人教版中考数学复习专题：规律探索题
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类型一
类型二
解:【规律探究】 由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由 此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+…+n2)
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考查类型 1.数式的规律
2.图形的规律
年份、 考 查 点 题号 2017,19 根据所给一列数,或式子所反映的特 2015,13 征进行归纳猜想,得出规律,并对规律 2014,16 进行验证,利用规律解题 分析图形特征和图形变换规律进行 2016,18 合理的猜想假设,得出规律,并对规律 2012,17 进行验证,利用规律解题 借助正六边形考查了坐标的变化规 律
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解:(1)4 17 (2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下: 左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1, 右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1. 左边=右边, 故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.
分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为 an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an2 1=1+3+5+…+(2n-1)=n ”,依此规律即可解决问题; (2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到 2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.
017× 2+1)=1 345.
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例2(2014· 安徽,16)观察下列关于自然数的等式: 32-4×12=5;① 52-4×22=9;② 72-4×32=13;③ … 根据上述规律解决下列问题: 2= (1)完成第四个等式:92-4× ; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性. 分析:通过观察变化的数字与序号的关系, 得出第四个等式:92-4×42=17; 通过归纳总结可得出第n个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1并证明.
n + n + … + n,即 n2.这样,该三角形数阵中共有
n 个n
n(n+1) 个圆圈,所有圆 2
圈中的数的和为 12+22+32+…+n2.
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【规律探究】 将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型, 观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1 个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均 为 .由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+…+n2)= . 因此12+22+32+…+n2= .
【解决问题】
图2
12 +22 +32 +…+2 0172 根据以上发现,计算 的结果. 1+2+3+…+2 017
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分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中 的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得, 1 每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 3 ,从而得出答案;【解 决问题】运用以上结论,将原式变形为
n(n+1) =(2n+1)· (1+2+3+…+n)=(2n+1)· 2 , n(2n+1)(n+1) 因此,12+22+32+…+n2= ; 6 n(n+1)(2n+1) n(n+1)(2n+1) 故答案为:2n+1, , . 2 6
【解决问题】
1 ×2 017× (2 017+1)× (2×2 017+1) 1 6 原式= =3× (2 1 ×2 017× (2 017+1) 2
3.直角坐标系 下点的坐标的 2013,18 变化规律
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类型一
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类型一 数式的变化规律 例1(2017· 安徽,19)【阅读理解】 n(n + 1) 我们知道,1+2+3+…+n= 2 ,那么12+22+32+…+n2结果等于多 少呢?
图1
在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两 个圆圈中数的和为2+2,即22;……;第n行n个圆圈中数的和为
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规律探索题
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命题预测
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法指导
规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干 所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对 象所具有的规律性的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到 一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探 索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律 类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力的重要方式.考查的题 型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续6年都有考查,预 计这类题仍然是2018年中考的热点.
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方法指导
解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全 面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出 一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用. 1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般 有三种主要途径: (1)式与数的特征观察. (2)图形的结构观察. (3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则: (1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积 找积的规律. (2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再 验证运用规律.
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类型二 图形的变化规律 例3(2016· 安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:
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(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含n的代数 式填空: 1+3+5+…+(2n-1)+( )+(2n-1)+…+5+3+1= .
中考数学专题训练：规律探索——数式规律(附参考答案)
中考数学专题训练：规律探索——数式规律（附参考答案）1．按一定规律排列的单项式：a，√2a2，√3a3，√4a4，√5a5，…，第n个单项式是( ) A．√n B．√n−1a n-1C．√n a n D．√n a n-12．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12……则第2 023次输出的结果为( )A．6 B．3C．622 021D．322 0223．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是( )A．2 025 B．2 023C．2 021 D．2 0194．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为( )A．100 B．121C．144 D．1695．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( ) A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．(n＋1)2a n6．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a－b－c的值是( )A．62 B．64C．－66 D．－1907．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是______________．8．根据图中数字的规律，则x＋y的值是_______．.例9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)＝3a＋1；若a为偶数，则f(a)＝a2＝5.若a1＝8，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)，a4＝f(a3)，…，如f(15)＝3×15＋1＝46，f(10)＝102依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，…，(n为正整数)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝__________．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．(10，18) 8．593 9．4 725。
人教版中考数学复习专题一：规律探究问题课件
D 1．(2018·临沂)一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的 每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 )
C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
2 2 3 4
数式规律型问题
1 1 1 【例 2】(2018·荆门)将数 1 个 1，2 个 ，3 个 ，…，n 个 (n 为正整数) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记 a1＝1，a2＝ ，a3＝ ，…， 2 2 3 3 3 n n 2 2 1 63 S1＝a1， S2＝a1＋a2， S3＝a1＋a2＋a3， …， Sn＝a1＋a2＋…＋an， 则 S2 018＝_____. 32
个图形有5＝3＋2×1(张)正方形纸片，第③个图形有7＝3＋2×2(张) 正方形纸片……由此推导出规律可求得第⑥个图形中正方形纸片的张数 ．
方法归纳 1.这类题目可先从最简单的情形中找到结果与图形个数之间的关 系，再推广到一般的特征，这是数学解题时常用的以退为进的策略，因为一 般规律就隐含在特殊之中． 2．当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变化的量的关系很难直接 通过观察得出规律时， 可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知 的几对对应值求出函数解析式，然后去论证．
数字猜想型问题
【例1】(1)(2018·泰安)观察“田”字中各数之间的关系：
270 则c的值为______.
