广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试数学试卷
2021届广东省汕头市金山中学高三上学期开学摸底考试数学文试题Word版含答案
2021届广东省汕头市金山中学上学期开学摸底考试高三数学文试题—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1. 复数z=1-i,则z z+1对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象跟 D.第四象限2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是A. 1,2,3,4,5,6B. 6，16，26，36，46，56C. 1,2，4，8，16，32D. 3,9,13 ,27,36,544 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：①l//m,m ⊂a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ⊂a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m其中正确的命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A ．6 B ．10 C ．91 D ．927. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值 为A. 4B. 6C. 8D. -98. 设曲线2()1cos ()f x m x m R =+∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为9. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,25)是使得z=ax-y 取得最大值的最优解,则实数a 的取值范围为 A. 21-≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 021≤≤-a10. 已知函数|)62sin(|)(π-=x x f ，下面说法正确的是A.函数的周期为4πB.函数图象的一条对称轴方程为3π=x C.函数在区间]65,32[ππ上为减函数 D 函数是偶函数11. 已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 A 4π B, 12πC.316π D. 364πBCDAPFE12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且 u ∥v ，则实数x 的值是____14.若⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)1(2)1(1)(2x x x x f x ，则21(log 6)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=________15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P 引圆21)41()21(22=++-y x 的切线，则此切线段的长度为_______16. 已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PMPF PF =⋅，则该椭圆的离心率为三 、解 答 题 : 本大题共6小 题 ，共 70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）= acosB ，且，求△ABC 的面积．18. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADC=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=1，PA ⊥平面ABCD ，PA=2AD ，E 是线段PD 上的点，设PE=λPD ，F 是BC 上的点，且AF ∥CD（Ⅰ）若λ=，求证：PB ∥平面AEF（Ⅱ）三棱锥P ﹣AEF 的体积为时，求λ的值．19. (本小题满分12分）已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小；（结果精确到小数后1位）（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.20. (本小題满分12分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.(I)若ΔABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；(II)若椭圆的离心率满足215 0-<<e,O为坐标原点，求证：AOB∠为钝角.（可供参考：351 32-<）21 (本小题满分14分）已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤ kx+m ≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中 ，以 原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为:θθρcos sin 2=(I)求曲线C 的直角坐标方程；(II)若直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|的值。
2021届广东省深圳高级中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2021届广东省深圳高级中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合2{|0}M x x x =-≥，{|2}N x x =<，则M N =（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x ≤≤D ．{|0x x ≤或12}x ≤<【答案】D【解析】先解不等式得集合M ，再根据交集定义求结果. 【详解】2{|0}(,0][1,)M x x x =-≥=-∞+∞ (,0][1,2)MN ∴=-∞故选：D 【点睛】本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i -C ．2D ．2i【答案】A【解析】先化简复数z ，然后由虚部定义可求． 【详解】()()()()131********i i i ii i i -----===++-﹣1﹣2i ， ∴复数131ii-+的虚部是﹣2， 故选A ． 【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】【详解】【分析】试题分析：若1a =-，则直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，充分性成立；若直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则 1a =或，必要性不成立． 【考点】充分必要性．4．设向量a ，b 满足(3,1)a b +=，1a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B 6C ．22D 10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则，以及向量的模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意结合向量的运算法则，可知：()222431416a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38【答案】C 【解析】【详解】因为1r T +=66((rr r x C x-⋅⋅,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】判断出()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为()()22f xf x <-，【详解】()()1f x x x =+()()()()11f x x x x x f x ∴-=--+=-+=-()f x ∴为奇函数，当0x ≥时，()2f x x x =+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增；()f x ∴在(],0-∞上也单调递增，即()f x 为R 上的增函数；由()()220f xf x +->()()22f x f x ⇒>--()()22f x f x ⇒>-，22x x ∴>-，解得：2x <-或1x >故选：D. 【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较，属于常考题型.7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A 2215-+ B ．43C 2215+ D ．32【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质得12QF PF ⊥，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率. 【详解】连接1QF ，由12PF F △为等腰三角形且Q 为2PF 的中点，得12QF PF ⊥，由2PF c =知22c QF =．由双曲线的定义知122cQF a =+，在12Rt FQF 中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22284708470a ac c e e ∴+-=∴+-= 2157e +∴=（负值舍去）． 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的性质求得ϕ的取值范围． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()sin(22)y f x x ϕ==-的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则22πϕ-≤-，且222ππϕ-≤，求得04πϕ<≤①．令22x k ϕπ-=，求得2k x πϕ=+，Z k ∈，故函数的零点为2k x πϕ=+，k Z ∈． ∵()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上， ∴51226k πππϕ-<+<-， ∴512262k k ππππϕ--<<--②． 由①②令1k =-，可得124ππϕ<≤， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．二、多选题9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 【答案】ABC【解析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D. 【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确． 故选：ABC 【点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 10．对于实数a 、b 、m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b > B ．