逆母函数和矩母函数
随机变量的特征函数的求法
随机变量的特征函数的求法
随机变量的特征函数是描述随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种性质，如期望、方差等。
特征函数的求法有多种方法，下面将介绍其中的两种常用方法。
一、定义法
特征函数的定义为：
$$\varphi_X(t)=E(e^{itX})$$
其中，$X$为随机变量，$t$为实数。
根据定义，可以得到特征函数的求解公式：
$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$
其中，$f_X(x)$为$X$的概率密度函数。
二、矩母函数法
矩母函数是随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种矩，如一阶矩、二阶矩等。
矩母函数的定义为：
$$M_X(t)=E(e^{tX})$$
根据矩母函数的定义，可以得到特征函数的求解公式：
$$\varphi_X(t)=M_X(it)$$
因此，只需要求出随机变量的矩母函数，就可以得到其特征函数。
总结：
特征函数是描述随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种性质。
特征函数的求法有多种方法，其中定义法和矩母函数法是常用的两种方法。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的方法来求解特征函数。
逆高斯分布及其应用
逆高斯分布及其应用王莲花 指导教师: 康殿统（河西学院数学与应用数学专业2007届1班38号, 甘肃张掖 734000）摘 要 研究了IGD 分布的若干特征性质,获得了IGD 分布的几个封闭性.利用随机序研究了IGD 分布对参数的依赖性用.关键词 逆高斯分布；矩估计;特征函数;偏度;峰度;极大似然函数;可靠性函数；随机序;封闭性中图分类号 0212.2文献标识码: A1 引言IGD 分布在概率论、可靠性、参数的随机序、风险理论中有广泛的应用.本文对IGD 分布类的性质做探讨.下面给出几个基本概念定义1.1 设连续型随机变量X 的概率密度为22()()2f x x x λμμ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭0t > 其中μλ(0)λ>为常数则称服从参数为μλ的逆高斯分布，记为(,)X IG μλ:定义1.2 设随机变量X 的概率为110()()00x x e x f x x ααλλα--⎧>⎪Γ=⎨⎪≤⎩则称服从参数为,αλ的Γ-的分布，记作(,)X αλΓ:其中0λ>是尺度参数，0α>为形状参数定义1.3 设随机变量X 的概率密度为22102()2()200x nn x e x n f x x -⎧>⎪⎪⎨Γ⎪≤⎪⎩则X 称服从n 个自由度的2()n χ分布，记作2()X n χ:定义 1.4 设随机变量X 的3()E X 和4()E X 存在则称323()(())E X Var X μ⎡⎤-⎣⎦为偏度,432()3(())E X Var X μ⎡⎤-⎣⎦-为峰度2 IG 分布的基本性质 2.1 IG 的基本性质2.1.1 数学期望、方差1 IG 的数学期望220()()2E x x dx x λμμμ∞⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭⎰IG 的方差为由于()E x μ=，232220()exp ()2E x xx dx x λλμμμμλ∞⎧⎫+=--=⎨⎬⎩⎭⎰所以[]233222()()()D x E x E x λμμμμλλ+=-=-= 2.12 矩母函数、特征函数(,)IG μλ的矩母函数为220()()2txtx x M t E e e x dx x λμμ∞⎧⎫⎡⎤==--⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰22()2tx e x dx x λμμ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭12222exp 11()2t t λμλμλμ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=--<⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭ (,)IG μλ的特征函数为22()()()2itxitxt E e ex dx x λμμ∞⎧⎫Φ==--⎨⎬⎩⎭⎰220()2itxit ee x dx λμμ∞⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭⎰1/221exp((1))it μλμλ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2.13 参数的极大似然估计设(,)X IG μλ:，,μλ为未知参数，1,,n X X K 是来自X 的一个样本值 由X 的概率密度为22()()2f x x x λμμ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭似然函数为221(,)()2ni L x x λμλμμ=⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭252()exp ()222x n n x x λλμπμ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭252ln (,)ln [()]222n n L x x xλλμλμπμ=+-- 252252ln (,)ln [()]222ln (,)ln [()]222n n L x x x n n L x x x λλμλμμπμλλμλμλπμ∂⎧=+--⎪∂⎪⎨∂⎪=+--⎪∂⎩525232221ln ..()0222ln .2()(2)()022n x n L x x n n L x x t πμμλπμλλμμμλμ-⎧⎡⎤∂=+--=⎪⎢⎥∂⎪⎣⎦⎨∂⎪=-+--=⎪∂⎩µ$11()i i X X X μλ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∑ 2.14偏度,峰度由于3E(X-)μ220()()2x x dx x λμμμ∞⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭⎰43μλ=4220E(X-)()()2x x dx x λμμμμ∞⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭⎰532153μμλμ=+所以3132()r (())E X Var X μ-=342923.μλλμ==2.2 有关(,)IG μλ的几个定理定理2.1设1,,n X X K 是来自逆高斯总体(,)IG μλ的一组..i i d (独立同分布) 则有样本(,)X IG n μλ: 证:设1nii Z X==∑定理2.2设1,,n X X K 是来自逆高斯总体(,)IG μλ的一组..i i d (独立同分布)则()21111()n ii V X Xχλ-=-∑:,X V 与独立定理2.3设1,,n X X K 是来自逆高斯总体(,)IG μλ的一组..i i d (独立同分布)则11X V n μλ-1及是与的一致最小方差无偏 3 IG 在可靠性中的应用定义3.1设F 是一个寿命分布,有有限的均值.若 ()01st e F t dt sμμ∞-≥+⎰则称F 属于L 类.