3-10-物理建模：动力学中“等时圆模型”问题的分析思路
等时圆模型(解析版)--高中物理动力学中的九类常见问题
动力学中的九类常见问题等时圆模型【模型解读】“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆 (或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。
由2R ·sin θ=12·g sin θ·t 2，可推得t 1=t 2=t 3。
“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。
这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。
此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。
这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。
通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。
物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较第一类：等高斜面(如图1所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =hsin θ可得t =1sin θ2h g ，可知倾角越小，时间越长，图1中t 1>t 2>t 3。
第二类：同底斜面(如图2所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =dcos θ可得t =4d g sin2θ，可见θ=45°时时间最短，图2中t 1=t 3>t 2。
【典例精析】1(2023年7月浙江宁波期末). 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB 、AC 、AD 和BD ，A 、B 、C 、D 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的最高点，D 为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R 。
在圆周所在的竖直平面内有一位置P ，距离A 点为3R ，且与A 等高。
高考物理一轮总复习热点专题4动力学中常考的“三个物理模型”课件
2x ＝ a
R＋r ，即所用的时间 t 与倾角 θ 无关，所以 t1＝t2，B 正确． g
重难点 2板—块模型的特点
(1)滑块未必是光滑的． (2)板的长度可能是有限的，也可能是足够长的．
(3)板的上、下表面可能都存在摩擦，也可能只有一个面存在摩擦，还可能两个
面都不存在摩擦． 2．板—块模型常用的物理规律 (1)匀变速直线运动规律、牛顿运动定律． (2) 动能定理、机械能守恒定律、能的转化和守恒定律、功能关系 ( 第五章复 习 )．
1 足 AM＝2Rsinθ＝ gsinθt2 a，即 ta＝2 2 ＝2
r (r 为过 B、M 且与水平面相切于 M 点的竖直圆的半径，r>R)．综上所述可得 g
tb>ta>tc.
答案：C
如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分 跟踪训练 2 别位于半径为 R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点 P.设有一重物先后沿两个
解题思路 “一定、三分、两线、一关键”解决板块问题
例2
(2015年新课标全国卷Ⅰ)一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置
一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5 m，如图(a)所示．t＝
0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1 s时木板与墙壁碰撞 (碰撞时间极短)．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未 离开木板．已知碰撞后1 s时间内小物块的 v-t图线如图(b)所示．木板的质量是小物 块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2.求：
热点专题4 动力学中常考的“三个物理模型”
栏 目 导 航
抓重难点
1
2
抓易错点
热点专题系列3 动力学中三种典型物理模型
2．如图甲，若 0≤v0<v 且 μ<tanθ：物块以向下的加速度 a＝gsinθ－ μgcosθ 运动。
