二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
安徽省望江中学朱绍勋
复习，是教学的重要环节，逐章逐节，不失时机地搞好复习，不仅可起到克服遗忘的作用，而且有利于新的知识的接受，理解和消化，起到“温故而知新”的作用．尤其是毕业复习，将所学的各知识点，经过重温、分析、比较，综合归纳，使之串点成线，理线成“系”，让学生系统地、完整地掌握知识结构，形成能力．数学，由于它是一门具有完整的知识结构和严密的知识体系的学科，复习的作用尤为重要．例如：二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三个“二次式”不仅是初中代数的重要内容，而且三者有着密切的联系，形成一个完整的知识体系，涉及知识面广，通过复习，可带动初中数与式，方程与函数的知识，运用灵活性大，可强化解题方法、技巧的训练，形成能力．
1．知识系统
二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联，通过二次函数图象揭示解(集)的几何特征．即
1．1 二次函数的几何特征：
△＝b2－4ac，则
(1)二次函数的图象．
(2)抛物线张口方向与极值．
对称轴在原点左侧⇔a、b同号；对称轴在原点右侧⇔a、b异号；对称轴与y 轴重合⇔b=0．
M在x轴上方⇔a、△异号；M在x轴下方⇔a、△同号；M在x
(5)图象过点(m，n)
图象过点(m，n)am2＋bm＋c＝n．
特别地：m＝0⇔ c＝n(c为截距)；m＝n＝0⇔ c＝0；
m＝±1，n＝0⇔ a±b＋c＝0．
1．2 二次函数与一元二次方程：
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，即为一元二次方程ax2＋bx＋c=0，故，一元二次方程的解又叫二次函数的零点，令方程“y=0”，根为x1、x2，则有：二次函数的零点⇔抛物线与x轴的交点⇔方程y=0的根．
(1)交点个数：
有两个交点(x1，0)、(x2，0)⇔方程y=0有不等实根⇔△＞0；
有一个交点(x1，0)⇔方程y=0，有等实根⇔△=0；
无交点⇔方程y=0，无实根⇔△＜0；
(2)交点位置：
两交点在两数α、β之间或之外
两交点一个在两数α、β之间
1．3 二次函数与一元二次不等式：
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)，当讨论函数值y＞0或y＜0的自变量x的取值范围时，即为解不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，即：二次函数y＞0或y＜0的自变量取值范围⇔抛物线上在x轴上方或下方的点对应的横坐标⇔不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集．
故设a＞0(a＜0时可仿此讨论)，方程ax2＋bx＋c=0两根为x1、x2且x1≤x2于是：
(1)抛物线上在x轴上方的点的横坐标⇔ax2＋bx＋c＞0的
(2)抛物线上在x轴下方的点的横坐标⇔ax2＋bx+c＜0的
2．举例：
例1 已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示：
(1)试判断a、b、c及b2-4ac的符号；
(2)若|OA|＝|OB|，试证明ac＋b＋1=0．
分析：解本题，主要是应用抛物线的几何特征(张口方向，对称轴，截距，与x 轴交点个数)及函数零点(方程)的有关知识，即
(1)由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与x轴交点个数，立即可得：a＞0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0．
(2)由方程ax2＋bx＋c=0⇔
例2 已知二次函数y=4x2＋4x＋m的图象与x轴两交点和对称轴的交点构成一个正三角形的三个顶点，求函数解析式．
分析：求解析式，即求m，主要是应用抛物线的顶点、对称轴与x轴的交点(即解方程)和三角形的有关知识，即：
的距离；
例3 m为何值时，关于x的方程8x2-(m-1)x＋(m-7)=0的两根：
(1)为正数根，(2)为异号根且负根绝对值大于正根，(3)都大于1，(4)一根大于2，一根小于2，(5)两根在0，2之间．
分析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与x轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为x1，x2，则
7＜m≤9或25≤m＜27．
例4 证明关于x的不等式(3k-2)x2＋2kx＋k-1＜0与
分析：证明不等式恒成立，实质证明对应抛物线恒在x轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在x轴上方或下方的充要条件即可．
因此，当k为任意实数时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证．
例5 已知关于x的方程x2-2mx＋4m2-6=0两根为α、β，试求：
(α-1)2＋(β-1)2的极值．
分析：求(α-1)2＋(β－1)2的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题．
u=(α-1)2＋(β-1)2=(α＋β)2-2(α＋β)-2αβ＋2。
.3 二次函数与一元二次方程、不等式
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思维辨析
随堂演练
解:(1)由题意知 a>0,且-1 和 2 是关于 x 的方程 ax2+bx+a2-1=0
的两个根,
> 0;
= -1 + 2,
-1
+
2
=
,
所以有
解得
= 1- 2.
