一元二次方程一元二次不等式二次函数之间的关系
一元二次方程
(1)一般形式：；(2)配方式：；(3)两根式：
求解过程（即证明过程，采用配方法）：→→
判别式Δ（希腊字母，音译为戴尔塔）
若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：
若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根：
若Δ<0，该方程在实数域内无解，但在虚数域内有两个共轭复根，为（不需要记住，这是在大学里需要学的）
一元二次方程的根与系数的关系：（也称为韦达定理，其逆定理也成立）
【知识要点】
1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，
2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为
3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根
4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式
5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根
一元二次方程式、二次函数之间的关系（高中部分）：
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案 一、选择题 1．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144 【答案】D 【解析】 试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ）， 2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2， 即所列的方程为100（1+x ）2=144， 故选D ． 点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( ) A ．168(1＋a %)2＝128 B ．168(1－a %)2＝128 C ．168(1－2a %)＝128 D ．168(1－a 2%)＝128 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元， 第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2； 故选B. 3．将方程()2 2230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ） A ．1和3 B ．-1和3 C ．1和4 D ．-1和4 【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x 2-2x=3， 配方得x 2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4．
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
§2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 导学目标： 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~ P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 【知识点一】一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<()0a ≠ 自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．22 20a x x +≥ B ． 2 1 3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32 410x x x +-+> 【知识点二】一元二次不等式的解法 下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y < 当x 取 时，0y > 由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为 有何发现：
第二章 一元二次函数、方程和不等式 - 2 - （3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式()2 00ax bx c a ++>≠ 与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ． （3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 自我检测3：不等式2 50ax x c ++>的解集为1 13 2x x ??<≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ． （2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ．
初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点
初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点 一、选择题 1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a=1 C ．a ＜1 D ．a<1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】 由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围． 【详解】 解：由于原方程是二次方程，所以a≠0； ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1； 综上，可得a≠0，且a ＜1； 故选D ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?方程有两个相等的实数根； (3)△＜0?方程没有实数根． 2．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ． 【详解】 解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0
二次函数与一元二次方程不等式之间的关系
九年级数学第十周拓展训练（部分习题选自《新思维》）（2017.11.5） 1．（永州）抛物线122-++=m x x y 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是----（ ） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m≤2 D ．m ＜﹣2 2.(陕西)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图 （ ） x … 1- 0 1 2 … y … 1- 47- 2- 4 7- … A.只有一个交点 B.有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C.有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D.无交点 3.（宜昌）已知抛物线122+-=x ax y 与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是------（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4．（南宁）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 和正比例函数x y 3 2=的图象如图所示，则方程0)3 2(2=+-+c x b ax 的两根之和-------------------------------------------------------（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不能确定 5.（安徽）如图，一次函数x y =1与二次函数c bx ax y ++=22的图象相交于P 、Q 两点，则函数 c x b ax y +-+=)1(2的图象可能为-----------------------------------------------------（ ） 6.（绵阳）若)(,2121x x x x ＜是方程)(1))((b a b x a x ＜=--的两个根，则b a x x ,,,21的大小关系（ ） A. b a x x ＜＜＜21 B. b x a x ＜＜＜21 C. 21x b a x ＜＜＜ D. 21x b x a ＜＜＜ 7.（泰安）二次函数bx ax y +=2 的图象如图所示，若一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，则m 的最大值为-----------------------------------------------------------------------------（ ） A.-3 B.3 C.-6 D.9 第4题 第5题 第7题
二次函数与一元二次方程和不等式教学提纲
怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习 初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)） 设计：吴兵 审校：蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________ 一、知识点 1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线0(2 ≠++=a c bx ax y ）与x 轴的交点为(m ,0)、(n ,0),则对应的一元二次方程 02=++c bx ax 的两根为 . 一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x 轴的交点个数. （1）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点, 02 =+ +c bx ax ac b 42- 0； （2）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个交点， 02 =++c bx ax ac b 42- 0； （3）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点, 02 =++c bx ax ac b 42- 0. 2.抛物线与直线的交点: ①二次函数图象与x 轴及平行于x 轴的直线； ②二次函数图象与y 轴及平行于y 轴的直线； ③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题 不画图象，你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗？请说明理由。 三、适应练习 1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ． 2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的 交点有 个，其坐标是 ． 3、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ） 62 -+=x x y 0542 =-+x x 025102=-+-x x 25102 -+-=x x y 542 -+=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D
