特征根法求解二次微分方程
微分方程特征方程所有根无解
微分方程特征方程所有根无解
微分方程是数学中的一个重要分支，它描述着很多现实世界中的
问题，比如物理、化学、生物等领域。
其中，特征方程是微分方程的
重要概念之一，它是求解常微分方程的一种方法。
特征方程是一元高
阶线性常微分方程的一个代数方程，它描述了微分方程的特征或本质。
然而，有时会出现特征方程所有根无解的情况。
这种情况下，我
们无法用特征方程法求解微分方程，需要采用其他方法来解决问题。
首先，特征方程所有根无解可能是由于微分方程的形式过于复杂
或者参数过于复杂而导致的。
因此，需要化简微分方程或者参数化简
微分方程来求解问题。
其次，特征方程所有根无解还可能是由于微分方程的本质是非线
性微分方程，而特征方程仅适用于线性微分方程的情况。
在这种情况下，需要采用其他方法，如变换法或数值解法等来解决问题。
此外，特征方程所有根无解也可能是由于微分方程的本质不可解，即它没有解析解。
这种情况下，需要采用数值解法来求解微分方程，
如Euler法、Runge-Kutta法等。
总之，特征方程所有根无解是微分方程求解中的一种情况，我们
需要根据具体情况采用不同的方法来求解问题。
不过，无论采用何种
方法，我们都需要保持严谨的数学思维，才能得到正确的结果。
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程解的结构\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x) \]其中，\(p(x)\)、\(q(x)\)和\(f(x)\)都是定义在一些区间上的函数。
解二阶线性微分方程可以分为齐次方程和非齐次方程两种情况。
齐次方程是指 \( f(x) = 0 \) 的情况，而非齐次方程则是 \( f(x) \neq 0 \) 的情况。
首先来看齐次方程。
对于齐次方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = 0 \]可以先求出其特征方程：\[ \lambda^2 + p(x)\lambda + q(x) = 0 \]然后根据特征方程的根来确定齐次方程的解的结构。
1.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 相异实根时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
2.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 相等实根时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = (C_1 + C_2x)e^{\lambda_1x} \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
3.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 为共轭复根 \( \alpha \pm \beta i \) 时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)) \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
接下来看非齐次方程。
对于非齐次方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x) \]其通解可以利用齐次方程的通解和一个特解的和来表示。
二阶线性微分方程及其解法
n 阶微分方程的一般形式为：F(x,y, y',y",L ,y(n)) 0，一般情况下，求n阶微分方程的解是困难的.作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程y'' F(x,y,y')的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为y'' p(x)y' q(x)y f (x). ()如果f (x) 0 ，则方程()成为y'' p(x)y' q(x)y 0. ()方程()称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程()称为二阶非齐次线性微分方程.定理齐次线性微分方程解的叠加性定理•设y1和y2是二阶齐次线性微分方程()的两个解，则y c1y1 c2 y2也是微分方程()的解，其中c1,c2为任意常数•证：将y qy i C2『2代入方程()的左端，可得(c1y1 c2y2)'' p(x)(c1y1 c2y2)' q(x)(c1y1 c2y2)(C1y1'' C2y2'') p(x)(C1y1' C2y2') q(x)(C1y1 C2y2)=C1(y1'' p(x)y1' q(x)y1) C2(y2'' p(x)y2' q(x)y2)=0，所以，y c1y1c2 y2也是微分方程()的解• 口定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加• 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y，很容易得到含有任意常数C i, C2的解，y c i y i 5^2.如果解y i和y有一定关系，那么，解y C i y i C2『2中的任意常数C i,C2可以合并成一个任意常数•因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解• 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y2要满足哪些条件才能使解y C i y i C2y2成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念定义设函数y i和y2是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数C1 ,C2，使cy C2 y2 0在区间上恒成立，则称函数y1和y2在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数y1和y2在区间上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比0是y2否为常数.如果业等于常数，则y i与y线性相关；如果上等于函数，则y i与y线性无y2 y2关.例如,匹3,则y i与y2线性相关.