二次函数与一元二次方程及不等式

二次函数与一元二次方程及不等式一，二次方程基础概念当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++=其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1． 根的判别式24b ac ∆=-∆＞0时，方程有两个不相等的实数根； ∆＝0时，方程有两个相等的实数根；∆＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．2． 根与系数的关系（韦达定理）12bx x a+=-12c x x a=二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件20ax bx c ++=（0a >）三、一元二次不等式一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围．0∆> 0∆= 0∆<x 0y a ＞0x 0y x0 yx 1 x 2x 01，例题：选择题①2=++对任意实数t都有(2)(2)()f x x bx c+=-，那么（ A ）f t f tA．(2)(1)(4)<<f f ff f f<<B．(1)(2)(4)C．(2)(4)(1)<<<<D．(4)(2)(1)f f ff f f② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a >B ．11a -<<C ．R a ∈且0a ≠D ．1a <-或1a >③ 已知函数y ＝log 21（x 2－6x ＋7），则y （ D ）A ．有最大值没有最小值B ．有最小值没有最大值C ．有最大值也有最小值D ．没有最大值也没有最小值 填空题①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a =则2122(0)2(0)x x x y x x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩≥，其函数图象如下：②关于x 的方程2290x ax -+=的两个实数根分别为αβ，，则22(1)(1)αβ-+-的最小值是_______________． 解：方程有实数根，故24490a ∆=-⨯≥∴3a -≤或3a ≥ 又29a αβαβ+==， ∴ 22(1)(1)y αβ=-+-2()2()22αβαβαβ=+-+-+24416a a =-- ∵ 3a -≤或3a ≥ ∴ 8y ≥（a ＝3时取等号） ∴ min 8y =应用题：1. 已知函数24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程3xa +|1|1a =-+的根的范围．解：∵24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，所以2(4)4(230)0a a ∆=--+< 解得：－2.5＜a ＜3（1）当a ∈（－2.5，1]时，方程化为 x ＝（a ＋3）（2－a ） ＝－a 2－a ＋6∈（425,49]（2）当a ∈（1，3）时，方程化为x ＝（a ＋3）a ＝a 2＋3a ∈（4，18）综上所述：x ∈（49，18）2. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（a ＋k ）2x ＋（k 2＋3ak ＋b ）的图象与x 轴都交于点A （1，0）． （1）求a 、b 的值；（2） 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB |的最大值．解：⑴a ＝1，b ＝1y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（k ＋1）2x ＋（k 2＋3k ＋1）⑵|AB |的最大值为2．3. 设实数a 、b 、c 满足a 2－bc －8a ＋7＝0 …………①b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0 …………②求a 的取值范围．解：1≤a ≤94. 设二次函数2()f x ax bx c =++（a ＞0），方程()0f x x -=的两个根12x x ，满足1210x x a<<<． （1）．当x ∈（0，1x ）时，证明x ＜()f x ＜1x ； （2）．设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：102x x <． 解（2）．依题意知x 0＝－2b a．因为x 1，x 2是方程f （x ）－x ＝0的根，即x 1，x 2是方程ax 2＋（b －1）x ＋c ＝0的根，所以 x 1＋x 2＝－1b a-x 0＝－1212()11222a x x ax ax b a a a+-+-== 因为21ax <，所以0x <1122ax x a =． 5. 若关于x 的二次方程7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2＝0的两根αβ，满足 0＜α＜1＜β＜2求实数p 的取值范围．解：设f （x ）＝7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2根据题意得：(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即2222028030p p p p p p ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩解得：p ∈（－2，－1）∪（3，4）．6. 已知二次函数y=x 2－（2m+4）x+m 2－4（x 为自变量）的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO ，OB•满足3（•OB －AO ）=2AO ·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点为P ，且锐角∠POB•的正切值4． （1）求m 的取值范围； （2）求这个二次函数的解析式； （3）确定直线y=kx+k 的解析式．解 （1）m 2－4<0， －2<m<2．（2）二次函数的解析式为y=x 2－2x －3．（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．强化训练一、填空题1．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是__y=－2x2+2x+4_．2．已知二次函数y=（a－1）x2+2ax+3a－2的图像最低点在x轴上，那么a=__2__，此时函数的解析式为__y=x2+4x+4 __．3．某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－14x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O•的距离为___9__m．图1 图24．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－112s2+23s+32．如图2，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为94m，•设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是__．5．若抛物线y=12x2与直线y=x+m只有一个公共点，则m的值为__－12__．6．设抛物线y=x2+（2a+1）x+2a+54的图像与x•轴只有一个交点，•则a18+•323a－6•的值为__5796__．7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB•的面积等于___6___．8．（2008，安徽）图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像，在下列说法中：①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随着x•的增大而增大．正确的说法有___①①①____．（请写出所有正确说法的序号）图3 图4 图5二、选择题9．小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－15x2+3.5的一部分（图4），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（B ）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m10．当m B ）A．0 B．5 C．D．911．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论：①a>0，②c>0，•③b2－4ac>0，其中正确的个数是（C ）A．0个B．1个C．2个D．3个12．抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（C ）A．m>14B．m>－14C．m<14D．m<－1413．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，•判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（C ）9y=ax 2+b x+c－0.03 －0.01 0.020.04A ．6<x<6.17B ．6.17<x<6.18C ．6.18<x<6.19D ．6.19<x<6.20 14．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（•－1，0），则S=a+b+c 的值的变化范围是（A ） A ．