如何解一元二次不等式
如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。
次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时) 知识回顾： 1如图填空：（1）a____0 2）b___0 （3）c___0 （4）b 2－4ac____0 2如图一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝3 的解为_________________ 探究实践： 例1．画出函数322 --=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么 （2）当x 取何值时，y=0这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系 （3）x 取什么值时，函数值y 大于0x 取什么值时，函数值y 小于0 例2、关察图像回答下列问题: 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空：（1）a ＋b ＋c___0 （2）a －b ＋c_____0 （3）2a －b __0 ②如图2a ＋b _______0 4a ＋2b ＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________； （2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； （3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________； （4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； （5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________． 课内练习： 1、根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0； （6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0； （8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________； （9）当y ＞0时，x 的范围为___________； （10）当y ＜0时，x 的范围为___________；
一元二次不等式的解法(新版教材)
一元二次不等式的解法 基础知识 1．一元二次不等式的概念 一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法 如果x 1
故其解集为{x |－13≤x <1 4 }．故选B ． 3．①x 2＋x ＋1<0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1>0，④mx 2－5x ＋1>0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c >0(m ，n ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上) 解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥. 4．不等式组0≤x 2－2x －3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__. 解析：由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3<5得－2 第4节从函数的观点看一元二次方程和 一元二次不等式 知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1， x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝ x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2 或x＜x1}?? ? ? ? ? x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 ab (x－a)·(x－b)>0{x|x (1)f (x ) g (x )>0(<0)?f (x )·g (x )>0(<0). (2)f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒] 1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形. 3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c >0或???a >0，Δ<0. (2)不等式ax 2 ＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c <0或???a <0， Δ<0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( ) (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) 解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为?. (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为?. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.(必修5P103A2改编)已知集合 A ＝???? ?? x ???12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： 全国高中数学说课竞赛 《一元二次不等式的解法》说课稿 各位评委、各位老师:大家好！ 我叫李长杉,来自甘肃省嘉峪关市第一中学。今天我说课的课题是《一元二次不等式的解法》（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材内容分析、教法学法分析、教学过程分析和课堂意外预案等几个方面逐一加以分析和说明。 一.教材内容分析： 1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。 概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。 2.教学目标定位。 根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标。第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。 3.教学重点、难点确定。 本节课是在复习了一次不等式的解法之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可。因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。 二.教法学法分析： 数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了①创设情景——引入新课，②交流探究——发现规律，③启发引导——形成结论，④练习小结——深化巩固，⑤思维拓展——提高能力,五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。 三.教学过程分析： 二次函数与一元二次方程及不等式 一，二次方程基础概念 当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++= 其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1． 根的判别式24b ac ?=- ?＞0时，方程有两个不相等的实数根； ?＝0时，方程有两个相等的实数根； ?＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根． 2． 根与系数的关系（韦达定理） 12b x x a +=- 12c x x a = 二次方程根的分布 根的位置<=>图象位置<=>等价条件 20ax bx c ++=（0a >） 三、一元二次不等式 一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围． 0? > 0?= 0?< a 1，例题： 选择题 ①2 =++对任意实数t都有(2)(2) () f x x bx c +=-，那么（ A ） f t f t A．(2)(1)(4) << f f f f f f < ② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a > B ．11a -<< C ．R a ∈且0a ≠ D ．1a <-或1a > ③ 已知函数y ＝log 2 1（x 2－6x ＋7），则y （ D ） A ．有最大值没有最小值 B ．有最小值没有最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．没有最大值也没有最小值 填空题 ①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a = 则2 122(0) 2(0) x x x y x x x ?-?=?+ 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案 一、选择题 1．以3和4为根的一元二次方程是（ ） A ．27120x x -+= B ．27120x x ++= C ．27120x x +-= D ．27120x x --= 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可． 