出 x,则y i与y线性无关•y2 y2定理二阶齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y i和y2是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则y c i y i C2 y2是微分方程（）的通解，其中c i,c2为任意常数•例如，y i e x, y2 2e x, y a e x y°2e x都是二阶齐次线性微分方程y i 0的解,C i,C2是任意常数，则下列哪些选项表示微分方程y i 0的通解：A.c i y i C2y2B. c i y i C2y4C.C i y i C2D.C i y a C2y4E.c i y i y aF.y i c i y4G.C i(y i y2)C2W3y4)由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理，可知：选项B,G为该方程的通解• 本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程•定理非齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y*是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则y Y y*是二阶非齐次线性微分方程（）的通解•证：将y Y y*代入方程（）的左端，可得(Y y*)'' P(X)(Y y*)' q(x)(Y y*)(Y'' y*' ') p(x)(Y' y*' ) q(x)(Y y*)=(Y'' p(x)Y' q(x)Y) (y*' ' p(x)y*' q(x)y*) = f (x) ，所以，y Y y*是微分方程()的解，又 Y 是二阶齐次线性微分方程()的通解，它含有两个任意常数，即解中 y Y y* 含有两个任意常数，因此 y Y y* 是二阶非齐次线 性微分方程()的通解 . □上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础 . 根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为： (1)求对应的二阶齐次线性微分方程()的两个线性无关的特解 y 1和y 2，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数 Y c 1y 1 c 2y 2；(2)求二阶非齐次线性微分方程()的一个特解 y* ；则，二阶非齐次线性微分方程() 的通解为 y Y y*.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解 .二、 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy 0.()其中p ，q 为常数•根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程()的通解，只要求出 该方程的任意的两个线性无关的特解y 1和y 2即可•注意到方程()的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数 y ，其导数 y'' ， y' 和 y则有q)e x 0 ，即 q0为二阶常系数齐次线性微分方程()的 特征多项式 ，特征方程的根之间只相差一个常数，该函数就可能是方程()的特解 . 而基本初等函数中的指数函数恰好具有这个性质. 因此， 设方程()的解为 y，其中 为待定常数， 将 yx、ye x 和 y" 2ex x代入微分方程 ()，我们称方程 ()为二阶常系数齐次线性微分方程)的特征方程 ，而称 F( )2p q称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的 特征根•因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别 讨论并给出微分方程（）的通解 .2（1） 当p 4q 0时，特征方程有两个相异的实根i 和2，因此，微分方程有两个特解y i e ix,y 2 e 2X由于 上 e（ 1 2）x，所以y i , y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微y 2分方程（）的通解为y c 1e ix c 2e 2X（ G ,C 2为任意常数）（）（2）当p 2 4q 0时，特征方程有重根12，因此，微分方程只有一个特解XXy 1 e .设 y h （x ）y 1 h （x ）e 是微分方程（）另一个特解，求导得：y\ h'（x ）e X h （x ）e X ， y= h"（x ）e x 2 h'（x ）e x 2h （x ）e x . 将2Py 2, y'2, y"2代入微分方程（），注意到方程 p q 0和，化简后得：2h"（x ） 0.满足这个条件的函数无穷多，取最简单的一个 h （x ） x ，则微分方程（）另一个特解为y 2 xe x ，且y 1, y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为找两个线性无关的实数解ix.由欧拉公式e cosx i sin x 可得XXy 1 e (cos x i sin x), y 2e (cos x isin x),根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理，有1 x1X2(% y 2)e X cosx2(y 1y ?) e x sin x.1,2P . P 2 4q"2(3)其中因为 yy 2xy (C 1 C 2x)e（C 1, C 2为任意常数）()2p 4q 0时，特征方程有一对共轭复根1丄也—.因此，微分方程有两个特解2y 1e ()x,y 2e ( i )xe 2i x ，所以y 「y 2线性无关.为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式xxe cos x e cos x 和e sin x 均为微分方程（）的解•而 xcot x .故二阶常系数齐e sin x次线性微分方程（）的通解为Xy （C i cos x C 2 sin x ）e（ 为任意常数）• （）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的 根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：(1) 写出的特征方程； (2)求出特征根；(3) 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（） 、（）或（）写出微分方程（）的通解特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解解: 特征方程为234 0,特征根i 4，21,所求通解为解： 特征方程为2 ,1 0,B f 特征根1 . 