2 -1
-1 × 2 =
得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
40
1 600
6 < 100 + 400 < 8,
解:(1)由题意得
70 4 900
14 < 100 + 400 < 17,
5 < < 10,
解得 5
95 因为 n∈N,所以 n=6.
<
<
2
14 .
3
2
(2)由于刹车距离不超过 12.6 m,即 s≤12.6,所以 +
≤12.6,因
50
400
此 v2+24v-5 040≤0,解得-84≤v≤60.因为 v≥0,所以 0≤v≤60,即行
驶的最大速度为 60 km/h.
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反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不
一元二次函数、方程和不等式
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。
首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。
与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。
但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。
其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。
一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。
与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。
最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。
一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。
与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。
综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。
深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。
- 1 -。
二次函数与一元二次方程、不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1， 或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一 一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52， 则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。
一元二次不等式与二次函数
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程注意：（1）不等式解集规律：“>”取两边，”<”取中间，前提：0a >。
即c bx ax x f ++=2)(的图象与X 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点 ⇔02=++c bx ax 的二实根为21,x x⇔当0>a 时 02<++c bx ax 的解集为{}12x x x x <<02>++c bx ax 解集为{}12x x x x x <>或 （2）解一元二次不等式步骤：1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）练习：1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x一．一元二次不等式解的端点值为对应一元二次方程的根Eg1．若不等式ax ２+5x+b ＞0的解集为｛x ｜31＜x ＜21}．则a, b 的值分别为（A ）A.－6，－１B.１，6C.－１，－6D.－１，－１Eg ．若不等式220ax bx ++>的解集为｛x ｜12-＜x ＜13}．则a= ，b = 。
二．恒成立问题1．一般地，()a f x >恒成立，()f x 的最大值为M ，则a M >；()a f x <恒成立，()f x 的最小值为m ，则a m <。
2．02>++c bx ax （)0≠a 恒成立 ⎩⎨⎧<∆>⇔00a)0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a注意: 要单独考虑0a =时的情况。
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、 不等式
1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等 式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等 式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的 解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
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双基讲解
解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像
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双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
0
有两不相等实根 .设为x、x，且x x
计算判 别式
求根
画图
写出不等 式解集
ax bx c 的解集 , x x , ax2 bx c 0的解集 x1 , x2
一元二次方程 二次函数 一元=0
的解 当Δ ＞0 时， 有两个不相等 的实数根
y =ax +bx+c
的图像
2
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c＜0
(x1，x2)
y x1 o y x2 x
x1， x2
当Δ =0 时， 有两个相等的 实数根 b
x1=x2=
o x1=x2
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示范例题
例4 解 (1) 图像如下图所示：
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示范例题
例5 对应的二次函数 y=8x²-2x-3 对应的一元二次方程 8x²-2x-3=0 y
x
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示范例题
例6
二次项系数为负
对应的二次函数 y=x²-2x+2
对应的一元二次方程 x²-2x+2=0
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示范例题
例7 对应的二次函数 y=x²-4x+4 对应的一元二次方程 x²-4x+4=0
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新课导入
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
任意一个一元二次不等式，都可以找到 与它对应的二次函数和一元二次方程. 一般的，一元二次不等式ax²+bx+c＞0 （或＜0） 对应的二次函数为 y= ax²+bx+c； 对应的一元二次方程为 ax²+bx+c=0 例如：一元二次不等式 x²-2x-3＞0 对应的二次函数 y=x²-2x-3 对应的一元二次方程 x²-2x-3=0
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的
联系和区别
二次函数、一元二次不等式、一元二次方程都是关于二次方的数
学概念。
它们在形式和性质上各有不同，但都具有密切联系。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
其图像为一个开口向上或向下的抛物线，与x轴交点为其根。
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
其解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
这个方程的解
决了抛物线与x轴交点的问题。
一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。
这个式子就是要解出抛物线的正负。
因此，从几何角度来看，二次函数和一元二次不等式都与抛物线
的开口方向和根相关。
一元二次方程和二次函数的解方程式中的x为
根有关。
而一元二次不等式则是解出某个范围内x的取值。
同时，这些概念还有着实际意义。
二次函数的图像在物理学中很
常见，比如抛物线运动。
而一元二次方程在物理学和工程学中也有广
泛的应用。
在学习过程中需要注意，这些概念虽然看似相似，但细节处的不同很重要。
需要分类讨论、注意符号、掌握解法等，才能真正理解这些概念并活用于实际问题中。
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式。知识归纳
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式。
