空间向量的数乘运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量的数乘运算
OE = k OA， = k OB， OF OD。 OE = k OC， = k OD。 OH
由于四边形ABCD是平行四边形, 是平行四边形 由于四边形
所以
AC = AB + AD.
D
O
C B
H
G
E
F
空间向量的数乘运算
O
因此
EG = OG OE = k OC k OA
D B H
C
G
= k AC = k( AB + AD )
求证:E,F,G,H四点共面 四点共面 求证
分析: 分析 点共面， 欲证E 点共面， 欲证E，F，G，H四
O
D B H
C
EH EF EG共面。 只需证明 ， ， 共面。 AD AB AC 下面我们利用 ， ， 共面来证明。 共面来证明。
E
G
F
空间向量的数乘运算
证明: 证明 因为
所以
OE OF OG OH = = = = k， OA OB OC OD
②
都称为空间直线的向量表示式。 ①、②都称为空间直线的向量表示式。 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 量唯一确定
A L
r a
B
P
空间向量的数乘运算
什么是共面向量？
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
空间中任意两个向量总是共面的 空间中任意两个向量总是共面的．但三个 两个向量总是共面 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 共面呢？ 共面呢？
空间向量的数乘运算
向量 b p 空间任意不共线的两个 a, 如果 = xa + yb ， p a b有什么位置关系？ 那么向量与向量 ， 有什么位置关系？ 反过来，向量 a， 反过来， p 与 b有什么位置关系时，有 xa + yb 有什么位置关系时，p = ？
空间向量的数乘运算-数学选修
在物理学中的应用
数乘运算可以用于描述物体旋转的快慢，即角速度。
在电磁场中，数乘运算可以用于描述电场和磁场的变化。
在物理中，数乘运算可以用于描述力的作用效果和速度的变化。例如，加速度就是速度的数乘运算结果。
在计算机图形学中，数乘运算可以用于实现动画效果，如改变物体的尺寸、旋转角度等。
动画制作
渲染技术
向量表示
空间向量的定义与表示
数乘定义：对于任意实数$k$和向量$overset{longrightarrow}{a}$，数乘运算$koverset{longrightarrow}{a}$表示一个新的向量，其大小是$k$倍的$overset{longrightarrow}{a}$的大小，方向与$overset{longrightarrow}{a}$相同或相反。
分配律
对于任意实数$k$和向量$vec{a},vec{b}$，有$k(vec{a}+vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
举例
若$k=2, vec{a}=(1,2,3), vec{b}=(4,5,6)$，则$2(vec{a}+vec{b}) = 2(1+4,2+5,3+6) = (6,12,18)$。
举例
分配律
03
空间向量的数乘运算应用
80%
80%
100%
在解析几何中的应用
数乘运算可以用于实现向量在坐标系中的线性变换，如平移、旋转等。
数乘运算可以用于实现向量的缩放，即改变向量的长度而不改变其方向。
数乘运算可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度和方向。
线性变换
缩放
投影
力与速度
角速度
电磁场
空间向量的数乘运算(收藏)
数乘运算与向量方向的关系
总结词
数乘运算不会改变向量的方向。
详细描述
对于任意非零向量$vec{a}$和实数$k$，当$k > 0$时，数 乘后的向量方向与原向量方向相同；当$k < 0$时，数乘后 的向量方向与原向量方向相反。特别地，当$k = 0$时，得 到零向量，没有方向可言。
在线性代数中的应用
矩阵运算
在矩阵运算中，数乘运算是一种基本的操作，它可以用来改 变矩阵的元素值，从而进行矩阵的加法、减法、乘法和转置 等操作。
向量运算
数乘运算可以用来改变向量的长度和方向，从而进行向量的 加法、减法、数乘等基本运算，是线性代数中向量运算的重 要基础。
04
空间向量数乘运算的注意 事项
03
空间向量数乘运算的应用
在物理中的应用
1 2 3
描述速度和加速度的方向变化
在物理中，速度和加速度都是空间向量，通过数 乘运算可以改变这些向量的模长和方向，从而描 述物体运动状态的变化。
