方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案

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(完整版)一元二次不等式解法练习题(四种方法)

(完整版)一元二次不等式解法练习题(四种
方法)
问题描述
本练题旨在帮助学生练解一元二次不等式的四种方法。

解法一：图像法
1. 首先，将不等式的两边都展开并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，通过绘制二次函数的图像，找到函数图像上的解。

3. 最后，将解转化为不等式的形式。

解法二：代数法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，使用求解一元二次方程的常用公式，求出二次方程的解。

3. 最后，根据二次方程的解和不等式的性质，确定不等式的解集。

解法三：区间法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，利用二次函数的凹凸性质，确定函数图像的开口方向。

3. 根据函数图像的开口方向，确定不等式的解集在实数轴上所处的区间。

解法四：符号法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，利用符号法，根据不等式的性质进行求解。

3. 最后，根据符号法的结果，确定不等式的解集。

总结
通过以上四种方法，可以综合运用不同的思考方式来解决一元二次不等式的问题。

对于不同的题目情境，选择适合的解法，百利而无一害。

注意：本练题仅为练解题方法而设计，具体题目的解答需要根据实际情况进行分析和求解。

一元二次方程经典例题及详细解答

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。

本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。

一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。

1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。

这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。

2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。

一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。

1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。

解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。

所以方程的根为x1=3，x2=2。

2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。

解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。

所以方程的根为x1=3/2，x2=2。

完整版)一元二次不等式练习题含答案

完整版)一元二次不等式练习题含答案则x＜－1或x≥2；x－2x＜－1或x＞2；1≤x≤2．答案】C4.【解析】由题意可得a<0，且解集为x|－2<x<－4则可列不等式组a（－2）2＋b（－2）－2＞0，即4a－2b－4＞0；a（－42＋b（－42＜0，即16a－4b－2＜0；解得a＝－1，b＝2．答案】D5.【解析】不等式x(x－a＋1)>a可化为x2－ax＋a－1>0，解得xa．当x0，即a>1；当x>a时，a－1<0，即a<1．综上可得a<1或a≥1，故选项为C．答案】C6.【解析】由f(x)>0得a>0，c>0，代入可得f(x)＝ax2＋bx＋c>0，x∈(－3,1)．对x取相反数得f(－x)＝ax2－bx＋c>0，x∈(－1,3)．故函数y＝f(－x)的图象为：y＝ax2＋bx＋c，x∈(－3,1)．答案】略7.【解析】x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2－x－2＜0，解得x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案】C8.【解析】由题意可得2x2－3x＋a＝(2x－m)(x－1)，解得m＝2a＋1，又因为(m,1)在不等式解集内，故1<m<2．答案】1<m<29.【解析】不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则a>0，且ax>b，即x＞b/a，代入不等式得x2－(a/b)x＋1>0，解得x ＜2或x＞b/a．综上可得x＜2或x＞b/a＞2，即x＞max{2，b/a}，故填b/a即可．答案】b/a10.【解析】当x＝－1时，方程左边为0，右边为(4＋a)/27>0，故4＋a>0，即a＞－4．当x≠－1时，方程两边同时乘以3x＋4，得27x2＋(4＋a)(3x＋4)＞0，即x2＋(4＋a)/27x＋4/27＞0，故Δ＜0，解得a2＜48，即－2√3<a＜2√3．综上可得－2√3<a≤4，故选项为D．答案】D11.【解析】移项化简得ax2－2x＋a－2≥0，即(x－1)2≤1－a，由于a0，化简得x∈(1－√(1－a)，1＋√(1－a))．答案】x∈(1－√(1－a)，1＋√(1－a))12.【解析】(1)由f(x)<0得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，代入函数可得m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．2)由f(x)<－m＋5得mx2－mx＋m－6＜0，对x∈[1,3]，有m(x－3)(x－1)＞0，故m＞0且x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)．综上可得m∈(0，1)．答案】(1)m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)；(2)m∈(0，1)．3.解析：根据题意，可以得到不等式x-2≠0，即x≠2.然后根据x>2或x≤-1可以得到答案为B。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}．答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0，方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。

微专题05 一元二次不等式、分式不等式(解析版)

