研究生课内实验-高级运筹学-第二次
研究生2002-2003(2)课程表 - 北京林业大学
2008—2009（2）研究生课程表1、此课程表为经过核对调整后最终排定的课表，是进行教学检查的依据，原则上不再允许调课。
个别确需调整的请提前填写“北京林业大学研究生课程调课申请表”（可在“研究生院主页—下载中心—培养表格资料”处下载），提前一周办理调课手续。
并请同学们随时关注“研究生院主页—教学通知”专栏下的相关通知。
2、如果遇到节假日，课程调整按照学校党政办公室和教务处的通知执行，所耽搁的其他课程采取补课的形式（不能顺延）；如有特殊要求可关注“研究生院主页—教学通知”专栏下的通知。
3、涉及实验的课程，其实验部分由任课教师在上课时根据选课情况和具体实验条件等进行安排。
4、需要在计算机中心进行上机实验的课程，请任课教师提前与计算机中心取得联系，做好安排；否则，计算机中心不给安排上机实验。
并请同学们在实验前在计算机中心办好上机卡；否则，计算机中心不接纳上机，也无法完成实验部分课程，无法上机实验的同学也请不要选择相关课程。
5、以下部分课程的具体安排如下，请随时关注网上通知，可以与任课教室或开课学院联系。
（1）经济管理学院（62337226）《林业经济理论与政策专题》：刘俊昌，请国外专家协助讲此课，集中在第7至9周；《国外林业经济学专题》：温亚利，外请专家集中上课；《环境经济学》：高岚，请国外专家协助讲此课，集中授课；《国际运输与物流》：侯方淼，2月中旬至3月中旬集中授课。
（2）生物学院（62336013）《森林生物识别与鉴赏》：张志翔、李凯，2009.6.22~25（第19周）周一、二、四，生物楼315，实习时间为2009.7.1~8日，地点在杨家坪林场；《植物显微技术》：李凤兰，第13周周一至周五全天，生物楼216、211；《植物生理大实验》：郑彩霞等，第2~3周，周一至周日全天集中开课，林业楼201、204、218、220。
（3）园林学院（62338079）《野生园林植物资源调查采集》：潘会堂，暑假开始后两周内完成（5天），实习地点：百花山，此课仅限园林学院各学科的研究生选修。
高级运筹学题集及答案
1. 假设有一百万元可以投资到三支股票上，设随机变量iR 表示投资到股票i 上的一元钱每年能够带来的收益。
通过对历史数据分析，知期望收益1()0.09E R =，2()0.07E R =，3()0.06E R =，三支股票的协方差矩阵为0.200.030.040.030.200.050.040.050.15⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
假设使用股票涨跌稳定性来评测风险，试构建优化模型，在保证期望年收益率不低于0.075的情况下，风险最小，同时表示为非线性优化的向量形式。
解：设123(,,)T X x x x =，其中123,,x x x 分别表示投资组合中123,,R R R 的所占的比例，有1231x x x ++= ……①保证期望收益率不低于0.075：112233()()()0.075x E R x E R x E R ++≥ ……②建立如下优化模型：222123121323min ()0.200.200.150.060.080.10f X x x x x x x x x x =+++++ ..s t 1231x x x ++=1230.090.070.060.075x x x ++≥123,,0x x x ≥记：0.200.030.040.030.200.050.040.050.15A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦表示成向量形式：min ()T f X X AX =..s t 1111T X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0.090.070.0750.06T X ⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭123,,0x x x ≥2. 用伪算法语言描述“成功-失败”搜索方法。
解：1s ：初始化：0x , h,ε>02s ：x=0x ；1f =f(x) 3s ：2f =f(x+h)4s ： if 2f <1f go to 5s ;elsego to 6s ; end5s : x=x+h;2f =1f ;h=2h6s : if ||h ε<go to 7s ; else go to 8s ; end7s : x x *=8s : 4h h =-; go to 3s . □3. 请简述黄金分割法的基本思想，并尝试导出区间收缩比率φ≈0.618.基本思想：黄金分割法就是用不变的区间缩短率ϕ，来代替Fibonacci 法每次不同的缩短率，因而可以看成是Fibonacci 法的近似。
