五年级奥数——完全平方数
小学中级奥数第26讲-完全平方数
课后作业
课后作业 <作业6>
从1到1997的所有自然数中，乘以90后是完全平方数的数共有多少个？
平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
精讲7（20＋8）2
（12－2）2
＝ 202 ＋2×20×8＋ 82 ＝ 400 ＋320＋ 64
＝ 122 －2×12×2＋ 22 ＝ 144－48＋ 4
＝ 784
＝ 100
完全平方和公式：
（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：
（X－Y）2=X2 － 2XY+Y2
精讲1
解法精讲
02 ＝ 0
52 ＝ 25
102 ＝ 100
252 ＝ 625
完全平方数
精讲2 尾数特征1
完全平方数的 个位只可能是 0,1,4,5,6,9
常用完全平方数表
尾数特征2
奇数平方 个位数字是奇数 十位数字为偶数
精讲3 尾数特征3
偶数平方 个位数字 是偶数
常用完全平方数表
尾数特征4
两个相临平方数 之间不可能再有 平方数
1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是 的平方。
12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）
是
的平方。
写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数。
从1到2011中有几个有偶数个因数的整数？
最小数的最小值为
．
一个数的完全平方有39个约数，求该数的因数个数是多少？
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小五奥数-完全平方数
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。
平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。
这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。
开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。
第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
下面举例来讨论平方数的一些问题。
从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。
试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。
46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文：完全平方数是一个数学概念，它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16 等都是完全平方数，因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。
完全平方数具有一些有趣的性质，例如，如果一个数是完全平方数，那么它的因数一定是成对出现的。
在数学中，完全平方数有着广泛的应用。
例如，在求解完全平方数时，我们可以使用公式：如果一个数的平方根是整数，那么这个数就是完全平方数。
此外，完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，如果一个数是完全平方数，那么它一定可以表示为两个整数的平方和。
在概率论中，完全平方数也有着重要的应用。
例如，假设有一个袋子，里面有若干个红球和白球，我们想要取出一个红球。
如果我们随机地从袋子中取出一个球，那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。
如果我们想要计算这个概率的平方，那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率，这些概率可以表示为完全平方数。
在奥数比赛中，完全平方数也是一个常见的考点。
例如，可能会给出一个数，要求我们判断它是否为完全平方数。
或者，可能会给出两个数，要求我们求它们的平方和。
对于这类题目，我们需要熟悉完全平方数的性质，并且能够灵活运用它们来解决问题。
总的来说，完全平方数是一个有趣的数学概念，它在数学和概率论中都有着广泛的应用。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
五年级奥数知识讲义-平方数（二）
上一讲我们学习了平方数、平方差的基本题型，本讲将深入学习平方差公式，并探讨较大平方数问题。
知识梳理1. 平方数有奇数个约数如16的约数有1、2、4、8、16。
2. 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数如36、49就是相邻平方数，两数之间没有平方数。
3. 质数p 整除某个平方数，那么这个质数的平方也整除这个平方数如不存在某平方数是11的倍数，但不是121的倍数。
4. 两个非零的互质的自然数，乘积是平方数 ，那么这两个数都是平方数 整数a 、 b 、 c 满足，，那么a 、b 都是平方数。
例1 1×2×3、2×3×4、3×4×5…..这个数列当中是否存在完全平方数？ 分析与解：数列的每一项都具有的形式，其中n 与n 2－1是互质的。
两个互质整数的乘积如果是平方数，那么这两个互质整数应该都是平方数。
如果是平方数，n ＝1，而0不在数列中，所以该数列的每一项都不是平方数。
例2 1×2×3×4、2×3×4×5、3×4×5×6…..该数列中有没有平方数？ 分析与解：通过观察，1×2×3×4＝24＝52－12×3×4×5＝120＝112－13×4×5×6＝360＝192－1…………由此可见每一项都比平方数小1，根据例1的结论：如果是平方数，需使n ＝1。
所以该数列中没有平方数。
例3 找出两个四位的平方数，且二者相差3333。
分析与解： 我们需要对平方差公式熟悉到什么程度呢？见到这道题就应该想到要用平方差公式。
22()()333331110110133a b a b a b -=+-==⨯⨯=⨯由此可得，利用和差公式得这两个平方数是，例4 2011盏亮着的灯，依次编号为1、2、3…2011。
五年级奥数完全平方数
五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小学奥数25完全平方数
2、7完全平方数2、7、1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*２,３*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数得平方得形式,则称这个数为完全平方数。
完全平方数就是非负数。
２、7、2性质推论例如:０,1,４,9,1６,２５,36,４9,64,81,100,121，14４,16９,1９6，2２５,２５6，２89,3２4,3６1,40０,44１,4８４,５2９…观察这些完全平方数,可以获得对它们得个位数、十位数、数字与等得规律性得认识。
下面我们来研究完全平方数得一些常用性质：性质1:末位数只能就是0，1，4,5,6,９。