1,2,所求通解为22例4求方程y" 4y' 4y 0的满足定解条件y （0） 1，y'（0） 4的特解.例1求方程y" 3y' 4y 0的通解•y C i ec ?e（C i ,C 2为任意常数）例2 求方程 y" 2y' y 0的通解•解： 特征方程为221 0,特征根121,所求通解为y (C 1 c 2x)e x（c 1, c 2为任意常数）例3 求方程 y"y' y 0的通解•(C i cos 空x2c ? sinx)e 2（C 1, c 2为任意常数）4xx4 0,特征根 1 2 2, 所求通解为y (c 1 c 2 x)e 2x对上式求导，得由定解条件 y(0) 1， y'(0) 4代入： c 1 1， c 2 2, 因此，所求特解为2xy (1 2x)e 2x .三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy f (x). ( p , q 为常数)由定理可知，如果 y* 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分 方程的通解为yY y*其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得•当f (x)为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐 次线性微分方程一个特解y*，代入公式()即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解•现就 f (x) 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解 y* 的方法 . 1、当f (x) m (x)e x ，其中为常数，m (x)为m 次多项式：m(x) b 0x m b 1x m 1 b m 1x b m ， m 0 .因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程()的一个特解为y* z(x)e x ， z(x)x k m (x)其中 m (x) 为 m 次待定多项式 .2 例如,(x) 3,则设 0(x) B 0; 1(x) x, 1(x) B 0x B 1; 2(x) x 21,则设2(x) B o x 2 B i X B 2.以 y*" [z"(x) 2 z'(x)2z(x)]e x ，代入微分方程()，整解： 特征方程为y' 2xc 2e2x2(c 1 c 2 x)e ,理后可得 待定系数平衡公式( 2 p q)z(x) (2 p)z'(x) z''(x) m (x)或F( )z(x) F '( )z'(x) z''(x) m (x). ()m 1 个联立方程：( 2 p ( 2pq)B 0q)B 1b 0,2( p)mB 0 b 1,确定 B i (i 0,1,2,,m) ，就可以确定待定多项式z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* xz(x)e .(2)当 F( )2pq 0 ，即 是特征方程的单根时， F'( )0.要使平衡公式() 的两端恒等，z'(x)与m( x )为同次多项式，设z(x) x m (x)x(B 0x m B 1x m1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* z(x)e x .(3) 当 F( )2pq 0 ， F'( ) 2 p 0 ，即 是特征方程的重根时，要使平衡公式()的两端恒等，z''(x)与m (x)为同次多项式，设z(x) x 2 m (x)x 2(B 0x m B 1x m 1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解 y* z(x)e由此，通过比较两端 x 的同次幂的系数确定待定多项式 kz(x) x k m (x) 中的待定系数 . 因为特征方程的根不同，z(x) 的次数也不同，分别讨论之 1) 当 F( ) 2p q 0 ，即 不是特征方程的根时，要使平衡公式()的两端恒等， z(x) 与m(x) 应为同次多项式，即z(x)x 0 m (x) B 0 x mB 1x m 1B m 1x B m代入平衡公式()，比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数B 0,B 1, ,B m 的上述讨论可归纳如下：当f(x)m(x)e x ，其中常数 ，m 次多项式m(x)已知，微分方程的特解形式为y* z(x)e x x k m (x)e x ，即 z(x) x k m (x)，其中：m(x)与m (x)为同次多项式；k 0,1,2，分别根据不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定2、当f(x) e x (acos x bsin x)，其中a,b,,为常数时，可得复数 分方程的特解形式为y* x k (A 1 cos x A 2 sin x)e x ，对共轭复根而确定•以y*, y*' ,y*"代入原方程，比较同类项的系数，解得 A 1, A 2.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为y Y y*其中Y 为余函数， 2,，1(x) 7x 2可用待定系数平衡公式确定7B °x (5B Q 7B I ) 7x 2.比较系数，7B Q 7, 5B Q 7B I2,得 B Q 1,B I1,即y (x 1)e 2x .其特征根为1 3i ，余函数为1,22Y (C 1 3 cos- x 23 -xc 2 sin x)e 2 c 1, c 2为任意常数特征多项式为F( )21，且 F ( ) 2 1,解：特征方程为21 0,2不是特征方程的根i .设微其中：A ?为待定常数；k 0,1,分别根据i 不是特征方程的根或是特征方程的一例5 求方程y" y' y(7x 2)e 2x 的通解.设 y* z(x)e 2x , z(x)B o x B.根据待定系数平衡公式F(2)z(x) F (2)z(x)z (x) 7(B o X B) 5B Q2x ,比较等式两端x 同次幕的系数，可得B 。
特征方程的根
特征方程的根
特征方程的根：
1.什么是特征方程？
什么是特征方程？特征方程是一种数学方法，用于求解特定方程的根。
它也可以用来检查方程的某些性质，或者来解决线性等式的特定问题。
例如，可以用特征方程来求解二次或者多次方程的根，以及检查方程
的因式分解。
2.特征方程的本质
特征方程的本质是一种数学计算方法，用来求解e特定方程的根。
特