若a b >，则a ab bC ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ 【答案】ABCD【解析】首先可根据22am bm >以及20m >判断出A 正确，然后将B 项分为0a b >>、0a b 以及0a b >≥三种情况进行讨论，即可判断出B 正确，再然后通过判断0a m a b m b +->+即可得出C 正确，最后可根据题意得出1a b =以及122a b a a，设()()121f a a a a=+>，通过函数()f a 的单调性即可判断出D 正确.【详解】A 项：因为22am bm >，20m >，所以a b >，A 正确；当0a b 时，22a aa b b b ，当0a b >≥时，22a a ab b b ，综上所述，a ab b 成立，B 正确；C 项：因为0b a >>，0m >， 所以0a m b a b mb a ma m a ab mb ab amb m bb b mb b mb b m，C 正确；D 项：因为0a b >>，ln ln a b =，所以1a b =，1a >，122a b a a， 设()()121f a a a a =+>，因为2120f aa，所以函数()f a 在区间()1,+∞上单调递增， 故13f af ，即()23,a b +∈+∞，D 正确，故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的证明以及导数的灵活应用，考查通过去绝对值证明绝对值不等式，考查化归与转化思想以及函数方程思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.11．已知函数()122log xf x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <.若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c <【答案】ABC【解析】先判断()f x 单调性，根据题设条件，得到()()(),,f a f b f c 的符号，结合零点的定义，即可求解. 【详解】由题意，函数()1222log 2log xxf x x x =-=+，可知函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则()()(),,f a f b f c 可能()()()0,0,0f b f a f c >><或()()()0,0,0f a f b f c <<<，又由实数0x 是函数()y f x =的一个零点，即()00f x =, 综上可得，只有x c >成立，结合选项，可得不等式中可能成立的是0x a <，0x a >和0x b <. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的概念，以及指数函数、对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，结合函数零点的概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ） A．12= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【答案】AD【解析】根据()()12f x f x =''，即可判断A 选项；再结合均值不等式即可判断其它选项. 【详解】由题意知1()(0)f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行， 所以()()12f x f x ''=，1211x x -=-，12=，A 正确； 由基本不等式及12x x ≠，可得12=>12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选：AD本题考查利用导数的几何意义处理切线平行的问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.三、填空题13．已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】先利用已知条件和同角三角函数的关系求出tan θ的值，再利用正切的二倍角公式可求出tan 2θ的值. 【详解】解：因为cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ===， 所以sin tan 2cos θθθ==-， 所以222tan 2(2)4tan 21tan 1(2)3θθθ⨯-===---，故答案为：43． 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________． 【答案】20【解析】根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解,即得结果. 【详解】因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为844-=，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 故答案为：20本题考查新数据与原数据平均数与方差的关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________． 【答案】649π【解析】先求出ABC 的外接圆半径，根据题意确定12V V 的最大值取法，再根据12V V 的最大值为3，解得球半径，最后根据球的表面积公式得结果. 【详解】如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ． 设球O 的半径为R ，1OO d =，则2432sin sin 603AC r ABC ===∠︒，即233r =．121313P ABCABCP ABC ABC h S h V V d d S --⋅⋅==⋅⋅所以当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R dV d ⎛⎫+==⎪⎝⎭，即2R d =． 由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 故答案为：649π【点睛】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档四、双空题16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A 、B 两点，且5AB =，直线l 经过C 的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．【答案】2【解析】将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p 的值，设点()00,M x y ，可得()200040y x x =≥，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN 的最小值. 【详解】由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=， 又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MNx =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为．故答案为：2；. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A （1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764.【解析】（1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求； 方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 【详解】方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A 1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =，由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==， ∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+. 【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】 （1）611=a ，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2111(4)()(13)a d a d a d +=++，化简得212d a d =，②又因为0d ≠且由①②可得，11a =，2d =.∴数列的通项公式是21n a n =-（2）由（1）得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 12111111(1)23352121n n S b b b n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+--+11(1)221n =-+21nn =+ 所以21n nS n =+. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 19．如图所示，在三棱柱中111ABC A B C -，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，122AA =，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于O ，且CO ⊥面11ABB A .（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）105. 【解析】（1）推导出DB ⊥AB 1，1CO AB ⊥，从而AB 1⊥平面BDC ，由此能证明AB 1⊥BC ，（2）以O 为坐标原点，OA ，O 1B ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D BC A --的余弦值． 【详解】解：（1）由于侧面11ABB A 是矩形，D 是中点， 故12tan 2AB B ∠=，2tan 2ABD ∠=，所以1AB B ABD ∠=∠，又1190BAB AB B ∠+∠=， 于是190BAB ABD ∠+∠=，1BD AB ⊥，而CO ⊥面1ABB A ，所以1CO AB ⊥1AB ⊥面BCD ，得到1BC AB ⊥（2）如图，建立空间直角坐标系，则20,3,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，26,0,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,33C⎛⎫⎪⎝⎭，6,0,03D⎛⎫⎪⎪⎝⎭可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为()11,2,2n=-而平面BCD的一个法向量为()20,1,0n=设二面角D BC A--的大小为θ，则121210cos5n nn nθ⋅==【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20．如图，设点A，B的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为23-.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足//AP OM，//BP ON，求MON△的面积.【答案】（1）(221332x yx+=≠；（2）62.