系1．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【解析】因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.【答案】－32误解集合间的关系致错已知集合{}{|0,1}A B x x A ==⊆，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B ⊆ B ．A ⊂≠B C ．B ⊂≠AD ．A B ∈【错解】因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，所以A ⊂≠B ，故选B ．【错因分析】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B 中的元素就是集合，当集合A 是集合B 的元素时，A 与B 是从属关系．【试题解析】因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，则集合{}0,1A =是集合B 中的元素，所以A B ∈，故选D ．【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇）；如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）.2．已知集合{}2|45,{|2}A x x x B x =-<=，则下列判断正确的是A ． 1.2A -∈B BC ．B A ⊆D ．{|54}AB x x =-<<【解析】{}{}15,04A x x B x x =-<<=≤<，.B A ∴⊆【答案】C忽视空集易漏解已知集合2{|3100}A x x x ，{|121}B x m x m ，若A B A ，则实数m 的取值范围是 A ．[3,3]- B ．[2,3] C ．(,3]-∞D ．[2,)+∞【错解】∵23100x x ，∴25x ，∴{|25}A x x .由ABA 知B A ⊆，∴21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，则33m -≤≤.∴m 的取值范围是33m -≤≤.【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有A A ∅=，所以错解中忽略了B =∅时的情况. 【试题解析】∵A BA ，∴B A ⊆.2{|3100}{|25}A x x x x x ，①若B∅，则121m m ，即2m ，故2m 时，A BA ；②若B ≠∅，如图所示，则121m m ，即2m .由B A ⊆得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，解得33m -≤≤.又∵2m ，∴23m ≤≤.由①②知，当3m ≤时，A BA .【参考答案】C（1）对于任意集合A ，有A∅=∅，A A ∅=，所以如果A B =∅，就要考虑集合A B 或可能是∅；如果AB A =，就要考虑集合B 可能是∅.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠.3．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,0,2}-【解析】AB B B A =⇒⊆,{} 2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1∅--，当B =∅时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，不存在a ，符合题意，实数a 值集合为{}1,0,2-，故选D. 【答案】DA 是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别设,a b ∈R ,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【错解】B【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.【试题解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故选A.【参考答案】A（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ⇒A 且A /B ；（2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ⇒B 且B /A .4．已知a ，b ∈R ，若221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则实数m 的取值范围是 A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],2-∞- C ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)2,0- 【解析】由基本不等式得，221212a b ab ab +≥≥⇒≥，由102ab ab <⇒≤-，又因为221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则12m ≤-，故选A ．【答案】A命题的否定与否命题的区别命题“()**n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是A ．()**()n f n f n n ∀∈∉>N N ，且B ．**()()n f n f n n ∀∈∉>N N ，或 C ．**0000)()(n f n f n n ∃∈∉>N N ，且D ．**0000()()n f n f n n ∃∈∉>N N ，或【错解】错解1：“*0n ∀∈N ”的否定为“*0n ∃∈N ”，“()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()*0f n ∉N 且00()f n n >”，故选C ．错解2：“()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()*f n ∉N 且()f n n >”，故选A ．错解3：“()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()()*f n f n n ∉>N 或”，故选B ．【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“()**n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是“()()**0000n f n f n n ∃∈∉>N N ，或 ”．故选D ．【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论． 2．命题的否定（1）对“若p ，则q ”形式命题的否定；（2）对含有逻辑联结词命题的否定；（3）对全称命题和特称命题的否定．（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知2||1:523,:045p x q x x ->>+-，则¬p 是¬qA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】∵:3|5|2p x ->，∴5x −2>3或5x −2<−3， ∴x >1或15x <-，∴¬p ：115x -≤≤.∵21:045q x x >+-，∴x 2＋4x −5>0， ∴x >1或x <−5，∴¬q ：−5≤x ≤1，∴¬p ⇒¬q ，但¬q /⇒¬p ，故¬p 是¬q 的充分不必要条件．【答案】A一、集合1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系. 3．常用数集及其记法：4．