解释电磁场中的洛伦兹力
在电磁学中，洛伦兹力是一个空间向量，可以通 过数乘运算来改变其大小和方向，以解释带电粒 子在磁场中的运动。
数乘运算在向量合成与分解中的应用
总结词
数乘运算在向量的合成与分解中具有广泛的应用，它 可以帮助我们更好地理解向量的性质和几何意义一，它在向量的合 成与分解中具有广泛的应用。通过数乘运算，我们可以 改变向量的长度和方向，从而更好地理解和操作向量。 在实际应用中，数乘运算可以帮助我们解决许多与向量 相关的几何问题，例如力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。此外，数乘运算还可以与其他向量运算结合 使用，例如向量的点乘和叉乘，以解决更复杂的几何问 题。
空间向量的数乘运算
a // b (b 0)
a // b (b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
a
A
a
B
P
由 l // a 知存在唯一的t, 满足 AP t a
对空间任意一点O,
C b A a B
p
P
对空间任一点O,有OP OA x AB y AC
p
③
C b A a B
O
P
填空：OP (_____) y OC 1-x-y OA (____) x OB (____)
③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面 由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
• [解析] 如图，
1→ → → → → → (1)∵OQ＝PQ－PO＝PQ－2(PA＋PC) 1→ 1 → ＝PQ－ PA－ PC， 2 2 1 ∴x＝y＝－2. → ＋PC → ＝2PO → ，∴PA → ＝2PO → －PC →. (2)∵PA → ＋PD → ＝2PQ → ，∴PC → ＝2PQ → －PD →. 又∵PC → ＝2PO → －(2PQ → －PD → )＝2PO → －2PQ → ＋PD →. 从而有PA ∴x＝2，y＝－2.
空间向量乘法计算公式
空间向量乘法计算公式空间向量乘法是向量计算中的一种非常重要的计算方法。
它可以用来求解向量的点积、叉积、以及其他的一些运算，对于解决物理、工程和计算机科学中的一些重要问题非常有帮助。
在本文中，我们将向大家介绍空间向量乘法的计算公式及其应用。
空间向量乘法基本公式：对于三维空间中的两个向量a和b（均为三维向量），它们的乘积可以表示为：a×b=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j、k分别表示坐标系中的三个方向向量。
这个公式也叫做叉积公式，可以帮助我们计算任意两个向量之间的角度、面积以及法向量等。
这个公式的原理是，叉积的结果是一个垂直于a和b所在的平面上的向量。
这个向量的大小等于a和b所在平面的面积，方向由右手定则给出。
具体来说，将右手的大拇指伸向a，食指伸向b，那么叉积的方向就由中指指向。
空间向量乘法的应用1. 计算平面或立体图形的面积对于平面或者立体图形，可以使用向量乘积公式来计算其面积或者体积。
例如，对于一个由三个顶点A、B和C组成的三角形ABC，可以使用向量AB和向量AC叉积的大小得到其面积。
2. 计算物体的运动在计算机图形学中，空间向量乘积常用于计算物体的运动。
可以使用向量的叉积来计算旋转的角度和轴线方向，以及物体在三维空间中的位置。
3. 计算电磁场中的力在物理学和工程学中，向量乘积还可以用来计算电磁场中的力。
例如，在一组恒定电流通过的磁场中，可以使用向量乘积来计算电荷所受的力。
总结空间向量乘法是一个非常重要的向量计算方法，它可以帮助我们计算两个向量的点积、叉积以及其他的一些运算。
它在物理、工程和计算机科学中都有着广泛的应用。
通过向量乘积的计算，我们可以更好地理解和应用三维空间中的数学和物理概念。
空间向量的数乘运算
1 1 1 ( 1 )O M O A O B O C ; 3 3 3 (2 )O M2 O AO BO C .
练2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， , 则x的值为( ) O M x O A ＋ O B ＋ O C 3 3
充要条件是存在实数t,满足等式 若O P O A t A B
P B A
O P O A t a
其中向量 a 叫做直线 的方向向量 . l
a
( 或 A P t A B )
则A、B、P三点共线。
结 论 1 、 若 O Px O A y O B , xy 1 ， A 、 B 、 P 三 点 共 线 .
