三角函数与平面向量(好)
三角函数与平面向量-精选教学文档
三角函数与平面向量简介：三角函数与平面向量三角函数的图象与性质1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为________.3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________.【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值;(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示.(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围.【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值;(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值;(3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________.2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.4.(2019·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.(2019·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值.5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<.(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值;(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值.解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx(3分)=sin，(5分)故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)(解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值，由(1)知f(x)=sin，当≤x≤2时，-≤x-≤，因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1. 若【答案】-8 解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)=得t=时y取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1) 求f的值;(2) 求f(x)的最大值和最小值.解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-.(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R.因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.基础训练1. π 奇解析：y=-cos=-sin2x.2. 1 解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案.3. -+1 解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.4. - 解析：f=f=f=sin=-.例题选讲例1 解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2.(注：注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2，2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z，f(0)=sin=.(2) φ=，f(x)=sin.因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0，].(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.解： y=cos2A+cos2=+=1++=1+=1+cos.∵ A为三角形内角，∴ 0∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.例3 解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2=2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，因此sin=sin.即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos+cosωxsin，整理得sinωxcos=0.因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.又因为0<φ<π，故φ-=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×，所以ω=2.故f(x)=2cos2x.因此f=2cos=.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).例4 解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.又t∈(0，π)，故t=或.(3) 当x∈时，2x-∈， ∴f(x)∈[1,2].|f(x)-m|<3，即f(x)-3变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3.由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)=4t3-3t+3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1列表如下：tg′(t)g(t)极大值极小值由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.高考回顾1. —8 解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).2. π 解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.3. 解析： y=cosx=sin+.4. ，k∈Z 解析：f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.∵ 周期为π，∴ ω=2，∴f(x)=2sin.2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.所以函数的最小正周期为T==π.因为x∈，所以2x+∈.所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.又由已知f(x0)=，则sin=.因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，所以cos=-，于是cos2x0=cos，=coscos+sinsin=-×+×=.6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.。
三角函数与平面向量
第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：二、基础知识要点剖析：1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。
2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα。
㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ，注意公式变形：2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=± 2sin2cos 1θθ=-， 2cos2cos 1θθ=+（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：(3)若t =+ααcos sin ，则21c o s s i n 2-=t αα；12sin 2-=t α；22cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k(2απ±。
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。
本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。
希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。
一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。
下面将介绍其中的一些典型应用。
1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。
例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。
我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。
例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。
我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。
3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。
我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。
二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。
下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。
三角函数与平面向量的关系
三角函数与平面向量的关系在数学中，三角函数和平面向量是两个重要的概念和工具。
三角函数是研究角度和边长之间的关系的函数，而平面向量则是研究平面上各种物理量的大小和方向的工具。
本文将探讨三角函数与平面向量之间的联系和应用。
一、向量的定义和表示在平面几何中，向量是一个既有大小又有方向的量。
其表示可以使用箭头或者字母加上帽子来表示，例如向量AB可以表示为→AB或者ẑ。
向量的大小又称为向量的模，表示为|→AB|或者|ẑ|，可以通过勾股定理计算得到。
向量的方向可以使用角度来描述，例如与x轴的夹角θ。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法可以理解为几何上的向量相加。
假设有向量→AB和→AC，可以通过将它们放置在同一个起点，然后连接起来得到一个新的向量→AD，即向量→AD是→AB与→AC相加的结果。