集合间的基本关系（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 5．集合的基本运算{|B x x =|{A B x x ={|UA x x =A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = A B A ⊇A B B ⊇AA A =A A ∅=AB BA =()UU A A =UU =∅UU ∅=()U A A =∅()U A A U =（2）(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题2．四种命题间的关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. (1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件；③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”；用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”；对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．全称量词和存在量词4．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：含有逻辑联结词的命题的真假判断：（1）p q ∧中一假则假，全真才真．（2）p q ∨中一真则真，全假才假．（3）p 与p ⌝真假性相反．注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则UB A =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C 【解析】由已知得{}1,6,7UA =，所以UB A ={6,7}.故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求解. 2．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅【答案】C 【解析】由题知，(1,2)AB =-.【名师点睛】本题主要考查交集运算，是容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题． 3．已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4．设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“05x <<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 5．若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.7．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；当()f x 为偶函数时，()()f x f x -=对任意的x 恒成立，由()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，得cos sin cos sin x b x x b x +=-，则sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 8．若集合A ={A |3−2A <1}, A ={A |3A −2A 2≥0}，则A ∩A = A ．(1,2] B ．(1,94] C ．(1,32]D ．(1,+∞)【答案】C【解析】因为A ={A |A >1},A ={A |0≤A ≤32 }，所以A ∩A ={A |1<A ≤32 }．故选C. 【名师点睛】本题考查了集合的交集运算，A ∩B 可理解为：集合A 和集合B 中的所有相同的元素的集合. 一般步骤为：先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解. 9．已知集合A ={A |2<A <4}，A ={A |3≤A ≤5}，则=A B RA ．{A |2<A ≤5}B ．{A | A <4或A >5}C ．{A |2<A <3}D ．{A | A <2或A ≥5}【答案】B【解析】因为A ={A |3≤A ≤5}，所以B R={A |A <3或A >5}，又因为集合A ={A |2<A <4}，所以=AB R{A | A <4或A >5},故选B.【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或不属于集合A 的元素的集合. 10．设全集A =A ,A ={A |−A 2−3A >0 }，A ={A |A <−1 }，则图中阴影部分表示的集合为A ． {A |A >0 }B ． {A |−3<A <−1 }C ． {A |−3<A <0 }D ． {A |A <−1 }【答案】B【解析】∵A ={A |−A 2−3A >0 }={A |−3<A <0 }，A ={A |A <−1 }，图中阴影部分表示的集合为A B ，∴A ∩A ={A |−3<A <−1 }. 故选B ．11．已知全集A =A ，函数A =ln (1−A )的定义域为A ，集合A ={A |A 2−A <0 }，则下列结论正确的是A ．A ∩A =AB ．A ∩(∁U A )=AC ．A ∪A =AD ．A ⊆(∁U A )【答案】A【解析】函数A =ln (1−A )的定义域为A ={A |A <1},A ={A |A 2−A <0 }={A |0<A <1},结合选项A ∩A =A 正确，故选A.12．命题“∃A 0∈A ，使得ln A 0(A 0+1)<1”的否定是A ．∀A ∈A ，都有ln A 0(A 0+1)<1B ．∀A ∉A ，都有ln A (A +1)≥1C ．∀A 0∈A ，都有ln A 0(A 0+1)≥1D ．∀A ∈A ，都有ln A (A +1)≥1 【答案】D【解析】由于特称命题的否定为全称命题，所以“∃A 0∈A ，使得ln A 0(A 0+1)<1”的否定为“∀A ∈A ，都有ln A (A +1)≥1”．故选D ．【名师点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，即把全称（特称）量词改为特称（全称）量词；二是注意要把命题进行否定． 13．“若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是 A ．0x ∃<，有()0f x <成立，则12a <B ．0x ∃<，有()0f x ≥成立，则12a <C ．0x ∀≥，有()0f x <成立，则12a <D ．0x ∃≥，有()0f x <成立，则12a <【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是“0x ∃≥，有()0f x <成立，则12a <”.故选D. 14．已知集合(){,|1,01}A x y y x x ==+≤≤，集合(){,|2,010}B x y y x x ==≤≤，则集合AB =A ．{}1,2B ．{}1,2x y ==C ．(){}1,2D ．{}1,2x x ==【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2，故选C ．15．已知集合A ={A |1<2A ≤16}，A ={A |A <A }，若A ∩A =A ，则实数A 的取值范围是A ．A >4B ．A ≥4C ．A ≥0D ．A >0【答案】A【解析】由题意可知：A ={A |0<A ≤4}，结合集合B 和题意可得实数A 的取值范围是A >4.本题选择A 选项. 16．下列命题正确的是A ．∃A 0∈A ,A 02+2A 0+3=0B ．A >1是A 2>1的充分不必要条件C ．∀A ∈A ,A 3>A 2D ．