运筹学-大M法或两阶段法的上机实验
. 1实验报告实验课程名称运筹学实验工程名称大M法或两阶段法的上机实验年级专业学生学号00 学院实验时间：年月日实验容〔包括实验具体容、算法分析、源代码等等〕：1.书上P97页第6题：用大M 法和两阶段法求解以下线性规划问题。
ma* z=5；3213x x x ++ 约束条件：102x 4x x 321≥++，16.x 2x -x 321≤+A ：大M 法图1.1图1.2δ，得出目标函数的最优解*1=16，*2=0，由上面的结果可知，满足所求出的0≤j*3=0，s*4=16，R*5=0，s*=0，最优值是80。
当把M的值改为100000后，值还是一样的，这样就可以得出当M为100时，已经得出有效解。
B：两阶段法图1.3由图1.3可知，先进展线性规划的第一阶段，满足0≤j δ，且z 值为零，即说明存在一个可行解使得所有的人工变量都为零，此时*2=2.5，s*6=21，其余为0得出z=0。
接下来进展第二阶段，令z=5*1+*2+3*3-0s*4+0R*5+0s*6，和大M 的分析方法一样，最终将得到满足0≤j δ时到达最优解：当*1=16，*2=0，*3=0，s*4=6，R*5=0，s*6=0，最优值为80。
2.书上P97页第7题〔4〕大M 法和两阶段法求解以下线性规划问题 。
ma* z=；321x x 2x ++ 约束条件：，42x 2x 4x 321≥++，204x 2x 21≤+，162x 8x 4x 321≤++ A ：大M 法图2.1图2.2由上面的图 2.1可知，首先先输入数据即线性规划的系数如图 2.1所示令ma* z=321x x 2x ++-0s*4+0s*6+0s*7-MR*5；进展下一次迭代，以同样的方法一直下去，直到所求出的为止0≤j δ，就可以得出目标函数的最优解：*1=4，s*4=12，s*6=12，其余为0时，最优值为8。
当把M 的值改为100000后，值还是一样的，这样就可以得出当M 为100时，已经得出有效解。
清华大学_运筹学_教案
一、课程概述课程名称：运筹学授课对象：清华大学经管学院管理科学与工程专业研究生授课时长：共16周，每周2学时教学目标：1. 理解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 掌握线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学的基本模型和求解方法。
3. 培养学生运用运筹学解决实际问题的能力。
4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和创新能力。
二、教学内容与安排第1-2周：运筹学的基本概念与数学基础1. 运筹学的基本概念、发展历程及应用领域。
2. 数学基础：线性代数、概率论与数理统计。
第3-4周：线性规划1. 线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 线性规划的求解方法：单纯形法、对偶理论。
3. 线性规划的应用实例。
第5-6周：整数规划1. 整数规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 整数规划的求解方法：分支定界法、割平面法。
3. 整数规划的应用实例。
第7-8周：非线性规划1. 非线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 非线性规划的求解方法：梯度法、牛顿法、共轭梯度法。
3. 非线性规划的应用实例。
第9-10周：网络优化1. 网络优化的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 网络优化的求解方法：最短路径法、最小生成树法、最大流问题。
3. 网络优化的应用实例。
第11-12周：动态规划1. 动态规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 动态规划的求解方法：动态规划表、状态转移方程。
3. 动态规划的应用实例。