3．如图甲，若 v0>v 且 μ>tanθ： (1)传送带比较短时物块一直以 a＝μgcosθ＋gsinθ 向上匀减速运动。 (2)传送带足够长时物块先以 a＝μgcosθ＋gsinθ 向上匀减速运动再以速 度 v 向上匀速运动。 4．如图甲，若 v0>v 且 μ<tanθ： (1)传送带比较短时物块一直以 a＝μgcosθ＋gsinθ 向上匀减速运动。 (2)传送带足够长时物块先以 a＝μgcosθ＋gsinθ 向上匀减速运动，再以 a＝gsinθ－μgcosθ 向上匀减速运动，最后以 a＝gsinθ－μgcosθ 向下匀加速 运动。
4．如图乙，若 v0>v 且 μ<tanθ：物块一直以 a＝gsinθ－μgcosθ 向下匀 加速运动。
总结：物块在倾斜传送带上的运动情形还有很多，但分析思路大体相 同：
(1)判断物块相对于传送带的运动方向，从而判断滑动摩擦力方向。 (2)列牛顿第二定律方程，判断 a 的方向和大小。 (3)根据临界条件 v 物＝v 带确定临界状态的情况，根据 μ 与 tanθ 的关系 判断之后的运动情形。
C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
答案
[解析] 小物块对地速度为零时，即t1时刻，向左离开A处最远；t2时 刻，小物块刚好与传送带共速，此后不再相对传送带滑动，所以t2时刻， 它相对传送带滑动的距离达到最大，A错误，B正确。0～t2时间内，小物块 受到的摩擦力为滑动摩擦力，方向始终向右，大小不变；t2时刻以后小物 块相对传送带静止，与传送带一起以速度v1匀速运动，不再受摩擦力作 用，C、D错误。
高中物理教学参考等时圆”模型的基本规律及应用
“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于《考试》杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。
而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。
基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：一、何谓“等时圆”如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L =② 设下滑时间为t ，则221at L =③ 由以上三式得，g R t 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：二、“等时圆”的应用 1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。
物理建模系列(四) 等时圆模型及其应用
物理建模系列(四)等时圆模型及其应用1．模型特征(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示；(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示．2．思维模板例如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为()A．2∶1B．1∶1C.3∶1 D．1∶ 3【解析】设光滑斜槽轨道与水平面的夹角为θ，则物体下滑时的加速度为a＝g sin θ，由几何关系，斜槽轨道的长度s ＝2(R ＋r )sin θ，由运动学公式s ＝12at 2，得t ＝2s a ＝2×2(R ＋r )sin θg sin θ＝2R ＋r g，即所用的时间t 与倾角θ无关，所以t 1＝t 2，B 项正确． 【答案】 B[高考真题]1．(2013·课标卷Ⅱ，14)一物块静止在粗糙的水平桌面上．从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用．假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以a 表示物块的加速度大小，F 表示水平拉力的大小．能正确描述F 与a 之间关系的图象是( )【解析】 静摩擦力随外力而改变，当外力大于最大静摩擦力时，物体才产生加速度，可利用牛顿第二定律列方程求解．物块受到拉力和摩擦力作用，根据牛顿第二定律F －μmg ＝ma ，当F ≤F fmax 时，a ＝0；当F >F fmax 时，a 与F 成一次函数关系，选项C 正确．【答案】 C2．(2016·课标卷Ⅱ，19)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )A ．甲球用的时间比乙球长B ．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小C ．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小D ．