微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且．③若0∆<，解集为R ．（2）当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅二、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅>（2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔⋅<（3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇔⎨≠⎩三、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】（1）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；（3）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；（4）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：分式不等式的解法题型三：绝对值不等式的解法题型四：高次不等式的解法题型五：一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<，则210bx ax -->的解集是（）A ．{|23}x x <，解不等式得解集为11{|}23x x -<<-故选：C例2．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式20ax cxb ++>的解集为{|22x x <<+C ．0a b c ++<D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<，所以选项C 错误；不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误．故选：B例3．（2022·江苏南京·高一期末）已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,12∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即12=⎧⎨=-⎩b c ，不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>，解得112x -<<．故选：A ．例4．（2022·全国·高一课时练习）已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集是关于x 的不等式230x x a -+<解集的子集，则实数a 的取值范围是（）．A ．0a ⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得0a ，故选：B ．例5．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则下列正确的是（）A ．0a 的解集为(,6)-∞-C ．0a b c ++>D ．关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【解析】A ．由已知可得0a <且2,3-是方程20ax bx c ++=的两根，A 正确，B ．由根与系数的关系可得：2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得,6b a c a =-=-，则不等式0bx c +>可化为：60ax a -->，即60x +>，所以6x >-，B 错误，C ．因为660a b c a a a a ++=--=->，C 正确，D ．不等式20cx bx a -+>可化为：260ax ax a -++>，即2610x x -->，解得12x >或13x <-，D 正确，故选：ACD ．例6．（多选题）（2022·全国·高一）若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是（）A ．0a C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确，B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >．所以D 正确；C 错误．故选：ABD例7．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123ax x x x ++的最小值是_____________．【答案】4【解析】关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>可化为()()30(0)x a x a a --≤>所以不等式的解集为[],3a a ，所以12,3x a x a ==．所以122123314443a a x x a a x x a a ++=+=+≥=（当且仅当14a a=，即12a =时取“=”）．故答案为：4．例8．（2022·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，且a ，b ，R c ∈，0b c +≠，则2210a b b c +++的最小值为_______．【答案】【解析】由题意，关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，可得0b >，且440ab ∆=+=，所以1ab =-且0b >，所以1a b=-，又由不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，所以212c b b--==，令12t b c b b=+=+≥，则22222211()22a b b b t b b +=+=+-=-，所以2221088a b t t b c t t +++==+≥+t =时取等号．所以2210a b b c+++的最小值为故答案为：题型二：分式不等式的解法例9．（2022·河南·高一期中）不等式351x x x +>-的解集是______．【答案】()(),11,5-∞-⋃【解析】不等式351x x x +>-化为以下两个不等式组：21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩或21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，解21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩，即21450x x x <⎧⎨-->⎩，解得1x <-，解21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，即21450x x x >⎧⎨--<⎩，解得15x <<，所以原不等式的解集是()(),11,5-∞-⋃．故答案为：()(),11,5-∞-⋃例10．（2022·全国·高一专题练习）不等式3113x x+>--的解集是_______．【答案】()23-，【解析】由3113x x +>--可得31103x x ++>-，即2403x x +<-，即()()3240x x -+<解得23x -<<所以不等式3113x x+>--的解集是()23-，故答案为：()23-，例11．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）不等式2131x x +>-的解是___________．【答案】(1,4)【解析】由题设，2143011x xx x +--=>--，∴(1)(4)0x x --<，可得14x <<，原不等式的解集为(1,4)．故答案为：(1,4)．例12．（2022·上海市延安中学高一期中）已知关于x 的不等式221037kx kx x x -+≤-+的解集为空集，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[)0,4【解析】2231937024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴不等式等价于210kx kx -+≤的解集是φ，当0k =时，10≤不成立，解集是φ，当0k ≠时，240k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04k <<，综上：04k ≤<．故答案为：[)0,4例13．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）不等式301x x -≥+的解集是____________．【答案】()[),13,-∞-+∞【解析】原不等式等价于()()31010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：3x ≥或1x <-，故答案为：()[),13,-∞-+∞．