【解析】（1）先设动点坐标，根据条件斜率之积为23-列方程即得解；（2）由平行条件得斜率关系得23OM ONk k=-，即得坐标关系121223y yx x=-；设直线MN的方程x my t =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得韦达定理，代入121223y y x x =-可得22223t m =+，再求三角形面积，将22223t m =+代入化简即得解. 【详解】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(23AP BP k k x ⋅==-≠，化简得P的轨迹方程为(22132x y x +=≠.（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//AP OM ，//BP ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅. 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-. 设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y+=，得()222324260m ymty t +++-=，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++. 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+.又1212MONSt y y ∆=-=， 所以2MONS∆==，即MON △的面积为定值2.【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算分析推理能力》 21．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）0.1；（2）（i ）490；（ii ）应该对余下的产品作检验.【解析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得()()182220C 1f p p p =-，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意01p <<的条件；（2）先根据第一问的条件，确定出0.1p =，在解（i ）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii ）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为()()182220C 1f p p p =-. 因此()()()()()1817172222020C 211812C 1110f p p p p p p p p ⎡⎤='---=--⎣⎦.令()0f p '=，得0.1p =.当()0,0.1p ∈时，()0f p '>；当()0.1,1p ∈时，()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =； （2）由（1）知，0.1p =.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()180,0.1Y B ~，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以()40254025490EX E Y EY =+=+=.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于400EX >，故应该对余下的产品作检验. 【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论. 22．已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=.（1）经过原点分别作曲线(),()y f x y g x ==的切线12l l 、，若两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<； （2）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）](,2-∞.【解析】（1）求出两条直线的斜率，设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y 1111111e e x y ax a x ⇒==-⇒=-，令11()ln 1m x x x e=-+-利用导数单调性可得答案；（2）构造函数()(1)()h x f x g x =++ln(1)e xx ax =+-+，求其导数利用函数的单调性，得出()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增，又()0(0)1h x h <=，得到实数a 的取值范围. 【详解】（1）设切线22:l y k x =，切点为()22,x y .则22e x y =，()22222e x y k g x x ===' 22x 22e e 1x x x ⇒=⇒=，2e y =2e k ⇒=.由题意，知切线1l 的斜率为1211e k k ==，方程为1ey x =.设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y . 则()111111y k f x a x x =-='= 1111111e ex y ax a x ⇒==-⇒=-. 又()111ln 1y x a x =--，消去1y ､a 后，整理得1111ln 10ex x -+-=. 令11()ln 1m x x x e=-+-，则 22111()x m x x x x-'=-=. 于是，()m x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.若1(0,1)x ∈，由112e 0e e m ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，()110e m =-<， 则11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.而111e a x =-在11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减， 故211e e a e e--<<. 若()11,x ∈+∞，因为()m x 在区间()1,+∞上单调递增，则()0m e =，所以，1110a x e=-=，这与题设0a >矛盾. 综上，211e e a e e--<<. （2）注意到，()(1)()h x f x g x =++ ln(1)e x x ax =+-+1()e 1x h x a x =++'⇒-.第 1 页 共 6 页 i .当2a ≤时，由1x e x ≥+，则1()e 1x h x a x =+-+' 11201x a a x ≥++-≥-≥+. 于是，()h x 在区间[]0,+∞上递增，()0()1h x h x ≥=恒成立，符合题意. ii .当2a >时，由[0,)x ∈+∞，且2221(1)e 1()e 0(1)(1)x xx h x x x +-=-=≥+'+'， 则()h x '在区间[]0,+∞上递增.又(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得()00h x '=.于是，()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增.又()0(0)1h x h <=，此时，()1h x ≥不恒成立，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是](,2-∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及结合方程有零点存在得到不等式的证明；考查利用导数处理函数最值和不等式恒成立的问题.。
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题【解析版】
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，则A B 等于（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，{}1,0,1A B ∴=-.故选：C.2．已知命题p ：131,28x x -∀≥≤，则命题p ⌝为（ ）A ．13001,28x x -∃≥>B ．10031,28x x -∀≥>C ．13001,28x x -∃<≤D ．10031,28x x -∀<≤【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题p ：131,28x x -∀≥≤的否定p ⌝为：13001,28x x -∃≥>故选：A3．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．3B 3C ．12D ．2【答案】D【分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 22165242⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.4．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由33a b log log ＜和333a b ＞＞分别求出a ，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案． 【详解】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞， 由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．5．实数,,x y k 满足2230{10,x y x y z x y x k+-≥-+≥=+≤，若z 的最大值为13，则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和曲线，观察图形，知直线过直线和的交点时，解得，故选B.考点:线性规划. 【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题．其题型大概有如下两种：一、已知线性约束条件，求目标函数的最优解．这种题的难度较小；二、已知线性约束条件中含有参数，并且知道最优解，求参数的值．本题属于第二种，难度要大，解决的方法如下：先作出不含参数的平面区域和目标函数取最优解时的直线，再根据含参数的不等式利用斜率相等或截距相同来解决问题.6．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，则下列函数值一定正确的是（ ） A ．(1)0f = B ．(2)1f =C ．(2020)0f =D ．(2021)1f =【答案】C【分析】由已知条件知()f x 的周期为4，且(2)(2020)0f f ==，而(2021)(1)f f =函数值不确定，即可知正确选项.【详解】(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，又()f x 是定义在R 上的奇函数，知：()()f x f x -=-且(0)0f =，∴(2)()()f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则()f x 的周期为4，∴(2)(20)(0)0f f f =+=-=，(2020)(45050)(0)0f f f =⨯+==，故B 错误，C 正确；而(2021)(45051)(1)f f f =⨯+=不能确定其函数值. 故选：C.7．