1-4 动量方程与气体状态方程
气体状态方程的推导与应用
气体状态方程的推导与应用气体状态方程是描述气体在不同条件下的状态的数学表达式。
它是理解气体行为和性质的基础，在物理、化学以及工程领域有着广泛的应用。
本文将对气体状态方程的推导和应用进行探讨。
一、气体状态方程的推导气体状态方程是通过实验观测和理论推导建立起来的。
它主要有三个常见形式：理想气体状态方程、范德瓦尔斯状态方程和实际气体状态方程。
1. 理想气体状态方程理想气体状态方程是描述理想气体行为的基本方程。
理想气体指的是分子间相互作用力可以忽略不计的气体。
根据气体动力学理论，其推导可由以下步骤得到：首先，假设气体分子为点状，分子间碰撞是完全弹性的。
其次，根据动量守恒定律和实验观测，推导出理想气体的压强与温度、体积之间的关系。
最终得到理想气体状态方程为：PV = nRT。
其中，P为气体的压强，V为气体的体积，n为气体的摩尔数，R为气体常数，T为气体的温度。
2. 范德瓦尔斯状态方程理想气体状态方程假设了气体分子间相互作用力可以忽略不计，但在某些情况下，气体分子之间存在相互吸引或斥力，这时需要使用范德瓦尔斯状态方程。
范德瓦尔斯状态方程是对理想气体状态方程的修正。
它考虑了气体分子之间的相互作用力，通过引入修正因子a和b得到。
范德瓦尔斯状态方程为：（P + a/V^2）(V - b) = nRT。
其中，a和b是由实验数据拟合得到的常数。
3. 实际气体状态方程实际气体状态方程是对实际气体行为进行描述的方程。
实际气体指的是存在分子间相互作用力的气体。
由于实际气体的分子间相互作用复杂，无法通过简单的理论推导得到精确的状态方程。
常用的实际气体状态方程有范德瓦尔斯状态方程、特征方程等。
这些方程都是通过实验数据和统计方法获得的近似表达式，可以较好地描述实际气体的状态行为。
二、气体状态方程的应用气体状态方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
以下列举其中的一些应用：1. 研究气体性质：通过气体状态方程可以计算气体的物理性质，如压强、体积、温度等。
用动量定理推导气体压强公式和理想气体状态方程
气体动量定理：在一定时间内，容器内气体分子对器壁单位面积的平均冲力矢量的冲量等于单 位时间内打到器壁单位面积上的气体分子的动量的变化量。
理想气体状态方程：一定质量的气体，在温度不变的情况下，它的压强跟体积成反比。
推导过程：根据气体动量定理和理想气体状态方程，通过数学推导得到气体压强公式。
动量定理的表述：动量的改变量等于作用力的冲量。
动量定理的数学表达式：mΔv=FΔt
动量定理的应用：在物理学中，动量定理广泛应用于碰撞、爆炸、衰变等过程中动量的变化问 题。
动量定理的推导过程
定义：动量定理描述了力的作用时间对物体动量的影响 推导过程：通过牛顿第二定律和冲量的定义，推导出动量定理的公式 应用范围：适用于任何惯性参考系中的质点或质点系 注意事项：在推导过程中，需要注意力的作用时间对动量的影响
理想气体状态方 程的推导基于气 体动理论和热力 学的基本原理。
理想气体状态方 程表述为：
PV=nRT，其中 P表示压强，V 表示体积，n表 示摩尔数，R表 示气体常数，T
表示温度。
该方程描述了气 体在平衡态下的 压强、体积、温 度和摩尔数之间
的关系。
理想气体状态方 程是气体动理论 和热力学的重要 基础，对于理解 气体性质和行为 具有重要意义。
动量定理的应用
推导气体压强公 式
理想气体状态方 程的推导
碰撞问题中的动 量定理
弹性碰撞和非弹 性碰撞的区别
气体压强公式的推 导
气体压强的定义
气体压强是气体对容器壁产生的压力
气体压强的大小与气体分子的平均动能和分子的密集程度有关
气体压强公式推导基于动量定理和牛顿第三定律
气体方程与状态方程：气体状态方程与理想气体行为的关系
气体方程与状态方程：气体状态方程与理想气体行为的关系气体方程是描述气体性质的数学方程，而状态方程是用来描述气体在不同压力、温度和体积下的物理状态的方程。
气体状态方程描述的是气体在一定条件下的状态，其中最常用的方程是理想气体状态方程。
理想气体状态方程是描述理想气体性质的方程，也叫做理想气体定律。