2 018
(2)(2018·淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行 、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是_________.
中考数学复习探索规律[人教版]
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请做练习
已知△ABC的面积为1，连结这个三 角形各边中点得到一个小三角形的 面积为1/4；又连结这个小三角形 各边中点得到一个更小的三角形的 面积为1/16……如此继续下去，到 第n次这样作出的三角形的面积 为 。
如何从几何变 换规律探索型 中探索规律?
分析上例：利用相似三角形的性质,面积比等 于相似比的平方.那么每次分出的小三角形和 前一个三角形的相似比为1/2,到第n次这样作 出的三角形和原三角形(面积为1)的相似比为 (1/2)n,因此它的面积为[(1/2)n]2= (1/4)n
如何从排列规 律探索型中探 索规律?
我校全体学生按如下的规律排 成一列纵队参加社会服务课活 动 男女男男女女男男男女男 女男男女女男男男女男女男男 女女…… 则队伍前2003名学生中，共 有多少名女学生。
解析上例：观察文字排列顺序， 可发现规律：男女生相间隔开, 男学生的顺序是1、2、3 、1 、 2、3 ……女学生的顺序是1、 2、1 、1 、2、1 ……由此可 见男女生的人数比为3:2,因此 5x=2003,x=400.6,所以女生为 400×2+1=801(人)
如何从数字规 律探索型中探 索规律?
分析上例：观察上数列,可发现规律:后一 个数比前一个数大5,故第n个数为3+5(n1)=5n-2,所以5n-2>2000,解得:n>400.4,则 答案为5×401-2=2003.
通过上例请总结如何从数 字规律探索型中探索规律?
Hale Waihona Puke 学 生 总 结为便于发现规律，常可将每个数字化为有 规律的等式，并通过竖排易于用代数式、方程、 函数、不等式等数学模型表示事物的数量关系、 变化规律的过程。 如: 3=3+5×0； 8=3+5×1； 13=3+5×2； 18=3+5×3； …… 3+5(n-1)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
2023年九年级数学中考专题：规律探索题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：规律探索题一、单选题1．将一些相同的“O”按如图所示摆放，观察每个图形中的“O”的个数，若第n个图形中“O”的个数是78，则n的值是（）……第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形A．11B．12C．13D．142．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这8只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（）．A．3B．4C．5D．63．如图所示，图（1）中含“○”的矩形有1个，图（2）中含“○”的矩形有7个，图（3）中含“○”的矩形有17个，按此规律，图（6）中含“○”的矩形有（）A．70B．71C．72D．734．如下表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第2017个格子中的整数是()A．-2B．6C．-4D．125．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．6 个B．7个C．8个D．9 个6．将正整数1至2016按一定规律排列如表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2000B．2019C．2100D．21487．把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100－x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{－1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23B．24C．24或25D．268．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，有理数-5 在“峰1”中D的位置．则有理数-2021在“峰”中A，B，C，D，E中的位置．题中两空分别代表（）A．403D B．404D C．403A D．404E二、填空题9．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．10．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 2020的坐标为________________．12．在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，69415,,,57311…，小军猜想出的第六个数字是1813，也是正确的，根据此规律，第n 个数是_____． 13．一列数按如下的规律排列：1213214321,,,,,,,,,1121231234，则从左边第一数开始数，34为第______个数. 14．下列单项式：-x 、2x 2、-3x 3、4x 4…-19x 19、20x 20…根据你发现的规律，第2015个单项式是___________.15．根据以下图形变化的规律，第2016个图形中黑色正方形的数量是______．16．如图，C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A ，∠A=m,若再作∠1A BE 、∠1A CE 的平分线，交于点2A ；再作∠2A BE 、∠2A CE 的平分线，交于点3A ；……；依次类推，则A n 为_______.三、解答题17．仔细观察下列等式：第1个：52﹣12=8×3第2个：92﹣52=8×7第3个：132﹣92=8×11第4个：172﹣132=8×15…（1）请你写出第6个等式：；（2）请写出第n个等式，并加以验证；（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．18．图∠是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图∠；再分别连接图∠中间小三角形三边的中点，得到图∠．（1）图∠有个三角形；图∠有个三角形；（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形（用n的代数式表示结论）．19．如图，是用三角形(黑色)和六边形(白色)按一定规律拼成的图案．（1）图∠中六边形与三角形的个数各是多少？（2）如果按这样的规律继续拼下去，第n个图案中，六边形的个数是多少？三角形的个数又是多少？(用含n的代数式表示)（3）能否拼成一个同时含有108个六边形和228个三角形的图案？20．观察下列有规律的数：111111,,,,,2612203042⋯根据据规律可知：（1）第7个数，第n个数是（n是正整数）；（2）1132是第个数；（3）计算：1111111 261220304220182019+++++++⨯．参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．210．311．(1010,0)12．3 21n n+13．1914．-2015x201515．302416．2nm17．（1）252﹣212=8×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1），验证见解析；（3）164000．18．（1）5，9；（2）43n-19．（1）观察图形发现有3个六边形，8个三角形；（2）第n个图形有n个六边形，有(22n+)个三角形；（3）不能20．（1）156，1n(n1)+；（2）11；（3）20182019．答案第1页，共1页。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
中考数学复习 专题33 探索规律问题-人教版初中九年级全册数学试题
探索规律问题☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015某某）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A ．14B ．15C ．16D ．17 【答案】C ．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．（2015某某）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（ ）A ．222B ．280C ．286D ．292【答案】D ．【解析】试题分析：设连续搭建三角形x 个，连续搭建正六边形y 个．由题意得，215120166x y x y +++=⎧⎨-=⎩，解得：292286x y =⎧⎨=⎩．故选D ． 考点：规律型：图形的变化类．3．（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（ ）A ．（31，50）B ．（32，47）C ．（33，46）D ．（34，42）【答案】B．【解析】试题分析：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即(121)10082n n+-≥，解得：1008n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（2015192312-+）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题．4．（2015某某）观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．