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功【解析】 两球的质量m ＝ρ·43πr 3，f ＝kr ，对两球由牛顿第二定律 a ＝mg －f m ＝g －kr ρ·43πr 3＝g －k ρ·43πr 2，可得a 甲＞a 乙，由h ＝12at 2知甲球的运动时间较短，选项A 、C 错误；由v ＝2ah 得v 甲＞v 乙，故选项B 正确；因f 甲＞f 乙，由W f ＝f ·h 知阻力对甲球做功较大，选项D 正确．【答案】 BD3．(2016·天津卷，8)我国高铁技术处于世界领先水平．和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车．假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比．某列车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( )A ．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反B ．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2C ．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比D ．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2【解析】 启动时，乘客的加速度向前，车厢对人的作用力方向向前，与车运动的方向相同，选项A 错误．以后面的车厢为研究对象，F 56－3kmg ＝3ma ，F 67－2kmg ＝2ma ，则5、6与6、7节车厢间的作用力之比为3∶2，选项B 正确．根据v 2＝2ax ，车厢停下来滑行的距离x 与速度的二次方成正比，选项C 错误．若改为4节动车，则功率变为原来2倍，由P ＝8kmg ·v 知，最大速度变为原来2倍，选项D 正确．【答案】 BD[名校模拟]4．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，两个质量分别为m 1＝2 kg 、m 2＝3 kg 的物体置于光滑的水平面上，中间用轻质弹簧秤连接．两个大小分别为F 1＝40 N 、F 2＝10 N 的水平拉力分别作用在m 1、m 2上，则达到稳定状态后，下列说法正确的是( )A ．弹簧秤的示数是28 NB ．弹簧秤的示数是30 NC ．在突然撤去F 2的瞬间，m 1的加速度大小为6 m/s 2D ．在突然撤去F 2的瞬间，m 2的加速度大小为4 m/s 2【解析】 以m 1和m 2为整体作研究对象：F 1－F 2＝(m 1＋m 2)a ；隔离分析m 1：F 1－F ＝m 1a ，得F ＝28 N ，故弹簧秤示数为28 N ，A 对，B 错；F 2撤去瞬间，弹簧弹力不变，m 1的加速度仍为6 m/s 2，F ＝m 2a ′，a ′＝283m/s 2，C 对，D 错． 【答案】 AC5.(2018·山东济南一中上学期期中)如图所示，质量为4.0 kg 的物体A 静止在竖直的轻弹簧上，质量为6.0 kg 的物体B 用细线悬挂在天花板上．B 与A 刚好接触但不挤压，现将细线剪断，则剪断后瞬间，下列结果正确的是(g 取10 m/s 2)( )A ．A 的加速度的大小为1 m/s 2B ．B 的加速度的大小为6 m/s 2C ．弹簧的弹力大小为60 ND ．A 、B 间相互作用力的大小为24 N【解析】 剪断细线瞬间，弹簧弹力大小仍为m A g ，对于整体：(m A ＋m B )g －m A g ＝(m A ＋m B )a ，a ＝6 m/s 2，方向向下，对于B ：－F N ＋m B g ＝m B a ，F N ＝24 N ，B 、D 正确．【答案】 BD6．(2018·山西晋中高三质检)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处旋转一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上，木板与竖直方向AC 所成夹角为α，一小物块由A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ间的大小关系为( )A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝2θD ．α＝θ3【解析】 如图所示，在AC 上选取一点O 为圆心，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆模型的特点知，由A 点沿斜面滑到D 点所用时间比由A 点到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2. 