它是理想气体行为的一个近似模型，假设气体分子之间不存在吸引力和排斥力，分子之间的碰撞完全弹性，从而使得气体分子运动服从一些简单的物理规律。
理想气体状态方程可以用来描述气体在不同条件下的状态变化，以及计算气体的压强、体积和温度等物理量的关系。
理想气体状态方程的数学形式为 PV = nRT，其中 P 代表气体的压强，V 代表气体的体积，n 为气体的物质量（一般用摩尔表示），R 为气体常数，T 代表气体的绝对温度。
根据这个方程，我们可以推导出其他一些气体性质的关系。
理想气体状态方程的推导基于以下几个假设：气体是由大量非常小的分子组成的，分子之间不断自由运动，彼此之间会发生碰撞；气体分子之间不存在吸引力和排斥力，碰撞是完全弹性的；气体分子的体积可以忽略不计，分子间距较大，相对于有效体积可以忽略不计。
根据这些假设，我们可以推导出理想气体状态方程。
首先考虑一个气体分子，它的动量可以用动能定理表示为FΔt = Δp，其中 F 为分子受到的作用力，Δt 为时间间隔，Δp 为动量的变化量。
由于气体分子之间的碰撞完全弹性，它们在碰撞过程中动量守恒。
考虑一个气体容器，里面有 N 个气体分子，由这些分子所受到的所有碰撞力的总和可以表示为F_total = N Δp / Δt。
这样，我们可以得到理想气体的状态方程为 F_total/A = P =NΔp / ΔtA，其中 A 为气体容器的面积。
根据动能定理，我们有Δp = 2mv，其中 m 为气体分子的质量，v 为分子的速度。
代入这个表达式，我们有P = 2 mv N / ΔtA。
考虑到 N = nNA，其中 n 为气体的物质量（摩尔数），NA 为阿伏伽德罗常数，我们可以得到 P = 2 nmNANA / ΔtA。
气体动理论公式总结
气体动理论公式总结气体动理论是研究气体分子在微观层面上的运动规律的一门学科。
它主要研究气体分子的速度、能量、碰撞等方面的性质。
气体动理论公式是描述气体分子运动规律的数学表达式，可以用来计算气体分子的平均速度、平均能量等参数。
下面将总结一些常见的气体动理论公式。
1. 理想气体状态方程理想气体状态方程描述了理想气体在一定温度、压力和体积下的状态关系。
它的数学表达式为：PV = nRT其中，P为气体的压力，V为气体的体积，n为气体的摩尔数，R为气体常数，T为气体的温度。
2. 平均动能公式平均动能公式描述了气体分子的平均动能与温度之间的关系。
它的数学表达式为：K = (3/2)kT其中，K为气体分子的平均动能，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
3. 动量-速度关系动量-速度关系描述了气体分子的动量与速度之间的关系。
它的数学表达式为：p = mv其中，p为气体分子的动量，m为气体分子的质量，v为气体分子的速度。
4. 均方根速度公式均方根速度公式描述了气体分子的速度分布规律。
它的数学表达式为：v = √(3kT/m)其中，v为气体分子的均方根速度，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度，m为气体分子的质量。
5. 平均自由程公式平均自由程公式描述了气体分子在运动过程中与其他分子或壁面碰撞的平均距离。
它的数学表达式为：λ = (1/√2πd^2n)其中，λ为气体分子的平均自由程，d为气体分子的直径，n 为气体分子的密度。
6. 分子碰撞频率公式分子碰撞频率公式描述了气体分子碰撞的频率与气体分子数密度之间的关系。
它的数学表达式为：Z = 4πn(d^2)v其中，Z为气体分子的碰撞频率，n为气体分子的数密度，d 为气体分子的直径，v为气体分子的速度。
以上是一些常见的气体动理论公式总结，它们可以用来描述气体分子的运动规律和性质。
利用这些公式，我们可以进行气体的热力学计算和分析，深入理解气体的特性和行为。
同时，这些公式也为相关实验提供了理论基础，促进了气体动理论的发展。
理想气体与气体状态方程的推导
理想气体与气体状态方程的推导理想气体指的是在常温常压下服从理想气体状态方程的气体。
理想气体状态方程描述了理想气体的物理性质与状态，它是气体物理学中的基本方程之一。
1. 理想气体的假设理想气体的状态方程的推导基于以下假设：（1）气体分子之间相互作用力可以忽略不计；（2）气体分子的体积可以忽略不计。
