数学实验最佳分数逼近
西北师范大学数学与应用数学专业
西北师范大学数学与应用数学专业专业选修课程教学大纲数学实验一、说明（一）课程性质本课程是数学与信息科学学院信息与计算科学系专业的必修课，数学实验是随着计算机及其计算技术的发展而产生的一门新兴学科，计算机对人类的社会生活产生了巨大的影响，对数学也产生了十分巨大的影响。
数学的形象发生了很大的变化，它不仅仅是一种理论，不仅仅是逻辑推导，也不再单纯是数学家和少数物理学家、天文学家、力学家等人手中的神秘武器，它越来越深入地应用到各行个业之中，几乎在人类社会生活的每个角落都在展示着它的无穷威力。
这一点尤其表现在生物、政治、经济及军事等数学应用的非传统领域。
数学不再仅仅是作为一种工具和手段，而是日益成为一种技术参与到实际问题中，它是一种技术，作为信息与计算科学系的本科生必须掌握这种技术。
（二）教学目的通过数学实验加深和理解学过的数学理论；通过数学实验掌握应用数学的能力；通过数学实验来体会数学探索与发现的快乐与挫折（三）教学内容本课程的内容分两部分，第一部分是基础部分，围绕高等数学的基本内容，利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概念与结论，去体验如何发现、总结和应用数学规律。
另一部分是高级部分，以高等数学为中心向边缘学科发散，可涉及到微分几何、数值方法、数理统计、图论与组合、微分方程、运筹与优化等，也涉及到现代新兴的学科方向，如分形、混沌、密码等。
（四）教学时数36+36（五）教学方式课堂讲授与上机实验相结合二、文本第一章概论教学要点：因为数学实验是一门新兴课程，所以本章的目的是要概括数学实验的目的、内容、要求、产生的背景、并介绍符号技术计算软件等。
教学时数：6学时具体内容：第一节概述第二节数学实验报告的写作第三节Mathematica 软件介绍1（2学时）第四节Mathematica 软件介绍2（2学时）考核要求：通过考核使同学们大概了解本课程的内容和要求并掌握Mathematica 软件。
实验一微积分基础教学要点：掌握Mathematica 软件的基本功能并来验证或观察得出微积分的一些基本结论，练习实验报告的撰写。
最佳逼近定理
最佳逼近定理
最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，一个函数可以用另一个函数来最佳逼近。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，比如在信号处理、图像处理、数据分析等领域中都有着重要的作用。
最佳逼近定理的核心思想是，对于一个函数f(x)，如果我们想用另一个函数g(x)来逼近它，那么我们需要找到一个最佳的g(x)，使得它与f(x)的误差最小。
这个误差可以用欧几里得距离或者其他的距离度量来表示，而最佳逼近定理就是告诉我们，这个最小误差是一定存在的，并且可以通过一定的方法来求得。
最佳逼近定理的应用非常广泛，比如在信号处理中，我们经常需要对信号进行滤波处理，而滤波器的设计就可以通过最佳逼近定理来实现。
在图像处理中，我们也可以利用最佳逼近定理来进行图像压缩和去噪等处理。
在数据分析中，最佳逼近定理可以用来进行数据拟合和预测等任务。
最佳逼近定理的证明比较复杂，需要用到一些高等数学知识，比如泛函分析、函数空间等。
但是在实际应用中，我们并不需要深入理解其证明过程，只需要掌握其基本思想和应用方法即可。
最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。
通过最佳逼近定理，我们可以找到一个最佳的函数来逼近
另一个函数，从而实现信号处理、图像处理、数据分析等任务。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
最佳分数近似值
哈
在“怎样计算Pi?”的实验中，我们看到，祖冲之将Pi计算
工 到3.141596与3.1415927之间，但是实际上，祖冲之并没有使
程 用小数，他算出的圆周率是22/7（密率）、355/113（约率），
大 看看这两个分数与圆周率的实际误差有多大？
学
数
学
实
可以看出，分数355/113几乎与Pi足够接近，而22/7虽然
哈
工 程 大
3 1 3
1
3
7.06251
7 0.06251
7
1 1
学
15.9974
数 3
1
3
1
学 实 验
7
1
15 0.9974
7 15
1 1
1.00261
电
子 3
1
教 案
7 15
1 1
1 288.842
上页 下页 退出
哈 工
数 学 实 验
电 子 教