2531 B．3635 C．47 D．6263【答案】C．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．（2015某某市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】B．【解析】试题分析：观察图形得：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…，第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，当n=7时，3×（7+1）=24，故选B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．6．（2015某某）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】试题分析：∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209，故选C．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．（2015某某市）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规律，图⑩中黑色正方形的个数是（）A．32 B．29 C．28 D．26【答案】B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A．160 B．161 C．162 D．163【答案】B．【解析】试题分析：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，故答案为：161．考点：1．规律型；2．综合题．9．（2015贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（）A．0 B．3 C．4 D．8【答案】B．考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．（2015某某）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A．231π B．210π C．190π D．171π【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得：阴影部分的面积和为：222222 (21)(32) (2019)πππ-+-++-=3π+7π+11π+15π+…+39π=5（3π+39π）=210π．故选B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．11．（2015某某）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．2014 21）（B．2015 21）（C．2015 33）（D．2014 33）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．（2015庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（）A．（4n﹣13） B．（2n﹣13 C．（4n+13 D．（2n+13）【答案】C．…，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，∴An 的横坐标是2n ﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，∵当n 为奇数时，An 的纵坐标是3，当n 为偶数时，An 的纵坐标是3-，∴顶点A2n+1的纵坐标是3，∴△B2nA2n+1B2n+1（n 是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，3）．故选C ． 考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．13．（2015某某）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x 轴上，点B1，B2，B3…都在直线y x =上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（ ）A ．（20142，20142）B ．（20152，20152）C ．（20142，20152）D ．（20152，20142）【答案】A ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．（2015某某省）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（2014，0）B ．（2015，﹣1）C ．（2015，1）D ．（2016，0）【答案】B ．【解析】试题分析：半径为1个单位长度的半圆的周长为：121=2ππ⨯⨯，∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，∴点P1秒走12个半圆，当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为（4，0），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为（5，1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为（6，0），…，∵2015÷4=503…3，∴A2015的坐标是（2015，﹣1），故选B ．考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．（2015某某）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：5323+=，119733++=，1917151343+++=，…按此规律，若3m 分裂后其中有一个奇数是2015，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．43【答案】B ．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．16．（2015某某）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A ．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π【答案】D ．【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=，转动第三次的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第四次的路线长是：0，转动五次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：32π+52π+2π=6π，2015÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型．17．（2015威海）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．（2015日照）观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b+=++；33223()33a b a a b ab b+=+++；4432234()464a b a a b a b ab b+=++++；554322345 ()510105a b a a b a b a b ab b+=+++++；…请你猜想10()a b+的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】B．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．（2015某某）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A2处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015，到BC 的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（ ）A ．201521B ．201421C ．2015211-D ．2014212-【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规律型；5．综合题．20．（2015某某）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7； 6=3+3； 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）．【答案】所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和． 【解析】试题分析：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和． 考点：规律型：数字的变化类．21．（2015某某）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行，第b 列，则a+b= ． 【答案】147．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题． 22．（2015某某）若1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若122015...m m m +++=1525，222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，则1m ，2m ，…，2015m 中为2的个数是 ．