2. 推导过程假设一个理想气体的体积为 V，温度为 T，压强为 P，气体的物质量为 m，分子数为 N。
根据状态方程推导的基本原理，可以得到以下推导过程：步骤一：分子动理论根据分子动理论，气体分子的平均动能与温度成正比，即：1/2 m v^2 = k_B T其中，m 为气体分子的质量，v 为分子的速率，k_B 为玻尔兹曼常数。
步骤二：气体分子的动量公式根据气体分子动量的定义，可以得到：p = m v其中，p 为气体分子的动量。
步骤三：气体分子的动能公式将步骤一和步骤二的结果结合，可以得到气体分子的动能公式：1/2 p^2/m = k_B T步骤四：单位体积的分子数假设单位体积内的分子数为 n，总分子数 N 可以表示为：N = n V步骤五：单位体积的分子动能将步骤三的结果乘以单位体积内的分子数 n，可以得到单位体积的分子动能：1/2 n p^2/m = n k_B T步骤六：单位体积的动能密度单位体积的动能密度可以表示为单位体积的分子动能除以单位体积：E = 1/2 n p^2/m V = n k_B T步骤七：单位体积的动能密度与内能的关系内能 U 是单位体积的动能密度乘以体积 V：U = n k_B T V步骤八：理想气体状态方程的推导根据理想气体状态方程的定义，内能与温度成正比，压强与温度成正比，体积与温度成反比，可以得到：U ∝ TP ∝ TV ∝ 1/T将步骤七的结果代入上述关系式，可以得到理想气体状态方程：P V = n k_B T3. 总结理想气体与气体状态方程的推导基于理想气体的假设，通过分子动理论和动量公式的推导，最终得到了理想气体状态方程 P V = n k_B T。
气体的状态方程
当过程进行到一定程度时，右 行和左行的水分子数目相等。
于是水柱不再降低，同时蔗糖
溶液柱亦不再升高，达到平衡。
这时液面高度差造成的静压，
称为溶液的渗透压，用 表示，
单位为 Pa 。
1. 7. 3 渗透压公式 具有渗透压，是溶液的依数性质。 它产生的根本原因也是相界面上
可发生转移的分子个数不同引起的。
若压力 p 的单位为 Pa， 体积 V 的单位为 m3，
温度 T 的单位为 K， 物质的量 n 的单位为 mol， 则 R = 8.314 J· mol－1· K－1
pV 从式 R 和 nT R = 8.314 J· mol－1· K－1，
看出 pV 乘积的物理学单位为 焦耳 J。 p
V
Pa
N· m－2
Ar 比 NH3 更接近理想气体，数据为 a ⁄ (m6· Pa · mol－2) b ⁄ (m3· mol－1)
Ar
NH3
1.36 10－1
4.23 10－1
3.20 10－5
3.71 10－5
当 n = 1 时，范德华方程
n 2 [ p实 a ( ) ][V实 nb] nRT V
理想气体状态方程式 pV = nRT
p p实
得
n 2 a (V )
（1） （2）
V = V实 － nb
n 2 [ p实 + a ( ) ][V实－nb] = nRT V
n 2 [ p实 a ( ) ][V实 nb] nRT V
这个方程式是荷兰科学家 Van der Waals（范德华）提 出的，称为范德华方程。
子透过，而不允许溶质蔗糖分子透过。 这种溶剂透过半透膜，进入溶液的 现象，称为渗透现象。 分析产生渗透现象的原因：
气体的特征参数
第1章气体特征参数的確立及过程方程式的建立1.1概述由于SF6是一种强温室效应气体，其在低温下有个液化问题，纯SF6气体不适于极端低温地区使用。
目前人们一方面采用N2和CF4等与SF6混合后的气体，另一方面使用纯CO2气体替代，以解决上述问题。
为了上述目标，我们有必要对这些气体进行分、合闸特性的计算。
由于有关书藉中提供的参数不全，给我们的编制和计算带来了极大的困难。
为解决此问题，我们有必要从热力学和气体动力学中了解一些公式的推导过程，从而使我们可以在了解部分参数的情况下，将其它参数推导出来。
另外，我们为了分析这些气体的熄弧性能，有必要了解其气体流速、比热容、离解能、离解高峰、电解能、电子亲和能和电负性等参数。
1.2 气体的特征参数1.2.1 气体的密度气体的密度与其分子量有关，而其分子量又决定于其原子量。