第13-14周：排队论1. 排队论的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 排队论的求解方法：泊松过程、排队系统分析。
3. 排队论的应用实例。
第15-16周：案例分析1. 结合实际案例，分析运筹学在各个领域的应用。
2. 学生分组讨论，撰写案例分析报告。
三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生理解运筹学的应用。
3. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力。
研究生数学教案：运筹学中的随机模型与优化算法
研究生数学教案：运筹学中的随机模型与优化算法1. 引言1.1 概述本文旨在探讨研究生数学教案中的运筹学内容，重点介绍随机模型与优化算法的应用。
运筹学作为一门基于数学方法和模型构建解决实际问题的学科，具有广泛的应用领域和重要性。
在现代社会中，随机性因素经常出现，并对决策和规划产生重要影响。
同时，为了提高决策的质量并优化实际问题的解决方案，各种优化算法也得到了广泛研究和应用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、运筹学与数学教案、随机模型与应用、优化算法及其应用以及结论与展望。
在引言部分，我们将简要介绍本文的概述、文章结构以及目的。
1.3 目的本文旨在通过对研究生数学教案中运筹学相关内容的深入探讨，全面了解随机模型与优化算法在运筹学中的重要性及其具体应用。
通过详细介绍相关概念和原理，并借助实际案例分析和讨论，旨在帮助研究生更好地理解和应用这些数学方法，提高他们在运筹学领域的能力和素质。
通过系统的知识框架，本文还将对优化算法在随机模型中的应用研究进展以及现有成果进行总结，并探讨未来可能的研究方向。
希望本文能够为相关领域的研究工作者提供一定的参考和启示，进一步推动运筹学在实际问题中的应用以及优化算法的发展。
2. 运筹学与数学教案2.1 运筹学概述运筹学是一门综合应用数学和计算机科学的学科领域，旨在研究在各种实际问题中如何做出最佳决策。
它结合了数学模型、统计分析和优化方法等理论工具，以解决管理、工程、制造等领域中的实际问题。
2.2 数学教案介绍数学教案是指为教师准备和组织课堂教学所使用的材料和参考资料。
在研究生数学教育中，编写适合培养研究生创新思维和解决实际问题能力的数学教案尤为重要。
这些教案不仅可以引导研究生深入理解运筹学的基本概念和方法，还可以提供实际案例和应用场景，促进他们将所学内容与实际情境相结合。
2.3 研究生运筹学课程重要性研究生运筹学课程对于培养研究生的分析思考能力、数据建模能力以及问题解决能力至关重要。
深圳大学考研运筹学2014-2016历年真题
第1页（共3页）2014深圳大学攻读硕士学位研究生入学考试试题招生专业：管理科学与工程 考试科目：运筹学一、（26分）某厂生产三种产品，设生产量分别为123,,x x x ，已知收益最大化模型如下：123max 324Z x x x =++s t ⋅⋅1232340x x x ++≤（第一种资源）12322348x x x ++≤（第二种资源）10x ≤ （产品1的生产能力限制）1230x x x ≥，，（1）以456,,x x x 表示三个约束的不足变量，写出标准型。
（4分）指出所表达的基本可行解，目标函数值。
（4分）（3）指出上面给出的解是否最优。
若不是，求出最优解和最优目标函数值。
（6分） （4）写出本规划的对偶规划，并求出它的最优解。
（4分）（5）若产品1的单位利润从3变为4，问最优方案是什么？此时的最大收益是多少？（4分）（6）若资源常数列向量404810b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭变为466010b ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭，问原最优性是否改变？求出此时的最优方案和最大收益。
（4分）第2页（共3页）二、（24分）有123,,A A A 三个工厂，要把生产的产品运往123,,B B B 三个需求点。
若123,,B B B 三个需求点需求量没有得到满足，则单位罚款费用为6，3，4。
各厂的供应量、各点的需求量以及单位运价如下表。
问应如何组织调运才能使总费用（运输费用和罚款费用之和）最小？（1）请将此问题化为供需平衡的运输问题； （2）用最小元素法求（1）的一个初始调运方案； （3）判断（2）中的方案是否最优，并说明原因。
三、（22分）设货车按泊松流到达车站，卸货后马上离开。
