五年级奥数完全平方数及应用(一)教师版
五年级奥数 完全平方数及答案
五年级奥数完全平方数及答案1.一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
2.求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方3.求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数4.求满足以下条件的所有自然数：(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数5.甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下缺乏十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元?完全平方数习题答案：1.解答：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2; (1)x+44=n^2 (2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得 :n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
2.解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，那么m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
3.解答：形如的数假设是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
4.解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4或k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
5.解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目
完全平方数是指一个数可以表示为某个整数的平方的形式，例如1、4、9、16等。
下面是一个关于完全平方数的奥数题目：
题目，求小于100的所有完全平方数。
解析：
要求小于100的所有完全平方数，可以通过遍历1到100的所有数，判断每个数是否是完全平方数。
判断一个数是否是完全平方数有多种方法，下面列举两种常用的方法：
方法一，利用数学性质。
对于一个正整数n，如果它是完全平方数，那么它的平方根一定是整数。
所以，我们可以遍历1到100的所有数，判断每个数的平方根是否为整数，如果是整数，则该数是完全平方数。
方法二，利用循环遍历。
我们可以从1开始，依次判断每个数的平方是否小于100，如
果小于等于100，则该数是完全平方数。
根据上述两种方法，我们可以得到小于100的所有完全平方数
如下：
1、4、9、16、25、36、49、64、81。
以上是关于小于100的所有完全平方数的解答。
希望能帮到你！。
数论第11讲_平方数(教师版)A4
数论第11讲_平方数一．完全平方数的概念一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数．例如：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484……二．完全平方数的性质1．完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9．2．奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．3．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．4．如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数．5．如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数．6．偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．7．奇数的平方是81n+型；偶数的平方为8n或84n+型．8．平方数的形式必为下列两种之一：3k、31k+．9．不能被5整除的数的平方为51k±型，能被5整除的数的平方为5k型．10．平方数的形式具有下列形式之一：16m、161m+．m+、169m+、16411．在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数．12．一个正整数n是完全平方数当且仅当n有奇数个因子(包括1和n本身)．三．重要结论1．个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数．2．个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数．3．个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数．4．形如32n+型的整数一定不是完全平方数．5．形如42n+和43n+型的整数一定不是完全平方数．6．形如52n±型的整数一定不是完全平方数．7．形如82n +，83n +，85n +，86n +，87n +型的整数一定不是完全平方数．重难点：平方数的性质，平方数与平方差公式以及平方数的综合应用．题模一：平方数的性质例1.1.1从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【答案】31【解析】完全平方数，所有质因数必成对出现．327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，共31个．例1.1.2整数aabb 是完全平方数 则a = ；b = ．【答案】7a =、4b = 【解析】根据位置原理11100aabb a b =⨯⨯+（）所以100a b ⨯+（）为一个平方数和11的乘积1164704⨯= 所以7,4a b ==．例1.1.3两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一个数的约数个数多1．那么这两个数分别是多少？【答案】16、175【解析】这两个数约数个数为一奇一偶，故有一个为完全平方数．422800257=⨯⨯，这样完全平方数可能为1、22、42、25、2225⨯、4225⨯．经检验，只有4216=符合要求，此时另一个数为257175⨯=有6个约数，16有5个约数．例1.1.4从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，这个完全平方数是__________．【答案】6084【解析】首先个位只能是4（为0需要两个0，为6需要十位数字为奇数），其次，不用的数字只能为2（为0或6则被3除余2，为8则被3整除而不被9整除）．这样，只有6084、6804、8064、8604四种可能，经尝试，只有6084符合，是78的平方．例1.1.5自然数N 是一个三位数，它是一个完全平方数，且它的三个数位上的数都为完全平方数，这样的自然数有几个？【答案】5【解析】0至9中只有0、1、4、9为完全平方数，故N 由0、1、4、9构成，百位只能为1、4或9．逐一试验10、11、12、13、14、20、21、22、30、31的平方，只有210100=、212144=、220400=、221441=、230900=符合要求，共5个．例1.1.6有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____．【答案】1123【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设中间数是x ,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =．2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 2a 至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．例1.1.7用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？