征方程被定义为将方程给定到指定度数上，根据一个特定特征系数来
求解一个未知数。
特征方程是一种数学归纳法，它引入一个特定的特
征系数，通过它来求解方程的根，并且能够产生出关于未知数的各种
联立方程。
3.特征方程的用途
特征方程的用途非常广泛。
它可以用来解决二次及多次方程的根，可
以求取复数方程的实部和虚部，以及求取因式分解的方程，在求解数
值积分时也可以使用它，甚至是微分方程。
4.如何求解特征方程的根
求解特征方程的根一般有如下步骤：首先求出方程的特征系数；其次
计算特征系数的多项式的根，并将根带回到原方程中；最后利用替代法、插值法或者牛顿迭代法等方法来求解未知数，最终得到方程的根。
5.对特征方程的根的理解
特征方程的根代表的是方程的解。
一个特定的方程可以有多个根，每
个根都可以用来求解这个方程的未知数。
特征方程的根是当一个实数
代入特征方程时，使被等号所分割的两边都等于零的那个实数，它也
可以是实数、复数或者不确定的。
特征根法求解二次微分方程
特征根法求解二阶常系数线性微分方程关于二阶常系数线性微分方程的解法:1.线性齐次方程0=+'+''cy y b y a 的通解解法 先解特征方程02=++c br ar 的根.设特征根为aac b b r 2422,1-±-=,分以下三种情况: （1） 当042>-ac b 时,特征方程有两个相异的实根()ac b b a r 42122,1-±-=,则方程的通解为 x r x r C C y 21e e 21+=.（2）当042=-ac b 时,特征方程有重根ab r 2-=,则方程的通解为 ()x r x C C y e 21+=.（3）当042<-ac b 时,特征方程有一对共轭的复根 a b ac a b r 2i 42i 22,1⋅-±-=±=βα, 则方程的通解为 ()x C x C y x ββαsin cos e 21+=.定理 若21,y y 为齐次方程0=+'+''cy y b y a 的两个解,则2211y C y C y +=亦就是齐次方程的解,其中21,C C 就是任意常数.又若21,y y 为线性无关时,则2211y C y C y +=就是齐次方程的通解.2.线性非齐次方程)(x f cy y b y a =+'+''的通解定理 设*y 就是非齐次线性方程的一个特解,而y 就是相应的线性齐次方程的通解,则其与 *y y y +=为线性非齐次方程的通解.具体解法:(1)先求)(x f cy y b y a =+'+''的特解*y(2)再求对应线性齐次方程的通解y ,根据定理相加即可*y y y +=例题1用特征根法求微分方程044=+'+''y y y 的通解 解:特征方程为r 2+4r+4=0所以,(r+2)2=0得重根r 1=r 2=-2,所以,方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x例题2用特征根法求微分方程y``+3y`+2y=0的一般解 解:特征方程的解r 1=-1,r 2=-2一般解x x e C e C y --+=221例题3 用特征根法求微分方程02520422=+-x dt dx dt x d ;的一般解 解 微分方程的特征方程为4r 2-20r +25=0, 即(2x -5)2=0, 其根为2521==r r , 故微分方程的通解为 t t xe C e C x 252251+=, 即t e t C C x 2521)(+=例题4求下列微分方程满足所给初始条件的特解y ''-3y '-4y =0, y |x =0=0, y '|x =0=-5; 解:微分方程的特征方程为r 2-3r -4=0, 即(r -4)(r +1)=0,其根为r 1=-1, r 2=4, 故微分方程的通解为y =C 1e -x +C 2e 4x .由y |x =0=0, y '|x =0=-5, 得⎩⎨⎧-=+-=+5402121C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此所求特解为y =e -x -e 4x .例题5求微分方程的通解2y ''+y '-y =2e x解 微分方程的特征方程为2r 2+r -1=0, 其根为211=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211.因为f (x )=2e x , λ=1不就是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,解得A =1, 从而y *=e x .因此, 原方程的通解为x x x e e C e C y ++=-2211历年考题:07-08下求微分方程y ''+4y '-5y =0的一般解解:微分方程的特征方程为r 2+4r -5=0,其根为r 1=1, r 2=-5, 故微分方程的通解为y =C 1e x +C 2e -5x 09-10下用特征根法求微分方程y ''-4y '+5y =0的一般解 解:微分方程的特征方程为r 2-4r +5=0,其根为r 1=2-i , r 2=2+i , 故微分方程的通解为 y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ).10-11下求微分方程的通解y ''-2y '+y =cosx+e x微分方程的特征方程为r 2-2r +1=0,其根为11r =, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为12x x Y C e C xe =+. 设y ''-2y '+y =e x 的特解为y *1=Ax 2e x ,代入原方程解得A =1/2, 从而y *1=1/2x 2e x .设y ''-2y '+y = cosx 的特解为y *2=Bcosx+Csinx , 代入原方程得解出B=0,C=-1/2从而y *2=-1/2sinx因此, 原方程的通解为21211+sin 22x x x Y C e C xe x e x =+-。
微分方程特征根公式
微分方程特征根公式摘要：一、微分方程特征方程公式的概述二、微分方程特征方程公式的应用范围三、微分方程特征方程公式的求解方法四、微分方程特征根的含义及其与原微分方程的关系五、特征根法的优点及应用实例六、总结正文：一、微分方程特征方程公式的概述微分方程特征方程公式是一种求解微分方程的方法，它是微分方程理论中一个重要的组成部分。
特征方程公式可以帮助我们找到微分方程的解，这些解称为特征根。
通过特征根，我们可以进一步求出微分方程的特解。
二、微分方程特征方程公式的应用范围微分方程特征方程公式广泛应用于各个领域，如物理、化学、工程学、经济学和人口统计学等。
在这些领域中，许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，都可以用微分方程求解。