【答案】510． 【解析】试题分析：∵1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，∴2(1)i m -的值只能是1或0，∵222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，∴1m ，2m ，…，2015m 中值为1的个数为：2015－1510=505，∵222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，∴2221122201520152121 (211510)m m m m m m -++-+++-+=， ∴222122015122015...2(...)20151510m m m m m m +++-++++=，∵122015...m m m +++=1525，∴222122015...m m m +++=2545，∵222122015...m m m +++=2545，200=，211=，224=，∴1m ，2m ，…，2015m 中值为2的个数为：（2545－505）÷4=510． 故答案为：510．考点：1．规律型：数字的变化类；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．23．（2015某某）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n 行有 个点．【答案】1321n -⨯-或（1221n n -+-）．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．24．（2015某某）如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第⑥个图由 个圆组成．【答案】51．【解析】试题分析：根据图形可得第n个图形一定有n排，最上边的一排有n个，下边的每排比上边的一排多1个，故第⑥个图形中圆的个数是：6+7+8+9+10+11=51．故答案为：51．考点：规律型：图形的变化类．25．（2015某某）观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是（用含n的式子表示）【答案】23322n n+．考点：1．规律型：图形的变化类；2．规律型；3．综合题．26．（2015某某）如图，直线22y x=-+与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．【答案】1007 2015．【解析】试题分析：∵P1，P2，P3，…，Pn﹣1是x轴上的点，且OP1=P1P2=P2P3=…=Pn﹣2Pn﹣1=1 n，分别过点p1、p2、p3、…、pn﹣2、pn﹣1作x轴的垂线交直线22y x=-+于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，∴T1的横坐标为：1n，纵坐标为：22n-，∴S1=112(2)2n n⨯-=11(1)n n-，同理可得：T2的横坐标为：2n，纵坐标为：42n-，∴S2=12(1)n n-，T3的横坐标为：3n，纵坐标为：62n-，S3=13(1)n n-，…Sn﹣1=11 (1)nn n--），∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1=11[1(1)]2n nn---=11(1)2nn⨯-=12nn-，∵n=2015，∴S1+S2+S3+…+S2014=11201422015⨯⨯=10072015．故答案为：1007 2015．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．（2015某某）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．【答案】13．…；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为：13．考点：1．规律型：图形的变化类；2．数轴；3．综合题．28．（2015某某）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m 最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为 ． 【答案】128、21、20、3．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．规律型．29．（2015株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为12bS a =+-，孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．【答案】a ，17.5．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．30．（2015内江）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ； 3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 【答案】（1） 22a b -，33a b -，44a b -；（2） n na b -；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．31．（2015某某）定义：底与腰的比是512-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC 中，AB=BC ，∠C=36°，BA1平分∠ABC 交AC 于A1． （1）2AB =AA1•A C ；（2）探究：△ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1） （3）应用：已知AC=a ，作A1B1∥AB 交BC 于B1，B1A2平分∠A1B1C 交AC 于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C 交AC 于A3，作A3B3∥AB 交BC 于B3，…，依此规律操作下去，用含a ，n 的代数式表示An ﹣1An ．（n 为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）【答案】（1）证明见试题解析；（2）△ABC 是黄金等腰三角形；（3）151)2n a +．【解析】试题分析：（1）由角平分线的性质和相似三角形的判定与性质，得到△ABC ∽△AA1B ，从而有1AB ACAA AB =，求出即可； （2）设AC=1，则AB2=1﹣AB ，求出AB 的值，进而得出ABAC =512-，即可得出结论；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．（3）由（2）得；当AC=a ，则AA1=AC ﹣A1C=AC ﹣AB=a ﹣AB=512a a --=251()2a -，同理可得：A1A2=A1C ﹣A1B1=AC ﹣AA1﹣A1B1=215151)22a a A C --=22515151()[()]222a a a a ---=351)2a ；故An ﹣1An=151()2n a +．考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．32．（2015六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．【答案】6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．试题解析：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，∴第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；名称及图形三角形数正方形数五边形数六边形数几何点数层数第一层几何点数 1 1 1 1第二层几何点数 2 3 4 5第三层几何点数 3 5 7 9……………第六层几何点数 6 11 16 21……………第n层几何点数n 2n﹣1 3n﹣2 4n﹣3故答案为：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．33．（2015某某市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x （1≤x≤4，x为自然数）．【解析】试题分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：abcd，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义；4．综合题；5．压轴题．【2014年题组】1．（2014年某某中考）如图，将1、2、3三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（）6B．3C．2 D． 1A．【答案】B．【解析】试题分析：每三个数一循环，1、2、3，（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30个,303,（2014，÷3=10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，即（8，2）表示的数是2014）在数列中是第（1+2014）×2014÷2=2029105个，2029105÷3=676368……1,（2014，3×1=3, 2014）表示的数正好是第676369轮的一个数，即（2014，2014）表示的数是1,故选B．考点：1．规律型：数字的变化类；2．算术平方根．2．（2014年株洲中考）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位……依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33） D．