若不等号反向,则称F 属于L 类 定理3.1设连续型随机变量X 的概率密度为22()()2f x x x λμμ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭0t > 其中μλ(0)λ>为常数,则1(,)2(,)(,)IG LIG L IG Lλμμλλμμλμλ≥∈<∉∉o o当时，当时，且定理3.2非负随机变量X 服从参数0,0λμ>>的IG 分布，(,)X IG λμ:则X 可靠度函数为2()()(1)(1)x x R x P X x e λμμμ⎫⎫⎪⎪=>=Φ--Φ+⎬⎬⎪⎪⎭⎭证:()1()R x F X x =-≤21(1)(1)x x e λμμμ⎫⎧⎫⎪⎪⎪=-Φ--Φ+⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎭2(1)(1)x x e λμμμ⎫⎫⎪⎪=Φ--Φ+⎬⎬⎪⎪⎭⎭定理3.3非负随机变量X 服从参数0,0λμ>>的IG 分布，(,)X IG λμ:则22()exp 02R x ex x λμλμ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭:证: ()1()R x F X x =-≤2(1)(1)x x e λμμμ⎫⎫⎪⎪=Φ--Φ+⎬⎬⎪⎪⎭⎭22exp 2ex λμλμ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭定理3.4非负随机变量X 服从参数0,0λμ>>的IG 分布，(,)X IG λμ: 则22331311211120711()1()(7)()22234x o r r x r r x r r x xμλλ⎧⎫=-++-++⎨⎬⎩⎭ 证：212212()()()()1()()()()()XX X X e X X R x dx R X X e X λμλμμμμ∞-Φ++Φ==Φ-Φ⎰ 223313112111207111()(7)()22234o r r x r r x r r x xλλ⎧⎫=-++-++⎨⎬⎩⎭其中11X X μ⎫=-⎪⎭，21X X μ⎫=+⎪⎭定理3.5若i X IG :，1,2,i n =K ，且i X 间相互独立；记22ii i r λμ=,1ni i X X ==∑则X 的剩余寿命分布渐进与参数r 为的指数分布，其中12,3min(,,)r r r r =K4 IG 关于参数的随机序定理 4.1设1,,n X X K 与1,,n Y Y K 分别是来自X 与Y 分别有函数F 与G .若i c i X Y ≤,1,2,i n =K ,则()()i c i X Y ≤,1,2,i n =K证:设i c i X Y ≤,1,2,i n =K ,则由c ≤定义知有 i c i X Y ≤⇔1()G F x -凸而i c i X Y ≤⇔1()i i G F x -凸,又Bartoszewicz 已证得11()()i i G F x G F x --=.所以()()i c i X Y ≤,1,2,i n =K定理4.2若X ,Y ,1(,)Y IG μλ:2(,)Y IG μλ:,12λλ<,则1,2i c iF Y i <=K4 IG 分布的封闭性定理4.1设X ,Y ,1(,)Y IG μλ:,2(,)Y IG μλ:则()Z X Y IG =+: 致谢 衷心感谢康殿统老师的悉心指导！参 考 文 献[1]王梓坤.随机过程论[M].北京:科学出版社,1965.113-119.寿命分布类与可靠性数学理论[M].北京:科学出版社,1999.[2]Belzunce, F.Hu, T, Khaledi, B.E.Dispersion-Type Variability Orders [J].Probability in the Engineering and Informational Science, 2003, 17:305-334.[3]Manoukian, E. Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistcs[M].New York. Springer Vela, 1985.[4]Johnson, N, Katz, S, BAL Krishnan, N. Continuous Univariate Distribution, Vol. l, second edition[M].New York: John Wiley & Sons,1994[5]何宗福,程侃.特殊关联系统下寿命的封闭[M].应用数学学报,1998,11: 429-432.[6]Barlow, R. E. and Pros Chan, F. Statistical Theory of Reliability and Life Testing. Silver Spring, MD, 1981.[7]Bartoszewicz, J.Applications of a general composition theorem to the star order of distributions.Statist. 1998,Prob.Lett.38:1-9.[8]康殿统,李泽彗.广义变换的若干性质.上海大学学报,2005,(2),13-16.[9]Muller, A, Stoyan, D. Comparison Methods for Stochastic Moderls and Risks[M].John Wiley & Sons, Ltd, West Sussex, 2002.[10]Shaked, M. Shanthikhmer, J. G. Stochastic Orders and Their Applications [M], Academic1994, Academic Press, New York, 1994.IGD Distribution And Its ApplicationsWang Lian-Hua(Department of Mathematics Hexi University Zhangye Gansu 73400)Abstract: Some characterization properties of the IGD distribution are investigated. Several closure closure properties are obtained.By means of stochastic orderings we surey the dependence on parameters of the IDG distribution as well.Key Word: IGD distribution; monmet estimator; characteristic function; Reliability function; stochastic ordering; closure propertiesCLC: 0212.2 Article code:A。
[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计
![[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计](https://img.taocdn.com/s3/m/3f0d7c3a0b4c2e3f5727631a.png)
1,N 离散均匀分布样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。