三、微分方程特征方程公式的求解方法求解微分方程特征方程公式的过程主要包括以下几个步骤：1.假设微分方程的通解为y = e^r*x，其中r 为待求的特征根。
2.将假设的通解代入原微分方程，得到关于r 的方程。
3.解出关于r 的方程，得到特征根r。
4.将特征根r 代入通解公式y = e^r*x，得到微分方程的特解。
四、微分方程特征根的含义及其与原微分方程的关系微分方程特征根是指特征方程的解，它与原微分方程的解有着密切的关系。
特征根反映了原微分方程的性质，如齐次性、线性性等。
通过特征根，我们可以了解原微分方程的解的性质，从而更好地理解和解决实际问题。
五、特征根法的优点及应用实例特征根法是一种求解微分方程的有效方法，它具有以下优点：1.适用于广泛的微分方程类型，如线性微分方程、非线性微分方程等。
2.求解过程相对简单，只需解特征方程即可。
3.可以得到微分方程的特解，有助于更好地理解问题的本质。
实例：求解微分方程y"" + 4y = 2cos(2x)。
解：假设通解为y = e^r*x，代入原方程得到特征方程r^2 + 4r =2cos(2x)。
二次微分方程的通解
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程? 方程y ???py ??qy ?0称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中p 、q 均为常数?如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解? 那么y ?C 1y 1?C 2y 2就是它的通解?我们看看? 能否适当选取r ? 使y ?e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程? 为此将y ?e rx 代入方程y ???py ??qy ?0得(r 2?pr ?q )e rx ?0?由此可见? 只要r 满足代数方程r 2?pr ?q ?0? 函数y ?e rx 就是微分方程的解?特征方程? 方程r 2?pr ?q ?0叫做微分方程y ???py ??qy ?0的特征方程? 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式求出?特征方程的根与通解的关系?(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时? 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解?这是因为?函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解? 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数? 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=?(2)特征方程有两个相等的实根r 1?r 2时? 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解?这是因为? x r e y 11=是方程的解? 又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ?所以xr xe y 12=也是方程的解? 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数? 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=?(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2???i ?时? 函数y ?e (??i ?)x 、y ?e (??i ?)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解? 函数y ?e ?x cos ?x 、y ?e ?x sin ?x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解? 函数y 1?e (??i ?)x 和y 2?e (??i ?)x 都是方程的解? 而由欧拉公式? 得y 1?e (??i ?)x ?e ?x (cos ?x ?i sin ?x )?y 2?e (??i ?)x ?e ?x (cos ?x ?i sin ?x )?y 1?y 2?2e ?x cos ?x ? )(21cos 21y y x e x +=βα? y 1?y 2?2ie ?x sin ?x ? )(21sin 21y y ix e x -=βα? 故e ?x cos ?x 、y 2?e ?x sin ?x 也是方程解?可以验证? y 1?e ?x cos ?x 、y 2?e ?x sin ?x 是方程的线性无关解?因此方程的通解为y ?e ?x (C 1cos ?x ?C 2sin ?x )?求二阶常系数齐次线性微分方程y ???py ??qy ?0的通解的步骤为?第一步 写出微分方程的特征方程r 2?pr ?q ?0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2?第三步 根据特征方程的两个根的不同情况? 写出微分方程的通解?例1 求微分方程y ???2y ??3y ?0的通解?解 所给微分方程的特征方程为r 2?2r ?3?0? 即(r ?1)(r ?3)?0?其根r 1??1? r 2?3是两个不相等的实根? 因此所求通解为y ?C 1e ?x ?C 2e 3x ?例2 求方程y ???2y ??y ?0满足初始条件y |x ?0?4、y ?| x ?0??2的特解?解 所给方程的特征方程为r 2?2r ?1?0? 即(r ?1)2?0?其根r 1?r 2??1是两个相等的实根? 因此所给微分方程的通解为y ?(C 1?C 2x )e ?x ?将条件y|x?0?4代入通解?得C1?4?从而y?(4?C2x)e?x?将上式对x求导?得y??(C2?4?C2x)e?x?再把条件y?|x?0??2代入上式?得C2?2?于是所求特解为x?(4?2x)e?x?例3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?解所给方程的特征方程为r2?2r?5?0?特征方程的根为r1?1?2i?r2?1?2i?是一对共轭复根?因此所求通解为y?e x(C1cos2x?C2sin2x)?n阶常系数齐次线性微分方程?方程y(n) ?p1y(n?1)?p2 y(n?2) ?????p n?1y??p n y?0?称为n阶常系数齐次线性微分方程?其中p1?p2 ?????p n?1?p n都是常数?