（99，34）【答案】C．考点：1．坐标确定位置；2．规律型：点的坐标．3．（2014年某某中考）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，……An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A ．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n-1）=n-1．故选B．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．（2014年崇左中考）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）【答案】D．考点：1．探索规律题（图形的变化类型----循环问题）；2．点的坐标．5．（2014年某某中考）观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，……由以上规律可以得出第n 个等式为 ． 【答案】（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ． 【解析】试题分析：通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数,第n 个等式为：（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ．故答案为：（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ． 考点：规律型问题．6．（2014年某某中考） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点0M 的坐标为()10，，将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45，再将其延长至点1M ，使得100M M OM ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45，再将其延长至点2M ，使得211M M OM ⊥，得到线段2OM ；如此下去，得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律，请直接写出线段2014OM 的长度为 ．【答案】2014(2)．考点：等腰直角三角形的性质．7．（2014年某某中考）如图，已知CO1是△ABC 的中线，过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3，……，如此继续，可以依次得到点O4，O5，……，On 和点E4，E5，……，En ．则OnEn= AC ．（用含n 的代数式表示）【答案】11n +．【解析】试题分析：∵O1E1∥AC ，∴△BO1E1∽△BAC ，∴111BO O E BA AC =，∵CO1是△ABC 的中线，∴11112BO O E BA AC ==,∵O1E1∥AC ，∴△O2O1E1∽△ACO2，∴1121212O E O E AC O A ==，由O2E2∥AC ，可得：1222113E O O E AE AC ==,……，可得：OnEn=11n +AC ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．（2014年资阳中考）如图，以O （0，0）、A （2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3，……，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是【答案】（6332，213）．考点：规律题．9．（2014年某某中考）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L的值．（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．【答案】（1）S=3，N=1，L=6；（2）100．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．（2014年凉山中考）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+……3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加……第n项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n=12n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是12n（n+1）下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12n（n+1）整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．【答案】（1）600；（2）24．试题解析：（1）由题意可得：12n（n+1）=600，整理得n2+n﹣1200=0，此方程无正整数解,∴三角点阵中前n行的点数的和不可能是600．（2）由题意可得：2+4+6+……+2n=2（1+2+3+……+n）=2×12n（n+1）= n（n+1）,依题意，得n（n+1）=600，整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0，∴n1=﹣25，n2=24．∵n为正整数，∴n=24．∴n的值是24．考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用．☞考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较，从而发现题中蕴涵的数量关系，通过猜想，再通过计算解决问题．【例1】一列数：0，-1，3，-6，10，-15，21，……，按此规律第n个数为【答案】1(1) (1)2nn n---．考点：规律型．归纳2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．【例2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= （用含字母x和n的代数式表示）．【答案】)21(21n xn x-+．考点：规律型．归纳3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点，要注意数形结合．【例3】如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为．【答案】n2+2．【解析】第1个图形中点的个数为3；第2个图形中点的个数为3+3；第3个图形中点的个数为3+3+5；第4个图形中点的个数为3+3+5+7；……第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+……+（2n﹣1）=n2+2．故答案为：n2+2．考点：规律型．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形，发现图形的变化方式，用好数形结合思想解决问题．【例4】如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；……，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= ．【答案】1342+6722．考点：规律型．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律，明确发生变化的与没有发生变化的量，从而逐步发现规律．【例5】如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，……，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1，P2，P3，P4，……Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，……，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，……，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，……，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，……，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．【答案】12(1)n n ．考点：规律型．☞1年模拟1．（2015届某某省某某市平阴县中考二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a，b），则点A2015的坐标为（）A．（-b+1，a+1） B．（-a，-b+2）C．（b-1，-a+1） D．（a，b）【答案】B．【解析】试题分析：∵点A1的坐标为（a，b），∴A2（-b+1，a+1），A3（-a，-b+2），A4（b-1，-a+1），A5（a，b），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2015÷4=503余3，∴点A2015的坐标与A3的坐标相同，为（-a，-b+2）；故选B．考点：规律型：点的坐标．2．（2015届某某省潍坊市昌乐县中考一模）如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图 A2多出“树枝”（）A．32 B．56 C．60 D．64【答案】C．考点：规律型：图形的变化类．3．（2015届某某省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnDn．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnDn面积为．A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ 【答案】A ．③根据中位线的性质易知，A7B7═21A5B5=41A3B3=81A1B1=161AC ，B7C7=21B5C5=41B3C3=81B1C1=161BD ，∴四边形A7B7C7D7的周长是2×161（a+b ）=8b a +，故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，∴S 四边形ABCD=ab ÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnDn 的面积是12+n ab，故④错误；综上所述，①②③正确．故选A ．考点：1．规律型；2．中点四边形．。