【答案】 B课时作业(八)[基础小题练]1.(2018·山东济南一中上学期期中)细绳拴一个质量为m 的小球，小球用固定在墙上的水平弹簧支撑，小球与弹簧不粘连．平衡时细绳与竖直方向的夹角为53°，如图所示．(已知cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)以下说法正确的是( )A ．小球静止时弹簧的弹力大小为35mg B ．小球静止时细绳的拉力大小为35mg C ．细绳烧断瞬间小球的加速度立即为gD ．细绳烧断瞬间小球的加速度立即为53g 【解析】 小球静止时，弹簧弹力F ＝mg tan 53°＝43mg ， 细绳拉力T ＝mg cos 53°＝53mg . 细绳烧断瞬间，小球合力大小仍等于53mg ，故加速度为53g ，D 正确． 【答案】 D2.(2018·山东泰安高三上学期期中)如图所示，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg ，m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现对A 施加一水平力F ，则A 、B 的加速度可能是(g 取10 m/s 2)( )A ．a A ＝6 m/s 2，aB ＝2 m/s 2B ．a A ＝2 m/s 2，a B ＝6 m/s 2C ．a A ＝8 m/s 2，a B ＝4 m/s 2D ．a A ＝10 m/s 2，a B ＝6 m/s 2【解析】 A 、B 间恰好达到最大静摩擦力时，μm A g ＝m B a B ，a B ＝6 m/s 2，a A 至少为6 m/s 2，A 、B 的加速度才可能不同，可能的组合只能是D 项．【答案】 D3．如图所示，将一个质量为m 的三角形物体放在水平地面上，当用一水平推力F 经过物体的重心向右推物体时，物体恰好以一较大的速度做匀速直线运动，某一时刻保持力的大小不变立即使推力反向变成拉力，则推力反向的瞬间( )A ．物体的加速度大小为F m，方向水平向左 B ．物体的加速度大小为2F m，方向水平向右 C ．地面对物体的作用力大小为mgD ．地面对物体的作用力大小为(mg )2＋F 2【解析】 开始物体做匀速直线运动，知推力F 等于摩擦力，即F ＝F f ，某一时刻保持力的大小不变立即使推力反向变成拉力，物体仍然向右运动，摩擦力仍然向左，则合力为F 合＝F ＋F f ，方向向左，根据牛顿第二定律，物体的加速度a ＝F ＋F f m ＝2F m，方向水平向左，故A 、B 错误；地面对物体有支持力和摩擦力，支持力等于重力，摩擦力等于F ，根据平行四边形定则知，地面对物体的作用力F ′＝(mg )2＋F 2，故D 正确，C 错误．【答案】 D4．(2018·安徽淮南一模)质量分别为M 和m 的两物块A 、B 大小相同，将它们用轻绳跨过光滑定滑轮连接，如图甲所示，绳子平行于倾角为α的斜面，A 恰好能静止在斜面上，不考虑两物块与斜面之间的摩擦，若互换两物块的位置，按图乙放置，然后释放A ，斜面仍保持静止，重力加速度大小为g ，则( )A ．此时轻绳的拉力大小为mgB ．此时轻绳的拉力大小为MgC ．此时A 运动的加速度大小为(1－sin 2α)gD ．此时A 运动的加速度大小为M －m Mg 【解析】 第一次按题图甲放置时A 静止，则由平衡条件可得Mg sin α＝mg ，第二次按题图乙放置时，对A 、B 整体由牛顿第二定律得，Mg －mg sin α＝(m ＋M )a ，联立得a ＝(1－sin α)g ＝M －m Mg ，对B ，由牛顿第二定律得T －mg sin α＝ma ，解得T ＝mg ，故A 、D 正确，B 、C 错误．【答案】 AD5．如图所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m 和M (m ∶M ＝1∶2)的物块A 、B 用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数相同，当用水平力F 作用于B 上且两物块共同向右加速运动时，弹簧的伸长量为x 1；当用同样大小的力F 竖直加速提升两物块时，弹簧的伸长量为x 2，则x 1∶x 2等于( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．2∶3【解析】 水平向右拉两物块时，运用整体法，由牛顿第二定律得，整体的加速度a ＝F －μ(M ＋m )g M ＋m＝F 3m －μg ，隔离分析物块A 有F B －μmg ＝ma ，得F B ＝F 3＝kx 1，x 1＝F 3k .竖直向上加速提升两物块时，运用整体法，由牛顿第二定律得，整体的加速度a ′＝F －(M ＋m )g M ＋m＝F 3m －g ，对A 物体有F ′B －mg ＝ma ′，得F ′B ＝F 3＝kx 2，x 2＝F 3k.所以x 1∶x 2＝1∶1，A 正确，B 、C 、D 错误．