0<S<2 B ．0<S<1 C ．1<S<2 D ．－1<S<115．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的最大值是零，那么代数式│a │+244ac b a的化简结果是（ B ）A ．aB ．－aC ．D ．016．（2006，甘肃兰州）已知y=2x 2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y•轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ B ） A ．y=2（x －2）2+2 B ．y=2（x+2）2－2 C ．y=2（x －2）2－2 D ．y=2（x+2）2+2 三、解答题17．（2006，吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，•两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m ，顶点M 距水面6m （即MO=6m ），•小孔顶点N 距水面4.5m （即NC=4.5m ）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．设抛物线解析式为y=ax 2+6，依题意得，B （10，0）．①a×102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x 2+6， 当y=4.5时，－0.06x 2+6=4.5，解得x=±5， ①DF=5，EF=10，即水面宽度为10m ．18．（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－35x2+3x+1的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演是否成功？请说明理由．（1）y=－35x2+3x+1=－35（x－52）2+194．①－35<0，①函数的最大值是194．答：演员弹跳离地面的最大高度是194m．（2）当x=4时，y=－35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．19．（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）•之间存在正比例函数关系：y A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）•之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，•可获得3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元．•请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．解（1）当x=5时，y A=2，2=5k，k=0.4．①y A=0.4x，当x=2时，y B=2.4；当x=4时，y B=3.2．①2.442,3.2164.a ba b=+⎧⎨=+⎩解得0.2,1.6.ab=-⎧⎨=⎩①y B=－0.2x2+1.6x．（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10－x）万元，获得利润W万元，根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4．①W=－0.2（x－3）2+5.8．当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．20．（2008，烟台）如图所示，抛物线L1：y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y•轴于M点．抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N•为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P•关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由．（1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，①x1=－3，x2=1，①A（－3，0），B（1，0）．①抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，①C（－1，0），D（3，0）．①抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．即y=－x2+2x+3．（2）存在．如图所示．令x=0，得y=3，①M（0，3）．①抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的，①点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN①AC．又①AC=2，①MN=AC．①四边形ACNM为平行四边形．同理，L1上的点N′（－2，3）满足N′M①AC，N′M=AC，①四边形ACMN′是平行四边形．①N（2，3），N′（－2，3）即为所求．（3）设P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），则点P关于原点的对称点Q（－x1，－y1），且y1=－x12－2x1+3，将点Q的横坐标代入L2，得y Q=－x12－2x1+3=y1≠－y1．①点Q不在抛物线L2上．21．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，4），顶点在x 轴上，•且对称轴在y 轴的右侧．设直线y=x 与二次函数图像自左向右分别交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，•且OP ：PQ=1：3．（1）求二次函数的解析式；（2）求△PAQ 的面积；（3）在线段PQ 上是否存在一点D ，使△APD ≌△QPA ，若存在，求出点D 坐标，•若不存在，说明理由．（1）抛物线过（0，4）点．①c=4，①y=ax 2+bx+4又OP ：PQ=1：3， ①x 1：x 2=1：4由24y x y ax bx =⎧⎨=++⎩得ax 2+（b －1）x+4=0， ①x 1，x 2是该方程的两个根， ①x 1+x 2=－1b a -，x 1·x 2=4a ． 消去x 1得25a=（b －1）2．①抛物线的对称轴在y 轴右侧 ①－2b a >0，①b a <0，又抛物线的顶点在x 轴上， ①b 2=16a 得a=1，b=－4（b=49舍去）． ①y=x 2－4x+4．（2）如图所示 S ①PAQ =S ①AQO －S ①APO=12×4×x 2－12×4×x 1=2（x 2－x 1）22112()4x x x x +-2116()b a a ---9． （3）存在点D ，设D （m ，n ）易得P （1，1），Q （4，4），由①APD①①QPA 得PA 2=PQ·PD ，运用勾股定理得│m －1│=53，得m=83或-23． ①1<m<4， ①D （83，83）．22．（2005，武汉市）已知二次函数y=ax 2－ax+m 的图像交x 轴于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，x 1<x 2，交y 轴的负半轴于C 点，且AB=3，tan ∠BAC －tan ∠ABC=1．（1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P ，使S △PAC =6？若存在，请你求出点P 的坐标；• 若不存在，请你说明理由．解 （1）①AB=3，x 1<x 2，①x 2－x 1=3．由根与系数的关系有x 1+x 2=1， ①x 1=－1，x 2=2．①OA=1，OB=2，x 1·x 2=m a =－2．①tan①BAC －tan①ABC=1， ①OC ：OA －OC ：OB =1， ①OC=2 ①m=－2，a=1．①此二次函数的解析式为y=x 2－x －2．（2）在第一象限，抛物线上存在一点P 使S ①APC =6．解法一：过点P 作直线MN①AC 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，连接PA ，PC ，MC ，NA ，如图所示． ①MN①AC ，①S ①MAC =S ①NAC =S ①PAC =6． 由（1）有OA=1，OC=2 ①12×AM×2=12×CN×1=6， ①AM=6，CN=12．①M （5，0），N （0，10）．①直线MN 的解析式为y=－2x+10． 由2210,2.y x y x x =-+⎧⎨=--⎩得12123,4,4.18.x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍去）． ①在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S ①PAC =6． 解法二：设AP 与y 轴交于D （0，n ）（n>0）．①直线AP 的解析式为y=nx+n ．22,.y x x y nx n ⎧=--⎨=+⎩ ①x 2－（n+1）x －n －2=0， ①x A +x P =n+1，①x P =n+2． 又S ①PAC =S ①ADC +S ①PDC =12CD·AO+12CD·x p =12CD （AO+x p ）．①12（n+2）（1+n+2）=6，n 2+5n －6=0． ①n=－6（舍去）或n=1．①在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S ①PAC =6．。