知识归纳高2017级（文科）数学一轮复《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》知识归纳一、一元二次方程一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0），其中ax^2、bx、c分别称为二次项、一次项、常数项。
a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。
解法：1.直接开平方法：形如（x+m）^2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解。
2.“十字相乘”因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，求解。
3.公式法：一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a（b^2-4ac≥0）。
4.配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法。
根的判别式：1.当Δ=b^2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=b^2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根。
3.当Δ=b^2-4ac<0时，原方程没有实数根。
根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=-b/a；x1x2=c/a。
二、二次函数一般式：f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)三顶点式：f(x)=a(x-h)^2+k(a≠0)(其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a)两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(仅限于二次函数图形与x 轴有两个交点时)对称轴x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a。
(4ac-b^2)/(4a))单调性：函数在(-∞,-b/2a]上递减，函数在(-∞,-b/2a]上递增，在[-b/2a,+∞)上递增，在[-b/2a,+∞)上递减。
三、二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值问题探讨设f(x)=ax^2+bx+c（a>0），则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值有如下的分布情况：m<n<-b/2a：f(x)单调递增，最小值为f(n)；m<-b/2a<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(n)或f(m)；b/2a<m<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(m)；m=n<-b/2a：f(x)取常数值f(m)=f(n)；m=n>-b/2a：f(x)单调递减，最小值为f(n)。
二次函数与一元二次方程、不等式
§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1，或x >x 2}xx ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅思考 一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？答案 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 知识点二 简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法：思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识点三 一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔a >0，Δ<0；ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔a <0，Δ<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．1．不等式2x 2－x －1>0的解集是________． 答案xx <－12或x >1解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x <－12或x >1， ∴不等式的解集为xx <－12或x >1. 2．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为________． 答案 －2,3解析 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别－2,3. 3．不等式x －2x －1<0的解集为________． 答案 {x |1<x <2}解析 原不等式⇔(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. 4．不等式1x ≤1的解集为________． 答案 {x |x ≥1或x <0}解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴x (x －1)≥0，x ≠0， ∴x ≥1或x <0.5．若方程x 2＋ax ＋1＝0的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 －2<a <2解析 由题意可得a 2－4<0，所以－2<a <2.6．对∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由题意可得22－4m <0，所以m >1.一、一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.解 (1)原不等式可化为2x 2－x ＋6>0.因为方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上，与x 轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为x 2－6x ＋9≤0，即(x －3)2≤0，函数y ＝(x －3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x |x ＝3}． (3)方程x 2－2x －3＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3.函数y ＝x 2－2x －3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． 二、含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为xx ≥2a 或x ≤－1；当－a <0时，不等式的解集为x2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为x－1≤x ≤2a . 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. 解 原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0，讨论a ＋1与2(a －1)的大小．(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，不等式的解为x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，不等式的解为x ≠4.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，不等式的解为x >2(a －1)或x <a ＋1. 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x ≠4}，当a >3时，不等式的解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}． 三、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可知b a ＝－5，ca ＝6. 由a <0知c <0，bc ＝－56， 故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋ac >0，即x 2－56x ＋16>0， 解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为xx <13或x >12.延伸探究1．若本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． 解 由根与系数的关系知ba ＝－5，c a ＝6且a <0.∴c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0， 即x 2－b c x ＋ac <0，即x 2＋56x ＋16<0. 解得－12<x <－13，故原不等式的解集为x－12<x <－13.2．