In[105]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N Out[107]= 1.概率密度（质量）函数:Out[108]= 1NkN n k N n k 1&&k N 0 1 1 1N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 1N n k 1&&k N 0 N n TrueOut[109]= 2.累积分布函数:Out[110]= Floor k N n1 k N1k N0True Out[111]= 3.生存（可靠性）函数：Out[112]=1k 11 1 N Floor kN n1 k N 0TrueOut[113]= 4.逆生存函数：Out[114]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N1 1 q 1n 01True,0 1 q 1n 1Out[115]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[116]=1 k NN n1 k 2&&k N 0 1k 2 0 k N 11 k NN n 1 1 k N N n1 1 1 k NN n k 2&&k N 0 0TrueOut[117]= 6.矩母函数 MGF :Out[118]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[119]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[120]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[121]=8.累积量母函数 CGF :Out[122]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[123]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[124]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[125]=10.特征函数:Out[126]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[127]=11.均值:Out[128]=1 N N n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 nOut[129]=12.中位值:Out[130]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1Out[131]=13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb3Out[132]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 4 1 n N 0 4 1 n 114 1 n 0N True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 341nN 0341n11 341n 0NTrue,0341n1Out[133]=14.q 分位数:Out[134]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N q 1n 0 q 1n 11q 1n 0N True,0 q 1n 1Out[135]=15.方差:Out[136]=1 N 11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[137]=16.标准差:Out[138]=1 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[139]=17.一、三四分位数间矩:4 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[140]=ConditionalExpressionN Max 1,Ceiling 341nN341n1&&41n 1N Max 1,Ceiling 4 1 n N341n 1&&41n 1Max 1,Ceiling 341n N Max 1,Ceiling 4 1 n N 341n 1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[141]=18.偏度系数:Out[142]=21 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N33N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N 3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n3 2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb5Out[143]=19.峰度系数:Out[144]=31 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N46Nn1 N11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nBernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,N5 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n26 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n2 Out[145]=20.四分偏度系数:Out[146]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 34N Max 1,Ceiling 34 1n N 2Max 1,Ceiling 2 1 n NN Max 1,Ceiling 34 1n N341 342N Max 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n N34N 2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NN Max 1,Ceiling 4 1 n N 34Max 1,Ceiling 34 1n N2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NTrueOut[147]=21.r阶原点矩矩:Out[148]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[149]=22.r阶中心矩:Out[150]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[151]=23.r阶阶乘矩:Out[152]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[153]=24.r阶累积量:Out[154]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[155]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb7Out[156]=k 1NLog1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue8 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb。
[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计
![[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计](https://img.taocdn.com/s3/m/29d455cfd5bbfd0a7956731a.png)
1,N 离散均匀分布样本中位数分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本中位数的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。
dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,2n 1 ,n 1 ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N 1.概率密度（质量）函数:BetaRegularized 1N kN,1 n,1 n BetaRegularized kN,1 n,1 n k 1&&k N 01 BetaRegularized 1 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0 0True2.累积分布函数:BetaRegularized Floor kN,1 n,1 n 1 k N1k N0True3.生存（可靠性）函数：1k 1BetaRegularized N Floor kN,1 n,1 n 1 k N0True4.逆生存函数：ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 InverseBetaRegularizedq,1 n,1 nInverseBetaRegularizedN InverseBetaRegularized 1True5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb1 BetaRegularized k N N,1 n,1 n1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 BetaRegularized k N N,1 n,1 nBetaRegularized 1 k NN,1 n,1 nBetaRegularized 1 k N N ,1 n,1 nk 2&&k N 0True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 11.均值:Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n 12.中位值:ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized NTrue13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb3ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True14.q分位数:ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized q,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True15.方差:Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n16.标准差:StandardDeviationOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n17.一、三四分位数间矩:4[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression 1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularizedNMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1NMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 10True0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 118.偏度系数:Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n19.峰度系数:Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n20.四分偏度系数:1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize1,1 n,1 n &&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb54,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Indeterminate InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n ComplexInfinity InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized3 4,1 n,1 n1 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 1 Max 1, Ceiling N InverseBetaRegularized1 4,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularized2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 1,1 n,1 n N Max 1,0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&& InverseBetaRegularized1&&6[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression4,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularized11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1 11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized3,1 n,1 n 1&&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb7Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n4,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nN Max 1,CeilingN InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nTrue&&8 [1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb0 InverseBetaRegularized 12,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 121.r 阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 22.r 阶中心矩:CentralMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 23.r 阶阶乘矩:FactorialMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 24.r 阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 25.信息熵：k 1NLogBetaRegularized 1Nk N ,1 n,1 n BetaRegularized k N,1 n,1 n k 1&&k1 BetaRegularized 11N,1 n,1 n k 1&&k BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k 0True[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb9。