2024中考数学复习专题 规律探索题 (含答案)
2024中考数学复习专题规律探索题类型一数式规律1. (2023鄂州)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是()A. 8B. 6C. 4D. 22. (2023泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是________．3. (2022怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．4. (2023张家界)有一组数据：a1＝31×2×3，a2＝52×3×4，a3＝73×4×5，…，a n＝2n＋1n（n＋1）（n＋2）.记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，则S12＝________．5. (2023达州)人们把5－12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝5－12，b＝5＋12，记S1＝11＋a＋11＋b，S2＝21＋a2＋2 1＋b2，…，S100＝1001＋a100＋1001＋b100，则S1＋S2＋…＋S100＝________．6. (2023安徽)观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．类型二图形规律考向1累加型7. (2023重庆B卷)把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第①个图案中有3个菱形，第①个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中菱形的个数为()第7题图A. 15B. 13C. 11D. 98. (2023济宁)如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点…按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()第8题图A. 297B. 301C. 303D. 4009. (2023青海省卷)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料________根．第9题图源自人教七上P70第10题10. (2022常德)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第10题图11. (2023遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．第11题图12. (2023德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：第12题图其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…图①的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，……由此类推，图①中第五个正六边形数是________．考向2成倍递变型13. (2023威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，①AOB ＝①BOC ＝①COD ＝…＝①LOM ＝30°.若S ①AOB ＝1，则图中与①AOB 位似的三角形的面积为( )第13题图A. (43 )3B. (43 )7C. (43 )6D. (34)6 14. (2023荆州)如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A. ab 2nB. ab 2n －1C. ab 2n ＋1 D. ab22n第14题图15. (2023烟台)如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( ) A. (22 )5 B. (22 )6 C. (2 )5 D. (2 )6第15题图16. (2023广安)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 1的圆心为A ，半径为AD ；弧A 1B 1的圆心为B ，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是________(结果保留π).第16题图17. (2023绥化)如图，①AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1①OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2①OA交射线OB 于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此规律，线段P2023K2023的长为________.第17题图考向3周期变化型18. (2023玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2023秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A. 4B. 23C. 2D. 0第18题图19. (2023河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O 重合，AB①x轴，交y轴于点P.将①OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为()A. (3，－1)B. (－1，－3)C. (－3，－1)D. (1，3)第19题图20. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1，1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(－1，3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(－4，0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0，－4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为________．第20题图类型三与函数图象结合21. (2023龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝3x交于点B1，B2，B3，B4…记①OA1B1，①OA2B2，①OA3B3，①OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2023＝________．第21题图22. (2022菏泽)如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象交于点A ，过点A 作AB ①OA ，交x 轴于点B ；作BA 1①OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1①A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2①BA 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去…，则点A 2022的横坐标为________．第22题图23. (2023盐城)《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l 1：y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交直线l 2：y ＝x 于点O 1，过点O 1作y 轴的平行线交直线l 1于点A 1，以此类推，令OA ＝a 1，O 1A 1＝a 2，…，O n －1A n －1＝a n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ≤S 对任意大于1的整数n 恒成立，则S 的最小值为________．第23题图类型四 与实际问题结合24. (2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图①)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图①)；以此类推．第24题图【规律总结】(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______(用含n的代数式表示)；【问题解决】(3)现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？