奥数：完全平方数

绝密★启用前奥数：完全平方数注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分，）1. 把两个整数平方得到的数“拼”起来（即按一定顺序写在一起）后仍然得到一个平方数，则称最后得到的这个数为“拼方数”．如把整数4，3分别平方后得到16，9，拼成的数“169”是13的平方，称“169”是“拼方数”．在下列数中，属于“拼方数”的是（）A.225B.494C.361D.12192. 在不大于100的自然数中，既不是完全平方数（平方根是整数）也不是完全立方数（立方根是整数）的数的概率有（）A.3 25B.87101C.87100D.881013. 一个完全平方数的最前两位数为19，最末两位数为99，则这样的完全平方数（）A.不存在B.只有一个C.有两个D.有两个以上4. 如果对于不<8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（）A.1B.2C.3D.45. 连续正整数a，b，c，d，e之和为完全立方数，b，c，d之和为完全平方数，则c的最小值为（）A.100B.225C.375D.6756. 11，111，1111，11111，…中，完全平方数的个数为（）A.0B.1C.10D.无数多卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 13 小题，每题 5 分，共计65分，）7. 一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，则这个自然数是________．8. 在2001、2002、…、2010这10个数中，不能表示成两个平方数差的数有________个．9. 有一个整数，加上100则为一个完全平方数，如果加上168，则为另一个完全平方数，则这个数为________．10. 已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是________．试卷第2页，总12页11. 若a 是一个完全平方数，则比a 大的最小完全平方数是________．12. 使得m 2+m +7是完全平方数的所有整数m 的积是________．13. 要使26+210+2x 为完全平方数，那么非负整数x 可以是________．（要求写出x 的3个值）14. 已知四位数x 是完全平方数，将其4个数字各加1后得到的四位数仍然是完全平方数，则x =________．15. 已知n 是自然数，且n 2−17n +73是完全平方数，那么n 的值是________或________．16. 满足3n +1≤2017，使得5n +1是完全平方数的正整数n 共有________个．17. 已知x 为正整数，设A =x 3+3x 2−45x −175，若A 为完全平方数，则A 的最小值是________．18. 已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数，则其中最大的数的最小值是________．19. 3042乘以一个自然数A ，乘积是一个整数的平方，那么A 最小是________． 三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ， ）20. （5分） M 为何整数时，9m 2+5m +26能分解成两个连续自然数之积．奥数：完全平方数一、选择题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）1.【答案】C【考点】完全平方数【解析】首先理解“拼方数”的概念，然后分别对各项进行检验，看看是否符合“拼方数”的定义，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、∵225=152，但22与5或2与25均不是两个整数平方得到的数，∴225不属于“拼方数”，故本选项错误；B、∵494可以看作把整数7，2分别平方后得到49，4拼成的，但494不是整数的平方，∴494不属于“拼方数”，故本选项错误；C、∵361可以看作把整数6，1分别平方后得到36，1拼成的数，是19的平方，∴361属于“拼方数”，故本选项正确；D、∵1219可以看作把整数11，3分别平方后得到121，9拼成的，但1219不是整数的平方，∴1219不属于“拼方数”，故本选项错误．故选C．2.【答案】D【考点】完全平方数平方根立方根的实际应用概率公式【解析】先列举出0−100中的完全平方数与完全立方数，再利用概率的求解方法进行解答即可．【解答】解：∵0−100中的完全平方数有：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；完全立方数有：0，8，27，64；∴0−100的自然数中既不是完全平方数与也不是完全立方数的共有101−11−4+2=88个；∴在不大于100的自然数中，既不是完全平方数（平方根是整数）也不是完全立方数（立方根是整数）的数的概率为88．101故选D．3.【答案】A【考点】完全平方数【解析】试卷第4页，总12页设这个数是a 2，a 2个位是9，则a 的个位是3或7，然后讨论即可得出答案． 