若A >A ，则A 2>A 2【答案】B【解析】x 2+2x +3=0的∆=﹣8＜0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 02+2x 0+3=0错误，即A 错误；x 2＞1⇔x ＜﹣1，或x ＞1，故x ＞1是x 2＞1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3＞x 2错误，即C 错误；若a =1，b =﹣1，则a ＞b ，但a 2=b 2，故D 错误；故选：B ．17．已知命题p ：∃A 0∈R ，2A 0＜A 0－1；命题q ：在△ABC 中，“BC 2＋AC 2＜AB 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是 A ．¬AB ．p ∧qC ．p ∨（¬A ）D ．（¬A ）∧q【答案】D【解析】因为∀A ∈R ,2A >A −1，故命题p 为假命题；因为AA 2+AA 2<AA 2，故cos A <0，故“AA 2+AA 2<AA 2”是“AAAA 为钝角三角形”的充分不必要条件，命题q 为真，故（¬A）∧A 为真，故选D.【名师点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，考查一次函数以及指数函数的图像与性质，还考查了三角形为钝角三角形的判断方法以及充要条件等知识，综合性较强，属于中档题.解题过程中主要用分层推进，一步一步来完成，分别求得A ,A 的真假性，然后结合逻辑联结词判断真假性.18．下列有关命题的说法正确的是A ．若"A ∧A"为假命题，则A ,A 均为假命题B ． "A =−1"是"A 2−5A −6=0"的必要不充分条件C ．命题"若A >1,则1A <1 "的逆否命题为真命题D ．命题"∃A 0∈A ,使得A 02+A 0+1<0"的否定是："∃A ∈A ,均有A 2+A +1≥0 "【答案】C【解析】A. 若"A ∧A"为假命题，则A ,A 中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "A =−1"是"A 2−5A −6=0"的充分不必要条件，因为由"A 2−5A −6=0"得到“x =−1或x =6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若A >1,则1A <1 "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题"∃A 0∈A ,使得A 02+A 0+1<0"的否定是："A ∈A ,均有A 2+A +1≥0 "，所以该选项是错误的. 故选C.19．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 A ．()()p q ⌝∨⌝为真命题 B ．()p q ∨⌝为真命题 C ．()()p q ⌝∧⌝为真命题D ．p q ∨为真命题【答案】A【解析】命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题p ⌝是“第一次射击没击中目标”，命题q ⌝是“第二次射击没击中目标”，∴命题 “两次射击中至少有一次没有击中目标”是()()p q ⌝∨⌝，故选A ．20．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.21．设A >0且A ≠1，A ∈R ，集合A ＝{14，log A 2}，B ＝{﹣1，0，2A }．若A ⊆B ，则A +A ＝__________．【答案】−32【解析】因为A ⊆B ，所以2A =14，log A 2=−1，所以b =−2,a =12,∴A +A =−2+12=−32. 故答案为−32.【名师点睛】本题主要考查集合的关系，考查对数指数方程的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．若命题“2000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，则m 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞【解析】因为命题“2000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，所以2,20x x x m ∀∈-+>R 为真命题，即440,1m m ∆=-<>，故答案为()1,+∞.23．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(],0-∞【解析】条件p :log 2(1−x )<0，∴0<1−x <1，解得0<x <1. 条件q :x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，∴0a ≤. 则实数a 的取值范围是：(−∞,0]. 故答案为：(−∞,0].24．下列有关命题的说法一定正确的是__________．（填序号）①命题“x ∀∈R ， sin 1x ≥”的否定是“0x ∃∈R ， 0sin 1x ≤” ②若向量∥a b ，则存在唯一的实数λ使得λ=a b③若函数()f x 在R 上可导，则()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件 ④若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题【答案】③【解析】命题“x ∀∈R ， sin 1x ≥”的否定是“0x ∃∈R ， 0sin 1x <”.故①错；若向量∥a b ，则存在唯一的实数λ使得λ=a b ，当=0b 时，λ不唯一；②错；若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”不一定为真命题，④错. 故填③．25．已知命题A :∃A ∈A , A A 2+1≤0，命题A :∀A ∈A , A 2+AA +1>0，若A ∨A 为真命题，则实数A 的取值范围为__________．【答案】A <2【解析】由题意可得¬A ：∀A ∈A , A A 2+1>0，,若¬A 为真，则 A ≥0，A :∀A ∈A , A 2+AA +1>0，则A 2−4<0,∴−2< A <2.则¬A ：A ≤−2或A ≥2. 则¬A 且¬A 为真，有A ≥2.A ∨A 为真命题，则¬A 且¬A 为假，故A <2.26．已知,a b ∈R ，则“1ab =”是“直线10ax y +-=和直线10x by +-=平行”的__________．（填充要条件、充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件）【答案】必要不充分条件10x by +-=0ax y a +-=，当1a b ==时，两直线重合，所以充分性不成立；必要性：若两直线平行，则111a b ab ⨯=⨯⇒=，所以必要性成立. 故填必要不充分条件．27．设p ：函数A (A )=√AA 2−A +14A 的定义域为R ，A : ∃A ∈(0,1)，使得不等式3A −9A −A <0成立，如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．【答案】(−6,1)【解析】若命题p为真，即AA2−A+14A≥0恒成立，则有{A>0A=1−A2≤0，解得A≥1．令A=3A，且A(A)=−A2+A，A∈(1,3)，所以函数A(A)在(1,3)上单调递减，所以A(3)<A(A)<A(1)，即−6<A(A)<0，所以A=3A−9A的值域为(−6,0)，若命题q为真，即∃A∈(0,1)，使得A>3A−9A成立，则A>−6．由命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p，q一真一假，①当p为真命题，q为假命题时，则有{A≥1A≤−6，不等式组无解．②当p为假命题q为真命题时，则有{A<1A>−6，解得−6<A<1．综上可得−6<A<1．所以实数A的取值范围是(−6,1)．。