已知平均每天到达4辆车。
该货站有2位工人，同时为货车卸货，假设卸货时间服从负指数分布，平均每天可服务6辆车。
求：（1）该货站没有货车卸货的概率。
（4分） （2）在货站排队等候卸货的平均货车数。
（4分） （3）每辆车在货站的平均逗留时间。
高级运筹学K-T条件极值试题(含答案)
要求：（1）库恩—塔克条件求最优解（2）写出等价的线性规划问题并化为标准形
解：标准型：
注意本题运用库恩-塔克条件解题时应该引入4个拉格朗日乘子。
当 = , = ， =0, =0时可以求得最优解，
最终最优解为 = 。
（2）等价的线性规划问题：
( )-6X-3X
标准型：
10.已知目标函数 受约束于
（1）解：标准化模型得： ， ， ， 各函数的梯度分别为： ， ， ， 。对三个约束条件分别引入拉格朗日乘子 、 和 ，则有如下K－T条件：
，即可分解为：
， ，
பைடு நூலகம்求解得：
4.用库恩—塔克条件解非线性规划
解先将其变为问题（11.60）的形式
设K-T点为 ，各函数的梯度为
对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子 ， ，则得该问题的K-T条件如下：
用库恩－塔克条件判断 是否为极小点。
解：计算目标函数和约束函数在X*点的梯度
代入
则
解得λ1=1、λ2=1、λ3=0，即λ1、λ2、λ3满足非负要求，故X*={1,0}T点满足库恩－塔克条件，该点是极小值。
解：规划问题标准化
， ，
记 ， 。
①下面验证正则点：
，
显然 与 线性无关，于是 为正则点。
，
同样 与 线性无关，于是 也是正则点。
②下面验证是否满足Kuhn-Tucker条件：
得 ， ，故 不满足Kuhn-Tucker条件。
得 ， ，故 不满足Kuhn-Tucker条件。
6.用库恩-塔克条件解非线性规划
若 解得 ,非K-T点;
若 解得 ,非K-T点;
若 解得 , 全局最小
《高级运筹学》无约束非线性规划
x x d (k1)
(k)
(k)
k
当方向d (k)给定，求最佳步长k, 就是求一元函数
() f (x(k) d (k) )
的极小点问题。 这一过程称为一维搜索。
二、一维搜索的方法：
1. 精确线搜索，即解方程： d() 0 d
2. 试探法；按照某种方式找试探点，通过一系列试探 点的比较确定极小点。 3. 函数逼近法：用较简单的曲线近似代替原来的曲线， 用近似曲线的极小点来估计原曲线的极小点。
（a）如f 1 > f 2, 向右前进；加大步长 h ＝2 h ，转step3 向前探测
（b）如f 1 < f 2, 向左后退；h＝- h，转（3）向后探测， （c）如f 1 ＝ f 2 ，极小点在[a1 a1 ＋ h ]之间。
Step3. 产生新的探测点 a3＝a1＋h，f3＝f(a3); Step4. 比较函数值 f2与f3：
min f (x)
xRn
f C1
最速下降法的具体步骤：
1.选定初始点x(1) , 确定精度要求，令k 1; 2.若 f (x(k) ) , 则停, 输出x* x(k) , 否则令d (k) f (x(k) );
3.在x(k)处沿方向d (k)作一维搜索得 x(k 1) x(k ) k d (k ) ,
4）若b-a< , 则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近
似解。否则，转向步骤 5）。
5）产生新的插入点：
如N0=0，则取 1=a+0.382(b-a), f1=f(1) ； 如N0=1，则取 2=a+0.618(b-a), f2=f(2) ，
转向3）进行新的区间缩小。
f(a2) f(a1)
f(a1) f(a2)
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课内实验报告
课程名：高级运筹学
任课教师：
专业：
学号：
姓名：
2013/2014学年第 1 学期
南京邮电大学经济与管理学院
实验背景：
4.
某公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j ＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个；
在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示 (单位：万元)。
但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?