例14．（2022·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式06ax bx -≥-的解集为______；【答案】[)1,6-【解析】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是(,1)-∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a <，0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x -≥-即为06ax a x +≥-，即106x x +≤-，解该不等式得[)1,6x ∈-故答案为：[)1,6-例15．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式13x ax -≤-的解集为______．【答案】{}3x x >【解析】∵不等式2510ax x ++≤的解集为11{|}23x x -≤≤-∴12-，13-是方程2510ax x ++=的两根，∴6a =，∴13x a x -≤-可化为303x -≤-∴3x >∴不等式13x ax -≤-的解集为{|3}x x >，故答案为：{|3}x x >．例16．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式212x ax -≤--的解集是523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，则a 的值为____．【答案】3【解析】由题知，22122x a x x x --≤-=---，整理得()3202x a x -+≤-，所以()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，因为不等式()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，的解集为523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以()53203a ⋅-+=，3a =．故答案为：3．题型三：绝对值不等式的解法例17．（2022·上海交大附中高一阶段练习）不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为______________；【答案】(]1,3-；【解析】不等式12x -≤等价于212x -≤-≤，解之得：13x -≤≤，不等式511x ≥+等价于()5101x x -+≥+，解之得：14x -<≤，故不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为：(]1,3-．故答案为：(]1,3-．例18．（2022·上海交大附中高一期中）已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{|}1||2B x x =-≤，则A B ＝___．【答案】(23]-，【解析】解不等式102x x -≤+即(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得21x -<≤，故10(2,1]2x A xx ⎧⎫-=≤=-⎨⎬+⎩⎭，解|1|2x -≤，即212x -≤-≤，解得13x -≤≤，故121{|||]3}[B x x =-≤=-，，则(23]A B ⋃=-，，故答案为：(23]-，．例19．（2022·上海浦东新·高一期中）不等式221x x ->+的解集是_________．【答案】1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】当12x ≤-时，不等式221x x ->+转化为()()221x x -->-+，解得3x >-，此时132x -<≤-，当122x -<<时，不等式221x x ->+转化为()221x x -->+，解得13x <，此时1123x -<<，当2x ≥时，不等式221x x ->+转化为221x x ->+，解得3x <-，此时无解，综上：221x x ->+的解集是1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故答案为：1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭例20．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___．【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4．又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}，a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}，均满足A 是B 的真子集，∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤4题型四：高次不等式的解法例21．（2022·全国·高一课时练习）不等式22132x x x +≥-+的解集为___________．【答案】[0,1)(2,4]⋃【解析】22132x x x +≥-+等价于221032+-≥-+x x x ，即224032x x x x -+≥-+，即(4)0(1)(2)x x x x -≤--，又等价于()()()()()1240120x x x x x x ⎧---≤⎪⎨--≠⎪⎩，利用数轴标根法解得01x ≤<或24x <≤，所以原不等式的解集为[0,1)(2,4]⋃，故答案为：[0,1)(2,4]⋃例22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）不等式()()222344032x x x x x +-+≤+-的解集为___________．【答案】3[,1){2}(3,)2--+∞【解析】由题得2320,3x x x +-≠∴≠且1x ≠-．由题得()()()()2222322320,023(3)(1)x x x x x x x x +-+-≥∴≥---+，所以()()223(1)2(3)0x x x x ++--≥，()()223(1)2(3)0x x x x ++--=零点为3,1,2,32--．当32x <-时，不等式不成立；当312x -≤<-时，不等式成立；当12x -≤<时，不等式不成立；当2x =时，不等式成立；当23x <≤时，不等式不成立；当3x >时，不等式成立．故不等式的解集为：3[,1){2}(3,)2--+∞故答案为：3[,1){2}(3,)2--+∞例23．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）不等式201712xx x <≤-+的解集为________．【答案】(0,2][6,)⋃+∞【解析】20712xx x <⇒-+()()340x x x -->，根据数轴穿根法可解得03x <<或4x >，22228121100712712712x x x x x x x x x x -+≤⇒-≤⇒≥-+-+-+()()()()2234607120x x x x x x ⎧----≥⇒⎨-+≠⎩，解得2x ≤或34x <<或6x ≥，所以2034017122346x x xx x x x x ⎧<<≤⇒⎨-+≤<<≥⎩或或或，解得(0,2][6,)x ∈⋃+∞．故答案为：(0,2][6,)⋃+∞例24．（2022·上海·华师大二附中高一期末）不等式2411x x x --≥-的解集为______．【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．例25．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--．例26．（2022·浙江·诸暨中学高一期中）不等式()()2160x x x -+-<的解集为______．【答案】()(),31,2-∞-【解析】因为()()2160x x x -+-<，所以()()()1320x x x -+-<，解得3x <-或12x <<．所以不等式()()2160x x x -+-<的解集为：()(),31,2-∞-．故答案为：()(),31,2-∞-例27．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()22221221x xx x x x ++>++的解集为_________．【答案】()()(),11,02,-∞--+∞．【解析】()()22221221xxx x x x ++>++等价于()()2120,x x x +->当1x =-时，不等式不成立，当1x ≠-时，不等式等价于()20x x ->，解得0x <或2x >且1x ≠-，故不等式的解集为()()(),11,02,-∞--+∞．