若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是x－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 方法一 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为x－13≤x ≤2知a <0.又－13×2＝ca <0，则c >0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又ca ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为 －23a x 2＋－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，故所求不等式的解集为x－3<x <12.方法二 由已知得a <0 且 －13＋2＝－b a ，－13×2＝ca 知c >0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ， 其中a c ＝1－13×2＝－32， －bc ＝－ba c a ＝ －13＋2－13×2＝－52， ∴x 1＝1－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0(c >0)的解集为x－3<x <12.反思感悟 已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．跟踪训练3 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．解 ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,2.由根与系数的关系得－a ＝1＋2，b ＝1×2，得a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1>0. 解得x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为xx <12或x >1. 四、简单的分式不等式的解法 例4 解下列不等式： (1)x ＋12x －1<0； (2)1－x3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12， 故原不等式的解集为x－1<x <12. (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， ∴(x －1)(3x ＋5)≤0，3x ＋5≠0，∴－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1. 故原不等式的解集为x－53<x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0， ∴x －1－(x ＋2)x ＋2>0，－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．反思感悟 分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转 化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练4 解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3. 解 (1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3.即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0， 即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 五、不等式的恒成立问题例5 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围． 解 若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒解得－4<m <0. 综上，m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}． 延伸探究1．在本例中，是否存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 显然m ＝0时不等式不成立；由题意可得m >0，Δ＝m 2＋4m <0，解得m ∈∅，所以不存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0.2．在本例中，把条件“∀x ∈R ”改为“x ∈{x |2≤x ≤3}”，其余不变，求m 的取值范围． 解 由不等式mx 2－mx －1<0得m (x 2－x )<1，因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0， 所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x，因为x 2－x ＝x －122－14≤6，所以1x 2－x≥16，所以m <16. 即m 的取值范围是mm <16.反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．跟踪训练5 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 {k |－3<k ≤1}解析 当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0，解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}．1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.x－1<x <13 B.x13<x <1C ．∅ D ．R2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.xx >3或x <－12 C.xx ≥3或x ≤－12 B.x－12≤x ≤3 D ．R3．已知集合U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，∁U A 等于( ) A ．{x |1<x <3} B ．{x |x <1或x ≥3} C ．{x |x <－1或x ≥3}D ．{x |x <－1或x >3}4．若0<m <1，则不等式(x －m )x －1m <0的解集为( )A. x 1m <x <m C. x x >m 或x <1mB. x x >1m 或x <m D.x m <x <1m 5．不等式1＋x 1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x 1<x <1} 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝ x x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}7．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．8．不等式x ＋1x ≥5的解集是________．9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 D 解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .2、答案 C解析 3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12.3、答案 C解析 ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．4、答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m >1>m ，故原不等式的解集为x m <x <1m . 5、答案 B解析 原不等式⇔(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.6、答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．7、答案x 12<x <1 解析 ∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得 －12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3， ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.8、答案x 0<x ≤14 解析 原不等式⇔x ＋1x －5≥0⇔4x －1x ≤0⇔ x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14. 9、答案 a >4或a <－4解析 ∵x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.1．知识清单：(1) 二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．(2) 简单的分式不等式的解法．(3) 不等式的恒成立问题．2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化、恒等变形．3．常见误区：(1) 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．(2) 解分式不等式要等价变形．。