【答案】不可能【解析】用300个2和若干个0组成的数的数字和是600，为3的倍数，则这个数是3的倍数，又此数为完全平方数，所以这个数应该是9的倍数，其数字和是9的倍数，矛盾．【主知识点】例1.1.8已知2381444=，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．（1）请再找出一个“好数”．（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．【答案】（1）21038（2）4（3）不存在超好数【解析】（1）因为2381444=，所以210381077444=．（2）平方数的性质可知，完全平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；对于1，设()2101a +满足X 111；而()()2101=20511a a a +⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于9，设()2103a +满足X 999；而()()210320519a a a +=⨯++，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；又设()2107a +满足X 999；而()()210720571a a a +=⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于6，设()2104a +满足X 666；而()()210410080106a a a +=+++，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；设()2106a +满足X 666；而()()2210610101236a a a +=⨯+++；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；所以好数的个位数字只能是4．（3）假设存在超好数，设其为()()210381n n ++≥则()()2222111038=100001076001014441000107610444n n n n n ++-+⨯+⨯+=⨯+⨯+．而()2111076101n n +-+⨯+不能被4整除，也就是倒数第四位不可能为4，故假设不成立，不存在超好数．题模二：平方数的运算例1.2.1能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【答案】找不到【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.例1.2.2把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（ ）位数字．【答案】157【解析】1-3的平方只有一位数，共3个数字； 4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字； 10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字； 32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字； 合计：3+12+66+76=157个数字．例 1.2.3把自然数中的平方数去掉后得到数列2，3，5，6，7，8，10，11，……，其中第2011项是__________．【答案】2056【解析】与2011比较接近的平方数为2452025=，故2025排在第2025-45=1980个，还差31个数，第2011个数为2025312056+=．例1.2.4一串连续正整数的平方12，22，32，……，1234567892的和的个位数是________．【答案】5【解析】因为平方数的个位数是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）即个位数为5×8＋5．例1.2.5如果一个自然数能表示成两个完全平方数的差，则把这个自然数称为“智慧数”，如：16259=-，所以称16为智慧数．则在自然数列中，从1数起，第2012个智慧数是哪个数？【答案】2683【解析】任取一奇数21k +，有()()()()22211111k k k k k k k k k +=++=+++-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因此奇数均为智慧数；任取一4的倍数4k ，有()()()()4221111k k k k k k =⨯=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2211k k =+--，因此4的倍数均为智慧数；而完全平方数被4除的余数为0或1，故两个完全平方数的差不可能为2，因此被4除余2的均不是完全平方数．综上，一个数是智慧数当且仅当其被4除不余2，从1开始每4个数有3个是智慧数．201236702÷=，故从1数起，第2012个智慧数是467032683⨯+=．例1.2.6一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．【答案】1981【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，45+44=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245441981-=．题模三：平方数的综合应用例1.3.1某小学为了庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变换成一个正三角形队列．参加排练团体操的学生至少要有__________人．【答案】36【解析】“能排成一个正方形队列”说明人数是平方数，“能变换成一个正三角形队列”说明人数能表示成从1开始的连续自然数之和．那么综合起来考虑，稍加尝试发现，满足条件的最小人数为：23661+2+3+4+5+6+7+8==．例1.3.2将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，……，100．现有100个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第100个人将100号灯泡拉一下．假定开始时，灯泡全不亮，试问：这100个人全拉完后，哪些编号的灯泡是亮的？【答案】1、4、9、16、25、36、49、64、81、100【解析】某个灯泡被拉的次数即为其编号的约数个数，最终亮的灯泡被拉了奇数次，故其编号有奇数个约数，即为完全平方数．因此，亮的编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100．例1.3.3某个家庭有4个成员，他们的年龄各不相同，4人年龄的和是129岁．其中有3人的年龄是平方数，如果倒退15年，这4人中仍有3人的年龄是平方数．请问，他们4人中年龄最大的现在的年龄是___________岁．【答案】64【解析】由于有3人十五年前为平方数，故必有两个人现在和十五年前同时为平方数，设现在的年龄2a ，十五年前年龄2b ，()()2215a b a b a b -==+-，则8a =或2；7b =或1；则年龄最大的64．例1.3.4在时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数．他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊．他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊．为了公平，第一个人应补给第二人____________文钱．【答案】2【解析】根据题意可知，牛群的总价是一个完全平方数，大羊的只数是个奇数．因为每只大羊10文钱，所以大羊总价个位为0，十位是一个奇数．小羊的价钱是一个小于10的整数，且牛群与羊群的总价相等，所以牛群总价是完全平方数且十位数字是奇数．根据平方数的特征，如果一个数为某数的平方，且十位数字为奇数，那么它的个位数字一定是6．所以小羊价钱为6文钱，第一个人应补给第二人()10622-÷=文钱．随练1.1如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是________.