【详解】 A 、在x 2﹣7x+12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=12，此选项正确； B 、在x 2+7x+12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=12，此选项不正确； C 、在x 2+7x ﹣12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确； D 、在x 2﹣7x ﹣12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确； 故选：A ． 【点睛】 本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a ，x 1?x 2=c a ． 2．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．()250170x -= B ．()2 50170x += C ．()270150x -= D ．()270150x += 【答案】B 【解析】 【分析】 根据2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，即可列出方程． 【详解】 解：根据题意可得，2018年的产量为50（1+x ）， 2019年的产量为50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2， 即所列的方程为：50（1+x ）2=70． 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找 二次函数与一元二次方程、不等式 【学习目标】 （1）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． （2）从函数观点看一元二次不等式． ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． ②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 【学习重难点】 二次函数与一元二次方程和不等式的关系。 【学习过程】 一、自主学习 Δ>0Δ＝0Δ<0 状元随笔一元二次不等式的解法： （1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． （2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p 方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解. 【详解】 解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤， 240k b ∴?=->， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1 【答案】C 【解析】 试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2 24241440b ac m m ?=-=--??=-<， 解得： 1.m > 故选C ． 3．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 专题一元二次不等式及其解法教学反思一元二次不等式及其解法的复习重点是1：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2：一元二次不等式及其解法。由于是复习课，根据我们学生的实际情况，我是这样安排复习的：一、我先给学生展示高考考纲及考情，再检测学生对一元二次不等式的概念及“三个二次”之间关系的理解，引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握的比较熟悉。（五六分钟）二、为了检测学生对本节知识的应用情况，我要求学生完成，有三位学生主动板演，让其他学生批改，在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤，以次调动学生的学习积极性，也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整的写出解题过程，后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以（大约12多分钟）。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度，我选了两个热点题，启发引导学生对问题的分析及其解答。从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生能较熟练地运用知识，而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉，思考问题的角度单一，思维方法不灵活。另外运算能力还有待提高。还有由于时间关系，没能检查学生完成资料课时作业的对应联系。（大约15分钟） 通过本节课，有几个方面以后上课必须要注意： 1、教学内容安排要合理。每一节的教学内容要适合学生的实际情况，不能好多，也不太少了。 2、课堂突发情况的调控能力还要提高。 3、调动学生学习积极性还需要学习更多好的方法。 4、有效课堂必须是完整的课堂，无论是课前复习，新课导学，典型例题、当堂练习、学习小结还是当堂检测都应该完整完成。今后的课堂一定要向着这个目标努力。 5、在今后的复习中要进一步提高学生的数学运算能力。培养学生良好的思维能力，注重培养学生的发散思维。 第二次综合检测《一元二次函数、方程和不等式》 一、单项选择题（5×8=40分） 1．不等式270x x -<的解集是( ) A ．{|7x x <-或0}x > B ．{|0x x <或7}x > C ．{|70}x x -<< D ．{|07}x x << 2．若a ，b ，c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．ac bc > B ．2()0a b c -> C ．11a b < D ．22a b -<- 3．一元二次不等式(1)(2)0x x -+<的解集为( ) A ．{|2x x <-或1}x > B ．{|1x x <-或2}x > C ．{|21}x x -<< D ．{|12}x x -<< 4．函数2 2(1)1 y x x x =+ >-的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 $ 5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( ) A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．32米 6．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为( ) A ．20 B ．24 C ．25 D ．28 7．已知x ，0y >且4x y +=，则下面结论不正确的是( ) A ．xy 的最大值是4 B ．xy 的最小值是4 C ．x ?，y ，xy y x ≥+ D ．x ?，y ，xy y x 2≥+ 8．若不等式23 208 kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．30k -<< B ．03<≤-k C ．0k < D ．0k 3≤<- 二、多项选择题，漏选得3分（5×4=20分） 9．若11 0a b <<，则下列不等式中正确的是( ) ? A ．a b ab +< B ． 2b a a b +> C ．2ab b > D ．22a b < 10．下列表达式的最小值为2的有( ) A ．当1ab =时，a b + B ．当1ab =时， b a a b + C ．223a a -+ D 11．关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中正确的是( ) A ．当0m =时，12x =，23x = B ．1 4 m >- C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<< 12．对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>的解集可能为( ) A ．? B ．(1,)a - C ．(,1)a - D ．),()1,(∞+?--∞a 三、填空题（5×4=20分） 13．不等式2280x x -++>的解集是 . | 14．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：/)mg L 随时间t 一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题 (一)一元二次方程的一般形式：()002≠=++a c bx ax 其中c b a ,,为常数，x 为未知数。根的判别式：ac b 42 -=? 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 0?时，方程①有两个不相等的实根。a ac b b x 2422,1-±-= （二）二次函数的一般形式：形如()a b ac a b a y a c bx ax y 442x 022 2 -+ ??? ? ? +==≠++= 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。顶点坐标为???? ? ?--a b ac a b P 44,22，其中直线a b x 2-=为对称轴， 1、（1）0a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2 在a b x 2- =取到最小值，即a b ac y 442min -=，对任意a b a c y R x 44,2-≥∈. 2、二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断： 0?时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。 3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、?. （三）一元二次不等式的概念：形如()002 ≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2 与0的 不等号可以是><≥≤,，， 或≠.第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
《一元二次不等式的解法》说课稿[001]完美版
二次函数与一元二次方程及不等式
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案
(学案)二次函数与一元二次方程、不等式
方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析
一元二次不等式及其解法(教学反思
第二章-一元二次函数、方程和不等式
一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题