练习：让分母q依次取遍1到1000的所有自然数，对每个分母q， 取p=[q*Pi+0.5]得到一个最接近Pi的分数p/q，并将所有的这样
案 的分数列出来，同时列出与Pi的误差。
上页 下页 退出
Mathematica程序如下：
哈 工 程 大 学
数 学 实 验
电 子 教 案
上页 下页 退出
3
7 15
1 1 1
程
1 288.842
大
学
因此，下面的分数都是Pi在某个误差下的最佳分数近
数 似值。
学 实
验
355
113 1
mathematica实验三最佳分数近似值
mathematica实验三最佳分数近似值数学实验报告实验三最佳分数近似值实验目的：研究怎样用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。
“最佳”就是既要误差小，又要分母小。
我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
实验步骤：1、计算对数值对给定的正实数b ，N 且b ≠1，要求对数值a=N b log ,也就是求实数a 使a b =N ，如果能找到整数p ，q 使qpNb≈,则N bqp≈，N blogqp ≈，以lg2为例：由102=1024≈1000=310可得lg2≈103=0.3，再要提高精确度，就要找出更大的q 使q2更接近10的某个幂q10，也就是使pq 32更接近于1。
练习让q 依次取遍1到10000的所有的正整数，对每一个q ，按如下的递推法则求出一个正整数p=p(q)使实数pq q 102)(=λ最接近于1：q=1时，p(1)=0,λ(1)=1102=2.设已对q 求出p(q)和λ(q)，计算2λ(q)，如果2λ(q)<10,则取p(q+1)=p(q),λ(q+1)=2λ(q),如果2λ（q ）≥10，则取p(q+1)=p(q)+1，λ(q+1)=10)(2q λ.如果λ(q)比以前所有的λ(i)(11-≤≤q i )都更接近1，即|λ(q)-1|<|λ(i)-1|对所有的1≤i ≤q-1成立，就取qp 都是最佳逼近lg2的的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。
2、分数对无理数的最佳逼近设α是给定的无理数。
怎样的分数QP 能够称为α的最佳分数近似值？既然“最佳”的标准是既要误差小，又要分母小，如果有一个分数qp 的分母q|α-qp|<|α-QP |,那么qp 就是比QP 更佳的分数近似值，QP 就不能说是“最佳”。
反过来，如果QP 的误差比起分母不超过Q 的其他分数近似值qp 都小，也就是|α-qp |<|α-QP |对所有qP 给出了α的最佳逼近。
数学实验最佳分数逼近
最佳分数逼近：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：本次实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近，“最佳”就是既要误差小，又要分母小，而且要精确度高。
我们首先需要对“最佳”给出一个具体而明确的标准，还要寻求一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：一提到祖冲之，人们都知道他对于计算π的贡献，他算出π的值在3.1415926与3.1415927之间，也就是知道了π的准确值得前八位有效数字，但人们往往不知道，祖冲之还给出了π的分数近似值355/113，这同样是数学史上的伟大贡献。
π是无理数，对于任何一个无理数a，不可能用分数p/q来作它的准确值，只能作它的近似值。
近似值p/q的好坏可以用绝对误差∆α来衡量。
∆越小，就说明这个近似值p/q的精确度=-qp/越高。
对于给定的分母q，总可以选择适当的分子p使p/q最接近α，也就是使误差∆最小。
此时一定有∆〈1/2q。
由此可见，要提高精确度，减少误差，一个最简单的办法就是增大分母q。
只要q足够大，就可以使误差任意小。
祖冲之为π给出了两个分数近似值，一个是355/113，称为密率，另一个是22/7，称为约率，不但密率是分母小误差小的有秀近似值，而且约率以更小的分母7实现了误差小于0.0013，仍不失为好的近似值。
实验容和步骤及结果分析：问题一：求分数对无理数的最佳逼进，已知π=3.141 592 653 579…，让分母q依次取遍1到100的自然数。
对每个分母q，取p=[qπ+0.5]作为分子得到一个接近的分数p/q。
（这里符号[qπ+0.5]表示不超过qπ+0.5的最大整数，它也是由q四舍五入得到的整数。