参考答案与解析1. C 【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，则2的1，2，3，4次方的个位上的数分别为2，4，8，6，每4个一次循环，而22022中2022÷4＝550……2，∴个位上的数为4.2. (10，18) 【解析】按照规律可得每一行的最后一个数为行数的平方，第n 行有(2n －1)个数．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18个数，∴表示99的有序数对是(10，18).3. m 2－m4.201182 【解析】∵a n ＝2n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n n （n ＋1）（n ＋2） ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＋1n （n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2 ＋12 (1n －1n ＋2)，∴S 12＝12 －13 ＋13 －14 ＋…＋113 －114 ＋12 ×(1－13 ＋12 －14 ＋…＋112 －114 )＝12 －114 ＋12 ×(1＋12 －113 －114 )＝12 ＋12 ＋14 －126 －114 －128 ＝201182. 5. 5050 【解析】∵a ＝5－12 ，b ＝5＋12 ，∴ab ＝1，∵S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 2＋a ＋b ＝1，S 2＝21＋a 2 ＋21＋b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）2＋a 2＋b 2＝2，…，S 100＝1001＋a 100 ＋1001＋b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）1＋a 100＋b 100＋a 100b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）2＋a 100＋b 100＝100，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝1＋2＋…＋100＝100×（100＋1）2＝5050. 6. 解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n ＋1)2＝[2n (n ＋1)＋1]2－[2n (n ＋1)]2.证明：等式左边＝4n 2＋4n ＋1，等式右边＝4n 2(n ＋1)2＋1＋4n (n ＋1)－4n 2(n ＋1)2＝4n (n ＋1)＋1＝4n 2＋4n ＋1，∴左边＝右边，∴等式成立．7. C 【解析】经分析可得，第个图案的菱形个数为2n －1，∴第⑥个图案中菱形个数为2×6－1＝11(个).8. B 【解析】第一幅图中圆点的个数是4＝1×3＋1；第二幅图中圆点的个数是7＝2×3＋1；第三幅图中圆点的个数是10＝3×3＋1；第四幅图中圆点的个数是13＝4×3＋1；…；按照此规律，第n 幅图中圆点的个数是3n ＋1，∴第一百幅图中圆点的个数是3×100＋1＝301.9. n （n ＋1）2【解析】∵第1个图中有木料1根，第2个图中有木料1＋2＝3根，第3个图中有木料1＋2＋3＝6根，第4个图中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n 个图中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2根． 10. 2n 2＋2n 【解析】观察图形可知：第一个图形由1个小正方形组成，所有线段的和为4×1＝2×2×1, 第二个图形由4个小正方形组成，所有线段的和为6×2＝2×3×2, 第三个图形由9个小正方形组成，所有线段的和为8×3＝2×4×3, 第4个图形由16个小正方形组成，所有线段的和为10×4＝2×5×4，…由此发现规律是：第n 个图形由n 2个小正方形组成，所有线段的和为2(n ＋1)·n ＝2n 2＋2n .11. 127 【解析】第一代勾股树中正方形个数＝20＋21；第二代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22；第三代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23；第四代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12. 45 【解析】由题图可知，题图④前三层点数分别是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n 层的点数是4n －3，∴第n 个正六边形数是1＋5＋9＋…＋4n －3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n －3＝2n 2－n ，∴题图④中第五个正六边形数是2×52－5＝45.13. C 【解析】在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos ∠AOB ＝OA OB ，∴OB ＝23OA .同理可得OC ＝23 OB ，∴OC ＝(23 )2OA ，…，∴OG ＝(23)6OA ，由题图可知△GOH 与△AOB 位似且位似比为(23 )6.∵S △AOB ＝1，∴S △GOH ＝[(23 )6]2＝(43 )6. 14. A 【解析】第一次操作后S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 S 矩形ABCD ＝12ab ，第二次操作后S 四边形A 2B 2C 2D 2＝12 S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 ×12 ab ＝ab 22 ，第三次操作后S 四边形A 3B 3C 3D 3＝12S 四边形A 2B 2C 2D 2＝ab 23 ，…，第n 次操作后S 四边形A n B n C n D n ＝ab 2n . 15. C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，∴AB ＝BC ＝1，∴AC ＝2 ，∴以AC 为边作第2个正方形ACEF 的边长为2 ；∵CF 是正方形ACEF 的对角线，∴CF ＝2 ×2 ＝(2 )2＝2，∴以CF 为边作第3个正方形FCGH 的边长为2；又∵GF 是正方形FCGH 的对角线，∴GF ＝2 ×2 ×2 ＝(2 )3＝22 ，以GF 为边作第4个正方形FGMN 的边长为22 ，…∴依此规律可知下一个正方形的边长是原来正方形边长的2 倍，即第n 个正方形的边长为(2 )n －1，∴第6个正方形的边长为(2 )5.16. 2022π 【解析】由题图可知，题图中由一段90°的弧组成的，弧所在圆的半径每次增加12 ，则弧C 1D 1的半径＝12 ×4＝12 ×4×1，弧C 2D 2的半径＝12 ×8＝12×4×2，弧C 3D 3的半径＝12 ×12＝12 ×4×3…，弧C 2022D 2022的半径＝12×4×2022＝4044，∴弧C 2022D 2022的长＝90π180×4044＝2022π. 17. 3 (1＋3 )2022 【解析】∵∠AOB ＝60°，OP 1＝1，∴P 1K 1＝3 OP 1＝3 ，∴P 1P 2＝P 1K 1＝3 ，∴OP 2＝1＋3 .∵P 2K 2＝3 OP 2，∴P 2K 2＝3 (1＋3 )，∴OP 3＝(1＋3 )2，∴P 3K 3＝3 OP 3＝3 (1＋3 )2，…，∴依此规律可得P 2023K 2023＝3 (1＋3 )2022.18. B 【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A ，黑跳棋每过18秒钟跳动回顶点A ，∵2022÷6＝337，∴经过2022秒后，红跳棋在顶点A 处；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴经过2022秒钟后，黑跳棋在顶点E 处．如解图，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴∠AFE ＝120°，FE ＝AF ，∴∠F AE ＝30°，∴AG ＝EG ＝AF ·cos 30°＝2×32 ＝3 ，∴AE ＝23 ，即两枚跳棋之间的距离是23 .第18题解图19. B 【解析】如解图，连接OB ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵六边形ABCDEF 是正六边形，点O 是中心，∴OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3 ，∴点A (1，3 )，将△AOP 绕点O 顺时针每次旋转90°，则第1次结束点A 的坐标为(3 ，－1)，第2次结束点A 的坐标为(－1，－3 )，第3次结束点A 的坐标为(－3 ，1)，第4次结束点A 的坐标为(1，3 )，…，∴每4次一个循环，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋转结束时，相当于第2次结束，∴点A 的坐标为(－1，－3 ).第19题解图20. (－1，11) 【解析】由图象可知，A 5(5，1)，将点A 5向左平移6个单位，再向上平移6个单位，可得A 6(－1，7)，将点A 6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A 7(－8，0)，将点A 7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A 8(0，－8)，将点A 8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A 9(9，1)，将点A 9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A 10(－1，11).21. 