【答案】1，2，5，6，7，0【解析】平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9．随练1.2有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个相同的自然数的乘积）．如：111111=⨯=⨯⨯，6488444=⨯=⨯⨯．那么，1000以内的自然数，这样的数共有__________个．【答案】3【解析】既是完全平方数又是立方数的数所含相同质因数的个数至少是6个或6的倍数，满足条件的数有：611=，6264=，63729=，6440961000=>，66231000⨯>，所以满足条件的数只有3个．随练1.3一个两位数乘以7，所得到的积的各数位上的数字相加和是18，并且这个两位数的约数有奇数个，那么这个两位数是 ．【答案】81【解析】易知乘积既为7的倍数，又为9的倍数，即为63的倍数，且最大为9976311⨯=⨯．经试验，63的2至11倍中，只有189、567、693的数字和为18，而其中只有45677813÷==的约数个数为奇数个．随练1.4n 减58是完全平方数，n 加31也是完全平方数，求n ．【答案】1994【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，58+31=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245311994-=．随练1.546305乘以一个自然数a ，积是一个完全平方数，则最小的a 是多少？【答案】105【解析】46305=5×3×3×3×7×7×7，所以a 最小是5×3×7=105．随练1.64800000有______个因数是立方数．【答案】8【解析】立方数要求每种质因数的个数都为3的倍数．954800000235=⨯⨯，质因数可2可以取0个、3个、6个、9个共4种方法，质因数5可以取0个或3个共两种方法．所以4800000有428⨯=个因数是立方数．作业1同时满足以下条件的数是（）．①所有因数的和为31；②是5的倍数；③有奇数个因数．A ．30B ．27C ．25D ．20【答案】【解析】数论知识，有奇数个因数一定是平方数，C 正确．作业21016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是______．【答案】254【解析】310162127=⨯，故a 最小为2127254⨯=．作业3在1——200的200个正整数中，所有只有3个约数的正整数的和为__________．【答案】377【解析】由求约数个数的公式可知，只有质数的平方有3个约数．221320017<<，由此易知满足条件的数有4、9、25、49、121、169，总和为377．作业4已知两个不同的正整数a 、b 满足：a b +和a b -都是完全平方数，那么a 的最小值是__________．【答案】5【解析】a b +和a b -同奇同偶，且()()22a b a b a b +-=-也是平方数，即222a b c -=，a 、b 、c 为勾股数组，a 最小为5．作业5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是__________．【答案】170【解析】（1）两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为8164145+=．（2）两个数均不是平方数，则这两个数为2a m ⨯，2a n ⨯（其中m 不等于n ）．对可能的情况进行讨论：当2a =时，这两个数最大是227⨯，226⨯，和为9872170+=．当3a =时，这两个数最大是325⨯，316⨯，和为7548123+=．当5a =时，这两个数最大是516⨯，59⨯，和为8045125+=．当6a =时，这两个数最大是616⨯，69⨯，和为9654150+=．……经讨论，和最大为170．作业6有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）．【答案】(43,57)、(18,32)、(68,82)【解析】设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()214a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设103a k =+，则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．作业7一个三位数去掉中间的一个数字得到一个新的两位数，如235去掉中间的3后得到25，如果原来的三位数是新两位数的平方，那么这样的三位数共有_______个．【答案】2【解析】若两位数的平方为三位数，可得其最大值为31，且易知15及以上的数其平方的百位大于原数的十位，故只可能为10至14．经验证，只有10、11符合要求．作业8甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【答案】2【解析】n 头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．作业9请从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数．【答案】1986、1998【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，我们还可以知道这两个数的奇偶性是相同的，19861198629936331=⨯=⨯=⨯；198911989=⨯；19922996=⨯；199511995=⨯，199811998299936666333=⨯=⨯=⨯=⨯=……，从上面我们发现1986和1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式．作业10志诚小学三六年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【答案】1981【解析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A ，一二年级的学生人数为2B ，则()()153A B A B =+-，而1533317=⨯⨯，所以，()A B +与()A B -可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A 和B 的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A =，24B =为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三六年级的学生人数为676，学校的总人数为7295766761981++=人.作业11求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数． (2)被22除余数为5． (3)它是完全平方数．【答案】1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025【解析】解设2225n N +=其中，n ，N 为自然数，可知N 为奇数()2161121N n -=-得到()()()441121N N n -⨯+=-，11|411|4N N -+或者()21114N k ⇒=-⨯+227N k ⇒=-或者2215(1,2,3,4)N k k =-=……，k =1时227,4915,225N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去， k =2时2229,84137,1369N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去，k =3时2251,260115,3481N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩，k =4时2273,532981,6561N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩， k =5时2295,9025103,10609N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025．。