高三数学知识点学霸笔记

高三数学知识点学霸笔记高三是每一个初中毕业生的重要里程碑，也是进入高中后最关键的一年。

在高三的备考阶段，数学无疑是让许多学生头疼的科目之一。

因此，对于数学知识点的扎实掌握和理解至关重要。

本文将为大家分享一些高三数学知识点的学霸笔记，希望对大家的学习有所帮助。

一、函数与导数在高三的数学学习中，函数与导数是非常重要的一个章节。

我们首先来回顾一下函数的基本概念。

函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量的值映射到唯一的因变量的值。

函数的图像是在直角坐标系中的一条曲线线段。

对于函数$f(x)$，我们可以通过导数来对其进行研究。

导数的概念非常重要，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数的定义是函数在某一点处的斜率，并且导数也可以表示函数曲线在该点处的切线的斜率。

导数的计算可以通过一些基本的求导法则来进行，例如常数法则、幂法则、和差法则以及乘积法则等等。

另外，我们还需要掌握一些特殊函数的导数形式，例如幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。

二、三角函数在高三的数学学习中，三角函数是一个较为复杂和抽象的概念。

三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

为了更好地理解三角函数，我们需要掌握三角函数的基本性质和公式。

在三角函数的学习中，我们需要重点掌握的是三角函数的图像、定义域和值域，以及主要的性质和公式。

我们需要清楚地理解正弦函数和余弦函数的周期性质，以及正切函数的奇偶性质。

另外，我们还需要掌握三角函数的和差化积公式、倍角公式和半角公式等等。

这些基本的性质和公式是解题的重要工具。

三、数列与数学归纳法数列是高中数学中的一个重要概念，而数学归纳法则是研究和证明数列性质的基本方法。

数列是按照一定规律排列的数字的集合，而数学归纳法则是通过证明一个基本命题的成立，进而推导出所有情况的正确性。

在数列的学习中，我们需要重点掌握的是数列的定义和性质，以及求解数列的通项公式和前n项和的公式。

另外，我们还需要了解一些常见的数列类型，例如等差数列和等比数列等。

纯手写!87页高分学霸数学笔记曝光,原来人家拿高分是有原因的!速下载

纯手写!87页高分学霸数学笔记曝光,原来人家拿高分是有原因的!速下载不少同学一到上课就开始忙起来了，把老师写在黑板上的一字不落都抄到笔记本上，就觉得笔记记完了。

但是这种方法真的有效吗？还有更高效的方法吗？今天学习哥给大家分享的是一个高三学霸谈到的一些记笔记的技巧；希望大家多多学习，从记笔记这件事做起，慢慢培养自己的好习惯。