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x = B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题8．三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,13,5,25PB PC AB BC AC =====则球O 的表面积为（ ） A ．28π B ．29πC ．30πD ．31π【答案】B【分析】由各棱长结合勾股定理知P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，进而求出Rt PBC 的外接圆半径r ，由外接球半径R 与r 、PA 的几何关系即可求出R ，最后求外接球表面积即可.【详解】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=， ∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥， ∴若Rt PBC 的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2229()2PA R r =+=， ∴外接球表面积2429S R ππ==. 故选：B.【点睛】关键点点睛：由棱长推出P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，根据其外接球半径R 与Rt PBC 外接圆半径r 、PA 的几何关系求出R ，进而求球的表面积.二、多选题9．下列四个命题中，正确的有（ ） A ．函数3sin(2)3y x π=+的图象可由y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到 B ．sin 2xy e=的最小正周期等于π，且在(0,)2π上是增函数（e 是自然对数的底数）C ．直线x ＝8π是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．函数tan y x =,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】CD【分析】利用图像的平移判断选项A ；利用周期的定义判断选项B ；利用整体代入的思想判断选项C ；利用正切函数的定义域判断选项D. 【详解】将y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到y ＝23sin[2()]3sin(2)33x x ππ+=+，故A 错误；令()sin2xf x e =，∴()()sin2sin2x x f x ee ππ++==，故()sin2x f x e =的周期为π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故B 错误； 由52,42x k k Z πππ+=+∈， 得3,28k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，x ＝8π是其对称轴，故C 正确；由tan 0x ≥得,()2k x k k Z πππ≤<+∈，故D 正确.故选：CD.10．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（ ） A ．a ＋b 有最小值2＋22 B ．a ＋b 有最大值2＋22 C ．ab 有最小值3＋22 D ．ab 有最大值1＋2【答案】AC【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +，ab －1＝a ＋b ≥2ab ，又a ＋b >2、ab >1，应用一元二次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值. 【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)，即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得12ab ≥+，即ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知C 正确，D 错误. 故选：AC.11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题正确的有（ ）A ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值B ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 C ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值D ．直线CD 和平面BPC 1平行 【答案】BCD【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可.【详解】选项A ，由线面所成角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时∠CPO 是变化的，故A 错误. 选项B ，三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而△DBC 1大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1//平面BDC 1∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离 ∴三棱锥D －BPC 1的体积为定值，故B 正确；选项C ，∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， ∴CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C 正确；选项D ，直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故D 正确. 故选：BCD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是A ．20192g =B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =， 所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
2021届广东省普通高中高三毕业班上学期质量调研考试数学试题及答案解析
绝密★启用前广东省普通高中2021届高三毕业班上学期教学质量调研考试数学试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合}13|{<<-=x x B ，则B A 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 2．复数iz 212+=在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“一世”又叫“一代”,东汉王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世,三十年也”,清代段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世,按父子相继日世”．据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频率分布表为则全球家族企业的平均寿命大约有A ．25年B ．26年C ．27年D ．28年4．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级,强度为x 的声音对应的等级为210lg 10)(-=x x f (dB)．装修房屋时电钻的声音约为100dB,室内正常交谈的声音约为60dB,则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的( )倍A ．410B ．4eC ．4D ．35 5．已知2)12tan(-=+πα,则=+)3tan(πα A ．3 B ．31 C ．－3 D ．31- 6．在矩形ABCD 中,4=AB ,P AC ,2=为矩形ABCD 所在平面上一点,满足PC PA ⊥,则||PD 的最大值为A ．52B ．4C ．5D ．27．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为E ,若O OE EF (3=为坐标原点）,则双曲线的离心率为A ．5B ．22C ．10D ．328．已知偶函数)(x f 在),0[∞+上单调递增,则A ．)2()10(log )23log 3(21212->>-f f fB ．)10(log )23log 3()2(21221f f f >->-C ．)2()23log 3()10(log 21221->->f f fD ．)23log 3()2()10(log 22121->>-f f f 二、选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分．9．若011>>ba ,则下列正确的选项为 A ．b a 22< B ．33b a > C ．ab a <2 D ．1ln >ab10．设b a ,为两条不重合的直线,βα,为两个不重合的平面,则下列命题中,真命题的是。
高考数学一轮复习最基础考点系列考点6含逻辑联结词命题的真假判断
专题6 含逻辑联结词命题真假判断含逻辑联结词命题真假判断命题p∧q、p∨q、非p真假判定简记为“p∧q两假才假；非p与p真假相反〞．判断含有逻辑联结词命题真假关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词命题真假关键是正确理解“或〞“且〞“非〞含义，应根据命题中所出现逻辑联结词进展命题构造分析与真假判断．(2)判断命题真假步骤根据复合命题真假求参数步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数取值范围；(3)根据给出复合命题真假推出每个命题真假情况，从而求出参数取值范围．命题p：关于x不等式a x>1(a>0，且a≠1)解集是{x|x<0}，命题q：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么实数a 取值范围为________________．[解析] 由关于x 不等式a x >1(a >0，且a ≠1)解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0解集为R ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4a 2<0，解得a >12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 与q 一真一假，即“p 假q 真〞或“p 真q 假〞，故⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12， 即a ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪(1，＋∞) 1．假设命题p ：函数y ＝x 2－2x 单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x单调递增区间是[1，＋∞)，那么( ) A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．命题p ：当a >1时，函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )定义域为R ；命题q ：“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直〞充要条件，那么以下结论正确是( )A ．