二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式?可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去?引入微分算子D?及微分算子的n次多项式?L(D)=D n?p1D n?1?p2 D n?2 ?????p n?1D?p n?则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n?p1D n?1?p2 D n?2 ?????p n?1D?p n)y?0或L(D)y?0?注? D叫做微分算子D0y?y? D y?y?? D2y?y??? D3y?y????????D n y?y(n)?分析?令y?e rx?则L(D)y?L(D)e rx?(r n?p1r n?1?p2 r n?2 ?????p n?1r?p n)e rx?L(r)e rx?因此如果r是多项式L(r)的根?则y?e rx是微分方程L(D)y?0的解?n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程?L(r)?r n?p1r n?1?p2 r n?2 ?????p n?1r?p n?0称为微分方程L(D)y?0的特征方程?特征方程的根与通解中项的对应?单实根r对应于一项?Ce rx?一对单复根r1?2???i?对应于两项?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?k重实根r对应于k项?e rx(C1?C2x?????C k x k?1)?一对k重复根r1?2???i?对应于2k项?e?x[(C1?C2x?????C k x k?1)cos?x?( D1?D2x?????D k x k?1)sin?x]?例4 求方程y (4)?2y ????5y ???0 的通解?解 这里的特征方程为r 4?2r 3?5r 2?0? 即r 2(r 2?2r ?5)?0?它的根是r 1?r 2?0和r 3? 4?1?2i ?因此所给微分方程的通解为y ?C 1?C 2x ?e x (C 3cos2x ?C 4sin2x )?例5 求方程y (4)?? 4y ?0的通解? 其中??0?解 这里的特征方程为r 4?? 4?0? 它的根为)1(22,1i r ±=β? )1(24,3i r ±-=β? 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-?二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程? 方程y ???py ??qy ?f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程? 其中p 、q 是常数?二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y ?Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y ?y *(x )之和?y ?Y (x )? y *(x )?当f (x )为两种特殊形式时? 方程的特解的求法?一、 f (x )?P m (x )e ?x 型当f (x )?P m (x )e ?x 时? 可以猜想? 方程的特解也应具有这种形式? 因此? 设特解形式为y *?Q (x )e ?x ? 将其代入方程? 得等式Q ??(x )?(2??p )Q ?(x )?(?2?p ??q )Q (x )?P m (x )?(1)如果?不是特征方程r 2?pr ?q ?0 的根? 则?2?p ??q ?0? 要使上式成立? Q (x )应设为m 次多项式?Q m (x )?b 0x m ?b 1x m ?1? ? ? ? ?b m ?1x ?b m ?通过比较等式两边同次项系数? 可确定b 0? b 1? ? ? ? ? b m ? 并得所求特解y *?Q m (x )e ?x ?(2)如果?是特征方程 r 2?pr ?q ?0 的单根? 则?2?p ??q ?0? 但2??p ?0? 要使等式Q ??(x )?(2??p )Q ?(x )?(?2?p ??q )Q (x )?P m (x )?成立? Q (x )应设为m ?1 次多项式?Q (x )?xQ m (x )?Q m (x )?b 0x m ?b 1x m ?1? ? ? ? ?b m ?1x ?b m ?通过比较等式两边同次项系数? 可确定b 0? b 1? ? ? ? ? b m ? 并得所求特解 y *?xQ m (x )e ?x ?(3)如果?是特征方程 r 2?pr ?q ?0的二重根? 则?2?p ??q ?0? 2??p ?0? 要使等式 Q ??(x )?(2??p )Q ?(x )?(?2?p ??q )Q (x )?P m (x )?成立? Q (x )应设为m ?2次多项式?Q (x )?x 2Q m (x )?Q m (x )?b 0x m ?b 1x m ?1? ? ? ? ?b m ?1x ?b m ?通过比较等式两边同次项系数? 可确定b 0? b 1? ? ? ? ? b m ? 并得所求特解 y *?x 2Q m (x )e ?x ?综上所述? 我们有如下结论? 如果f (x )?P m (x )e ?x ? 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ???py ??qy ?f (x )有形如y *?x k Q m (x )e ?x的特解? 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2?例1 求微分方程y ???2y ??3y ?3x ?1的一个特解?解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且函数f (x )是P m (x )e ?x 型(其中P m (x )?3x ?1? ??0)? 与所给方程对应的齐次方程为y ???2y ??3y ?0?它的特征方程为r 2?2r ?3?0?由于这里??0不是特征方程的根? 所以应设特解为y *?b 0x ?b 1?把它代入所给方程? 得?3b 0x ?2b 0?3b 1?3x ?1?比较两端x 同次幂的系数? 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b ? ?3b 0?3? ?2b 0?3b 1?1? 由此求得b 0??1? 311=b ? 于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y ?例2 求微分方程y ???5y ??6y ?xe 2x 的通解?