故答案为：()()(),11,02,-∞--+∞．例28．（2022·上海市复兴高级中学高一期中）不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是______．【答案】23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤【解析】不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-等价为()()()23310x x x ---≥且10x -≠，∴23x ≤或13x <≤，∴不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤故答案为：23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤例29．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1）∪（1，3]D ．[－1，1）∪（1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-．故选：D ．题型五：一元二次不等式恒成立问题例30．（2022·江苏·高一专题练习）若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．532⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．532⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．(]5,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-，∴不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，即()24422340xy a a xy -++-≥恒成立，变形可得()222214234xy a a a +≥-+恒成立，即2221721a a xy a -+≥+恒成立，0x >，0y >，2x y ∴+≥2x y =时等号成立，4244xy x y ∴=++≥+220≥，≥≤舍)可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221a a a -+≥+恒成立，化简可得22150a a +-≥，即()()3250a a +-≥，解得3a ≤-或52a ≥，故实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：B ．例31．（2022·全国·高一单元测试）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<．故选：A ．例32．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．()0,4【答案】A【解析】若“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是真命题，即判别式()21Δ24404a =--⨯⨯<，解得：04a <<，所以命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为：(][),04,-∞+∞U ．故选：A ．例33．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（）A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m >【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴24(10)m ∆--<＝，解得14m >，又∵14m >，∴140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件，故选：A ．例34．（2022·四川·广安二中高一阶段练习（理））已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110a x a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B例35．（2022·全国·高一单元测试）已知12x ≤≤，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a ≥B ．{}1a a >C ．{}1a a ≤D ．{}1a a <【答案】D【解析】由12x ≤≤，20x ax ->恒成立，可得a x <在[]1,2上恒成立，即即1a <．故选：D ．例36．（2022·陕西安康·高一期中）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】A【解析】因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞故选：A例37．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知命题“21,2,2102x x ax ⎡⎤∃∈-+≤⎢⎥⎣⎦”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a -<⎢⎥⎣⎦为真命题，即11,2,22x x a x ⎡⎤∀∈+>⎢⎥⎣⎦恒成立．又12x x +≥12x x =≥2x =等号成立，所以a <故选：B例38．（2022·全国·高一课时练习）已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a D ．4a >-【答案】A【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足，25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <故选：A ．【过关测试】一、单选题1．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知集合{}2870A x x x =-+<，{}14B x x =<<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得{}17A x x =<<，所以AB ．所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件．故选：B2．（2022·全国·高一）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C3．（2022·江苏·高一专题练习）若存在正实数y ，使得54y xx y xy-=+，则实数x 的最大值为（）A ．15B ．54C ．1D ．4【答案】A 【解析】115454y x x y x y xy x y-=+⇔-=+，因为0y >，所以144y y +≥，所以154x x-≥，当0x >时，154x x-≥⇔25410x x +-≤，解得105x <≤，当0x <时，154x x-≥⇔25410x x +-≥，解得1x <-，故x 的最大值为15．故选：A4．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（）A ．()()12-∞⋃+∞，，B ．()12，C ．()()21-∞-⋃+∞，，D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．5．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <，综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C6．（2022·江苏·高一）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，则不等式20cx bx a -+<的解集为（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,1-【答案】A【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<0a ∴<，且2-和1是方程20ax bx c ++=的两个根，则4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩b a ∴=，2c a =-，关于x 的不等式20cx bx a -+<，即220ax ax a --+<，2210x x ∴+-<，解得112x -<<，故不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A7．