p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为假命题C ．p ∧非q 为真命题D ．非p ∨q 为假命题解析：选A 当a >1时，一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0判别式Δ＝4－4a <0，那么x 2＋2x ＋a >0对任意x ∈R 恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )定义域为R ，故命题p 是真命题；直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直等价于a ×2＋2×(－3)＝0，解得a ＝3，故“a ＝3〞是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直〞充要条件，故命题q 是真命题．所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，p ∧非q 为假命题，非p ∨q 为真命题．应选A.3．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q 〞为真命题，命题“p ∧q 〞为假命题，那么实数a 取值范围为________．1．命题:p α∃∈R ,使得sin 2cos 3αα+=;命题π:0,,2q x x sinx ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭,那么以下判断正确是〔 〕A. p 为真B. q ⌝为假C. p q ∧为真D. p q ∨为假】甘肃省武威市第六中学2021届高三第一次阶段性过关考试数学〔文〕试题【答案】B 【解析】()sin 2cos 55,5sin αααθ⎡⎤+=+∈-⎣⎦，θ是参数，∵3>5，∴∀α∈R ， 23sin cos αα+≠；故命题p 为假命题，设()f x x sinx =-,那么()'10f x cosx =-，那么函数f (x )为增函数，∵那么当x >0时,f (x )>f (0)，即x −sin x >0，那么x >sin x ，故命题q 是真命题，那么q ⌝为假，其余为假命题，应选：B.2．命题p ：假设复数z 满足()()5z i i --=，那么6z i =；命题q ：复数虚部为15i -，那么下面为真命题是〔 〕A. ()()p q ⌝⌝∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ⌝∧D. p q ∧【来源】【全国市级联考】湖南省益阳市、湘潭市2021届高三9月调研考试数学〔理〕试题【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=，所以，所以命题p 为真； 复数()()()112131212)125i i i i i i i +-+-==++-，虚部为15-，所以命题q 为假.A. ()()p q ⌝⌝∧为假；B. ()p q ⌝∧为假；C. ()p q ⌝∧为真；D. p q ∧为假. 应选C.3．以下命题中正确命题个数是〔 〕〔1〕命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞逆否命题为“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞；〔2〕在回归直线ˆ12y x =+中， x 增加1个单位时， y 减少2个单位；〔3〕假设p 且q 为假命题，那么,p q 均为假命题；〔4〕命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，那么:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++>.A. 1B. 2C. 3D. 4】广东省珠海市2021-2021学年度第一学期高三摸底考试文科数学4．命题p ：关于x 方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．假设p ∨q 是真命题，那么实数a 取值范围是________．解析：假设命题p 是真命题，那么Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；假设命题q 是真命题，那么－a4≤3，即ap ∨q 是真命题，所以a ∈R.答案：R5．命题p ：方程表示椭圆，命题q ： 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤，. 〔1〕假设命题q 为真，求实数m 取值范围；〔2〕假设p q ∨为真， q ⌝为真，求实数m 取值范围.】河南省鲁山县一中2021-2021学年高二第一次月考〔文〕数学试卷【答案】〔1〕(],11,7-∞〔2〕()【解析】试题分析：〔1〕命题p为真，就是对应不等式有解，m=0时恒成立，0m≠时结合二次函数图像列条件解得实数m取值范围；此题也可利用参变别离法求解〔2〕先根据椭圆标准方程分母符号得为真为假，解不p m为真取值范围，再根据p q∨为真，q⌝为真，得p q等式得实数m取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕∵命题q为真，当0m>时，()2m≤时，∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤；当0m m m m m044210101不等式恒成立.综上，1m≤ .〔Ⅱ〕假设p为真，那么60,7067m m m+>-<⇒-<<，.∵假设p q∨为真，q⌝为真，∴p q为真为假∴1,6717>-<<∴<<m m m6．设命题：关于不等式解集是；命题：.假设为假命题，求实数取值范围.】甘肃省武威市第六中学2021届高三第一次阶段性过关考试数学〔理〕试题【答案】【解析】试题分析：由复合命题真假得命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得，由为假命题得，求其交集即可.试题解析：由为假命题，得：命题为真命题，命题为假命题.由命题为真命题，得，；由命题为假命题，得：为真命题，，解得：；因此，所求实数取值范围是.7．命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0〞，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0〞，假设命题“p且q〞是真命题，求实数a取值范围．】【全国百强校】宁夏育才中学2021届高三上学期第一次月考〔理〕数学试题【答案】a≤－2或a＝1.8．命题甲：或，命题乙：或，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数取值范围.】【全国百强校】河北省武邑中学2021-2021学年高二上学期第一次月考数学〔文〕试题【答案】【解析】试题分析：乙为假命题即为求乙集合补集，进而同甲集合取交即可.试题解析：当甲真乙假时，集合.___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ _____________________。
广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)
2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
广东省佛山市禅城区2021届高三数学上学期统一调研测试试题(二)理(含解析).doc
广东省佛山市禅城区2021届高三数学上学期统一调研测试试题（二）理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12分，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，若2(1)i z i +=-，则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【详解】解：由2+i ＝z （1﹣i ），得z ()()()()1221311122i i i i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则z 的共轭复数z 对应的点的坐标为（1322-，），在复平面的第四象限． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{|}B y y x R ==∈，则A B =( )A. []0,2B. ()0,∞+C. (]0,2 D. [)0,2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数值域的求解可得到集合A 和集合B ，由交集定义可得到结果.【详解】{}()|3,0,xA y y x R ==∈=+∞，{}[]0,2B y y x R ==∈=(]0,2A B ∴=本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数2()3xef x x =-的大致图象是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及取特殊值1x =，进行排除即可得答案. 【详解】由题意得，函数()()()2233x xeef x f x x x --===---，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C 、D ， 又由当1x =时，()1013ef =<-，故排除B ， 故选A ．【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值进行排除求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4.已知等边ABC 内接于O ，D 为线段OA 的中点，则BD =( )A.2136BA BC + B.4136BA BC - C. 2536BA BC -+ D.2133BA BC + 【答案】A【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出BD 用BA 、BC 的表达式即可． 【详解】解：如图所示，设BC 中点为E ，则1133BD BA AD BA AE BA =+=+=+（AB BE +）1133BA BA =-+•121236BC BA BC =+．故选A ．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.6C. 0.52D. 0.48【答案】A 【解析】 【分析】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，计算出()P A 和()P AB ，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年， 则()0.8P A =，()()0.6P AB P B ==，因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()()()0.60.750.8P AB P B A P A ===，故选A. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6.若()sin f x x x =+在[,](0)m m m ->上是增函数，则m 的最大值为（ ） A.56π B.23π C.6π D.3π 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m 的最大值．【详解】解：若f （x ）＝sin x x ＝2（12sin x cos x ）＝2sin （x 3π+） 在[﹣m ，m ]（m ＞0）上是增函数，∴﹣m 32ππ+≥-，且m 32ππ+≤．