【答案】 A6．如图所示，两相互接触的物块放在光滑的水平面上，质量分别为m 1和m 2，且m 1<m 2.现对两物块同时施加相同的水平恒力F ，设在运动过程中两物块之间的相互作用力大小为F N ，则()A ．F N ＝0B ．0＜F N ＜FC ．F ＜F N ＜2FD ．F N ＞2F【解析】 设两物块运动过程中，它们之间的相互作用力为F N ，则对于两物块整体而言，由牛顿第二定律得2F ＝(m 1＋m 2)a ①，对于物块m 1而言，由牛顿第二定律得F －F N ＝m 1a ②；两式联立解得F N ＝F (1－21＋m 2m 1)，因m 1＜m 2，故F N <F ，故选项B 正确． 【答案】 B[创新导向练]7．就地取材——搬砖中蕴含的物理定律春晚上，旭日阳刚兄弟用两手对称水平使力将两长方体水泥制品夹紧并以加速度a 竖直向上匀加速搬起，其中A 件的质量为m ，B 件的质量为3m ，水平作用力为F ，A 、B 之间的动摩擦因数为μ，在此过程中，A 、B 间的摩擦力为( )A ．μFB ．2μFC.32m (g ＋a ) D ．m (g ＋a )【解析】 由于A 、B 件相对静止，故A 、B 件之间的摩擦力为静摩擦力，选项A 、B 错误．设民工兄弟对A 、B 件竖直方向的摩擦力为F f1，以A 、B 件整体为研究对象可知在竖直方向有2F f1－(m ＋3m )g ＝(m ＋3m )a ，设B 对A 的摩擦力方向向下，大小为F f2，对A 件由牛顿第二定律有F f1－F f2－mg ＝ma ，解得F f2＝m (g ＋a )，选项D 正确，选项C 错误．【答案】 D8．理想模型——通过“等时圆模型”考查动力学问题如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点恰好是下半圆的圆心，现在有三条光滑轨道AB 、CD 、EF ，它们的上下端分别位于上下两圆的圆周上，三轨道都经过切点O ，轨道与竖直线的夹角关系为α＞β＞θ，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为( )A ．t AB ＝t CD ＝t EFB ．t AB ＞t CD ＞t EFC ．t AB ＜t CD ＜t EF D ．t AB ＝t CD ＜t EF【解析】 设上面圆的半径为r ，下面圆的半径为R ，则轨道的长度x ＝2r cos α＋R ，下滑的加速度a ＝mg cos αm ＝g cos α，根据位移时间公式x ＝12at 2，则t ＝4r cos α＋2R g cos α＝4r g ＋2R g cos α，因为α＞β＞θ，则t AB ＞t CD ＞t EF ，故B 正确，A 、C 、D 错误． 【答案】 B9．生活实际——利用牛顿第二定律处理日常生活问题为了使雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的高度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动，那么如图所示的四种情况中符合要求的是( )【解析】 设屋檐的底角为θ，底边长为2L (不变)．雨滴做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得加速度a ＝mg sin θm ＝g sin θ，位移大小x ＝12at 2，而x ＝L cos θ，2sin θcosθ＝sin 2θ，联立以上各式得t＝4Lg sin 2θ.当θ＝45°时，sin 2θ＝1为最大值，时间t最短，故选项C正确．【答案】 C10．生活科技——跳伞运动考查动力学问题某运动员做跳伞训练，他从悬停在空中的直升机上由静止跳下，跳离飞机一段时间后打开降落伞减速下落．他打开降落伞后的速度图线如图(a)所示．降落伞用8根对称的绳悬挂运动员，每根绳与中轴线的夹角均为α＝37°，如图(b)所示．已知运动员的质量为50 kg，降落伞的质量也为50 kg，不计运动员所受的阻力，打开伞后伞所受阻力F f与速度v成正比，即F f＝k v(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则下列判断中正确的是()A．k＝100 N·s/mB．打开伞瞬间运动员的加速度a＝20 m/s2，方向竖直向上C．悬绳能够承受的拉力至少为312.5 ND．悬绳能够承受的拉力至少为625 N【解析】当速度达到5 m/s时匀速运动，由k v＝(M＋m)g得k＝200 N·s/m，A错；刚打开降落伞时，k v0－(M＋m)g＝(M＋m)a，a＝30 m/s2，方向竖直向上，B错，且此时悬绳承受的拉力最大，隔离分析运动员：8T cos α－mg＝ma，T＝312.5 N，故C对，D错．【答案】 C[综合提升练]11．(2018·安徽师大附中高三上学期期中)如图为一条平直公路中的两段，其中A点左边的路段为足够长的柏油路面，A点右边路段为水泥路面．