同济大学《高等数学》(第四版)2-1节导数的概念
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第 9 次课 2 学时第二章 导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(lim 0t t t s t s v t t --=→二、 导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
第9次课2学时第二章导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1导数的概念一、 引例1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即0)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s=（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，0)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，二、导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
高等数学4教材答案详解
高等数学4教材答案详解一、导数与微分1. 导数的定义导数是函数在某一点处的瞬时变化率，通常用f'(x)表示。
导数的定义可以表达为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的基本运算法则2.1 常数规则：如果f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0。
2.2 乘积规则：若f(x) = u(x) v(x)，则f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)。
2.3 商数规则：若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)] / [v(x)]²。
3. 微分与近似计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于函数的线性近似计算。
微分的公式为：dy = f'(x) dx其中dy表示函数f(x)在点(x, f(x))处的微小变化量，dx表示自变量x 的微小变化量。
二、函数的极限1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限为L，可以表示为：lim(x→a) f(x) = L2. 极限的性质2.1 唯一性：如果极限存在，则极限唯一。
2.2 有界性：如果极限存在，则函数在某个邻域内有界。
2.3 保号性：如果lim(x→a) f(x) > 0，则存在a的某个邻域内，使得f(x) > 0。
3. 极限的计算方法3.1 四则运算法则：对于函数的四则运算，可以利用极限的性质进行计算。
3.2 复合函数的极限：如果f(x)的极限为L，g(x)在L处连续，那么f(g(x))的极限为f(L)。
三、一元函数的连续性1. 连续函数的定义如果函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且f(a)等于该极限值，那么称函数在点x=a处连续。
2. 连续函数的性质2.1 连续函数的四则运算：连续函数的加、减、乘、除仍然是连续函数。
2.2 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在f(a)处连续，则f(g(x))在x=a处连续。
同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分知识分享
3 x) 3x
f (x0 )
3 f ( x0 )
6．
（ 2） lim f ( x0 h) f ( x0 h) lim f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h)
h0
h
h0
h
lim f (x0 h)
h0
h
f (x0)
lim f (x0
h0
h) f (x0) h
2 f ( x0 )
内可导；
（ 2）若函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导，在区间左端点 a 的右导数 f (a) 和区间右
端点 b 的左导数 f (b) 均存在，则称 y f (x) 在闭区间 [ a,b] 上可导． 定义 4 若函数 y f ( x) 在区间 I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，
x
x x0
x x0
值为 y f ( x) 在点 x0 的 左导数 ，记为 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) lim f ( x0 x0
x)
f (x0)
f (x) lim
f ( x0 ) ．
x
x x0
x x0
（ 2）设函数 y f ( x) 在点 x0 的某右邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 右侧取得增量
v(t0 ) lim v t0
1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
s lim t0 t
lim s(t0
t0
t) s(t0) ． t
已知曲线 C : y f ( x) ，求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率．
欲求曲线 C 上点 M 0( x0 , y0) 的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的
高等数学2.1 导数的概念
P
O
x0
x
由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为
y - y0 = f ( x0)(x x0) .
法线方程为
1 y y0 ( x x0 ) ( f ( x0 ) 0). f ( x0 )
其中 y0 = f ( x0).
例2 法线方程. 解
( x 2 ) |x0 1 2.
例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2
此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不
存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.
如果极限不存在，我们说函数 y f ( x) 在点x0
x0
处不可导.
如果固定x0 , 令x0 x x, 则当x 0时，
有x x0 , 故函数在x0处的导数f ' ( x0 )也可表示为
s s( t 0 t ) s( t 0 ) , t t
在匀速运动中， 这个比值是常量，但在变速运动
中，它不仅与 t0 有关，而且与 t 也有关，当 t
s 很小时， 显然 与在 t0 时刻的速度相近似. t s
如果当 t 趋于 0 时， 平均速度
t 则将这个极限值记作 v (t0)， 叫做物体在 t0 时刻
y 第二步求 ： x
y 2 x 0 x ( x ) 2 2 x 0 x . x x
第三步取极限：
y lim lim ( 2 x0 x ) 2 x0 . x 0 x x 0
即
( x ) | x x0 2 x0 .