求得 m 56π≤，且 m 6π≤，∴m 6π≤，故m 的最大值为6π，故选C ．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，且·3c a =，·1c b =，则||=b c +（ ）．C. D. 2+【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的定义，化简计算可得所求值．【详解】解：a b ，是两个相互垂直的单位向量，可得a •b =0，|a |＝|b |＝1， 因为a b ，是相互垂直的，所以得c 与a ，b 的夹角α，β的和或差为90°， 由3c a ⋅=，1c b ⋅=，可得|c |cos α=|c |cos β＝1，由cos 2α+cos 2β＝1，可得|c |2＝4，则b c +2＝|b |2+|c |2+2b •c =1+4+2＝7， 即7b c +=． 故选B ．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，以及垂直的性质和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．8.设实数x ，y 满足约束条件10,{10,1x y x y x --≤+-≤≥-，则()222x y ++的取值范围是（ ）A. 1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,17C. 1,17⎡⎤⎣⎦D.2,172⎡⎤⎢⎥⎣ 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图，()()1,2,0.2A D --，由可行域知()22z x y =++的最大值是217AD =，最小值为D 到直线10x y --=的距离的平方为12，故选A.考点:利用可行域求目标函数的最值.9.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】 余弦定理得222222cos ,cos 22c b a c a b A B bc ac+-+-==代入原式得2222222222222222,22222c a b c b a c b a c a b c b a a c bc c ac bc-++-+--++-=-=解得2220a b c a b 或=-+= 则形状为等腰或直角三角形,选D. 点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．10.611⎛⎫++ ⎪⎝⎭x x 的展开式中的常数项为（ ）.A. 32B. 90C. 140D. 141【答案】D 【解析】 【分析】先将原式写成：661111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再用二项式定理将该式展开，根据常数项的特征，得出常数项为：02142636626466C C C C C C C +++，最后求出其值即可．【详解】解：661111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦236123666666465456111111C C x C x C x C x C x C x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎝+⎭⎭⎭， 上式共有7项，其中第一，三，五，七项存在常数项， 因此，这四项的常数项之和即为原式的常数项， 且各项的常数项如下：02142636626466C C C C C C C +++1309020141=+++=，即611⎛⎫++ ⎪⎝⎭x x 的常数项为141， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二项式定理及其应用，涉及二项式系数的性质和常数项的确定，以及组合数的运算，属于中档题．11.设奇函数()f x 在R 上存在导数()f x '，且在(0,)+∞上2()f x x '<，若331(1)()[(1)]3+-≥--f m f m m m ，则实数m 的取值范围是（ ）.A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造辅助函数31()()3g x f x x =-，由()f x 是奇函数，()()0g x g x -+=，可知()g x 是奇函数，求导判断()g x 的单调性，331(1)()[(1)]3f m f m m m ----，即(1)()g m g m -，解得m 的取值范围．【详解】解：令31()()3g x f x x =-，3311()()()()()033g x g x f x x f x x -+=---+-=，∴函数()g x 为奇函数，(0,)x ∈+∞时，2()()0g x f x x '='-<，函数()g x 在(0,)x ∈+∞为减函数， 又由题可知，(0)0f =，(0)0g =， 所以函数()g x 在R 上为减函数，331(1)()[(1)]3f m f m m m ----， 3311(1)(1)()33f m m f m m ∴----即(1)()g m g m -，1m m ∴-，∴12m． 故选：B ．【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性、利用导数法求函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.若不等式22ln 0+-<mx mx x 有且仅有两个正整数解，则实数m 的取值范围为（ ） A. ln 2ln 3,1215⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ln 2ln 2,128⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ln 3ln 2,158⎛⎫⎪⎝⎭D. ln 3ln 2,158⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】不等式22ln 0mx mx x +-<有且仅有两个正整数解等价于ln 2xmx m x+<有且仅有两个正整数解，令()()22f x mx m x m =+=+，()ln xg x x=，则问题转化为函数()(),f x g x 的图像有两个交点．【详解】由题得，0x >，∴不等式22ln 0mx mx x +-<有且仅有两个正整数解等价于ln 2xmx m x+<有且仅有两个正整数解.记()()22f x mx m x m =+=+，∴函数的图象是过定点()2,0-的直线.又记()ln x g x x =，∴()21ln 'xg x x -=，令()'0g x x e =⇒=，∴当()0,x e ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，如图所示，要使ln 2xmx m x+<有且仅有两个正整数解，数形结合可知，只需满足()()()()()()ln24222ln3335344ln464m f g f g m f g m ⎧<⎪⎧<⎪⎪⎪<⇒<⎨⎨⎪⎪≥⎩⎪≥⎪⎩，即ln2ln31215m ≤<.故选A. 【点睛】含参的不等式可转化为函数问题，解本题的关键是能构造函数()ln xg x x=，()()2f x x m =+， 利用导函数解决，属于难题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ,则489++=a a a __________． 【答案】12 【解析】分析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 13=52，可得13a 1+13122⨯d=52，化简再利用通项公式代入a 4+a 8+a 9，即可得出． 详解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 13=52，∴13a 1+13122⨯d=52，化为：a 1+6d=4． 则a 4+a 8+a 9=3a 1+18d=3（a 1+6d ）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n 项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.14.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A ，B ，C ，D ，E ，F 六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A ，B 两门课程至少要选1门，则学生甲共有__________种不同的选法. 【答案】16 【解析】【分析】本道题先计算总体个数，然后计算A,B 都不选的个数，相减，即可．【详解】总体种数有3620C =，A,B 都不选的个数有344C =，所以一共有16种．【点睛】本道题考查了排列组合问题，难度中等．15.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点1(2，则cos 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】1- 【解析】 【分析】结合终边过点坐标，计算出sin ,cos θθ，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可．【详解】1cos ,sin 22θθ==，21cos 22cos 1,sin 22sin cos 22θθθθθ=-=-==所以1cos 2cos 2sin 21322πθθθ⎛⎫+=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭ 【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等． 16.已知12,x x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则()12sin x x += .【解析】分析：由于函数f(x)的两点零点是1x ，2x ，所以11222sin 2cos 22sin 2cos 2m x x x x =+=+，由和差化积公式，可得21220sin ()25x x +=，再由12[0,π]x x +∈，可解． 详解：由1x ，2x 是函数()2sin 2cos2=+-f x x x m 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，可得：11222sin 2cos 22sin 2cos 2m x x x x =+=+，即为：12122(sin 2sin 2)cos 2cos 2x x x x +=-+，即有121221214cos()sin()2sin()sin()x x x x x x x x +-=-+-， 由12x x ≠，可得12sin()0x x -≠，可得2112sin()2cos()x x x x +=+，又221212sin ()cos ()1x x x x +++=，可得21220sin ()25x x +=， ∵12[0,π]x x +∈， ∴1225sin()5x x +=． 点睛：本题考查三角函数零点和的三角函数值问题，关键在于转化零点问题与怎么化简方程问题．三、解答题：第17~22题为解答题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图所示，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-．（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=，求CD 的长． 