现将部分原子量和分子量的有关数据列于表1.1和表1.2：摩尔定律認为：理想气体的质量以克表示等于分子量时，在一个大气压下，其占有的体积为22.4升。
由此可计算出其密度。
其仅适用于理想气体，对于分子量较大的SF6和CF4就会产生一些误差。
现将N2和空气的密度计算出来，并与SF6、CO2和CF4一起列于下表：1.2.3.气体状态方程式可用克拉伯龙方程式表示气体状态：PV=nR1T （1.1）n=m/M其中P：压强，V：气体体积；n：物质的量；T：绝对温度；m：物质的质量；M：物质的摩尔质量，数值上等于物质的分子量；R1：摩尔气体常数，所有气体R1值均相同。
克拉伯龙方程式也可写成以下形式：P/ρ=RT （1.2）其中：ρ=m/V；压强，R=R1/M目前一般使用的气体常数，此常数仅对某一气体而言。
在标准状态下，1摩尔理想气体达到体积为22.4L，把P=101325Pa；T=273.16K；n=1mol；V=22.4L代入可得：R1=8314Pa·L/(mol·K) （1.3）根据R=R1/M，我们可以求出不同气体的气体常数R（又称玻尔兹曼常数）。
1空气动力学基础重点梳理
《空气动力学基础》重点梳理（2013年6月 陈辰编）第一章 引述一、空气动力学基本变量1．压强——作用在单位面积上的正压力dAdFp dA 0lim→=（0dA dA →）其中：L dA l <<<0，l 为分子间距，L 为特征长度（如弦长、展长、直径等）压强具有点的属性：无粘流体，流体内部任意一点的压强均是各向同性的，即压强值与受压面的方位无关。
2．密度——单位体积内的质量dvdmdv 0lim→=ρ（dv 不能趋向于0）密度具有点的属性。
3．温度kT KE 23=温度具有点的属性。
4．流动速度 5．切应力6．完全气体状态方程 （1）所用假设①它的分子是一种完全弹性的微小球粒； ②分子除彼此碰撞瞬间外没有作用力；③分子的体积可以忽略不计（微粒的实有总体积和气体所占空间相比可忽略不计）。
（2）完全气体状态方程R 为通用气体常数，其数值为)/(831522K s m ⋅；m 为所研究气体的相对分子质量；T 为绝对温度(K)。
如将m R /改为R R 为气体常数。
7．单位二、空气动力及力矩 1．空气动力的来源（1）物体表面的压力分布；（2）物体表面的剪应力（摩擦应力）分布。
压力垂直作用在物体表面，剪应力相切作用在物体表面且与运动方向相反。
2．R 的分解（1）投影到风轴系L ：升力（垂直于∞V ）；D ：阻力（平行于∞V ） （2）投影到体轴系N ：轴向力（垂直于弦长c ）；A ：法向力（平行于弦长c ） （3）风轴系与体轴系之间关系⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos A N D A N L （迎角α——弦长c 与来流速度∞V 之间的夹角） 3．空气动力与力矩表达式 （1）单位展长的法向力与轴向力：()()⎰⎰-++-='TELE l l l TE LEu u u ds p ds p N θτθθτθsin cos sin cos()()⎰⎰+++-='TELE l l l TELEu u u ds p ds p A θτθθτθcos sin cos sin （2）单位展长的前缘力矩：()()[]⎰--+='TELEu u u u u LEds y p x p M θτθθτθsin cos sin cos ()()[]⎰+-+-+TELEl l l l l ds y p x p θτθθτθcos sin sin cos4．力与力矩的无量纲系数 （1）动压的定义221∞∞∞=V q ρ，∞∞V ,ρ为物体远前方的密度和速度。
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气体状态方程
理想气体：没有粘性的气体。 p：气体绝对压力，Pa； 理想气体状态方程：
pv = RT
p
pV = 常数 T
V V：气体体积，m3； m T：气体的热力学温度，K； v：气体体积，m3/kg； ρ：气体密度，kg/m3； R：气体常数，J/(kgK)。 干空气Rg=287.1J/(kgK)； 水蒸气Rs=462.05J/(kgK)。
随温度升高，热能增加。
Q p = c p (T2 T1 )
cp：质量定压热容；