【解答】解：设这个数是a 2， a 2个位是9，则a 的个位是3或7，若a 个位是3，则a =10n +3，∴ a 2=(10n +3)2=100n 2+60n +9， ∴ 十位是6n 的个位数，是偶数， ∴ 十位不可能是9；若a 个位是7，则a =10n +7，∴ a 2=(10n +7)2=100n 2+140n +49， ∴ 十位是14n +4的个位数，也是偶数， ∴ 十位也不可能是9，∴ 这样的完全平方数有0个， 故选A ． 4.【答案】 C【考点】 完全平方数 【解析】根据完全平公式计算即可． 【解答】解：由已知3n +1是一个完全平方数，所以我们就设3n +1=a 2， 显然a 2不是3的倍数，于是a =3x ±1，从而3n +1=a 2=9x 2±6x +1，n =3x 2±2x ， 即n +1=2x 2+(x ±1)2=x 2+x 2+(x ±1)2， 即把n +1写为了x ，x ，x ±1这三个数的平方和， 也就是说表示成了3个完全平方数的和， 所以k =3． 故选C ． 5.【答案】 D【考点】 完全平方数 【解析】将a ，b ，c ，d ，e 之和及b ，c ，d 之和分别用c 表示出来，然后根据题意可根据题意得出C 的关系式． 【解答】解：因a +b +c +d +e =5c ，b +c +d =3c ，从而5c =n 3，3c =m 2，n ，m 为正整数，∴ n =5p ，m =3q ，p ，q 为整数，c =52⋅p 3=3q 2， ∴ c 的最小值为52⋅33=675． 故选D ． 6.【答案】 A【考点】完全平方数【解析】奇数的平方根必为奇数，故设其平方根为2k+1，则满足(2k+1)2=11...1，根据该等量关系式即可求得k值是否存在，即可解题．【解答】解：因为以上各数均为奇数，假设在数列1，11，111，1111，中有完全平方数，设为2k+1．∵(2k+1)2=4k2+4k+1=11...1；即：4k(k+1)=11...10①，∵4不能被10，110，1110…整除，所以①式不成立，即在数列1，11，111，…，中不存在完全平方数．故选A．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 5 分，共计65分）7.【答案】1981【考点】完全平方数【解析】设该数为x，则x−45为完全平方数，x+44为完全平方数，故这两个完全平方数的差值为2k+1=x+44−(x−45)，即可计算k的值，即可解题．【解答】解：设该数为x，则x−45为完全平方数，x+44为完全平方数，故这两个完全平方数的差值为2k+1=x+44−(x−45)，即k=44，故x−45是44的平方，x+44是45的平方，故该数为1981．故答案为：1981．8.【答案】3【考点】完全平方数【解析】首先将符合条件的整数分解成两整数的和与这两整数的差的积，再由整数的奇偶性，判断这个符合条件的整数，是奇数或是能被4整除的数，从而找出符合条件的整数的个数．在2001、2002、…、2010这10个数中，奇数有5个，能被4整除的有2个，所以不能表示成两个平方数差的数有10−5−2=3个．【解答】解：对x=n2−m2=(n+m)(n−m)，（m<n，m，n为整数）因为n+m与n−m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，在2001、2002、…、2010这10个数中，奇数有5个，能被4整除的数有2个，所以能表示成两个平方数差的数有5+2=7个，则不能表示成两个平方数差的数有10−7=3个．故答案为：3．9.试卷第6页，总12页【答案】 156【考点】完全平方数 【解析】首先设这个数是n ，则n +100=a 2，n +168=b 2，两式作差，则(b +a)(b −a)=68，所以b +a =34，b −a =2，继而求得答案． 【解答】解：设这个数是n ，∵ 有一个整数，加上100则为一个完全平方数，如果加上168，则为另一个完全平方数，∴ n +100=a 2①，n +168=b 2②， ∴ ②-①得：b 2−a 2=68， ∴ (b +a)(b −a)=68， ∵ a 与b 都是正整数，∴ b +a 与b −a 同奇或同偶， ∴ {b +a =34b −a =2，解得：a =16， ∴ n =156． 故答案为：156． 10.【答案】 1003或3988 【考点】 完全平方数 【解析】本题分两种情况讨论n 的取值．把47+4n +41998化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n ． 【解答】解：(1)47+4n +41998=(27)2+2⋅27⋅22n−8+(21998)2∵ 47+4n +41998是一个完全平方数． ∴ 22n−8=21998 即2n −8=1998．∴ 当n =1003时，47+4n +41998是完全平方数；(2)47+4n +41998=47+41998+4n ， =(27)2+2⋅27⋅23988+(2n )2，∵ 47+4n +41998是一个完全平方数． ∴ 23988=2n ， ∴ n =3988．综上得n =1003或n =3988． 11.【答案】 a +2√a +1 【考点】 完全平方数【解析】由于a 是一个完全平方数，则a =(√a)2．