【答案】（152）5 【解析】 【分析】（1）由对角线AC 平分BCD ∠，求得3cos 5BCD ∠=-，进而得到5cos 5ACB ∠=， 在ABC ∆中，利用余弦定理，即可求得AC 的长. （2）根据三角恒等变换的公式，求得2sin 10CDB ∠=，再在BCD ∆中，由正弦定理，即可求解．【详解】（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠， ∴23cos 2cos 15BCD ACB ∠=∠-=-， ∵cos 0ACB ∠>，∴cos ACB ∠=， ∵在ABC ∆中，1BC =，2AB =，cos ACB ∠=∴由余弦定理2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠可得：230AC AC -=，解得AC =AC =（舍去）， ∴AC（2）∵3cos 5BCD ∠=-，∴4sin 5BCD ∠==， 又∵45CBD ∠=，∴()()sin sin 18045sin 45CDB BCD BCD ∠=-∠-=∠+)sin cos 210BCD BCD =∠+∠=， ∴在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可得sin 5sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠，即CD 的长为5.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在ABC ∆中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18.在公差d 的等差数列{}n a 中，16a d =，1a N ∈，d N ∈，且1a d >. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1a ，4a ，13a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）5n a n =+；（2）69nn + 【解析】 【分析】（1）由题意可得13a =，2d =或16a =，1d =，再由等差数列的通项公式可得所求； （2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求n a ，求得111111(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再由裂项相消求和即可得解． 【详解】解：（1）∵16a d =，1a N ∈，d N ∈，且1a d >，∴132a d =⎧⎨=⎩或161a d =⎧⎨=⎩当13a =时，21n a n =+；当16a =时，5n a n =+.（2）∵1a ，4a ，13a 成等比数列，∴21134a a a =即2111(12)(3)a a d a d +=+，化为0d =或123a d =， 由（1）可得13a =，2d =， ∴21n a n =+，则111111(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故1111111111235572123232369⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…n n S n n n n . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题． 19.设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2ω=.优质资料\word 可编辑(Ⅱ) 32-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x=)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-13(sin )2x x ωω=)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.20.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求曲线C 的参数方程； （2）若点P 为直线与x 轴的交点，求211||+2|PA|PB 的取值范围. 【答案】（1）1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（2）15,416⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系H 和三角函数关系式的恒等变变换的应用求出结果．【详解】解：（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式，可得曲线C 的直角坐标方程为2220+-=y y x ，即()2211x y -+=，所以曲线C 参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.（2）将2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入曲线C 的直角坐标方程，整理得；26cos 80-+=t t α，由题意得236cos 320∆=->α，故28cos 9>α，又2cos 1≤α，∴28cos ,19⎛⎤∈ ⎥⎝⎦α，设方程26cos 80-+=t t α的两个实根分别为1t ，2t ，则126cos t t α+=，128t t =， 所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义，可得1212||||6|cos |+=+=+=PA PB t t t t α，12||||8⋅==PA PB t t ，∴()()22212122222212211(||||)2||||9cos 4||||||||16+-+-⋅-+===⋅t t t t PA PB PA PB PA PB PA PB t t α， ∵28cos ,19⎛⎤∈ ⎥⎝⎦α，∴29cos 415,16416-⎛⎤∈ ⎥⎝⎦α，所以2211||||+PA PB 的取值范围是15,416⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．21.为发挥体育咋核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学生已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中最忌抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级以上游泳比赛中获奖，如上表所示，若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查.记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式计算所求事件的概率值；（2）由题意知随机变量ξ的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】解：（1）记事件{i A =从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0,1,2,3i =}，则23{A A +=从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且2A 与3A 互斥}.∴所求概率()()()2130333323233366101202=+=+=+==C C C C P P A A P A P A C C（2）由题意，可知ξ所有可能取值有0， 1，2，3.223422559(0)50===C C P C C ξ，2234111322524512(1)25+===C C C C C P C C ξ，111242224322553(2)10+===C C C C C P C C ξ，142222551(3)25===C C P C C ξ. 所以ξ的分布列是∴92415260123505050(505)E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题． 22.已知函数()sin xf x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：对[0,),()1x f x ∀∈+∞； （2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)见证明；(2) ()0,1a ∈ 【解析】 【分析】（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a 分类讨论，分别研究a 的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．【详解】(1)当1a =时，()sin x f x e x =-，于是，()cos xf x e x '=-.又因为，当()0,x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤. 故当()0,x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>.所以，函数()sin xf x e x =-为()0,+∞上的增函数，于是，()()01f x f ≥=.因此，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥； (2) 方法一：由题意()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立. 于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 所以00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点； ②当1a ≥时，()cos cos 0x xf x ae x e x ≥-'=->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值； ③当0a ≤时，()cos 0xf x ae x =-<'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值， 综上所述，使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1. 方法二：由题意，函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点. 即cos x x a e =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点. 设()cos xx g x e =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数. 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值. 事实上，当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 即00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点. 综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．。
广东省惠州市2021届高三第一次调研考试数学试题(含答案)
（2）设 bn
an
1 an1
，求数列 {bn} 的前
n
项和 Sn
．
18．（本小题满分 12 分）
数学试题
第 3 页，共 17 页
公众号：高三资料库
在△ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且 b cos A=2c a cos B .
