2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版
五年级奥数. 数论.完全平方数(C级).学生版
一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
知识框架完全平方数6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
五年级春季第8讲——完全平方数
二、完全平方数的特征
有些题目需要判断一个或几个数是否是平方数，能用的方法有下面 3 个，但一定要记住，尾数和余数特征是多用来判断数不是平方数的，也就 是说满足了这些特征只能说这个数有可能是平方数，不满足就一定不是平 方数；而因数特征才是判断一个数是完全平方数的根本方法！也就是说， 满足因数特征的就一定是平方数，不满足的就一定不是。
3. 范围判断
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数，这个判断方法需要大家 多背一些平方数。
1
五年级春季知识点总结
吴超超
4. 因数特征——偶指奇约
⑴完全平方数分解质因数：每一个质因数的指数都必须是偶数！ ——判断一个数是完全平方数的根本方法 ⑵完全平方数的因数个数：奇数个。 （反之，其他数的因数一定有偶数个）
三、练习题
【练习 1】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是______的平方．
【练习 2】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．
【练习 3】从 1 到 100 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少 个？
五年级春季知识点总结
吴超超
第八讲 完全平方数
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约 数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯 赛和小升初试卷中的一个热点。
一、完全平方数的定义
完全平方数：自然数的平方，也简称为平方数。 注意：完全平方数一定是自然数，也一定可以拆分成两个相同自然 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数， 则 a 的最小值是________．
【练习 5】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上 述条件的最小的正整数．
小五奥数-完全平方数
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。
平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。
这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。
开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。
第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
下面举例来讨论平方数的一些问题。
从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。
试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。
46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
小学奥数25完全平方数
2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数。
2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
2018五年级奥数.数论.余数性质(C级).学生版
知识框架一、带余除法的定义及性质1.定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2.余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．二、余数定理：欢迎关注：奥数轻松学三、余老师薇芯：690392701.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理余数性质a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
(小学奥数)完全平方数及应用(二)
1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數． 性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
2018最新五年级奥数.数论.位值原理(C级).学生版
位值原理知识框架当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲【例1】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【巩固】将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。
那么B＋A是B－A的________倍。
(结果写成分数形式)【例2】一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。
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完全平方数
知识框架
一、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质
-，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N
则2|n p N．
性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
二、一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一
定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，
69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三、重点公式回顾：平方差公式：22()()
a b a b a b -=+-完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点
【例1】已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是。
【巩固】1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是的平方．
【例2】计算1111 2004个1－2222 1002个2
=A ×A ，求A ．欢迎关注：“奥数轻松学”【巩固】22004420038
444488889A = 个个，求A 为多少?【例3】求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？重难点
例题精讲
【巩固】由222222615134=+=++，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请
你判定200最多能表示为__________个互不相等的非零自然数的平方之和．
【例4】有一个不等于0的自然数，它的
12是一个立方数，它的13
是一个平方数，则这个数最小是．【巩固】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．
【例5】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小
的数的差为60，求这三个数．
【巩固】有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位
数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)
【例6】A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的
五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为．
【巩固】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．
【例7】有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：．欢迎关注：“奥数轻松学”
【巩固】有3个不同的数字共可组成6个不同的3位数．将这6个不同的3位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，第二个也是完全平方数．倒数第一个也是完全平方数，那么这6个数的平均数是：．
【例8】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
【巩固】能够找到这样的三个正整数，使得它们中任意两个数的积与22的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
【例9】记(123)(43)
S n k
=⨯⨯⨯⨯++
，这里3
n≥．当k在1至100之间取正整数值时，有个不同的k，使得S是一个正整数的平方．
【巩固】记
(123)(42)
S n k
=⨯⨯⨯⨯++
，这里3
n≥．当k在1至50之间取正整数值时，有个不
同的k，使得S是一个正整数的平方．
【例10】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【巩固】一个数的完全平方有25个约数，求该数的约数个数是多少？
课堂检测
【随练1】用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是．
【随练2】考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．欢迎关注：“奥数轻松学”
【随练3】用150个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
家庭作业
【作业1】从1000到2000的自然数中有奇数个约数的数有几个？
【作业2】不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第l6个数字是_________
【作业3】1080与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【作业4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【作业5】称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N=。
【作业6】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．。