）其步骤是：（1）打开Mathematica软件；（2）输入下列语句：（3）运行后，结果如下图问题二：求下列数的连分数展开（一） 的连分数展开其步骤是：（1）打开Mathematica软件；（2）输入下列语句：（3）运行后，结果如下图（二）有理数的连分数展开其步骤是：（1）打开Mathematica软件；（2）输入下列语句：（3）运行后，结果如下图思考：做完上述有关最佳分数逼近的实验，我顿时想到了概率，毕竟概率也可以理解为一个数的逼近，所以下面为有关概率的实验。
无理数的分数逼近和连分数
无理数的分数逼近和连分数在数学上，有理数和无理数是两种不同的数。
有理数是指可以表示成两个整数之比的数，例如⅓、½、-2等。
而无理数则是指无法表示成有限小数或分数形式的数，例如π、√2等。
由于无理数无法表示成分数的形式，因此无理数的大小难以直接比较，这给数学上的很多问题带来了困难。
但是，我们可以使用分数逼近和连分数来近似表示无理数，使得无理数问题可以得到更好的解决。
分数逼近分数逼近是指用分数来逼近一个无理数的近似值。
这种方法的基本想法十分简单：对于给定的无理数x，寻找一个最接近它的分数p/q，使得| x - p/q | 尽可能小。
然后我们称这个分数为x的第一个连分数近似。
在实际运用中，我们可以先选取一个分母q0，然后寻找分子p0，满足| x - p0/q0 | 最小。
这样得到的p0/q0就是x的第一个连分数近似。
接下来，我们以p0/q0作为新的近似值，求出下一个分数p1/q1，以此类推，得到一系列连分数近似得到的数列{p0/q0,p1/q1, p2/q2, …} 将这些分数列出来，就得到了一个逐渐趋近于无理数的有理数序列。
在实际的计算中，我们可以使用欧几里得算法来寻找每次逼近的分数。
这种算法使用一系列简单的操作，可以快速得到分数p/q 的各个部分，以及新的近似值。
例如，我们要使用分数逼近来逼近√2。
假设开始时选择的分母是1，那么第一个分数近似为1/1。
接下来，我们可以使用欧几里得算法计算出√2和1/1的差值，并找到最接近其差值的分数1/2，作为第二个分数近似。
然后以1/2为新的近似值，再次计算差值，再次找到新的分数近似，以此类推。
最终，我们可以得到序列{1, 3/2, 7/5, 17/12, …}，每个数都是√2的一个连分数近似。
连分数连分数是一种特殊的分数表示法，由一系列嵌套的分数组成，形式为：a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + …)))其中a0，a1，a2，…都是整数。
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法在现实生活中，我们经常遇到需要准确计算数值的情况，然而有些复杂的运算可能会让我们陷入困境。
为了解决这个问题，人们提出了数的逼近和近似计算方法，以帮助我们更方便地处理数字。
一、数的逼近方法数的逼近是指通过无穷个有理数逐渐靠近某个数的过程。
常见的数的逼近方法有以下几种：1. 分数逼近法分数逼近是指通过有限小数或无限小数的形式来逼近一个数。
例如，要逼近圆周率π，我们可以使用3.14或3.14159等有限位数的近似值。
这种方法在实际应用中非常常见，它可以有效地满足我们对数值精度的要求。
2. 牛顿逼近法牛顿逼近法是一种用多项式逼近函数的方法。
它通过选取一个初始值，并利用切线的斜率逐步逼近函数的根。
这种方法在数学和物理领域被广泛应用，可以高效地求解函数的零点。
3. 数列逼近法数列逼近法是指通过数列的极限来逼近一个数。
例如，要逼近自然常数e，我们可以使用以1为首项，n趋于无穷大时的极限值。
这种方法可以直接将数的逼近问题转化为数列极限的计算问题。
二、近似认识数的近似计算方法近似计算方法是指通过一定的近似规则和技巧，对于复杂计算或无法准确进行的计算，进行近似求解。
常见的近似计算方法有以下几种：1. 舍入法舍入法是一种常见的近似计算方法，它根据一定的规则将数值进行近似。
最常见的舍入规则有四舍五入、向下取整和向上取整等。
例如，我们可以使用舍入法将3.14159近似为3.14或3.142。
2. 位数法位数法是一种将数值限制在一定位数以内进行近似计算的方法。
例如，当我们要计算π的前100位小数时，由于无法直接计算出确切的值，我们可以使用近似计算方法来获得前100位的近似值。
3. 同类项相消法同类项相消法是一种通过将数值中相近的项进行相消，从而简化计算过程的方法。
例如，在求和时，我们可以将一些项进行合并，从而减少计算的复杂度。
这种方法在数列求和、积分等领域中广泛应用。
通过数的逼近和近似计算方法，我们可以更方便地处理数字，解决实际生活中存在的计算问题。
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最佳分数逼近