（2022·北京师大附中高一期末）关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞．故选：B ．8．（2022·广西·桂林中学高一期中）已知0ax b ->的解集为(,2)-∞，关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为（）A ．(,2](1,6)-∞--B ．(,2](6,)-∞-+∞C ．[2,1)(1,6)---D ．[2,1)(6,)--+∞【答案】A【解析】因0ax b ->的解集为(,2)-∞，则0a <，且2ba=，即有2,0b a a =<，因此，不等式2056ax bx x +≥--化为：22056ax a x x +≥--，即22056x x x +≤--，于是有：220560x x x +≤⎧⎨-->⎩或220560x x x +≥⎧⎨--<⎩，解220560x x x +≤⎧⎨-->⎩得2x -≤，解220560x x x +≥⎧⎨--<⎩得16x -<<，所以所求不等式的解集为：(,2](1,6)-∞--．故选：A 二、多选题9．（2022·湖北黄石·高一阶段练习）下列结论错误的是（）A ．不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅B ．不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤C ．若函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为RD ．不等式11x>的解集为1x <【答案】CD【解析】对于选项A ，当0a ≥时，210ax x ++≥的解集不为∅，而当0a <时，要使不等式210ax x ++≥的解集为∅，只需140a ∆=-<，即14a >，因0a <，故不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅，因此A 正确；对于选项B ，当0a <且240b ac ∆=-≤时，20ax bx c ++≤在R 上恒成立，故不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤，因此B 正确；对于选项C ，因函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，但a 正负不确定，故20ax bx c ++>或20ax bx c ++<恒成立，因此不等式20ax bx c ++>的解集不一定为R ，故C错；对于选项D ，由11x>，得10x x ->，即()10x x ->，解得01x <<，故D 错．故选：CD ．10．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）设p ：实数x 满足1021x x -≤-，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．11 2x ≤≤B ．112x <≤C ．01x ≤≤D ．01x <≤【答案】ACD【解析】由题设，若p 成立，(1)(21)0210x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得112x <≤，∴p 成立的一个必要不充分条件，只需1(,1]2在某个范围内，但不相等即可．故选：ACD ．11．（2022·江苏南京·高一阶段练习）定义区间(),m n 的长度为n m -，若满足()()2012x ax x -<--的x 构成的区间的长度之和为3，则实数a 的可能取值是（）A ．14B ．13C ．3D ．4【答案】CD【解析】若14a =，()()()1111220,1,21222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭<⇒∈- ⎪--⎝⎭故区间长度之和为1+1=2，不符合题意；若13a =，()()()01,212x x x x x ⎛+ ⎛⎝⎭⎝⎭<⇒∈ --⎝⎭故区间长度之和为符合题意；若3a =，(()()())0212x x x x x +<⇒∈--故区间长度之和为123=，符合题意；若()()()()()224,02,112x x a x x x -+=<⇒∈---故区间长度为3，符合题意．故选：CD ．12．（2022·全国·高一专题练习）下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04m ≤对R x ∀∈恒成立，当0m =时，原不等式即为10>恒成立；当0m >时，不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，可得∆<0，即240m m -<，解得：04m <<．当0m <时，21y mx mx =-+的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为：[)0,4．所以“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有02m <<或14m <<．故选：BC ．三、填空题13．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是________．【答案】3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由图像知：1和2是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的两个根，所以0a >，12,12b c a a+=-⋅=，所以3,2b a c a =-=．不等式（ax +b ）（cx -b ）<0可化为()()3230ax a ax a -+<，即()()23230x x a-+<，解得：332x -<<．所以不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭14．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+恒成立，则ab 的最大值为_________．【答案】12【解析】令1x =，则44a b c ≤++≤，故4a b c ++=，对任意R x ∈，222x ax bx c +≤++，则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立，∴222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b ac a c a c a c ∆=---=+---=-+≤∴2c a =+，此时22b a =-，∴2111(22)2(1)2(222ab a a a a a =-=-=--+≤，当15,1,22a b c ===时取等号，此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立，∴ab 的最大值为12．故答案为：12．15．（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则2222b a c +的最大值为____________．【解析】当0a =时，即不等式0bx c +≤的解集为R ，则0b =，0c ≤，要使得2222b a c +有意义，此时0c <，则22202b a c =+；当0a ≠时，若不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则20Δ40a b ac <⎧⎨=-≤⎩，即204a b ac <⎧⎨≤⎩，所以，22222422b ac a c a c ≤++，因为24b ac ≤，则0ac ≥，当0c =时，则0b =，此时22202b a c =+；当0c <时，则0ac >，令0c t a =>，则22244412122ac t a c t t t ==≤+++当且仅当242b ac c a a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立．综上所述，2222b a c +16．（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123a x x x x ++的最小值是___________．【答案】【解析】因为关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，所以12,x x 是方程()226300x ax a a -+-=>的实数根，所以112226,3x x x x a a ==+，因为0a >，所以1212316a x x a x x a ++=+≥16a a =，即a =时等号成立，所以12123a x x x x ++的最小值是故答案为：。