已知汽车轮胎与柏油路面的动摩擦因数μ1＝0.25，与水泥路面的动摩擦因数为μ2＝0.50.当汽车以速度v0＝20 m/s沿柏油路面行驶时，若刚过A点时紧急刹车后(车轮立即停止转动)，汽车要滑行一段距离到B处才能停下；若该汽车以速度2v0在柏油路面上行驶，突然发现B处有障碍物，需在A点左侧的柏油路段上某处紧急刹车，若最终汽车刚好撞不上障碍物，(重力加速度g＝10 m/s2)，求：(1)水泥路面AB段的长度；(2)在第二种情况下汽车从刹车开始运动了多长时间才停下？【解析】(1)汽车在A到B的过程中有：μ2mg＝ma2AB间距为：x2＝v202a2联立并代入数据得：x2＝40 m.(2)由(1)可知，汽车恰不撞上障碍物，在A点的速度应为v0，则在A点左侧有：2v0－v0＝a1t1且有：μ1mg＝ma1在A到B的过程中有：v0＝a2t2所求时间为：t＝t1＋t2联立并代入数据得：t＝12 s.【答案】(1)40 m(2)12 s12．如图所示，航空母舰上的起飞跑道由长度为l1＝1.6×102 m的水平跑道和长度为l2＝20 m的倾斜跑道两部分组成．水平跑道与倾斜跑道末端的高度差h＝4.0 m．一架质量为m＝2.0×104kg的飞机，其喷气发动机的推力大小恒为F＝1.2×105N，方向与速度方向相同，在运动过程中飞机受到的平均阻力大小为飞机重力的0.1倍．假设航母处于静止状态，飞机质量视为不变并可看成质点，取g＝10 m/s2.(1)求飞机在水平跑道运动的时间及到达倾斜跑道末端时的速度大小；(2)为了使飞机在倾斜跑道的末端达到起飞速度100 m/s，外界还需要在整个水平跑道对飞机施加助推力，求助推力F推的大小．【解析】(1)飞机在水平跑道上运动时，水平方向受到推力与阻力作用，设加速度大小为a1、末速度大小为v1，运动时间为t1，有F合＝F－F f＝ma1v21－v20＝2a1l1v1＝a1t1其中v0＝0，F f＝0.1mg，代入已知数据可得a1＝5.0 m/s2，v1＝40 m/s，t1＝8.0 s飞机在倾斜跑道上运动时，沿倾斜跑道受到推力、阻力与重力沿倾斜跑道分力作用，设沿倾斜跑道方向的加速度大小为a2、末速度大小为v2，沿倾斜跑道方向有F合′＝F－F f－mg sin α＝ma2mg sin α＝mg hl2v22－v21＝2a2l2其中v1＝40 m/s，代入已知数据可得a2＝3.0 m/s2，v2＝ 1 720 m/s≈41.5 m/s故飞机在水平跑道上运动的时间为8.0 s，到达倾斜跑道末端时的速度大小为41.5 m/s.(2)飞机在水平跑道上运动时，水平方向受到推力、助推力与阻力作用，设加速度大小为a1′、末速度大小为v1′，有F合″＝F推＋F－F f＝ma1′v1′2－v20＝2a1′l1飞机在倾斜跑道上运动时，沿倾斜跑道受到推力、阻力与重力沿倾斜跑道分力作用没有变化，加速度大小仍有a2′＝3.0 m/s2v2′2－v1′2＝2a2′l2根据题意，v2′＝100 m/s，代入数据解得F推≈5.2×105 N故助推力F推的大小为5.2×105 N.【答案】(1)8.0 s41.5 m/s(2)5.2×105 N。
等时圆模型(最新最全)(总9页)
等时圆模型(最新最全)(总9页)
等时圆模型，也称为基于等时线的圆形模型，是专为考量太阳系中行星运行速度变化而提出的天体运行模型。
它是建立在数量物理的理论框架上的，可以用来提供一种更加准确灵活的推进器性能预测方法。
简而言之，等时圆模型的主要思想是，当一个行星或小行星在恒星系的引力场中运行时，其运动速度受到重力场的抑制，由而产生一种抛物形线，即行星运动轨道形状具有椭圆或螺旋形，另外，它在运动过程中出现大量剧烈变化。
等时轨道模型是根据英国天文学家布洛克在1609年提出的费米力学原理而构建的。
他认为，行星的运行轨道具有椭圆的形状，靠近恒星的运动速度减慢，而离恒星的距离增加时，速度增加。
在这种做法下，行星在恒星系宇宙中运行时形成一种螺旋形轨道。
等时圆模型用一条。
高考物理一轮复习小专题1动力学中常考的物理模型课件
(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩 擦因数μ2.
(2)木板的最小长度. (3)木板右端离墙壁的最终距离.
甲
乙
图 Z1-5
[审题指导] 第一步：抓关键点
关键点
获取信息
小物块与木板一起向右 小物块与木板以相同的加速度匀减速
运动
运动
从t＝0开始，至t＝1 s时木 板与墙壁碰撞
木板在t＝1 s内向右运动了4.5 m
小专题1 动力学中常考的物理模型
突破 1 “等时圆”模型 1.等时圆模型(如图 Z1-1 甲，乙所示)： 所谓“等时圆”就是物体沿同一竖直圆上的所有光滑细杆 由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各 点)的时间相同，都等于物体沿直径自由落体运动所用的时间.