姓名：
学号：
班级：数学与应用数学4班
实验报告
实验目的：本次实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近，“最佳”就是既要误差小，又要分母小，而且要精确度高。
我们首先需要对“最佳”给出一个具体而明确的标准，还要寻求一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
实验环境：Mathematica软件
实验基本理论和方法：
一提到祖冲之，人们都知道他对于计算π的贡献，他算出π的值在3.1415926与3.1415927之间，也就是知道了π的准确值得前八位有效数字，但人们往往不知道，祖冲之还给出了π的分数近似值355/113，这同样是数学史上的伟大贡献。
π是无理数，对于任何一个无理数a，不可能用分数p/q来作它的准确值，只能作它的近似值。
近似值p/q的好坏可以用绝对误差=
∆α来衡量。
∆越小，就说明这个近似值p/q的精确度-
q
p/
越高。
对于给定的分母q，总可以选择适当的分子p使p/q最接近α，也就是使误差∆最小。
此时一定有∆〈1/2q。
由此可见，要提高精确度，减少误差，一个最简单的办法就是增大分母q。
只要q足够大，
就可以使误差任意小。
祖冲之为π给出了两个分数近似值，一个是355/113，称为密率，另一个是22/7，称为约率，不但密率是分母小误差小的有秀近似值，而且约率以更小的分母7实现了误差小于0.0013，仍不失为好的近似值。
实验内容和步骤及结果分析：
问题一：求分数对无理数的最佳逼进，已知π=3.141 592 653 579…，让分母q依次取遍1到100的自然数。
对每个分母q，取p=[qπ+0.5]作为分子得到一个接近的分数p/q。
（这里符号[qπ+0.5]表示不超过qπ+0.5的最大整数，它也是由q四舍五入得到的整数。
）
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
问题二：求下列数的连分数展开
（一） 的连分数展开
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
（二）有理数的连分数展开
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
思考：做完上述有关最佳分数逼近的实验，我顿时想到了概率，毕竟概率也可以理解为一个数的逼近，所以下面为有关概率的实验。
问题一：已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5均可能，求从中任取100个都是好灯泡的概率。
分析：事件表示1000个灯泡有i个坏灯泡，事件A表示任意取出100个都是好灯泡，则，由全概率公式有。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
问题二：n个人每人携带一件礼物参加联欢会。
联欢会开始后，先把所有礼物编号，然后每人任意抽取一个号，按号码领取礼物，请分别就参加联欢会的人数为n=1到20人求所有人都得到别人赠送礼物的概率，并从这些概率值推断随着参加联欢会人数的增加是否会出现所有人都得到别人赠送礼物的概率会不断变小的情况？
分析：应用有限多个相容事件的概率加法公式求解
设={第i 个人得到自己带来的礼物}，则表示至少有一个人得到自己带来的礼物，由
得到
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
结果分析：从计算结果可以看出，随着参加人数的增加，所有人都会得到别人赠送送礼物的概率不会不断变小，而是会收敛到一个约为0.367879的极限值。
实际上，从概率可知
故当n很大的时候。
问题三：某种检验方法对癌症的准确率是95%，一个人接受了检测并且结果呈阳性，假定这个人来自一个有100000人口的地区，该地区2千人得这种癌症，推断接受检测者患这种癌症的概率是多少？分析：检测的准确率是95%，意味着对呈阳性的检测结果有95%是患病的，而对成阴性的检测结果是95%是不患病的，因此仅由检测数据不能支持准确率是95%的结论。
如果事件{T>0}表示检测结果呈阳性，{T<0}表示检测结果呈阴性，用H和C表示没有患病的人和患这种病的人，则有
使用贝叶斯公式，当检测结果呈阳性时，检测者患病的概率为
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
结果分析：由此可见，呈阳性的检测者真正患病的概率仅为0.279，而不是想当然的认为患病概率为95%。
附录（源程序）
见文章具体步骤。