方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题

【详解】
设旅游人次的年平均增长率为，
那么根据题意得：．
故选：C．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时的值，明明负责找值为4时的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（）
【分析】
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．
【详解】
第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
15．深圳沙井某服装厂2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2019年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为（）
A．8（1﹣x）＝5.12B．8（1+x）2＝5.12
C．8（1﹣x）2＝5.12D．5.12（1+x）2＝8
【答案】C
【解析】
【分析】
一般用降低后的量=降低前的量×（1-降低率），降低前的价格设为1，则第一次降价后的价格是（1-x），第二次降价后的价格是（1-x）2，可得出方程．
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；

一元二次不等式经典练习及答案详解

[基础巩固]1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤1或x ＞2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |x ＜1或x ≥2}解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0， ∴x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ≥2}．答案 D2．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ≤ 2B ．－2＜a ＜ 2C ．－2≤a ＜ 2D ．－2≤a ≤ 2解析 Δ＝(－2a )2－4×1×2≤0，∴－2≤a ≤ 2.答案 D3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C4．不等式1x －1≥－1的解集是________．解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0， ∴不等式的解集是{x |x ≤0或x ＞1}．答案 {x |x ≤0或x ＞1}5．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案 m ≥436．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件．(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值？解析税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为2≤P ≤6.(2)设销售金额为S ，则S ＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额为4800万元．(3)∵0<P <8，设税收金额为G ，则G ＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．[能力提升]7．(多选)若命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则实数a 可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.故选B 、C 、D.答案 BCD8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．{x |15≤x ≤30}B ．{x |12≤x ≤25}C ．{x |10≤x ≤30}D ．{x |20≤x ≤30} 解析设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， ∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.答案 C9．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．解析 (1)当a ＝0时，满足题意．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，解得0<a ≤4.综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．答案 {a |0≤a ≤4}10．关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.(1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？解析解法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0，x 1＋x 2＝2(m ＋2)>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m ＜－1或m >1，即m 的取值范围是－54≤m ＜－1或m >1. (2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0，解得－1<m <1.所以m 的取值范围是－1<m <1.解法二 (1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－b 2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－54≤m ＜－1，或m >1.甲乙(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图乙，由题意知，满足f (0)<0⇒m 的取值范围是{m |－1＜m ＜1}．[探索创新]11．某热带风暴中心B 位于海港城市A 南偏东60°的方向，与A 市相距400 km ，该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解析如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系．∵AB ＝400，∠BAx ＝30°，∴台风中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后台风中心B 到达点P (2003，40x －200)处．由已知，A 市受台风影响时，有AP ≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x ≤6.25，A 市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。