复习
平面向量基本定理： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
空间中仍然成立 空 间 中 任 意 两 个 不 共 线 向 量 a , b , 那 么 向 量 p
A
1 （ a b) - c 2
B
a
c
b
G
1 （ a b c) 3
D
M C
练习： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' '
E C
D
B
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
_空间向量的数乘运算
F
在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心， u u u r 1u u u r u u u r u u u r 求证： .+ O M = ( O A + O B O C )
3
O
A M B D
C
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
点P在直线l上
Û
a
A
P
l B
u u u r u u u r r ?O PO At + a u u u r u u u r u u u r O ? O PO A + t A B u u u r u u u r u u u ru u u r ? O P O A + t ( O B O A ) u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1) t O A + t O B
u u u ru u u r u u u r u u u r ? O P O A = x A B + y A C
O
u u u r u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1 -x y ) O A + x O B + y O C
C P
A
B
P在平面 ABC内（四点共面的证明） (2)OP OA x AB y AC (3)OP xOA yOB zOC ( x y z 1）
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★ c＝xa＋yb
(性质) 向量c与向量a，b共面
(判定)
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
rr
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
uuur r r ⑴∵ AP与a 、b 共面,
r b
C
r
Aa
B
ur p
uuur
P
rr
∴ 唯一有序实数对(x, y),
3、共面向量定理：
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b
共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使
c＝x a＋y b
c
证明： （1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，平面内， O A
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使c＝x a＋y b
A
若 O u若u P u rP 为xAO uu ,A u rB中y 点O uu ,B u r(xy1)， O
则 A则、 B O、 P P三 1 点 OA共 线 OB。 向量参数表示式 2
——共面向量定理
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
a
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABCuu内ur, 不共uuu线r 的三uuu点r A、B 、C ∴uuur存u在uur 有序uu实ur 数uuur对 (muu,urn)u使uur APuuur m AB nuuAurC uuur uuur
∴OP OA m(OB OA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的 uuur uuur uuur uuur
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则
点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
证明:⑴充分性
uuur uuur uuur uuur
y),
使
AP
x AB
y AC
②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O
∴点 P 在平面 上
uuur uuur uuur uuur
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
(1)O uuM uur 1O uuAur1O uuBur1O uuCur; uuuur 3uuur u3uur uuu3r
(2)OM2OAOBOC.
uuur
uuur uuur uuur
∵uuOurP uuurxOA uuyuOr BuuurzOC 可uu变ur 形uu为ur OPuu(ur1 y uzu)uOrA yuOuuBr zOC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
使 AP xa yb .
O
uuur r r
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
uuur r uuur r
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
uuur uuur uuur
∴点
P
在平面
上
是存在唯一有序实数对(x, uuur r uuur r
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在u u 直u r线u u 上u rl 的r
充要条件是存在实数t,满足等式 O PO A ta
其中u u u r 向量u u au r叫做u u 直u r线 的l 方向向量.
若 O u P uu r O A uu u rtA B
P
a
(或 APtAB)
B
则A、B、P三点共线。
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC
uuur
uuur uuur uuur
可u变uur形为uuurOP (u1uur y uuzur)OA uyuOurB uzuOurC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA)
uuur
uuur
uuur
∴ AP y AB z AC
3.1.2空间向量的 数乘运算（二）
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的有向线
段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫
做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数 使
a b
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
uuur uuur uuur uuur ∵ OP xOA yOB zOC . uuur uuur uuur
又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面,
∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
（2）充分性：如果c 满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O， 作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c， 显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面
存在唯一的一对实数x，
y，使 c＝xa＋yb
思考2（课本P88思考）
试证明:对于不共线的三点 A、 uu B u r、 Cu和 uu r平面 u A uu rBCuuu r外的 一点 O,空间一点 P 满足关系式OPxOAyOBzOC,则 点P在 平 面ABC内 的 充 要 条 件 是xyz1.
即，P、A、B、C四点共面。
uuur uuur uuur uuur
间任意三个向量就不 一定共面的了。
复习：
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平 行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?
2、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一
的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2