高等量子力学-chapter6

第六章 二次量子化理论
研究由全同粒子构成的相互作用多粒子体系, 二次量子化方法是一种有效的方法
1. 波函数的二次量子化表象
考虑系统由N个相互作用的全同粒子组成
动能
相互作用能
H

N
T ( xk )
k 1
1N
2
k
V
l 1
(
xk
,
xl
)
含时Schrodinger方程
i
t

(
x1,,
(x1,, xN )
(, n f ,)nf (x1,, xN )
• 通过置换可使下标按从小到大排列 f1 f2 f N
任意一个反对称波函数 (x1,, xN )可以表示为
(x1,, xN )
c( f1,, f N ) f1fN (x1,, xN )
f1 f N
( f1 f 2 fN )
用占据数组 {n f } 来表示 f1 f N
对称波函数(玻色子体系)
反对称波函数(费米子体系)
表示任意交换二个粒子坐标时, 波函数必须是 对称的, 或是反对称的.
由波函数的对称性要求给出: 展开系数自身 在交换相应量子数时, 也必须是对称或反对称的
c(, fi ,, f j ,;t) c(, f j ,, fi ,;t)
(一) 玻色子
波函数是对称的, 引入对称化函数乘积
f1fN (x1,, xN ) P f1 (x1) fN (xN )
(P)
P 为对处于不同量子态的粒子置换
可以证明任意的对称波函数可写成 f1 fN
的线性组合

(x1,,
xN
;t)

(
f1 ,,
fN
)
c(
f1,, f 1
n f 表示 f 量子态在 { f1,, f N } 中出现的次数
由于 f1,, f N各不相同, 所以
0 n f 1
f { f1,, f N } f { f1,, f N }
即在费米统计情况下:
n 个可能的占据数分布与函数 f1 fN (x1,, xN ) ( f1 f2 fN ) 一一对应
构成 N 粒子态的完全集, 任意一个N 粒子态
可以展开成
(x1,, xN ;t) c( f1,, fN ,t) f1 (x1) fN (xN ) f1 ,, f N 全同粒子波函数具有对称性 (, xi ,, x j ,,t) (, x j ,, xi ,,t)
存在关系式:
(, n f ,) c (, n f ,) c (, n f ,) c( f1,, f N )
N!
(n f !)
f
波函数的归一化:
1 *(x1,, xN ) (x1,, xN )dx1dxN | (, nf ,) |2 (n f )
P f1 (x1) fN (xN )
(P)
占据数 n f 可取任意正整数
n f 0,1,2,
但应满足一个条件:
nf N
f
( N 为总粒子数)
函数组 nf (x1,xN ) 对不同的占据数组是 彼此正交的.
归一化后, 得到一组正交归一化对称函数系
n f (x1,, xN )
这个函数可以表示成大家熟悉的行列式形式
f1 (x1)
f1 fN (x1,, xN )

f2 (x1)

fN (x1)
f1 (xN ) f2 (xN )

fN (xN )
• 函数 f1 ,, fN中有任意两个函数相同, 则反对称函数乘积恒等于0, 因此下标{ f1,, f N } 中没有二个是相同的.
可以把 | (,nf ,)|2 看作是系统处于某一特定单粒子态 占据数分布状态的几率
(二) 费米子
波函数是反对称的, 引入反对称化的函数乘积
f1 fN (x1,, xN ) (1)P P f1 (x1) fN (xN )
(P)
其中
(1) P

1 1
P 为偶置换 P 为奇置换
xN
,
t)

H
( x1 ,,
xN
,
t)
引入单粒子力学量完全集 fˆ的共同本征函数 f (x)
满足正交归一化和完备性条件

* f
(x) f
' (x)dx

ff
'

* f
( x)
f
( x' )


( x

x' )
f
各种不同单粒子函数的乘积 f1 ( x1 ) f N ( xN )
记 f1fN (x1,, xN ) nf (x1,, xN )
对于不同的占据数组{ n f } 函数 nf (x1,, xN ) 是正交的
归一化后, 得到一组正交归一化函数基:
n f (x1,, xN )
1 N
!
n
f

(
x1
,
,
xN
)
它们构成反对称波函数空间的完备基 任意反对称波函数可展开为
N
; t )
f1
fN
( x1 ,,
xN
)
(P)
函数 f1 fN (x1, xN ) 的性质: •它对下标 ( f1,, fN ) 的任意一个置换是对称的;
•可以用一组整数 (n1, n2 ,, n f ,) 来标记它,
其中 n1 表示在 ( f1,, f N )中遇到量子态 1的次数;
n2 表示 …
量子态2的次数;
n f 表示 …
量子态f 的次数;
•这组数 (n1, n2,, n f ,) 称为状态占据数， 函数 f1 fN (x1,, xN ) 完全被这组占据数确定
记函数 为： f1 f N
n f (x1,, xN ) f1 fN (x1,, xN )
(n f !)
f
N!
n f (x1,, xN )
(n f !)

f
N!
P f1 (x1) fN (xN )
(P)
对称波函数可以按它们展开
(x1,, xN )
(, n f ,)nf (x1,, xN )
(n f )
这就是二次量子化表象, 以占据数为自变量的 函数 (, n f ,) 是二次量子化表象中的波函数.