可知比a 大的最小完全平方数是(√a +1)2． 【解答】解：∵ a 是一个完全平方数， ∴ a 的算术平方根是√a ，∴ 比a 的算术平方根大1的数是√a +1，∴ 这个完全平方数为：(√a +1)2=a +2√a +1． 故答案为：a +2√a +1． 12.【答案】 84【考点】 完全平方数 【解析】将m 2+m +7表示为k 2的形式，然后转化可得出(2m +2k +1)(2m −2k +1)＝−27，从而讨论可得出m 的值，从而得到所有整数m 的积． 【解答】设m 2+m +7＝k 2， 所以m 2+m +14+274=k 2，所以(m +12)2+274=k 2，所以 (m +12)2−k 2=−274， 所以(m +12+k)(m +12−k)=−274，所以(2m +2k +1)(2m −2k +1)＝−27因为k ≥0（因为k 2为完全平方数），且m 与k 都为整数，所以①2m +2k +1＝27，2m −2k +1＝−1，解得：m ＝6，k ＝7； ②2m +2k +1＝9，2m −2k +1＝−3，解得：m ＝1，k ＝3； ③2m +2k +1＝3，2m −2k +1＝−9，解得：m ＝−2，k ＝3； ④2m +2k +1＝1，2m −2k +1＝−27，解得：m ＝−7，k ＝（7） 所以所有m 的积为6×1×(−2)×(−7)＝（84） 13.【答案】 0，9，12． 【考点】 完全平方数 【解析】根据完全平方公式得到(25+1)2＝210+2⋅25+1＝210+26+1，要使26+210+2x 为完全平方数，2x 可以为1，即2x ＝1＝20，即可解得x 的值；又(25+23)2＝210+2⋅28+26＝210+26+29，或(26+23)2＝212+2⋅29+26＝210+26+212，同样能得到x 的值． 【解答】∵ 26＝(23)2，210＝(25)2，∴ (25+1)2＝210+2⋅25+1＝210+26+1， ∴ 要使26+210+2x 为完全平方数，2x 可以为1， 即2x ＝1＝20，解得x ＝0；试卷第8页，总12页又∵ (25+23)2＝210+2⋅28+26＝210+26+29， ∴ 要使26+210+2x 为完全平方数，2x 可以为29， 即2x ＝29，解得x ＝9；又∵ (26+23)2＝212+2⋅29+26＝210+26+212， ∴ 要使26+210+2x 为完全平方数，2x 可以为212， 即2x ＝212，解得x ＝12； 14.【答案】 2025 【考点】 完全平方数 【解析】设x =a 2①，则x +1111=b 2②，将②-①，得出b 2−a 2=1111，由于1111=101×11，那么(b +a)(b −a)=101×11，从而得出方程组{b +a =101b −a =11，解方程组求出a 、b 的值即可． 【解答】解：设x =a 2①，则x +1111=b 2②， ②-①，得b 2−a 2=1111， 即：(b +a)(b −a)=101×11， 所以{b +a =101b −a =11，解这个方程组，得{a =45b =56，所以x =a 2=452=2025，b 2=562=3136． 所以这个四位数是2025． 故答案为2025． 15.【答案】 8,9【考点】 完全平方数 【解析】题目的要求是n 2−17n +73是完全平方数，可设为a 2，然后利用十字相乘法进行因式分解，根据原方程的判别式可求得a 的值，从而得到n 的数值． 【解答】解：由于n 2−17n +73是完全平方数，令y =n 2−17n +73=a 2则n 2−17n +72=a 2−1∴ (n −8)(n −9)=(a +1)(a −1)③ 原方程（视a 为常数）△=4a 2−3 要使该方程有整数解， 有△=4a 2−3=b 2 易得a =−1或1 代入③，③=0这就表明③成立的条件为a =−1或1 ∴ n =8或9 故答案为8或9． 16.【答案】22【考点】完全平方数【解析】先确定出n的范围，设5n+1＝a2（a为正整数），得出n=(a+1)(a−1)5，进而判断出a+ 1或a−1是5的倍数，分两种情况，判断出a的范围，即可确定出个数．【解答】∵3n+1≤2017，∴n≤672，∵n为正整数，∴0<n≤672（n为整数），设5n+1＝a2（a为正整数），∴n=(a+1)(a−1)5，∵n为正整数，∴(a+1)(a−1)5为正整数，∴a+1或a−1是5的倍数，①当a+1是5的倍数时，∵0<n≤672（n为整数），∴4≤a<58(a+1最小是5，得出a≥4)设a+1＝5k（k为正整数），∴k=a+15，∴1≤a+15<595，∴1≤k<595=11.8，∵k为正整数，∴k共有11个，∴满足条件的正整数n有11个，②当a−1是5的倍数时，∵0<n≤672（n为整数），∴6≤a<58(a−1最小是5，得出a≥6)，设a−1＝5m（m为正整数），∴m=a−15，∴1≤a−15<575，∴1≤m<11.4，∵m为正整数，∴m共有11个，∴满足条件的正整数n有11个，即：满足条件的正整数n有22个，17.【答案】试卷第10页，总12页【考点】 完全平方数 【解析】把x =1，2，…分别代入A =x 3+3x 2−45x −175，得到x =7时，A =0，得到A 的最小值是0． 