空气cp=1005J/(kg.K)
气体状态变化过程—等温状态
等温过程（波意耳定律）：在温度保持不 变的条件下，一定质量气体所进行的状态 变化过程。
pv = 常数， p1v1 = p2 v2
压力降低，体积膨胀，对外做功。
v1 p1 WT = RT ln = p1v1 ln v2 p2
等温过程，热能不变。
气体状态变化过程—绝热状态
绝热过程：在气体与外界无热量交换的条件 下，一定质量气体所进行的状态变化过程。
pv = 常数， p1v1 = p2 v 2
k k
k
k 1
气体消耗自身热能对外做功。 压力、温度、体积均为变量。 单位质量体积膨胀对外做功：
R (T2 T1 ) Wf = n 1
n=0：等压状态过程； n=1：等温状态过程； n=∞：等容状态过程； n=k：绝热状态过程
例1
把绝对压力0.1MPa，温度为20℃的某 容积V的干空气压缩至V/10，试分别 按等温、绝热过程计算压缩后的压力 和温度。
例2
由空气压缩机向气罐充气，使罐内绝对 压力由0.1MPa升至0.265MPa，罐内温度 由室温15℃升至t2。充气结束后，罐内温 度逐渐降到室温，空气压力变为p’2。 求t2和p’2。
动量方程
1. 动量方程的推导过程
d (mv ) ∑ F = dt
1）控制体积 2）控制表面
M = ∫ dM = ∫ ρ (s2 s1 )dq
q
dM ∑ F = dt
紊流： β 层流： β
β ：动量修正系数
= 1 > 1
dq ∑ F = ρ (s2 s1 ) dt + ρqβ 2v2 ρqβ1v1
ρ
= RT
气体状态方程适用条件
绝对压力<20MPa； 温度>253K。
气体状态变化过程—等容状态
等容过程（查理定律）： p p1 p2 在体积保持不变的条件下， = 常数， = T1 T2 一定质量气体所进行的状 T 态变化过程。 等容过程气体对外不做功。 随温度升高，压力能和热能增加。
cv：质量定容热容；
空气cv=718J/(kg.K)
Ev = cv (T2 T1 )
气体状态变化过程—等压状态
等压过程（盖-吕萨克定律）： 在压力保持不变的条件下， v = 常数， v1 = v2 一定质量气体所进行的状 T T1 T2 态变化过程。 随温度升高，体积膨胀，对外做功。
W p = R(T2 T1 )
∑ F = ρqβ v
2 2
ρqβ1v1
瞬态力：液体流量变化所引起的力 稳态力：流出控制表面和流出控制表 面时的动量变化率
F = ρqv2 ρqv1
2.动量方程的应用
例1 计算液体对弯管的作用力 解：1）取断面1－1和2－2间的液体为控制体积。 2）各控制表面上的总压力为：
F1 = p1 A , F2 = p2 A
k p1 p2 Lk = k 1 ρ1 p1
k 1 k
2 1
2 2
2 2 + v2 v1 1 2
T2 v1 = T1 v2
R (T2 T1 ) Wf = k 1
k=
cp cv
T2 p2 = p T1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k 1 k
气体状态变化过程—多变状态
多变过程：在没有任何约束条件下，一定质 量气体所进行的状态变化过程。
pv = 常数， p1v1 = p2 v 2
n n
n
单位质量体积膨胀对外做功：
可压缩气体的流量方程
ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v2
A：通流截面积 v：平均流速
可压缩气体的能量方程
前提：不计能量损失和位能变化。
k p1 v k p2 v + = + k 1 ρ1 2 k 1 ρ 2 2
k：等熵指数 v：平均流速
2 1
2 2
对气体做功时的能量方程
在绝热过程下
k p1 v k p2 v + + Lk = + k 1 ρ1 2 k 1 ρ2 2
3）水平方向的动量方程
F1 Fx F2 cosα = ρqv cosα ρqv
4）垂直方向的动量方程
F2 sinα + Fy = ρqvsinα 0
液体对弯管的作用力
例2 一针状锥阀，锥阀的锥角为2φ，入口处的流 速为v1，压力为p1，锥阀出口处的流速为v2，压力 为大气压（p2=0），求外流式和内流式两种情况下 的液流对锥阀芯的稳态液动力。