解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且f (x )是P m (x )e ?x 型(其中P m (x )?x ? ??2)? 与所给方程对应的齐次方程为y ???5y ??6y ?0?它的特征方程为r 2?5r ?6?0?特征方程有两个实根r 1?2? r 2?3? 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y ?C 1e 2x ?C 2e 3x ?由于??2是特征方程的单根? 所以应设方程的特解为 y *?x (b 0x ?b 1)e 2x ?把它代入所给方程? 得?2b 0x ?2b 0?b 1?x ?比较两端x 同次幂的系数? 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ? ?2b 0?1? 2b 0?b 1?0? 由此求得210-=b ? b 1??1? 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=?从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=?提示?y *?x (b 0x ?b 1)e 2x ?(b 0x 2?b 1x )e 2x ?[(b 0x 2?b 1x )e 2x ]??[(2b 0x ?b 1)?(b 0x 2?b 1x )?2]e 2x ?[(b 0x 2?b 1x )e 2x ]???[2b 0?2(2b 0x ?b 1)?2?(b 0x 2?b 1x )?22]e 2x ?y *???5y *??6y *?[(b 0x 2?b 1x )e 2x ]???5[(b 0x 2?b 1x )e 2x ]??6[(b 0x 2?b 1x )e 2x ] ?[2b 0?2(2b 0x ?b 1)?2?(b 0x 2?b 1x )?22]e 2x ?5[(2b 0x ?b 1)?(b 0x 2?b 1x )?2]e 2x ?6(b 0x 2?b 1x )e 2x ?[2b 0?4(2b 0x ?b 1)?5(2b 0x ?b 1)]e 2x ?[?2b 0x ?2b 0?b 1]e 2x ?方程y ???py ??qy ?e ?x [P l (x )cos ?x ?P n (x )sin ?x ]的特解形式应用欧拉公式可得e ?x [P l (x )cos ?x ?P n (x )sin ?x ]x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=? 其中)(21)(i P P x P n l -=? )(21)(i P P x P n l +=? 而m ?max{l ? n }? 设方程y ???py ??qy ?P (x )e (??i ?)x 的特解为y 1*?x k Q m (x )e (??i ?)x ?则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解? 其中k 按??i ?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1? 于是方程y ???py ??qy ?e ?x [P l (x )cos ?x ?P n (x )sin ?x ]的特解为 ?x k e ?x [R (1)m (x )cos ?x ?R (2)m (x )sin ?x ]?综上所述? 我们有如下结论?如果f (x )?e ?x [P l (x )cos ?x ?P n (x )sin ?x ]? 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ???py ??qy ?f (x )的特解可设为y *?x k e ?x [R (1)m (x )cos ?x ?R (2)m (x )sin ?x ]?其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式? m ?max{l ? n }? 而k 按??i ? (或??i ?)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1?例3 求微分方程y ???y ?x cos2x 的一个特解?解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且f (x )属于e ?x [P l (x )cos ?x ?P n (x )sin ?x ]型(其中??0? ??2? P l (x )?x ? P n (x )?0）? 与所给方程对应的齐次方程为y ???y ?0?它的特征方程为r 2?1?0?由于这里??i ??2i 不是特征方程的根? 所以应设特解为 y *?(ax ?b )cos2x ?(cx ?d )sin2x ?把它代入所给方程? 得(?3ax ?3b ?4c )cos2x ?(3cx ?3d ?4a )sin2x ?x cos2x ? 比较两端同类项的系数? 得 31-=a ? b ?0? c ?0? 94=d ? 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=?提示?y *?(ax ?b )cos2x ?(cx ?d )sin2x ?y *??a cos2x ?2(ax ?b )sin2x ?c sin2x ?2(cx ?d )cos2x ??(2cx ?a ?2d )cos2x ?(?2ax ?2b ?c )sin2x ?y *???2c cos2x ?2(2cx ?a ?2d )sin2x ?2a sin2x ?2(?2ax ?2b ?c )cos2x ?(?4ax ?4b ?4c )cos2x ?(?4cx ?4a ?4d )sin2x ?y *??? y *?(?3ax ?3b ?4c )cos2x ?(?3cx ?4a ?3d )sin2x ?由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a ? 得31-=a ? b ?0? c ?0? 94=d ?。
特征方程求微分方程通解
特征方程求微分方程通解1. 引言微分方程是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在求解微分方程时，特征方程是一种常用的方法。
本文将介绍特征方程的概念及其在求解微分方程通解中的应用。
2. 特征方程的定义特征方程是指与给定微分方程相关联的代数方程。
通常情况下，我们可以通过特征方程来求解线性齐次微分方程的通解。
特征方程中的根对应于微分方程解的形式。
对于一个n阶线性齐次微分方程：a n y(n)+a n−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=0其中y(n)表示y关于自变量x的n阶导数，a i(i=0,1,…,n)为常数系数。