240433 【解析】∵S 1＝1×32 ＝ 20×32 ，S 2＝2×232 ＝ 22×32，… ，依此规律可得S n ＝ 22(n －1)×32 ，∴S 2023＝ 22×(2023－1)×32＝ 240433 . 22. 2021 ＋2022 【解析】∵点A 是函数y ＝x 与y ＝1x的图象在第一象限的交点，∴点A 的坐标为(1，1)，又∵AB 垂直于直线y ＝x ，∴点B 坐标为(2，0)，又∵BA 1∥OA ，∴BA 1的解析式为y ＝x －2，与y ＝1x 联立，解得x ＝1＋2 (负值已舍)，即点A 1的横坐标为1＋2 ；同理可得B 1的横坐标为22 ，∵B 1A 2∥BA 1，∴B 1A 2的解析式为y ＝x －22 ，与y ＝1x 联立，解得A 2的横坐标为2 ＋3 (负值已舍)；…；依此按规律可得A 2021的横坐标为2021 ＋2022 .23. 2 【解析】由题可得a 1＝OA ＝1，而y ＝x 与y 轴的正方向的夹角是45°，O 1A ⊥y 轴，∴O 1A ＝OA ＝1，∴ 点O 1的横坐标是1，对于y ＝12 x ＋1，当x ＝1时，y ＝32，∴a 2＝O 1A 1＝12 ，∴tan ∠A 1AO 1＝O 1A 1O 1A ＝12 ，依次得出A 1O 2＝A 1O 1＝12 ，a 3＝A 2O 2＝12 A 1O 2＝(12)2，…，可以得出A n －1O n －1＝(12 )n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝1＋12 ＋…＋(12 )n －2＋(12)n －1①，①×2得2×(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝2＋1＋12 ＋…＋(12 )n －3＋(12)n －2②，②－①得a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2－(12 )n －1，∴S ≥2－(12)n －1，∴S 的最小值是2. 24. 解：(1)2；【解法提示】观察题图②与题图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．(2)2n ＋4；【解法提示】在题图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在题图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；依此按规律可得正方形地砖若有n 块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n )块．(3)设需要正方形地砖n块，∴2n＋4≤2021，解得n≤1008.5，∵n为正整数，∴n最大取1008，答：需要正方形地砖1008块．。
2024年中考数学二轮复习课件：专题一 规律探索题
图1
A.正十二边形
图2
B.正十边形
C.正九边形
D.正八边形
10.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如
果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形
30
的个数多8个，那么连续搭建正三角形的个数是____.
综与语文之间，得到如图3，称为2次整理；…若从如图1开始，经过 n 次整理后，
得到的顺序与如图1相同，则 n 的值可以是( B )
A.11
B.12
C.13
D.14
9.（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23石家庄裕华区模拟）小明同学用一些完全相同的 △ ABC 纸片，已知六个
△ ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用 n 个 △ ABC
再证明结论的正确性；
解：由题意规律，得 +
= + + .
证明：等式左边 = + + ，
等式右边 = + + ，
∴ 左边 = 右边，故等式成立.
【迁移】 思考“ 152 = 15 × 15 ， 252 = 25 × 25 ， ⋯ ”的特征：两个乘数十位上
上分别取点 A2 ， B2 ，使 B1 A2 = B1 B2 ，
连接 A2 B2 ⋯ 按此规律下去，记
∠A2 B1 B2 = θ1 ， ∠A3 B2 B3 = θ2 ， ⋯ ， ∠An+1 Bn Bn+1 = θn ，则：
180∘ +α
（1） θ1 = _______；
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人教版中考复习数学练习专题一：规律题探索专题含试卷分析答题技巧
第二部分专题复习专题一规律题探索专题考纲要求探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见的类型有三种：(1)数与式变化规律型；(2)图形变化规律型；(3)猜想论证型．这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行【课堂精讲】例1观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是＿＿．数字的变化类，观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．解答：解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．点评：此题考查了数字规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．例2.如图，是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．分析：图形规律，观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴．则搭n条“金鱼”需要火柴8+6（n-1）=6n+2．点评：此题考查了图形规律型：图形的变化类，弄清题中的递增规律是解本题的关键．例3. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是．解答：解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．据此可以得到A n的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．故答案为：（63，32）．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．②42－4×2＝22＋4；③52－4×3＝32＋4；…则第n个等式可以表示为__________________2.阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝13(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.3.如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是________4.如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1=90°，OA =1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…则OA 4的长度为 ．5. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，4），则点B 2014的横坐标为 ．6.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是．【高效作业本】专题一规律题探究专题1如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．2.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．3.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．4.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31B．46C．51D．66)．A ．38B ．52C ．66D ．746．如右图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的 顺序循环运动．则第2011步到达的点处是( )A ．A 点B ．B 点C ．D 点 D ．F 点7.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值．【答案】专题一 规律题探索专题1.：(n ＋2)2－4n ＝n2＋42. 解析：(1)∵1×2＝13(1×2×3－0×1×2) 2×3＝13(2×3×4－1×2×3) ⋮10×11＝13(10×11×12－9×10×11) ∴以上各式相加得1×2＋2×3＋…＋10×11＝13×10×11×12＝440. (2)13n (n ＋1)(n ＋2)． (3)14×7×8×9×10＝1 260.3. n(n ＋2)解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题5.解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．2.解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），故答案为：．3.解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．4..解：第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．故选：B．5. D6. C7.解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②．②﹣①得2M=32015﹣1，两边都除以2，得M=，故答案为：．。