五年级奥数-等积变换求面积
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角基本概念例题分析三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，DC ＝CE ，如果△BCE 的面积是15平方厘米，那么梯形ABED 的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝ED ，BF ＝FC ，CG ＝GD ，平行四边形ABCD 的面积是阴影三角形EFG 的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？答案：【例题分析】例1． 4例2．三角形ABD=10平方厘米三角形ACE=15平方厘米例3. 13例4. 27【练习提高】1. 22.52. 1203. 454. 三角形DEF=24平方厘米 CF=6厘米5. 4倍6. 37.57. 1008. 59. 25。
小学数学 等积变换求面积 PPT+课后作业 带答案
例题对角1线
对角线
对角线
如图所示，两个相等的等腰直角三角形与一个正方形摆放成梯形ABCD。已知等腰直角三 角形的斜边AB长度是8厘米，求梯形ABCD的面积。
斜边
斜边
斜边
大等腰三角形面积=斜边×斜边÷2 小等腰三角形面积=斜边×斜边÷2÷2 等腰直角三角形面积=斜边长度的平方÷4
练习1
如图所示，等腰直角三角形ABD和BCD拼成了一个直角梯形ABCD。已知BD长6厘米，求 梯形ABCD的面积。
G
B
A
连接DF，AC//DF
F
S ACF = S ACD = S 正方形ABCD ÷2
=10×10÷2
=50（平方厘米）
C
D
E
例题5
如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，以上底AD为边向外作长方形ADEF，面积为10 平方厘米，连接BE交AD于O，连接OC。求图中阴影部分的面积。
FE // AC // BC 和 FB // ED
6
等高三角形模型可得， S ABD = S ACD
所以三角形ABC的面积是三角形BDO面积的4倍
三角形ABC的面积=6×4=24（平方厘米）
例题3
如图所示，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是 多少平方厘米？
A
D 4
G
F
4
B
C
E
三角形面积=底×高÷2 阴影部分三角形的底是小正方形的一条边 而高也是小正方形的一条边 阴影部分的面积=4×4÷2=8（平方厘米）
在梯形中寻找面积 相等的三角形
AD // BC △ ABC和△DBC △ BAD和△CAD △ ABO和△CDO 连接BE
五年级奥数图形与面积
图形与面积转化的方法大体上分两点：（1）利用平移、旋转、弦图、割补法、差不变等技巧解题（2）利用五大模型之高相等面积比＝底的比（关键高相等：同一个三角形等高、平行线间的三角形等高）（3）利用五大模型之相似三角形：相似三角形在我们小学的学习过程中常用的就是金字塔和沙漏。
（4）等积变形：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比1、一点引两条直线分别与两组边平行，见右图。
所分得的四①过矩形内部的个小矩形，其面积满足这样的规律：2、梯形的对角线讲梯形分成的四个三角形有：ab＝cd,且c＝d对称、旋转、平移、割补等技巧将其转换0、按照图中的样子，在一个平行四边行纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形的两条直角边分别为2厘米和4厘米，乙三角形的两条直角边分别为3厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。
（11）1、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合（见下图）。
已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10。
求正方形盒底的面积。
【】2、如图，在正方形ABCD中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合。
黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积。
【】3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的几分之几？【1/5】4、如图正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少?【5】5、已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【14】6、有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34厘米，求这个长方形面积。
五年级奥数等积变换求面积
等积变换求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等．这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A1BC与A2BC、A3BC的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC的面积为1，BE＝2AB，BC＝CD，求三角形BDE的面积?例2、如下图，A为△CDE的DE边上中点，BC=31CD，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD及△ACE的面积．基本概念例题分析例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？练习提高3、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC＝CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD中，AE＝ED，BF＝FC，CG＝GD，平行四边形ABCD的面积是阴影三角形EFG的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC 的面积是30平方厘米，O 是BC 的中点，AE 的长是ED 的2倍，求三角形CDE 的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O 重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？。
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧4-等积变形(有关三角形面积、共边定理、长方形面积、圆的等图形问题)
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧方法4、等积变形（四）等积变形例1 如图1，ABCD 是直角梯形，E 是BC 上任意一点，AD=6厘米，AB=5厘米，BC=8厘米。
求图中阴影部分的面积。
练习1 如图1-1，已知梯形ABCD 的下底是8厘米，高是5厘米，求图中阴影部分的面积。
练习2 如图1-2，长方形ABCD 的面积为60平方厘米，P 是长方形ABCD 边AD 上任意一点，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求五边形PEBCF 的面积。
练习3 如图1-3，已知平行四边形ABCD 的面积为48平方厘米，P 是平行四边形内任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，那么△APD 和△BPC 的面积之和是多少？C DEABC DA BC D EF PABCDP图1图1-1图1-2图1-3例2 如图2，四边形ABCD 和BEFH 是两个正方形，EF=8厘米，求图中阴影部分的面积。
练习1 如图2-1，ABCD 和BEFH 是两个正方形，正方形BEFH 的面积是15平方厘米，求图中阴影部分的面积。
练习2 如图2-2，ABCD 和BEFH 是两个正方形，AB=12厘米，BE=8厘米，求图中阴影部分的面积。
练习3 如图2-3，ABCD 和BEFH 是两个正方形，△DGH 和△EGH 的面积相差2.4平方厘米，AB ：BE=3：2，求正方形ABCD 的面积。