（1）求角 B 的值； （2）若 a 4 ，△ ABC 的面积为 3 ，求△ ABC 的周长．
行调研，每个县区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）.
A． 1 6
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 2
10．对于函数 f x ，若在定义域内存．在．实数 x，满足 f x f x ，称 f x 为“局部奇函数”.
若 f x 4x m2x1 m2 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的取值范围是（ ）.
公众号：高三资料库
惠州市 2021 届高三第一次调研考试试题 数学
全卷满分 150 分，时间 120 分钟． 注意事项：
2020.07
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡 上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
A．1 3 m 1 3
B．1 3 m 2 2
C． 2 2 m 2 2
D． 2 2 m 1 3
数学试题
第 2 页，共 17 页
公众号：高三资料库
二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|4A x x =>，{}2|30B x x x =-<，则A B =A ．(5,2)(2,6)--B ．(2,2)-C ．(,5)(6,)-∞-+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞2．27(1)i i-= A ．1B ．2C ．−iD ．−2i3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为 A ．30°B ．45°C ．15°D ．60°5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A ．14B ．12C ．38D ．586．若定义在R 上的奇函数f (x )在(0,)+∞单调递增，且(5)0f -=，则满足0)(xf x <的解集是A ．(,5)(5,)-∞-+∞B ．(,5)(0,5)-∞-C ．(5,0)(5,)-+∞D ．(5,0)(0,5)-7．已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值是 A ．14B ．2C ．1D ．128．直线:l y kx b =+是曲线()ln(1)f x x =+和曲线2()ln()g x e x =的公切线，则b =A ．2B ．12C ．ln 2eD ．ln(2)e 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为 A ．52B ．5C ．533D ．35510．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0)ω>的部分图象，则(第10题图)A ．1()2sin()24f x x π=+B ．1()2sin()22f x x π=+C ．1()2sin()22f x x π=--D ．1()2cos()2f x x = 11．已知0ab <，则A ．222a b ab +≥B ．222a b ab +<C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 12．已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为X 01 23… np0p 1p 2p 3p …n p其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则A ．()(2)E X g =B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f = 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线l 与E 交于A ，B 两点，1AF 、2BF 都与x 轴垂直，则||AB =________．14．将数列{}2n 与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前10项和为________（用数字作答）．15．已知α、β为锐角三角形的两个内角，sin α=，sin()αβ+=，则cos 2β= ．16．一半径为R 的球的表面积为64π，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分） 在①1cos 2B =，②1cos 2C =，③cos 2C =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，1b =，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）已知数列{}n a 是正项等比数列，满足3452a a a +=，121a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log (3)n n t a =，求数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，2AC BC PC PB ====，120ACB ∠=，平面PBC ⊥底PEDCBA面ABC ，D ，E 分别是BC ，AB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABC ；（2）求二面角P CE B --的正切值．(第19题图)20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值:该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在[35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图(第20题图)下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 (1)以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X (元)的期望的估计值．(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为ξ(单位：元)，求ξ(元)的分布列．21．（12分）已知函数2()e 2()x x f x x ax e ax a =+-++，0a ≥． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）讨论()f x 的零点的个数．22．（12分）已知抛物线E 的顶点在原点，焦点(0,)2pF (0)p >到直线:2l y x =-的距离为2，00(,)P x y 为直线l 上的点，过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ，切点为M N 、． (1)求抛物线E 的方程；(2)若(3,1)P ，求直线MN 的方程;(3)若P 为直线l 上的动点，求||||MF NF ⋅的最小值．数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|4A x x =>，{}2|30B x x x =-<，则A B =AA ．(5,2)(2,6)--B ．(2,2)-C ．(,5)(6,)-∞-+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞2．27(1)i i-=B A ．1B ．2C ．−iD ．−2i3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有B A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与α所成的角为D A ．30°B ．45°C ．15°D ．60°5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是A A ．14B ．12C ．38D ．586．若定义在R 上的奇函数f (x )在(0,)+∞单调递增，且(5)0f -=，则满足0)(xf x <的解集是DA ．(,5)(5,)-∞-+∞B ．(,5)(0,5)-∞-C ．(5,0)(5,)-+∞D ．(5,0)(0,5)-7．已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值是C A ．14B ．2C ．1D ．128．直线:l y kx b =+是曲线()ln(1)f x x =+和曲线2()ln()g x e x =的公切线，则b =C A ．2B ．12C ．ln 2eD ．ln(2)e 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为AB A ．52B ．5C ．533D ．35510．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0)ω>的部分图象，则BCDA ．1()2sin()24f x x π=+B ．1()2sin()22f x x π=+C ．1()2sin()22f x x π=--D ．1()2cos()2f x x = 11．已知0ab <，则ACDA ．222a b ab +≥B ．222a b ab +<C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 12．已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为X 01 23… np0p 1p 2p 3p …n p其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则CDA ．()(2)E X g =B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f = 提示：X 234 5 6 7 8234567811()16161616161616f x x x x x x x x =++++++ 234567811234321(2)222222216161616161616f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2254= 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。