图 Z1-1
2.等时圆规律： (1)小球从圆的顶端沿光滑弦轨道由静止滑下，滑到弦轨道 与圆的交点的时间相等.(如图 Z1-1 甲所示) (2)小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道由静止滑下，滑到 圆的底端的时间相等.(如图 Z1-1 乙所示) (3)沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直 径(d)自由落体的时间，即 t0＝ 2gd＝ 4gR＝2 Rg(式中 R 为
经历的时间关系为( ) A.tAB＝tCD＝tEF C.tAB＜tCD＜tEF
B.tAB＞tCD＞tEF D.tAB＝tCD＜tEF
图 Z1-4
解析：设上面圆的半径为 R，下面圆的半径为 r.分析轨道 EF，轨道 EF 长度为 l＝2Rcos θ＋r，滑块沿 EF 下滑的加速度 受力分析可知 a＝gcos θ，运动时间 t＝ 2al＝ 4Rcgocsosθ＋θ 2r＝
【典题 2】(2015 年新课标Ⅰ卷)一长木板置于粗糙水平地 面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右 端与墙壁的距离为 4.5 m，如图 Z1-5 甲所示.t＝0 时刻开始，小 物块与木板一起以共同速度向右运动，直至 t＝1 s 时木板与墙 壁碰撞(碰撞时间极短).碰撞前后木板速度大小不变，方向相反； 运动过程中小物块始终未离开木板.已知碰撞后 1 s 时间内小物 块的 v-t 图线如图乙所示.木板的质量是小物块质量的 15 倍，重 力加速度大小 g 取 10 m/s2.求：
专题3 热点专题系列2
B．OB
C．OC
D．OD
【答案】B
高考总复习·物理
【解析】如下图所示，过O点作水平线与斜面的延长线交于Q点， 作∠Q的角平分线与OA交于O′点，以O′点为圆心、OO′长为半径作 圆切斜面于P点，连接OP，由几何关系可知∠AO′P＝30°，则∠AOP＝ 15°，P点在B点处．根据等时圆模型可知，小球从O点下滑到达圆上各 点时间相等，所以小球由细杆OB到达斜面时间最短，B正确．
高考总复习·物理
已知v2＞v1，则
()
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
【答案】B
高考总复习·物理
【解析】0～t1时间内小物块向左做匀减速直线运动，t1时刻小物块 向左速度减为零，此时离A处的距离达到最大，故A错误；t2时刻前小物 块相对传送带向左运动，之后小物块相对传送带静止，t2时刻小物块相 对传送带滑动的距离达到最大，故B正确；0～t2时间内小物块先减速， 后反向加速，小物块受到大小不变、方向始终向右的摩擦力作用，故C 错误；t2时刻小物块向右速度增加到与皮带相等，t2时刻之后小物块与皮 带保持相对静止随水平传送带一起匀速运动，摩擦力消失，故D错误．
项目 情境2
情境3
图示
高考总复习·物理
滑块可能的运动情况 ①v0＞v时，可能一直减速，也可能先减速再匀 速 ②v0＜v时，可能一直加速，也可能先加速再匀 速 ③v0＝v，一直匀速 ①传送带较短时，滑块一直减速到达左端 ②传送带较长时，滑块还要被传送带传回右 端．当v0＞v时返回速度为v，当v0＜v时返回速 度为v0
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物理建模： “等时圆模型”问题的分 析思路
➢ 1.模型特点 ➢ 2.典例剖析 ➢ 3.规律方法 ➢ 4.跟踪训练 ➢ 5.真题演练
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➢1.模型特点
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1．对象模型：如质点、点电荷等．
中 学
2．条件模型：如光滑面、匀强电场、匀强磁场
物 等．
球在各杆上滑行的时间之比为（ ）
A.1∶1∶1 B.5∶4∶3 C.5∶8∶9 D.1∶2∶3
ABCD四点是否满 足等时圆规律？
解析 本题考查等时圆知识，亦可用牛顿运动定律结合运动学知
识解析，意在考查考生灵活选用物理规律解答物理问题的能力。
由题可知A、B、C、D恰好在以AC为直径的圆上，且C为最低点
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➢3.规律方法
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反思总结
等时圆规律的应用
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对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可 考虑用等时圆模型求解． a. 可直接观察出的“等时圆” b.运用等效、类比自建“等时圆” c.注意建立“等时圆”的方法
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➢4.跟踪训练
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【跟综训练】 如图示, 光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的