一元二次不等式及解法作业(含答案)精选全文

可编辑修改精选全文完整版一元二次不等式及其解法一、选择题 1.不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是 ( )A.{x |x ≤－1或x ≥92}B.{x|－1≤x ≤92}C.{x |x ≤－92或x ≥1}D.{x |－92≤x ≤1}解析：因为不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，而2x 2＋7x －9＝0的两根为x 1＝－92，x 2＝1，所以函数f (x )＝2x 2＋7x －9与x 轴的交点为(－92，0)，(1,0)，又函数f (x )＝2x 2＋7x －9的图象开口向上，所以不等式(x ＋5)·(3－2x )≥6的解集是{x |－92≤x ≤1}.答案：D 2.设A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于 ( )A.7B.－1C.1D.－7解析：A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.答案：D3.若ax 2＋x ＋a ＜0的解集为∅，则实数a 取值范围 ( )A.a ≥12B.a ＜12C.－12≤a ≤12D.a ≤－12或a ≥12解析：∵ax 2＋x ＋a ＜0的解集为∅，01,.02a a >⎧∴∴⎨⎩≤≤答案：A 4.不等式12+-x x ≤0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(-1,2］ B.［-1,2］ C.(-∞,-1)∪［2,+∞)D.(-1,2］解析:由,012≤+-x x 得⎩⎨⎧≠+≤+-.01,0)1)(2(x x x 所以不等式的解集为(-1,2］.答案:D5.不等式|x 2-x|＜2的解集为 ( )A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-2,1)D.(-2,2)解析:∵|x 2-x|＜2,∴-2＜x 2-x ＜2,即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-2.02,022x x x x 解得⎩⎨⎧<<-∈,21,x R x ∴x ∈(-1,2),故选A. 答案:A6.已知集合A ＝{x|3x-2-x 2＜0},B ＝{x|x-a ＜0},且BA ，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤1B.1＜a ≤2C.a ＞2D.a ≤2解析:不等式3x-2-x 2＜0化为x 2-3x+2＞0⇒x ＞2或x ＜1,由不等式x-a ＜0，得x ＜a.要使B A,则a ≤1.答案:A二、填空题7.若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为 .解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f (0)＜0，即a 2－1＜0，∴－1＜a ＜1.答案：－1＜a ＜18.不等式21213≤+-x x 的解集为__________________. 解析: x x x x x x x x x x x x x ⇔≤-+⇔≤-+⇔-≤+-⇔≤⇔≤-+-+-0)1)(3(03211322212221313∈(-∞,-3］∪(0,1］.答案:(-∞,-3］∪(0,1］三、解答题1. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1) 2、已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩，解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-． 3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？解：假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ① 又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ② 由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立， ∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ，∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩∴14a =，∴14c =， ∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立。