此为完全平方数得必要不充分条件，且定义为“一个数如果就是另一个整数得完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数，故0就是完全平方数性质２:奇数得平方得个位数字一定就是奇数,十位数字为偶数；偶数得平方得个位数字一定就是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一:１0a+1,10a+３，10ａ+5，１0ａ+7，10ａ+9分别平方后，得)1０a+3）2=10０ａ2+60a＋9=20a(５a+3)（10ａ+１)2=100a2+2０ａ+１＝20ａ(5ａ＋1)+1ﻫ＋9ﻫ(10a+5）2＝1００a２+100a+25=20(5a+5ａ＋1)+5(10a＋7)２=1０0a2+１４0a＋49＝２０ (５a+7ａ+2)+9（10a+9)2=100ａ2＋18０ａ＋81=20（５ａ+9a+4）+1综上各种情形可知:奇数得平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质３：如果完全平方数得十位数字就是奇数,则它得个位数字一定就是6;反之,如果完全平方数得个位数字就是6,则它得十位数字一定就是奇数。
证明已知m2＝１０ｋ+6，证明k为奇数。
因为ｋ得个位数为6,所以ｍ得个位数为4或6,于就是可设ｍ=１0n+４或10n+6。
则１0k+6＝(10n+４）２＝1０0+(8n＋1)ｘ10+６或１0k＋6＝(10n+6)2＝10０+(1２n+3）x1０+６即 k=１0+8n+1＝２(5＋4n）＋1或 k=1０+1２n+3＝2(5+6n)＋３∴ｋ为奇数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八讲 完全平方数
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……
判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：
分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：
1a ＝1＝21
2a ＝1＋3＝4＝22
3a ＝1＋3＋5＝9＝23
4a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24
………
n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2
)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）
【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）
一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？
【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？
练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？
A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？
一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？
【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；
那么第200秒时，明亮的灯泡有（）个。
练习一：1～2012中含有奇数个约数的数共有多少个？
练习二：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
【例五】从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？
一讲一练：自然数1～2012中，多少个数乘以12后得到一个完全平方数？
课后作业：
1、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数：
……
他们发现： 1＝1，1＋3＝22＝4，1＋3＋5＝23＝9，1＋3＋5＋7＝24＝16……
那么第100个图有 个点，第n 个图有 个点。
也就是说：从1开始的连续n 个奇数的和，等于 。
2、黑板上写有从1开始的若干个连续奇数：1、
3、5、7、9……，擦掉其中一个奇数后，剩下的奇数之和为1998。
那么擦掉的奇数是多少？
3、一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？
4、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁？
5、求下面各数的约数个数：45、112、225、660。
6、200名同学面向教官，他们依次从1开始报数，直到200。
第一次他们都向后转，第二次报数是2的倍数的同学转回来，第三次报数是3的倍数的同学往后转，第四次报数是4的同学往后转……不断下去，直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。
问：这时面向教官的同学有多少个？
7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
8、1～100中的一个数乘以6后，乘积是一个完全平方数，这个数最大是多少？
9、求一个能被180整除的最小完全平方数。
10、“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
11、已知一个自然数n满足：12！（即1×2×3×4×……×12）除以n后，商是一个完全平方数，则n的最小值是多少？
大于100小于10000的完全平方数开平方也能用心算
2008-11-17
湖北省宜昌市第十八中学: 谢玉林
大于100小于10000的完全平方数开平方用心算，正确率达100﹪。
现介绍其方法如下: 首先要记住或会心算这几个乘法: 15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025，55×55＝3025，65×65＝4225，75×75＝5625，85×85＝7225，95×95＝9025。
上面这组计算经观察可发现：相乘结果最后两位都是25，25前面的数字是由乘数的十位数字乘以十位上的数字加1得出。
如:85×85＝7225中的72是由8×9得出的。
又如65×65＝4225中的42是由6×7得出的。
现在我们来研究大于100小于10000的完全平方数的开平方:
例1: 求5776算术平方根先把5776从个位按每两位分节为57，76; 考查57，因为 7的平方＝49＜57＜64＝8的平方。
所以 5776的算术平方根的十位上的数字是7。
又因为 5776＞5625＝75×75，且个位是6 ，而在5至9之间的平方数个位是6的只有6的平方，所以5776的算术平方根的个位上的数字是6；所以5776的算术平方根是76。
例2:求6724的算术平方根解:①分节:67，24 ②观察67在那两个平方数之间 64＜67＜81 ③取小定十位: 十位上的数字是8 ④与85的平方＝7225比较定个位: ∵ 6724＜7225且个位是4，而在0至4之间的平方数个位是4的只有2的平方∴6724的算术平方根个位上的数字是2 所以6724的算术平方根是82 例3:求1369的算术平方根解:①分节:13，69 ②观察取小:∵9＜13＜16，∴3是十位上的数字③与35的平方1225比较定个位:∵1369＞1225，且个位数是9 在5至9之间的平方数个位是9的只有7，∴1369的算术平方根个位上的数字是7；所以1369的算术平方根是37。