小学奥数知识点梳理-神奇的完全平方数！
小学奥数知识点梳理-神奇的完全平方数！完全平方数：指两个相同数相乘所得的数，例如：9=3×3，9就是一个完全平方数(或称平方数)，还可以理解为一个数如果是另一个整数的平方，那么这个数就是完全平方数。
表达式为：完全平方数A=a 的平方=a×a。
在前面文章里面我们研究了求某些特殊数平方的一些巧算方法，同学们可以回顾下：巧求平方数。
它经常会出现在什么地方呢？首先想到的就是正方形面积等于它的边长的平方；还有方阵问题也会碰到。
作为一类常见的特殊自然数，完全平方数有哪些神奇的特殊性质呢？观察下图1000以内的所有完全平方数。
性质1：完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9；不可能出现 2，3，7，8在整数的各种问题中，确定个位数十分重要。
知道完全平方数个位数字范围，就可以快速判断是否为完全平方数了。
证明：整数的个位数只有0~9十种情况，我们只需要分析0×0，1×1，2×2，…9×9得数的个位数就可以了。
性质2：完全平方数因数个数为奇数，因数个数为奇数的是完全平方数证明：请看视频→ 因数个数与完全平方数也可以表述为：完全平方数所有质因数的指数都是偶数例题1：在1~100的自然数中，因数个数是奇数的有多少个？实际上我们可以把问题转化为→ 1~100中有多少完全平方数。
例题2：一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？把270分解质因数，因为完全平方数所有质因数的指数都是偶数，补齐选最小就可以得到答案。
性质3：完全平方数与余数1，完全平方数除以5的余数只可能为 0，1，4证明：5的整除特性是判断个位数是否为0，5。
分析完全平方数可能出现的个位数，可以推断出结论。
个位是0,除以5余0；个位是1,则余1；个位是4,则余4；个位是5,则余0；个位是6,则余1；个位是9,则余4。
2，完全平方数除以3或4的余数都只可能为 0，1证明：完全平方数除以3的余数只能是0，1（同理可证明4）。
五年级数论完全平方数教师版
知识要点完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.一.完全平方数的主要性质1、完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2、在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3、完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4、若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
二.一些重要的推论1、任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2、一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3、自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4、完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5、完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6、完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7、凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-平方和公式: 22221+2+3++(1)(21)6n n n n ⋅⋅⋅=++÷完全平方数基本性质和概念【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】 设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯L ，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯L ，因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+=L ．由于39139313=⨯=⨯，⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。
小五奥数-完全平方数
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。
平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。
这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。
开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。
第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
下面举例来讨论平方数的一些问题。
从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。
试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。
46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
小学奥数专题-完全平方数及应用(一).教师版
1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。
不可能是2,3,7,8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ,则p 能被a 整除。
2.性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数． 性质3:自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p 是质数,n 是自然数,N 是完全平方数,且21|n p N -,则2|n p N ．性质4:完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时,其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0,4）时,其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
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1. 五年级奥数完全平方数及应用（一）教师版2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。
不可能是2,3,7,8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ,则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2：完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p 是质数,n 是自然数,N 是完全平方数,且21|n p N -,则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时,其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0,4）时,其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-知识点拨 教学目标5-4-4.完全平方数及应用（一）模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数,求它是谁的平方?【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答【解析】 我们不易直接求解,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝211；12321＝2111；1234321＝21111……,于是,我们归纳为1234…n …4321=2(1111)n 个1,所以,1234567654321：11111112；则,1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以,题中原式乘积为7777777的平方．【答案】7777777【例 2】 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】 212345676543211111111=,212345676543217++++++++++++=,原式22(11111117)7777777=⨯=．【答案】7777777【例 3】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数,则n 的最小值是 。