【解答】解：∵ x 为正整数，∴ 把x =1，2，…分别代入A =x 3+3x 2−45x −175， 当x =7，A =73+3×72−45×7−175=0， 而0为完全平方数，∴ 若A 为完全平方数，则A 的最小值是0． 故答案为：0． 18.【答案】 2133 【考点】 完全平方数 【解析】设连续2008个正整数中最小的数是m ，则m +(m +1)+...+(m +2007)=(2m +2007)×2008÷2=2008m +2007×1004，根据这2008个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n ，使2008m +2007×1004=n 2，由上式左边能被1004整除，故n 2也必能被1004整除，1004=2×2×251，故n 也必能被251×2=502整除，设n =502k ，k 为正整数．从而得出连续2008个正整数为126，127，128，…，2133． 【解答】解：设连续2008个正整数中最小的数是m ，则m +(m +1)+...+(m +2007)=(2m +2007)×2008÷2=2008m +2007×1004 如果这2008个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n 有2008m +2007×1004=n 2由于上式左边能被1004整除，故n 2也必能被1004整除，1004=2×2×251， 故n 也必能被251×2=502整除，设n =502k ，k 为正整数，代入2008m +2007×1004=n 2得 2m +2007=251k 2，故2m +2007能被素数251整除，即2m −1能被251整除，取最小的m ，使2m −1能被251整除，取2m −1=251，m =126，代入2m +2007=251k 2，解得k =3，n =1506，此时连续2008个正整数为126，127，128，…，2133． 满足条件的2008个正整数中最大的数的最小值是2133． 19.【答案】 2【考点】 完全平方数 【解析】先将3042写成132×32×2的形式，显然可以看出，再乘以2即可得出答案． 【解答】解：∵ 3042=132×32×2，∴ 3024只须乘以2就可变成78的平方， 故答案为2．试卷第11页，总12页三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ） 20.【答案】解：设对某个自然数k ≥0，有9m 2+5m +26=k(k −1)将此式整理成关于m 的一元二次方程，得9m 2+5m −(k 2−k −26)=0(1)，因为m 为整数，k 为自然数，故(1)的判别式△1=25+36(k 2−k −26)=36k 2−36k −911，必为完全平方数，再设36k 2−36k −911=p 2（p 为自然数），则36k 2−36k −(p 2+911)=0(2)，为使方程(2)的根为自然数，须使(2)的判别式△2=362+4×36(p 2+911)=122(p 2+920)为完全平方数，又设p 2+920=q 2（q 为自然数），则 (q +p)(q −p)=920(3)，因为q +p >q −p >0，q +p 与q −p 同奇偶，即它们均为偶数， 从而{q +p =460q −p =2;{q +p =230q =p =2;{q +p =92q −p =10;{q +p =46q −p =20解之得：{p =229q =231;{p =113q =117;{p =41q =51;{p =13q =33. 把p 的值代入(2)求得k 的值，再把k 值代入(1)可求得m 值，从而即得m =−1，2，6，−13．即当m =−1，2，6，−13时，9m 2+5m +26能分解成两个连续自然数之积． 【考点】一元二次方程的整数根与有理根 完全平方数 【解析】利用根的判别式确定p 与q 的方程，进而得出所有的可能，注意不要漏解． 【解答】解：设对某个自然数k ≥0，有9m 2+5m +26=k(k −1)将此式整理成关于m 的一元二次方程，得9m 2+5m −(k 2−k −26)=0(1)，因为m 为整数，k 为自然数，故(1)的判别式△1=25+36(k 2−k −26)=36k 2−36k −911，必为完全平方数，再设36k 2−36k −911=p 2（p 为自然数），则36k 2−36k −(p 2+911)=0(2)，为使方程(2)的根为自然数，须使(2)的判别式△2=362+4×36(p 2+911)=122(p 2+920)为完全平方数，又设p 2+920=q 2（q 为自然数），则 (q +p)(q −p)=920(3)，因为q +p >q −p >0，q +p 与q −p 同奇偶，即它们均为偶数， 从而{q +p =460q −p =2;{q +p =230q =p =2;{q +p =92q −p =10;{q +p =46q −p =20解之得：{p =229q =231;{p =113q =117;{p =41q =51;{p =13q =33. 把p 的值代入(2)求得k 的值，再把k 值代入(1)可求得m 值，从而即得m =−1，2，6，−13．试卷第12页，总12页即当m =−1，2，6，−13时，9m 2+5m +26能分解成两个连续自然数之积．。