两邻边和对角线,AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直,各杆上分别
套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质
量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶
点由静止释放,不计空气阻力,则a、b、d三小
理 3．过程模型：如自由落体运动，匀加速(或匀减 常 用 速)直线运动、平抛运动、匀速圆周运动等．
模 4．结论模型：如“等时圆”模型、滑块模型、
型 传送带模型等．
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1.“等时圆”模型
(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过圆周最低点的光滑弦由静
止下滑，到达圆周最低点的时间均相等，且为 t＝2 2Rcos θ＝12at2 及 mgcos θ＝ma 解得)(如图甲所示)．
如何通过 做“等时 圆”确定 最短时间
解析显隐
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【典例】如图所示，AB 和 CD 为两
条光滑斜槽，它们各自的两个端点
均分别位于半径 R 和 r 的两个相切
的圆上，且斜槽都通过切点 P。设
有一重物先后沿两个斜槽，从静止
出发，由 A 滑到
B 和由 C 滑到 D，A
所用的时间分别
公通(3)过选式列其通s中式任12 方a一t 2程光,来滑得处斜理t槽.，2as求=
其滑2斜的2(gR面加sinr长速)sin度度 及，=重再2物由Rg沿运 r 斜动, 槽学即下公所 用式求的出时重间物下t 滑与时倾间角. θ 无 关，所以 t1=t2，B 项正确。 答自案己：试B试解答此题吧解析！显隐
，由等时圆知识可知三小球在杆上运行时间相等，A对。
答案 A
解析显隐
第12页
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【跟综训练】(多选)如图右下图所 【解析】：设圆轨道半径为
示装置，位于竖直平面内的固定光 R，据“等时圆”理论
滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，
与竖直墙相切于A点，竖直墙上另 一点B与M的连线和水平面的夹角
Rg (可由
(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下
滑，到达圆周低端的时间相等，且为 t＝2 Rg(如图乙所示).
第4页
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2.思维 模板
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➢2. 典例剖析
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【典例】 如图示，在倾角为 θ 的斜面上方的 A 点处放置一光滑的木板 AB，B 端刚好在斜 面上．木板与竖直方向 AC 所成角度为 α，一 小物块自 A 端沿木板由静止滑下，要使物块 滑到斜面的时间最短，则 α 与 θ 角的大小关 系应为 ( )．
300 R
为 t1 和 t2, 则 t1 C 600
与 t2 之比为( )
θ
A.2：1 B.1：1
P D
C. 3 ：1 D.1： 3 r
B
【解析】审设题光视滑角斜槽轨道 与(1)水条平件模面型的：夹A角B、为CDθ均，为则 物光滑体斜下槽滑. 时 的 加 速 度 为 α槽(滑动2=)到情g过s况B轨程i(nD极模θ)类,过型道由似程：几，中重的均何，物为受关由匀力长A系加与(，C速运度斜) s直=2线(运R+动r。)sin这θ两,由个过运程动可学
A．α＝θ B．α＝θ2 C．α＝θ3 D．α＝2θ
解析 如图示,在竖直线 AC 上选取一点 O，以适当 的长度为半径画圆，使该圆过 A 点,且与斜面相切 于 D 点.由等时圆知识可知,由 A 沿斜面滑到 D 所用 时间比由 A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将 木板下端与 D 点重合即可,而∠COD＝θ,则 α＝θ2. 答案 B
ta＝
4gR＝ 2
R g；
为60°，C是圆轨道的圆心．已知
在同一时刻，a、b两球分别由A、 B 点在圆外，有 tb>ta
B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨 C 球做自由落体运动
道运动到M点；c球由C点自由下落
由刚才例题，
到M点．则（ ） A．a球最先到达M点
有 tc＝ 你 解能答2否本gR；快应速用
B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点
呀？
故有 tc<ta<tb.C、D 正确．
D．c、a、b三球依 次先后到达M点
答案 CD
解析显隐
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➢5.真题演练
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