解：先引入0—1变量i x (i =1,2,3,……,10),令
i x =10,3,2,1i ,0,1，点没被选用。
当点被选用，
当⋯⋯=⎩⎨⎧i i A A
于是问题可以列成：
Max z =361x +402x +503x +224x +205x +306x +257x +488x +589x +6110x
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧⋯⋯==≥++≥+≥+≤++≤+++++++++101,2i 10211
x 2
x x x 720180160x 140x 80x 90x 70x 80x 150x 120x 100x 109876
54321
10987654321，
，或i x x x x x x x x 运用Mathematica 软件求解，在平台中输入函数后，按“shift+回车”得出如下结果：
结果表示：当在东区选择A1、A2，南区选择A6、A7，北区选择A9、A10，作为销售点时，年利润最大，为245万元。
5. 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。
不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。
现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。
解：设x1、x2、x3分别为小、中、大三种尺寸的金属容器生产数量。
不考虑固定费用，则问题的数学模型为
Max z=4x1+5x2+6x3
s.t.⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++0
3,2,110033221300342312500382412x x x x x x x x x x x x
若考虑固定费用就必须引入0-1变量：
ki=⎩⎨⎧>=010,0xi xi 器即，生产该尺寸的金属容器即不生产该尺寸的金属容,i=1,2,3
则该问题的数学模型为
Max z =41x +52x +63x ﹣1001y ﹣1502y -2003y
⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧=>=<=<=<=<=++<=++<=++10,,0,,10032300
432500842x 3
213213322
1
1321321
321or y y y x x x My x My x My x x x x x x x x x 运用运用Mathematica 软件求解，将M 赋值为1000000。
结果表示：当公司制造小尺寸金属容器100个，不制造中、大两种尺寸的金属容器时，公司获利最大。
6. 下图所示网络中弧旁数字为(c ij
,b ij
)，求最小费用最大流。
解：（1）取初始可行流f 0= 0；
（2）按算法要求构造增量网络W （f 0），如图（a ）所示，并求出从vs 到vt
的最短，红色弧所示。
W （f 0
）（a ）
（3）在原网络D 中，与这条最短路对应的增广链为u=（vs ，v2，v1，vt ）。
（4）在µ上进行调整，θ = 5，得f 1，如图（b ）所示。
在原网络D 中，与这条最
短路对应的增广链为µ= （vs ，v1，vt ）。
f 1，v(f 1
)=5 (b)
（5）在µ上进行调整，θ = 2，得f (2) 。
（6）按算法要求构造增量网络W （ f (2) ），并求出从vs 到vt 的最短路。
（7）在原网络D 中，与这条最短路对应的增广链为µ= （vs ， v2 ,v3,vt ）。
（8）在µ上进行调整，θ = 3，得f (3) 。
（9）按算法要求构造增量网络W （ f (3) ），并求出从vs 到vt 的最短路。
（10）在原网络D 中，与这条最短路对应的增广链为µ= （vs ，v1 ,v2,v3 ,vt ）。
（11）在µ上进行调整，θ = 1，得f (4) 。
按照上述算法依次得f 1 ，f 2 ，f 3 ，f 4 ，流量依次为V(f 1)=5，V(f 2)=7，V(f 3)=10，V( f 4)=11，构造相应的增量网络为W(f 1)，W(f 2)，W(f 3)，W( f 4)。
2v s v t
2
W(f4) （i ）
图（i ）中，不存在从vs 到vt 的最短路，所以f (4)为最小费用最大流为11。
7. 电脑商在经营过程中发现，同一型号的计算机硬盘上市后不久其价格平均每周下降5％，到了一定时期后新的型号或更大容量的硬盘占据了主要市场，电脑商决定一周订货一次，避免由于价格的变动带来损失。
假设硬盘的进价为C ，利润率是10％，如果一周内还有库存，则下一周利润率只有3％．根据以往销售经验，一周内硬盘的销售量服从[50，100]上的均匀分布，电脑商一周内应订购多少硬盘最好。
由题知：多余一个硬盘损失：h=0.07C 元
不够一个计算机硬盘损失：p=0.10C 元
SL=h
P P
+=0.5882
对计算机硬盘的需求分布（在[50,100]上的均匀分布）：
50
1
50=<x<=100
F(x) = 0 其他
设定订货量为Q ，计算F(Q)=50
50
-Q
设：SL=F(Q)，有Q=79.4 于是一周内应订购Q=80件为好。