我们可以假设该微分方程的通解具有形式：y=e rx其中r为未知常数。
将这个形式代入原始微分方程中，得到：a n e rx r n+a n−1e rx r n−1+⋯+a1e rx r+a0e rx=0简化后可得：a n r n+a n−1r n−1+⋯+a1r+a0=0这个方程就是特征方程。
3. 求解特征方程为了求解特征方程，我们需要找到特征方程的根。
根的个数与微分方程的阶数相等，可以是实数或复数。
3.1 一阶微分方程对于一阶微分方程：a1y′+a0y=0特征方程为：a1r+a0=0解这个一元一次方程可以得到r的值，进而得到微分方程的通解。
3.2 高阶微分方程对于高阶微分方程，我们可以使用代数方法或图像法来求解特征方程。
3.2.1 代数方法代数方法是通过因式分解或配方法来求解特征方程。
首先将特征多项式进行因式分解，然后令每个因子等于零，最终得到所有根的值。
例如，对于一个二阶齐次线性微分方程：a2y″+a1y′+a0y=0特征方程为：a2r2+a1r+a0=0我们可以通过求解二次方程来得到r的值。
3.2.2 图像法图像法是通过绘制特征方程的图像来确定根的位置。
根的个数等于特征方程图像与x轴交点的个数。
例如，对于一个二阶齐次线性微分方程，特征方程为：a2r2+a1r+a0=0我们可以将这个二次方程转化为一条曲线，并观察曲线与x轴的交点个数来确定根的个数。
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特征根法求解二阶常系数线性微分方程
关于二阶常系数线性微分方程的解法：
1．线性齐次方程0=+'+''cy y b y a 的通解
解法 先解特征方程02=++c br ar 的根．设特征根为a
ac b b r 2422
,1-±-=，分以下三种情况： （1） 当042>-ac b 时，特征方程有两个相异的实根()
ac b b a r 42122,1-±-=
，则方程的通解为 x r x r C C y 21e e 21+=．
（2）当042=-ac b 时，特征方程有重根a
b r 2-=，则方程的通解为 ()x r x C C y e 21+=．
（3）当042
<-ac b 时，特征方程有一对共轭的复根 a b ac a b r 2i 42i 22,1⋅-±-
=±=βα， 则方程的通解为 ()x C x C y x ββαsin cos e 21+=．
定理 若21,y y 为齐次方程0=+'+''cy y b y a 的两个解，则
2211y C y C y +=
亦是齐次方程的解，其中21,C C 是任意常数．又若21,y y 为线性无关时，则2211y C y C y +=是齐次方程的通解．
2．线性非齐次方程)(x f cy y b y a =+'+''的通解
定理 设*
y 是非齐次线性方程的一个特解，而y 是相应的线性齐次方程的通解，则其和 *y y y +=
为线性非齐次方程的通解．
具体解法：
（1）先求)(x f cy y b y a =+'+''的特解*
y
（2）再求对应线性齐次方程的通解y ，根据定理相加即可*y y y +=
例题1用特征根法求微分方程044=+'+''y y y 的通解 解：特征方程为r 2+4r+4=0
所以，（r+2）2=0
得重根r 1=r 2=-2，所以，方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x
例题2用特征根法求微分方程y``+3y`+2y=0的一般解 解：特征方程的解r 1=-1，r 2=-2一般解
x x e C e C y --+=221
例题3 用特征根法求微分方程02520422=+-x dt dx dt
x d ;的一般解 解 微分方程的特征方程为
4r 2-20r +25=0, 即(2x -5)2=0, 其根为2
521==r r , 故微分方程的通解为 t t xe C e C x 252251+=, 即t e t C C x 2521)(+=
例题4求下列微分方程满足所给初始条件的特解y ''-3y '-4y =0, y |x =0=0, y '|x =0=-5; 解：微分方程的特征方程为
r 2-3r -4=0, 即(r -4)(r +1)=0,
其根为r 1=-1, r 2=4, 故微分方程的通解为
y =C 1e -x +C 2e 4x .
由y |x =0=0, y '|x =0=-5, 得
⎩⎨⎧-=+-=+54021
21C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此所求特解为
y =e -x -e 4x .
例题5求微分方程的通解2y ''+y '-y =2e x
解 微分方程的特征方程为
2r 2+r -1=0, 其根为211=
r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211.
因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y *=Ae x ,
代入原方程得
2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,
解得A =1, 从而y *=e x .
因此, 原方程的通解为
x x x e e C e C y ++=-2211
历年考题：
07-08下求微分方程y ''+4y '-5y =0的一般解
解：微分方程的特征方程为
r 2+4r -5=0,
其根为r 1=1, r 2=-5, 故微分方程的通解为
y =C 1e x +C 2e
-5x
09-10下用特征根法求微分方程y ''-4y '+5y =0的一般解 解：微分方程的特征方程为
r 2-4r +5=0,
其根为r 1=2-i , r 2=2+i , 故微分方程的通解为 y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ).
10-11下求微分方程的通解y ''-2y '+y =cosx+e x
微分方程的特征方程为
r 2-2r +1=0,
其根为11r =, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为
12x x Y C e C xe =+. 设y ''-2y '+y =e x 的特解为y *1=Ax 2e x ,
代入原方程解得A =1/2, 从而y *1=1/2x 2e x .
设y ''-2y '+y = cosx 的特解为y *2=Bcosx+Csinx , 代入原方程得解出B=0，C=-1/2
从而y *2=-1/2sinx
因此, 原方程的通解为21211+
sin 22x x x Y C e C xe x e x =+-。