北师大版高中数学选修2-2：第三章 导数应用 复习课件
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
↓
极小值
↑
极大值
↓
故由上表知,当
m
0 时,
f
(x)
在
,1
2 m
单调递减,在 1
2 m
,1
单调递增,
在 (1, ) 上单调递减。
（III）由已知得 f (x) 3m ，
即 mx2 2(m 1)x 2 0 .又 m 0 所以 x2 2 (m 1)x 2 0 ,
第三章 导数应用 复习课件
导数应用
函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
定理
一般地，函数y＝f(x)在某个区间(a,b)内：
（1）如果恒有f′(x)>0，那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单 调递增；
（2）如果恒有f'(x)<0，那么y=f (x)<在这个区间(a,b)内 单调递减。
故 f x x3 3x2 9x 2,因此 f 1 1 3 9 2 7 ,
即函数 f x 在区间2, 2 上的最小值为 7 。
例：已知函数 f (x) ax3 bx2 cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,其导函数 y y f (x) 的 图 象 经 过 点
,所求
曲线的切线方程为 y 1 x . 4
小评:“过某点”与“在某点处”的不同。故审 题应细。
又如:曲线 y 3 x 12 在点 1,0 处的切线问
题。x 1处的导数不存在,说明该曲线在点 1,0 处的
切线的斜率趋于无穷大,倾斜角为 ,所以曲线
2
y 3 x 12 在点 1,0 处的切线方程为 x 1 .
（II）由（I）知，
f
(
x)
3mx2
6(m
1)
x
3m
6
=
3m(x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
m, n R, m 0 ， （I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f (x) 的单调区间；
（III）当 x 1,1 时,函数 y f (x) 的图象上任意一
点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围。
解:(I) f (x) 3mx2 6(m 1)x n 因为 x 1 是函数 f (x) 的一个极值点,所以 f (1) 0 ,即 3m 6(m 1) n 0 ，所以 n 3m 6 。
y 2x .
（ 2 ） 当 切 点 不 是 原 点 时 , 设 切 点 是 x0 , y0 , 则 有
y0 x03 3x02 2x0
,即
k
y0 x0
x0 2
3x0
2
,又
k
f x0 3x02 6x0
2 ,故得
x0
3,k 2
y0 x0
1 4
3
3
即
m
的取值范围为
4 3
,
0
.
函数的最大值与最小值：
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给 定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最 小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，
通常最大值记为M，最小值记为m。
2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b] 上必有最大值与最小值。 3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b] 上最值求法： ① 求出f(x)在(a，b)内的极值； ② 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的 一个是最大值，较小的一个是最小值。 9x a 。 （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间 2, 2 上的最大值为 20,求它在
该区间上的最小值。
解：（Ⅰ） f x 3x2 6x 9 .令 f x 0 ,解得 x 1
(1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求:
（Ⅰ） x0 的值; （Ⅱ） a,b, c 的值。
O
1
2
x
解法一：（Ⅰ）由图象可知，在 ,1上 f x 0 ,在 1, 2 上 f x 0 ，在 2, 上 f x 0,故 f x 在 x 1处取得极
因为在 1,3 上 f x 0 ,所以 f x 在1, 2 上单调递增， 又由于 f x 在2, 1 上单调递减，因此 f 2 和 f 1 分别 是 f x 在 区 间 2, 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有
22 a 20 ,解得 a 2 。
注：导数等于零的点不一定是极值点。
（3）在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的 曲线,则它必有最大值和最小值。
y f(x3) f(x1)
a
x2
x1
0
x3
g f(a)
f(x2)
fg(b)
x4 bx
函数、导数、方程与不等式
例（05 山东 19）已知 x 1 是函数 f (x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点，其中
3
2
3
2
f 1 5 ，即 m 3 2m 5 ，得 m 6 .
32
所以 a 2, b 9, c 12 .
例：求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程。
解: f x 3x2 6x 2 .设切线斜率为 k ,
（1）当切点是原点时, k f 0 2 ,所以所求曲线的切线方程为
三、小结: 利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、
函数的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一些 与实际相关的问题。
谢谢
大值，所以 x0 1。
（Ⅱ）f x 3ax2 2bx c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 ,
3a 2b c 0, 得 12a 4b c 0, 解得 a 2,b 9, c 12 。
a b c 5.
或 x 3 , 所 以 函 数 f x 的 单 调 递 减 区 间 为
,1,3, 。
（Ⅱ）当 x 2, 2时
x 2 2,1 1 1,2 2
f x
0
f x 2a
↓
极小 ↑ 22 a
因为 f 2 2 a , f 2 22 a ,所以 f 2 f 2 。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有f ( x) 0 ,则 f (x)为常数。
函数的极值
（1）如果b是f'(x) =0的一个根，并且在b左侧附近f'(x)>0，在b右侧 附近f'(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。
（2）如果a是f'(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f'(x)<0，在a右 侧附近f'(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。
解法二:（Ⅰ）同解法一。
（ Ⅱ ） 设 f x m x 1 x 2 mx2 3mx 2m , 又
f x 3ax2 2bx c ，所以
a m , b 3 m, c 2m . f x m x3 3 x2 2mx , 由
m
m
即 x2 2 (m 1)x 2 0, x 1,1
m
m
①设 g(x) x2 2(1 1 )x 2 ,其函数开口向上, mm
由题意知①式恒成立,所以
g(1) 0,
g
(1)
0.