平面向量的减法则是利用减法公式进行计算。
三、向量的数量积和点积平面向量的数量积（或点积）是两个向量的乘积，其结果是一个标量。
向量的数量积可以用下式计算：→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ，其中θ为向量→AB与→AC之间的夹角。
向量的数量积具有交换律和分配律等性质，可以用于计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、以及求解平面上的投影等问题。
四、三角函数的定义和性质三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
它们可以用著名的SOH-CAH-TOA记忆法来帮助理解和应用。
此外，割函数、余割函数和正割函数等也是常见的三角函数。
五、三角函数与平面向量的关系三角函数与平面向量有着密切的关系，可以通过向量的数量积来推导和解释三角函数的性质。
例如，在直角三角形中，可以利用对边与斜边的比值得到正弦函数的定义，并通过向量→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ来得到正弦函数与向量的关系。
类似地，可以利用邻边与斜边的比值和向量的点积来推导余弦函数的定义，并得到余弦函数与向量的关系。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。
平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。
平面向量有以下性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。
根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。
3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。
单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。
二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。
具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系：1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。
利用三角函数解决平面向量问题
利用三角函数解决平面向量问题在数学学科中，平面向量问题是一个常见的考察点。
平面向量的运算和性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
而解决平面向量问题中，三角函数是一种常用的工具，它可以帮助我们简化问题的推导和计算过程。
本文将通过几个实际应用的例子，说明如何利用三角函数解决平面向量问题。
首先，我们先来了解一下三角函数的基础知识。
在平面直角坐标系中，我们通常用坐标轴上的角度来表示方向。
而三角函数则是用来描述角度与比例关系的函数。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
一、解决平面向量的夹角问题在平面向量的问题中，经常需要求解向量之间的夹角。
这时，我们可以利用三角函数中求角度的函数来解决。
以两个向量A和B为例，设它们的夹角为θ，我们可以通过以下公式来求解夹角：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
通过求解夹角，我们可以判断两个向量之间的相对方向关系，并进一步解决问题。
二、解决平面向量的投影问题平面向量的投影问题是另一个常见的问题类型。
在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到它在另一个向量方向上的分量。
利用三角函数，我们可以很方便地求解向量的投影。
以向量A在向量B方向上的投影为例，投影向量记作P，其长度为P的模，我们有以下公式：P = |A|·cosθ其中，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
利用这个公式，我们可以通过已知向量的模和夹角，计算出向量的投影。
三、解决平面向量的平衡问题在物理学领域中，平面向量的平衡问题也经常被提到。
平衡问题通常是在已知一些力大小和方向的情况下，求解使体系保持平衡所需的额外力。
这时，我们可以利用三角函数和向量相加减的方法来解决。
以一个由两个力F1和F2组成的平衡系统为例，设额外力为F，我们有以下公式：F = - F1 - F2其中，-F1表示力F1的反方向，同理-F2表示力F2的反方向。
平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳
平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳引言：平面向量作为数学中的重要概念之一，与三角函数有着密切的联系。
通过对平面向量与三角函数的综合运用，我们可以解决各种实际问题，并深入理解它们在数学中的应用。
本文将通过计算、解析和归纳的方式，探讨平面向量与三角函数的综合应用。
一、平面向量与三角函数的基本关系在开始讨论平面向量与三角函数的综合计算与应用之前，我们先来回顾一下它们之间的基本关系。
1. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示，一个二维向量A可以表示为A = (a, b)，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。
同时，向量A也可以表示为矩阵形式：A = [a, b]2. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数量乘法运算。
加法运算即将两个向量的对应分量相加，例如A + B = (a1 + b1, a2 + b2)，其中A = (a1, a2)，B = (b1, b2)。
数量乘法即向量的每一个分量都乘以相同的数，例如kA = (ka1, ka2)，其中k为任意实数。
3. 三角函数的定义三角函数是常用的数学函数，由直角三角形的边长比定义。
其中，正弦函数s inθ的定义为：sinθ = 长边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 长边/邻边。
二、平面向量与三角函数的综合计算与应用在了解了平面向量与三角函数的基本关系后，我们可以通过综合计算与应用来加深对它们的理解。
1. 平面向量与三角函数之间的关系根据平面向量的定义和三角函数的定义，我们可以得出以下结论：对于任意角θ，设与角θ 相对的边向量为A，斜边向量为B，则有：A = [sinθ, cosθ]B = [sinθ, cosθ]2. 平面向量的模与方向平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理来计算。
对于向量A = (a, b)，其模记为|A|，计算公式为：|A| = √(a^2 + b^2)向量的方向可以用角度来表示，可以通过以下公式计算：θ = arctan(b/a)3. 平面向量的点积与叉积平面向量的点积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。
常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。
二、平面向量的加减运算平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。
具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。
数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。
叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。
叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。
五、三角函数的定义与性质三角函数是以三角形的边长比值来定义的。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的定义与性质如下：1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边；2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边；3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边；4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。
六、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。
具体来说，平面向量A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。
而三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基础来定义的。
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三角函数与平面向量
一：考点分析
小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简，有时与向量相结合。
大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。
1、任意角的三角函数：
（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
（2）扇形的面积公式：lR S 2
1
=
R 为圆弧的半径，l 为弧长。
（3）同角三角函数关系式：商数关系：a
a
a cos sin tan =， 平方关系：1cos sin 22=+a a
（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
απ
+⨯k 2
所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性；
类型一：诱导公式的应用
1．化简：
___________)
cos()3sin()sin()
23cos()3cos()2sin(=---+--+-πααπαπαπ
απαπ 2．已知tan =2,,则3sin 2-cos sin +1=（ ） A.3 B.-3 C.4 D.-4 3．已知sin 23αα+=tan α=（ ） A ．
2
2
B 2
C ．22-
D ．2-
4．若1sin(
)33π
α-=，则5cos()6
π
α-的值为（ ） A ．
13 B.1
3
- C.23 D.223-
类型二：三角恒等变换
1．若4sin()5πθ-=
，(0,)2πθ∈，则2sin 2cos 2
θ
θ-的值等于________. 2．若
cos 22
2
sin()4
απ
α=-
-，则cos α+sin α的值为________. 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )
A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210
5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－4
5
6.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． 7．已知
，
,
则
的值为
A. B. C. D.
类型三：三角函数的图像及性质
x y sin =
x y cos
=
x y tan =
图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
调性
对称性
零值
1.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π
2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.
2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫
4π3
，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A . π6
B.π4
C.π3
D.π2
3.已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ）
A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦
B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦
C 、42,2,3
3k k k Z
ππππ⎡⎤++∈⎣⎦ D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦ 4.已知函数2
()3sin cos f x x x x ωωω=，其中0ω>.若点(,0)2
π
在函数()f x 的图象上，则ω的最小值为（ ）
A ．
12 B ． 56 C ．1 D ．3
2
5．已知函数()cos(2)cos 23
f x x x π
=+
-，其中x R ∈，给出下列四个结论
①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23
x π
=； ③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12
π
； ④.函数()f x 的递增区间为2,6
3k k π
πππ⎡
⎤
+
+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈.则正确结论的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
类型四：函数图像的变换
【函数的平移变换】： 【函数的伸缩变换】： 【函数的对称变换】：
1.)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像y 轴右侧保留，把右侧图像绕y 轴翻折到左侧。
2.)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去 典例精练：
1．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )
A.向右平移
4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8
π
个单位 2．将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图像向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.
12
π
B.
6π C.3
π
D.65π
3．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图像向右平移3
π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ．
4．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于
2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6
π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（ ） A ．(,0)3
π
-
B ．(,)44ππ
-
C ．(0,)3
π D ．(,)43ππ
5．已知函数()3sin 2cos 2f x x x m =+-在[0,]2
π
上有两个零点，则m 的取值围是（ ）
A.(1,2)
B.[1,2)
C.(1,2]
D.[1,2]
类型五：与向量、解三角形的综合应用
1．设向量
（1）若，求x 的值 （2）设函数，求f(x)的最大值
2．设函数,)(x f ⋅=其中向量()
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
-==62sin ,1,3,2sin πx b x a ，R x ∈. （1）求)(x f 的最小值，并求使)(x f 取得最小值的x 的集合；
（2）将函数)(x f 的图象沿x 轴向右平移,则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数
)(x g 的图象关于y 轴对称？
3．在已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<2
π
)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
2π，且图象上一个最低点为M(π3
2
，－2)．
(1)求f(x)的解析式； (2)当x ∈[12π，2
π
]时，求f(x)的值域．
4．已知函数()21
sin 3sin cos 2
f x x x x =+-
，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，且满足2cos 23b A c a =-，求()f B 的值.
解三角形培优小练习
1.在
中，若
，三角形的面积
，则三角形外接圆的半径为A ．
B ．2
C ．
D ．4 2.
的角所对的边
满足
，且C=60°，则
的值为
A ．
B ．
C ． 1
D ．
3.在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰或直角三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
4.在△ABC 中，
，，
，则BC 边上的高等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.在△ABC 中，
，若此三角形有两解，则b 的围为（ ）
A ．
B ．b > 2
C ．b<2
D ．
6.在△中，角所对的边分别为.若，则
________.
7.已知
的角
的对边分别为
，且
,则
的面积等于________.
8.已知函数
，其中，
.
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设的角的对边分别是，且，，若，求的值.
9.已知分别是三角形的三个角A，B，C的对边，. （1）求角A的大小;
（2）求函数的值域.。