2Байду номын сангаас
有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数， 就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得
高等数学(同济大学)课件上第2_1导数的概念
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
同济大学高等数学课件D121基本概念
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解
同济高数第四版知识点总结
同济高数第四版知识点总结一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的极限、导数和积分。
在《同济高数第四版》中，微积分的内容主要包括了函数的极限、导数、微分、定积分和不定积分等方面。
1.1 函数的极限函数的极限是研究函数在某一点附近的变化趋势。
在教材中，介绍了数列的极限和函数的极限的概念，并给出了一些典型的函数极限的计算方法，比如使用极限的性质进行计算、泰勒公式等。
1.2 导数导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的斜率。
在教材中，介绍了导数的定义、导数的代数运算规则、导数的几何意义以及一些常见函数的导数计算方法。
1.3 微分微分是导数的一种应用，它可以用于函数的局部线性逼近，也可以用于函数的最值问题等。
在教材中，介绍了微分的定义、微分的性质和微分的计算方法。
1.4 定积分定积分是对函数在一定区间内的积分，它可以理解为函数在这一区间内的“总体积”。
在教材中，介绍了定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法以及一些几何应用。
1.5 不定积分不定积分是对函数的反导数，它可以用于计算定积分、解微分方程等。
在教材中，介绍了不定积分的定义、不定积分的基本性质、不定积分的计算方法以及一些典型的不定积分的计算方法。
二、多元函数微分学在多元函数微分学中，主要讨论了多元函数的极限、偏导数、全微分、方向导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的导数、隐函数及参数方程求导等内容。
2.1 多元函数的极限多元函数的极限是研究多元函数在某一点附近的变化趋势，它与一元函数的极限类似。
在教材中，介绍了多元函数的极限的概念、多元函数的极限的判定方法以及一些典型的多元函数的极限的计算方法。
2.2 偏导数偏导数是多元函数的导数在某一方向上的投影，它可以用于研究多元函数在某一方向上的变化率。
在教材中，介绍了偏导数的概念、偏导数的计算方法、偏导数的性质以及一些典型的偏导数的计算方法。
2.3 全微分全微分是多元函数的微分在某一方向上的投影，它可以用于多元函数的局部线性逼近。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x)
1
11
x2
2
1. 2x
( x1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★
设函f(x 数) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
h 0
h
limcos(x
h0
h) 2
sinh 2
h
cx o . s
2 即(sx )i n co x . s
(sixn) x coxsx
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
limylimf(x0 x)f(x0),
x x0
x0
x
称函f数 (x)在点 x0有无穷.导 (不数 可)导
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解
f(x)lh i0m f(xh h )f(x)
limC
h0
C h
0.
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
解 (sx i)n lis m ix n h ()sixn
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函 f(x)在 数 x0 点 可, 导
lxi m 0 xyf(x0)
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续
(lnx) 1 . x
例6 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解 f(0h)f(0)h,
h
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
例7 求等边双y曲 1在 线点 (1,2)处的切线 x2
斜率 ,并写出在该点方 处程 的和 切法 线.线方
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y24(x1), 即 4xy40 .
2
法线方程为 y21(x1), 即 2 x 8 y 1 5 0 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f(x)连续 ,若f(x0)f(x0)则称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
例如,
x2, x0
f(x)
,
x, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0 处不 ,x 0 为 可 f(x )的 导 .角点
2.设函f数 (x)在点 x0连续 , 但
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T M
x0
x
切线方程为 y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
42
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
s ds v(t)lim .
t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i(t)lim .
t0t dt 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
五、可导与连续的关系
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则f(x)在点x0可导，
且 f(x0)a.
三、由定义求导数
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
即(ax)axln a .
(ex)ex.
例5 求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
lim
loga
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.