学习就是这样一个慢慢改进、提升自己的过程，希望你不要操之过急。

01记课堂笔记的五大技巧1、不要记得太紧太密，每页右边留下约1/3的空白处，以便日后补充、修改。

2、用词用语要简洁浓缩，常用词语可用代号。

3、写字要快、字迹不必要求太高，看清就行。

4、注意听课与看书结合，有些内容可直接在书上批注。

5、用不同颜色的笔，比如用蓝色和红色，一般用蓝色笔写，重要的内容（如：概念、公式、定理）用红色笔写，这样便于以后复习只需看一下提纲然后进行联想。

02整理笔记“七步法”第一步：忆“趁热打铁”，课后即抓紧时间，对照书本、笔记，及时回忆有关的信息。

实在忆不起来，可以借同学的笔记参看。

这是整理笔记的重要前提，为笔记提供“可整性”。

第二步：补课堂上所做的笔记，因为是要跟着老师讲课的速度进行的，一般的讲课速度要较记录速度快。

于是笔记就会出现缺漏、跳跃、省略甚至符号代文字等情况。

在忆的基础上，及时作修补，使笔记有“完整性”。

第三步：改仔细审阅笔记，对错字、错句及其他不够确切的地方进行修改。

其中，特别要注意与解答课后练习，与教学(学习)目的有关的内容的修改，使笔记有“准确性”。

第四步：编用统一的序号，对笔记内容进行提纲式的、逻辑性的排列，注明号码，梳理好整理笔记的先后顺序，使笔记有“条理性”。

第五步：分以文字(最好用红笔)或符号、代号等划分笔记内容的类别。

如，以语文为例，哪些是字词类，哪些是作家与作品类，哪些作品(课文)是分析类，哪些是问题质疑、探讨类，哪些是课后练习题解答，等等。

为分类摘抄做好准备，使笔记有“系统性”。

高考数学指导方法：135学霸笔记分享

高考数学指导方法：135学霸笔记分享高中数学一轮复习方法与指导学好高中数学要做大量的题，但反过来做了大量的题，数学不一定好，“不要以做题多少论英雄”，因此要提高解题的效率，做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。

如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习是必要的。

1、要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题;2、要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按“学、练、思、结”程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。

3、是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是学好高中数学的重要问题。

4、尽管复习时间紧张，但我们仍然要注意回归课本。

回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。

5、独立思考是高中数学的灵魂，遇到不懂或困难的问题时，要坚持独立思考，不轻易问人，不要一遇到不会的东西就马上去问别人，自己不动脑子，专门依赖别人，而是要自己先认真地思考一下，依靠自己的努力克服其中的某些困难，经过很大的努力仍不能解决的问题，再虚心请教别人，请教时，不要把问题问得太透。

学会提出问题，提出问题往往比解决问题更难，而且也更重要。

高中数学复习指导对高中数学复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。

第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。

如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。

复习的时候心不静。

心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考学霸笔记数学
1. 组织结构清晰：在笔记中使用清晰的标题和子标题，帮助整理知识结构。

使用编号或标签来分类和归档相关的概念和公式。

2. 重点突出标记：在笔记中使用不同颜色的笔或荧光笔来标记重点内容。

可以用粗体或下划线强调重要公式或关键步骤，以便在复习时更容易找到。

3. 示意图和图表：数学常常涉及几何图形、函数图表等。

在笔记中绘制清晰的示意图和图表，帮助理解和记忆概念，同时方便回顾时复习。

4. 解题思路和方法：记录解题的常用思路和方法。

可以写下一些常见的解题技巧、步骤和策略，帮助记忆和巩固解题思维方式。

5. 错题分析：在笔记中特别关注错题和易错题。

详细记录错题的解题过程，分析错误的原因，并给出正确的解答和注意事项，以避免再犯类似错误。

6. 相关例题和练习题：在笔记中列举相关的例题和练习题。

这样可以通过做题巩固知识，同时有助于在复习时快速找到相关的题目进行练习。

7. 知识扩展和拓展：数学是一个相互联系的学科，知识之间有很多关联和拓展。

在笔记中记录一些相关的扩展知识，以便在复习时更深入理解和应用。

8. 总结和归纳：定期对笔记进行总结和归纳，提炼出重要的知识点和公式，以备考前快速回顾和温故知新。