1 1
2
2 m
0.
2 m
0,
解之得 4 m 又 m 0 所以 4 m 0 .
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北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值.
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
2018版数学北师大版选修2-2课件：第三章 导数应用 1-2
跟踪训练1 求下列函数的极值. (1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；
解答
8 (2)y＝2x＋ . x
解
函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
4 2 2 8 1 － 1 － 1 ＋ y′＝2－x2＝2 ＝ 2 2 ， x x x
故x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
答案
梳理 (1)函数极值的概念
①极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点 值f(x0)为函数的极大值. ②极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点 值f(x0)为函数的极小值. ③极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称 为 极值点 . 的 大于或等于 x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 函数值都 的 小于或等于 x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 函数值都
函数的单调性.
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
答案
梳理 求函数极值点的步骤
(1)求出导数 f′(x)；
(2)解方程 f′(x)＝0，
解 a x－a 由 f′(x)＝1－x＝ x ，x>0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
北师大版高中数学选修22第三章导数应用导数在实际问题中的应用一课件41416
解： R q 收 p q 2 入 5 1 q 2q 5 1 q 2
8
8
利 润 LRC25q1q2(1004q)
8
1q2 8
21q10(00q20)0
L'
1 4
q
21
令 L' 0， 即 1q21 0 求得唯一的极值点
q 84
4
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学 模型
优化问题的答案
作答
用函数表示的数学问题 解决数学模型
用导数解决数学问题
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导 数应用》导数在实际问题中的应用 (一)课件41416
一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。2、过程与方法：通过 分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的 思想方法 二、教学重点：函数建模过程
V(40)为极大值，且为最。 大值
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-9-14
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
2013-9-14
当r 2时, f r 0.
' '
由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
'
②
半径为 cm时,利润最大 . 2013-9-14 6
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象 图 ( 1.4 4)上观察, 你有什么发现? 从图象上容 易看出, 当 r 3 时,
f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
y
r3 2 f r 0.8π r 3
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-9-14
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
2013-9-14
当r 2时, f r 0.
' '
由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
'
②
半径为 cm时,利润最大 . 2013-9-14 6
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象 图 ( 1.4 4)上观察, 你有什么发现? 从图象上容 易看出, 当 r 3 时,
f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
y
r3 2 f r 0.8π r 3
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的极值 课件
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北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学选修2-2课件第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(一)
y
围成的图形中有一个内接
矩形ABCD,求这 个矩形的
最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
x)
0
,得x1
2
2
3 3
,
x2
2
2
3 3
.
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
,0)
23 3
时, S (
x)max
32 9
3
.
时,矩形的最大面积是
32
3 .
3
9 10
3、如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
13
回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
建立 优化问题 数学
模型
优化问题的答 案
作答
用函数表示的数学问 题
解决数学 模型
用导数解决数学问题
15
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的 统计数据，建立与其相应的数学模型，再 通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往 往是一个有利的工具。
4
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》实际问题中导数的意义 课件
(2) W’(t)= W ′(t ) = 3t − 12t + 16
2
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示 分别表示t=1s和t=2s时， 分别表示 和 时 这个人每秒做的功为7j和 这个人每秒做的功为 和4j 在物理学中，通常称力在单位时间内 在物理学中，通常称力在单位时间内 做的功叫做功率，它的单位是瓦特 做的功叫做功率，它的单位是瓦特
二．新课探析 1、功与功率 、 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进， 、如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W（单位： ）是时间t（单位： 他所做的功 （单位：J）是时间 （单位： s）的函数，设这个函数可以表示为 ）的函数， 3 2 W=W(t)= t − 6t + 16t (1) 求t从1s变到 时，功W关于时间 的 变到3s时 关于时间t的 从 变到 关于时间 平均变化率， 平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义 并解释它们的实际意义
2
′(10) = 6 − 0.8 × 10 + 0.06 × 10 2 = 4 (元/件)， C 元件，
万件时， 因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本 增加 4 元，远低于当前的单位成本．因此从降低成本 远低于当前的单位成本． 角度看应继续提高产量． 角度看应继续提高产量．
件某产品的总成本函数为： 例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
（3）边际利润 ） 表示总利润， 设总利润函数为 L = L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量， 销售量 ， 则 L ′(q) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 边际利润的经济意义是： 再增加一个单位的销量， 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L′(q)个 单位． 单位．
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的单调性 课件
0
. . . . . ..