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6年级,第9题【解析】 （法1）先将12！分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯,由于12!除以n 得到一个完全平方数,那么这个完全平方数是12!的约数,那么最大可以为1042235⨯⨯,所以n 最小为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。
（法2）12!除以n 得到一个完全平方数,12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数,所以n 的最小值是3711231⨯⨯=。
【答案】231【例 4】 有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答【解析】 平方数的末尾只能是0,1,4,5,6,9,因为111,444,555,666,999都不是完全平方数,所以所求的数最小是4位数．考察1111,1444……可以知道14443838=⨯,所以满足条件的最小正整数是1444．【答案】1444【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数,即200244444个,A 是不是某个自然数B 的平方？如果是,写出B ；如果不是,请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】2200242002444421111A ==⨯个个1．如果A 是某个自然数的平方,则20021111个1也应是某个自然数的平方,并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知,奇数的平方减1应是4例题精讲的倍数,而200220011111111110-=个1个1不是4的倍数,矛盾,所以A 不是某个自然数的平方．【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数,即4442008个4,A 是不是某个自然数B 的平方？如果是,写出B ；如果不是,请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】不是．24442111A ==⨯2008个12008个4假设A 是某个自然数的平方,则1112008个1也应是某个自然数的平方,并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知,奇数的平方减1应是4的倍数,而11111110-=2008个12007个1不是4的倍数,与假设矛盾．所以A 不是某个自然数的平方．【例 6】 计算11112004个1－22221002个2=A ×A ,求A ．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答【解析】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1,从而找出突破口.11112004个1－22221002个2=11111002个100001002个0－11111002个1=11111002个1×（100001002个0-1）=11111002个1×（99991002个9） =11111002个1×（11111002个1×3×3）=2A所以,A ＝33331002个3.【答案】33331002个3【例 7】 ①22004420038444488889A =个个,求A 为多少? ②求是否存在一个完全平方数,它的数字和为2005？【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答【解析】 ① 本题直接求解有点难度,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： 注意到有2004420038444488889个个可以看成48444488889n 个n-1个,其中n ＝2004；寻找规律：当n =1时,有2497=；当n =2时,有2448967=； 当n =3时,有2444889667= ……于是,类推有2004420038444488889个个=22003666667个方法二：下面给出严格计算：2004420038444488889个个=4444400002004个2004个0+20048888个8+1； 则4444400002004个2004个0+20048888个8+1＝11112004个1×（4×010*******个+8）+1＝11112004个1×［4×（999992004个+1）+8］+1 ＝11112004个1×［4×（999992004个）+12］+1 ＝2(1111)2004个1×36+12×11112004个1+1＝2(1111)2004个1×36+2×（6×11112004个1）+1＝22(666661)(66667)+=2004个62003个6 ② 由①知4444488889 n 个n-1个8＝266667n-1个6,于是数字和为(4n +8n -8+9)=12n +1；令12n +1=2005解得n =167,所以4444488889 167个166个8=266667166个6。
所以存在这样的数,是4444488889 167个166个8【答案】（1）22003666667个,（2）4444488889 167个166个8=266667166个6模块二、平方数特征（1） 平方数的尾数特征【例 8】 下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯,这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】 判断一个数是否是某个数的平方,首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9,而2,3,7,8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3,中间二项之和的个位数为0,后面二项中每项都有因子2和5,个位数一定是0,因此,这个0算式得数的个位数是3,不可能是某个数的平方．【答案】不是【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯,5年级,第10题【解析】 4914925=+++,1,2,3,5全排列共有24个。
【答案】24【例 10】 用1～9这9个数字各一次,组成一个两位完全平方数,一个三位完全平方数,一个四位完全平方数．那么,其中的四位完全平方数最小是 ．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,复试,11题【解析】 四位完全平方数≥1234＞352＝1225,所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296时,另两个平方数的个位只能分别为4,5,个位为5的平方数的十位只能是2,但数字2在1296中已经使用．当四位完全平方数是372＝1369时,另两个平方数的个位只能分别为4,5,个位为5的平方数的十位一样只能是2,还剩下7,8,而784恰好为282．所以,其中的四位完全平方数最小是1369．【答案】1369【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数,有一个四位数N,它既是三角数,又是完全平方数,N= 。