A B C DE FHAB C DE FHGA B C D EFHGA B C DE FH图2-1图2-2图2-3图2例3 如图3，四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长是10厘米，求三角形BFD 的面积。
练习1 如图3-1，四边形ABCD 和CEFG 是两个正方形，大正方形ABCD 的面积是24平方厘米，求三角形BDF 的面积。
练习2 如图3-2， ABCD 和CEFG 是两个正方形，BC=9厘米，CE=6厘米，求图中阴影部分的面积。
五年级奥数基础教程-用等量代换求面积小学
用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB 比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC 的长，从而求出ED的长。
五年级奥数：图形与面积
图形与面积转化的方法大体上分两点：（1）利用平移、旋转、弦图、割补法、差不变等技巧解题（2）利用五大模型之高相等面积比＝底的比（关键高相等：同一个三角形等高、平行线间的三角形等高）（3）利用五大模型之相似三角形：相似三角形在我们小学的学习过程中常用的就是金字塔和沙漏。
（4）等积变形：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比1、一点引两条直线分别与两组边平行，见右图。
所分得的四①过矩形内部的个小矩形，其面积满足这样的规律：2、梯形的对角线讲梯形分成的四个三角形有：ab＝cd,且c＝d对称、旋转、平移、割补等技巧将其转换0、按照图中的样子，在一个平行四边行纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形的两条直角边分别为2厘米和4厘米，乙三角形的两条直角边分别为3厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。
（11）1、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合（见下图）。
已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10。
求正方形盒底的面积。
【51.2】2、如图，在正方形ABCD中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合。
黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积。
【29.25】3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的几分之几？【1/5】4、如图正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少?【5】5、已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【14】6、有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34厘米，求这个长方形面积。
利用“等积变形”的方法巧算面积-教学设计
教学内容：利用等积变形的思想求解平面图形的面积教学背景：在学生已经掌握长方形、平行四边形、梯形、三角形等平面图形面积的一般计算方法的基础上，拓展学生的思维方式，利用“转换”策略解决问题的能力。
转化是解决问题时经常采用的方法，能把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。
转化的手段和具体方法是多样而灵活的，既与实际问题的内容和特点有关，也与学生的认知结构有关，掌握转化策略不仅有利于问题的解决，更有益于思维的发展。
教学对象：五年级学生教学目标：1、学生能了解“等积变形”的含义；2、学生能理解利用“等积变形”求解平面图形面积的方法。
3、学生能够合理地进行较简单的“等积变形”问题的解答。
教学难点：能够在不改变面积的情况下合理地对平面图形的形状进行改变。
教学过程：一、介绍登记变形的含义。
“等积变形”法，顾名思义就是在不改变平面图形面积的前提下，改变平面图形的形状，从而求出相关面积的方法。
二、例题讲解：1、出示例题：在直角三角形中有一个正方形,求这个正方形的面积是多少(单位:厘米)。
2、讲解利用“等积变形”解题的方法。
3、出示进阶练习，帮助学生进行巩固练习。
（1）如图，在直角三角形ABC中有一个正方形EFCD，E正好落在直角三角形的斜边AB 上。
已知AE=7cm，EB=10cm，阴影部分的面积是（）。
A、70B、17C、35D、3（2）如图，梯形的上底12cm，高28cm，求解阴影部分的面积时，可以先阴影部分的面积可以转化成一个（）来求解。
A、梯形B、三角形C、长方形D、平行四变形（3）正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求CF长多少厘米时，我们可以先把阴影部分转化成（）再来计算。
A、△ABCB、△ADEC、△ACED、△CEF（4）如图，连接正方形四条边的中点，围成一个小正方形，大正方形的面积时小正方形的（）倍。
A、3B、4C、5D、6（5）如图，阴影部分的面积是（）。
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等积变换求面积
“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．
另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平
行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则
的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转
换成易求面积的图形．
利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利
用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．
进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?
例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3
1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．
基本概念
例题分析
例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?
例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．
练习提高
1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?
2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少
平方厘米？
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC＝CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？
4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米？
5、如图，在平行四边形ABCD中，AE＝ED，BF＝FC，CG＝GD，平行四边形ABCD的面积是阴影
三角形EFG的多少倍？（4）
6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？
7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接
AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的3
1，结果是多少?
8、图8-17中，三角形ABC 的面积是30平方厘米，O 是BC 的中点，AE 的长是ED 的2倍，求三角形CDE 的面积．
9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O 重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？。