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方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案一、选择题1．以3和4为根的一元二次方程是（）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-=D ．27120x x --=【答案】A【解析】【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可．【详解】A 、在x 2﹣7x+12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=12，此选项正确；B 、在x 2+7x+12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=12，此选项不正确；C 、在x 2+7x ﹣12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；D 、在x 2﹣7x ﹣12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；故选：A ．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a ，x 1•x 2=c a ．2．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（） A ．()250170x -=B ．()250170x += C ．()270150x -=D ．()270150x += 【答案】B【解析】【分析】根据2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，即可列出方程．【详解】解：根据题意可得，2018年的产量为50（1+x ），2019年的产量为50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2，即所列的方程为：50（1+x ）2=70．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．3．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（）A ．1和3B ．-1和3C ．1和4D ．-1和4 【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】移项得x 2-2x=3，配方得x 2-2x+1=4，即（x-1）2=4，∴m=1，n=4．故选C ．【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．4．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x ，那么x 应满足的方程是( )A ．x ＝40%10%2+ B ．100(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2C ．(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2D ．(100+40%)(100+10%)＝100(1+x)2【答案】C【解析】【分析】设平均每次增长的百分数为x ，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ”，得到商品现在关于x 的价格，整理后即可得到答案．【详解】设平均每次增长的百分数为x ．∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%）．∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ，∴商品现在的价格为：100（1+x ）2，∴100（1+40%）（1+10%）=100（1+x ）2，整理得：（1+40%）（1+10%）=（1+x ）2．故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．5．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【解析】【分析】设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x 人，依题意，得：1(1)362x x -=，解得：19x =，28x =-（舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．k ≠0B ．k ＞4C ．k ＜4D ．k ＜4且k ≠0【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k ＞0，然后解不等式即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根，∴2=(-4)40k ∆-＞解得：k ＜4．故答案为：C ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．8．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ，设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+，易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-<当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．9．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )A ．168(1＋a %)2＝128B ．168(1－a %)2＝128C ．168(1－2a %)＝128D ．168(1－a 2%)＝128【答案】B【解析】【分析】【详解】解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；故选B.10．关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】∵关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0中△=（2k ）2﹣4×（k ﹣1）=4k 2﹣4k+4=（2k ﹣1）2+3＞0∴k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B ．11．关于x 的一元二次方程220x ax --=的根的情况（）A ．有两个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．由a 的取值确定【答案】B【解析】【分析】计算出方程的判别式为△=a 2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况．【详解】方程220x ax --=的判别式为280a ∆=+>，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．12．今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是（）A ．220000(1x%)16000+=B ．220000(1x%)16000-=C ．220000(12x%)16000+=D ．()2200001x %16000-= 【答案】B【解析】【分析】已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价.【详解】解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即220000(1-x%)，进而可列出方程：220000(1x%)16000-=故选B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1x%)n b ±=的应用，理解公式是解决本题的关键.13．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1B ．a=1C ．a ＜1D ．a<1且a≠0【答案】D【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．【详解】解：由于原方程是二次方程，所以a≠0；∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1；综上，可得a≠0，且a ＜1；故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．14．关于方程x 2﹣x +9＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个相等实根B ．有两个不相等实数根C ．没有实数根D ．有一个实数根【答案】C【解析】【分析】找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．【详解】这里a=1，，c=9，∵△=b 2-4ac=32-36=-4＜0，∴方程无实数根．故选：C ．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．15．设x 1，x 2是方程220160x x --=的两实数根，则31220172016x x +-的值是（）A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018【答案】C【解析】【分析】采用“降次”思想，将31x 转化为120172016+x ，再利用根与系数的关系可得答案．【详解】∵x 1，x 2是方程220160x x --=的两实数根∴x 1+x 2=1，21120160--=x x∴211=2016+x x32111111=2016=20162016=20172016++++x x x x x x∴31220172016x x +-=122017201620172016++-x x=()122017+x x=2017故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式12=b x x a+-，以及采用降次思想进行转化是解题的关键．16．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%，2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，则x 满足（）A ．100（1+x ）2＝144B ．100（1+8.1%）（1﹣x ）＝144C ．100（1+8.1%）+x ＝144D ．100（1+8.1%）（1+x ）＝144 【答案】D【解析】【分析】由题意知，2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ），然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可.【详解】解：∵某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%， ∴2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），∵2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，∴2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ）＝144，故选D ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键.17．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（）A．2524k≤≤B．26k≤≤C．24k≤≤D．46k≤≤【答案】A【解析】【分析】由点C的坐标结合直线AB的解析式可得出点A、B的坐标，求出反比例函数图象过点C时的k值，将直线AB的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB上，综上即可得出结论．【详解】解：令y＝−x＋5中x＝1，则y＝4，∴B（1，4）；令y＝−x＋5中y＝2，则x＝3，∴A（3，2），当反比例函数kyx=（x＞0）的图象过点C时，有2＝1k，解得：k＝2，将y＝−x＋5代入kyx=中，整理得：x2−5x＋k＝0，∵△＝（−5）2−4k≥0，∴k≤254，当k＝254时，解得：x＝52，∵1＜52＜3，∴若反比例函数kyx=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤254，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．18．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是( )A ．2米B ．323米C ．2米或323米D ．3米【答案】A【解析】【分析】根据矩形面积的相关知识进行作答.【详解】设宽度为x ，将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即20121123122x 220x ⨯=+⨯-+⨯ ，解出x=2，所以，选A.【点睛】本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关19．如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根分别是13x =，24x =，那么p ，q 的值分别是（）A ．3，4B ．-7，12C ．7，12D ．7，-12【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为13x =，24x =，∴3+4=-p ，3×4=q ，∴p=-7，q=12，故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．20．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．100（1+x ）2=282B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282C ．100（1+2x ）＝282D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282 【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +，根据题意可得：100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．。