2
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x
（－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上单增,切线斜率 大于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生 改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
(B)–1<a<1
(D) 0<a<1
3 、 当 x∈(-2,1) 时 ， f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
作业布置：课本P62页习题3-1A组1、2 五、教后反思：
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2.已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
试画出函数 f ( x )图象的大致形状。 y A
y f ( x)
B o
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2
3
x
设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数， y f '( x ) 的图象如 右图所示,则 y f ( x )的图象最有可能的是( C)
1 1 6 x 3 0, x , 单调增区间为 ,); ( 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 , ). ( 3 2 的单调区间。 2 2 变1：求函数
y 3x 3x
解 : y 9 x 2 6 x 2 2 9 x 6 x 0, x 或x 0, 单调增区间为 ,0) ( ,); ( 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x , 单调减区间为 0, ). ( 3 3 2013-4-2
2021届北师大版高中数学选修2-2精品课件：第三章 导 数 应 用(4课时269张PPT)
导数
单调递_增__
f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何 子区间上都不恒为零
单调递_减__
f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何 子区间上都不恒为零
常函数
f′(x)=0
【类题·通】 原函数与导函数关系的判定方法
(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的， 则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内是减少的， 则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定 导函数图像.
(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减 快慢.
【习练·破】 已知函数y=f(x)的图像如图所示，则函数y=f′(x)的 图像可能是图中的 ( )
【解析】选C.由函数y=f(x)的图像的增减变化趋势判 断函数y=f′(x)的正、负情况如表：
x (-1，b) (b，a)
f(x) ↘
↗
2
如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式
f′(x)≤0的解集是 ( )
A. [ 1，1] ∪[2，3)
3
B. [ 1，1 ] [ 4，8]
2 33
C. ( 3，1)∪[1，2]
22
D. ( 3，1) [1，4] [8，3]
2
23 3
【思维·引】要使f′(x)≤0，则f(x)单调递减，从 f(x)的图像上看是下降的.
A.增函数
B.减函数
C.有增有减
D.不能确定
【解析】选A.y′=1-sin x≥0，因此函数为增函数.
3.若函数y=x3+ax在R上是增函数，则a的取值范围是 ________. 【解析】因为y′=3x2+a，由题意得3x2+a≥0，a≥-3x2 在R上恒成立，因为-3x2≤0，则a≥0. 答案：[0，+∞)
北师大数学选修2-2配套课件：第三章 导数应用 §2 第2课时
第三章 导数应用
• 本章知识概述：导数应用包括两个方面： 一是利用导数作为一种工具在解决函数问 题中应用；二是导数在分析和解决实际问 题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单 调性与极大、极小值，是导数在研究和处 理函数性质问题的一个重要应用．
• 第二部分主要是应用导数方法解决现实中 的变化趋势和最优化问题，解决这类问题 的关键是函数模型的建立，从导数角度看 ，主要是导数在数学上的研究成果的应用 ．导数在现实生活中有着广泛的应用，在 物理学中的力学、电学、运动、做功、受 热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日 常生活中，利用导数处理最优化问题简单 方便．导数是人们在解决现实生活问题中 的伟大发明．
为视)角_，_则__α＝__γ－_β_，_ta.nγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，tanα＝tan(γ－β)
＝1t＋anγta－nγttaannββ＝1＋3x.23－.2×x12x.81.8
＝x2＋1.45x.76(x>0)， 令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2×1.4x＝0， 解得 x＝2.4 或 x＝－2.4(舍去)， 在 x＝2.4 附近，导数值由正到负， 所以在 x＝2.4 时，tanα 取得最大值，α 也取得最大值．
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为
(C)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
• [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算
，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令
实际问题的答案 用_导__数__解决数学问题
• 本章知识概述：导数应用包括两个方面： 一是利用导数作为一种工具在解决函数问 题中应用；二是导数在分析和解决实际问 题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单 调性与极大、极小值，是导数在研究和处 理函数性质问题的一个重要应用．
• 第二部分主要是应用导数方法解决现实中 的变化趋势和最优化问题，解决这类问题 的关键是函数模型的建立，从导数角度看 ，主要是导数在数学上的研究成果的应用 ．导数在现实生活中有着广泛的应用，在 物理学中的力学、电学、运动、做功、受 热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日 常生活中，利用导数处理最优化问题简单 方便．导数是人们在解决现实生活问题中 的伟大发明．
为视)角_，_则__α＝__γ－_β_，_ta.nγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，tanα＝tan(γ－β)
＝1t＋anγta－nγttaannββ＝1＋3x.23－.2×x12x.81.8
＝x2＋1.45x.76(x>0)， 令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2×1.4x＝0， 解得 x＝2.4 或 x＝－2.4(舍去)， 在 x＝2.4 附近，导数值由正到负， 所以在 x＝2.4 时，tanα 取得最大值，α 也取得最大值．
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为
(C)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
• [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算
，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令
实际问题的答案 用_导__数__解决数学问题