概率统计：矩母函数
矩母函数与特征函数在计算随机变量的数字特征和概率分 布起很大的作用,它们使许多繁难的问题得到简化和解决,是证 明概率论中的许多理论问题的有力的工具.
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
5
矩母函数(5)
3) 设U ,V 独立，U ~ B(m, p),V ~ B(n, p),W U V .则 MU (t) ( pet q)m , MV (t) ( pet q)n,
MW (t) MU (t)MV (t) ( pet q)m ( pet q)n ( pet q)mn. 故W ~ B(m n, p).
6
例 5.2 设 X ~ ( , ),则
矩母函数(6)
1) M X (t)
etx x 1e xdx 0 ( )
x 1e( t)xdx. 0 ( )
xu /( t)
(
t) ( )
0
u
1eu
du
t
a
.
2)
M
X
(t)
t
a1,
M
X
(t
)
(
2
1)
t
a2
2
2) M X (t) tet2 / 2, M X (t) t 2et2 / 2 et2 / 2 ,
EX M X (0) 0, EX 2 M X (0) 1, DX EX 2 (EX )2 1.
9
矩母函数(9)
3) M X (t) et2 / 2
(t2 / 2)k k0 k !
MY (t) et M X (t). 证 MY (t) EetY Eet( X ) et Ee(t ) X et M X (t).
矩母函数存在的条件
矩母函数存在的条件
矩母函数是概率学中一种表示随机变量的函数形式，可以方便地计算该随机变量的各阶矩，从而获得更多的统计信息。
矩母函数的定义为：
$M_X(t) = E(e^{tx}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx$
其中，$E$表示数学期望，$f(x)$表示随机变量$X$的概率密度函数。
矩母函数存在的条件是：
这个条件表明矩母函数的定义式对于一定范围内的$t$值都具有收敛性，即积分结果有限。
这个条件很重要，因为矩母函数存在的必要条件是其定义式中的积分收敛。
2.存在一个开区间$(-b,b)$，包含了$t=0$，使得$M_X(t)$在该区间内连续。
这个条件表示矩母函数的定义式在$t=0$附近具有连续性。
这也是重要的一条条件，因为在研究矩及其他统计量的性质时，需要对矩母函数进行微分或展开，需要它具有连续性或可微性。
3.对任意正整数$k$，$E(|X|^k)$存在。
这一条件指出，随机变量$X$的各阶矩存在，即$E(|X|)$、$E(|X|^2)$、
$E(|X|^3)$等都存在。
这个条件是确保矩母函数可以反映出随机变量的各阶矩的存在性。
综上所述，矩母函数存在的条件是：存在一个实数$a>0$，使得对所有$|t|<a$，积分$\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx$收敛；存在一个开区间$(-b,b)$，包含了$t=0$，使得$M_X(t)$在该区间内连续；对任意正整数$k$，$E(|X|^k)$存在。
矩和矩母函数
矩和矩母函数
矩和矩母函数是概率论和数学中常用的函数形式。
矩函数是一组与分布函数相关的函数，而矩母函数是一个分布函数的特定生成函数。
矩函数和矩母函数可用于描述分布的各种性质和特征，包括均值、方差、偏度、峰度等。
在统计学和概率论中，我们通常使用矩函数来描述随机变量的一些统计特征。
例如，第一阶矩为随机变量的均值，第二阶矩为方差，第三阶矩为偏度，第四阶矩为峰度。
矩函数的优点是，它们可以通过对数据的简单计算来计算出来，而不需要知道任何有关分布函数的详细信息。
矩母函数则是一种特定的生成函数，它可以用来推导出矩函数的所有信息。
给定一个矩母函数，我们可以通过对其进行微分和求导来得到与矩函数有关的所有信息。
矩和矩母函数是概率论和数学中一些最基本的函数形式之一。
它们被广泛应用于许多领域，包括工程、物理、生物学、经济学等。
无论从理论还是实际应用的角度来看，矩和矩母函数都是十分重要的工具。
- 1 -。
逆母函数和矩母函数
逆母函数和矩母函数
反母函数和矩母函数是数学函数的一种，它们主要用于研究具有指定属性的函数之间的一些关系。
反母函数和矩母函数是一种非线性变换，它们用来将原函数经过变换后转变成另一种函数。
它们主要用于求解特定函数的反函数，并可以解决无穷多次函数，平均分布和累积分布等函数的反变换问题。
反母函数是具有独特特性的函数，它能够将一种函数变换成另一种函数，其中输入的参数是原有的函数的函数值，而输出的结果是原有函数的反函数。
这种变换可用来求解函数的反函数，从而可以避免计算函数的直接反函数，这也是反母函数的主要用途。
矩母函数也是独特特性的函数，它用来变换累积分布函数，从而可以求出支付金额和累积收入之间的关系。
它可以用来将某一分布的累积分布函数变换成指数型函数或指数密度函数，从而可以求出各种分布的参数。
总的来说，反母函数和矩母函数是一种独特的数学函数，它们被广泛应用于数学和统计学领域，用来求解各种特定函数及其反函数之间的关系。
这些函数在计算累积收入和累积分布关系、计算分布及其参数等问题时也发挥着重要作用。
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逆母函数和矩母函数
在数学中，母函数是一个特殊的函数，它可以把一组函数整合起来，并将这些函数按照一定的方式映射到一个更广泛的函数空间中。
简单地说，母函数用于计算几个函数的共同解决方案。
因此，母函数一般以其参数的形式出现，用于计算各种函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等。
逆母函数是母函数的逆运算，它可以将一个母函数的解决方案反转成原始的函数定义，或者说它可以重新构造函数，把函数从参数空间中反转回函数空间。
这个过程也被称为把母函数“反推”，它在大量应用中都具有很强的实用性，可以节省时间和资源，如在数值计算中。
同样的，矩母函数也是一种母函数，它是比普通母函数更高级的函数。
它表示某种特定结构的处理状况，其也可以被用来计算几个函数的同时解决问题，而且还可以用来计算非线性函数。
简单点说，矩母函数是把母函数的参数和变量组合起来，同时考虑到它们之间的直接关系，形成一个矩阵，它们可以用来表示一个非线性函数的状态。
同时，逆矩母函数也是一种比较特殊的逆母函数，它可以用来解决复杂的函数方程，以及将一个矩母函数反推回原始的函数定义。
然而，由于它自身太复杂，在应用上有一定的局限性，但在某些问题上却是很有价值的，例如多元函数的解析求解等。
母函数的用途广泛，其中最常用的应用有两个，一是多元函数的极值点求解，二是复杂函数的积分求解。
要求解极值点，首先需要确
定所求函数的变量，然后根据它们之间的关系，构造一个母函数，再使用梯度法或者拉格朗日把母函数求导，这样就可以解出求解函数的极值点。
同样，要求解积分，首先需要确定函数的变量，然后还需要使用某种数值分析方法，把函数换算成更加容易计算的母函数，再根据它们的变量范围，用积分解决方案把它们拆分成一些简单的子问题，最后就可以逐步求解积分。
总之，母函数及其逆母函数及矩母函数，均是数学中非常重要的函数，它们可以被用来计算极值点或积分，从而实现复杂函数的解析求解。
在工程中的应用也很多，如控制系统中的解调技术和信号处理等。
无论对哪一类函数，能够把它们变成母函数形式，都是一种非常高效的方法，有助于帮助我们更好地理解复杂函数的特性。