高等数学A(二)2009-2010(A)
安徽大学 2009--2010 高等数学 A(二)试题与答案
x 2+ y 2AA ⎩S S⎫ 安徽大学 2009--2010 高等数学 A(二)试题与答案一、填空题(2×5=10 分)1. 点(2,1,1) 到平面 x + y - z + 1 = 0⎛ 2. 极限 lim x 2 xy = 0. x →+∞x 2 + y 2 ⎪y →+∞⎝ ⎭ πsin x23. 交换积分次序⎰dx ⎰0 f (x , y )dy⎧ 2, - 1 < x < 04. 设 f (x ) 是周期为 2 的函数, 它在区间(-1,1] 上的定义为f (x ) = ⎨x 3 ,则 0 < x < 1f (x ) 的 Fourier 级数在x=1 5. 函数u=xyz 在点(1,1,1) 处沿方向(2,2,1) 的方向导数为二、选择题(2×5=10 分)6. 二元函数 f (x , y ) = 在点(0,0) 处 ( )A. 连续, 但偏导数不存在;B. 不连续; 且偏导数不存在;C. 不连续; 但偏导数存在;D. 连续, 且偏导数存在.7. 设第二类曲面积分 I 1 =⎰⎰ xyzdzdx , I 2 = ⎰⎰ xy 2 zdzdx ,其中 S 为 x 2 + y 2 + z 2= 1 的上半部分, 方向取上侧, 若S 1 为 S 在第一卦限部分, 且与 S 方向一致, 则( )A. I 1 = I 2 = 0 ;B. I 1 = 0, I 2 = 2⎰⎰Sxy 2 zdzdx ;C. I 1 = 2⎰⎰Sxyzdzdx , I 2 = 2⎰⎰S xy 2zdzdx D. I 1 = 2⎰⎰S xyzdzdx , I 2 = 08. 设Ω 为 R 3 中开区域，且Ω 内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω 的曲面，函数 P,Q,R 在Ω 内连续可导，若曲线积分 ⎰LPdx + Qdy + Rdz 只依赖于曲线 L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（ D ）A . 对Ω 内任意光滑闭曲线 C ，曲线积分 ⎰CPdx + Qdy + Rdz = 0 ；B . 存在Ω 上某个三元函数 u(x,y,z), 使得 du = Pdx + Qdy + Rdz ;∂P ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂RC . 等式 ∂y = ∂x , ∂x = ∂z , ∂z = ∂y在开区域Ω 内恒成立;1111A A yy 0 00 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 解: 设 F (x , y , z ) = x 2 + y 2- z 则曲面 S 在点(1,1,2) 处的法向量为:( F x , F y , F z )(1,1,2) = (2x ,2 y ,-1)( 2,2,1) = (2,2,-1) 由题设可知平面∏通过法线L, 故:∂P ∂Q ∂RD . 等 式 ∂x + ∂y + ∂z= 0 在开区域Ω 内恒成立.9. 设函数 f (x , y ) 在开区域 D 内有二阶连续偏导数, 且 f x (x 0 , y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) =0. 则下列为 f (x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处取极小值的充分条件的是( )A. f xx (x 0 , y 0 ) >0,B. f xx (x 0 , y 0 ) >0,C. f xx (x 0 , y 0 ) <0,D. f xx (x 0 , y 0 ) <0, f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f (x , y ) - f 2xy(x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0; f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0. 10. 设函数u = f (x , y , z ) 具有二阶连续偏导数, 则div grad f = ( )A .f xx + f yy + f zz ; B. f x + f y + f z ; C. ( f x , f y , f z );D. ( f xx , f yy , f zz ).三、计算题(10×3+12×2=54 分)11. 设平面∏ : x + ay - z + b = 0 通过曲面 z = x 2 + y 2在点(1,1,2)处的法线 L,求 a , b 的值.12. 计算第二类曲线积分⎰Lydx - xdyx 2 + y 2, 其中 L 为正方形边界 x + y = 1 ,取顺时针方向.⎰⎰ 222n =013. 计算第一类曲面积分zdS ,其中∑为圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 (R > 0) 介于平∑x + y + z面z = 0 与 z= h (h>0) 之间的部分.∞(-1)n14. 将函数 f (x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数, 并求级数∑ 2n + 1 的和.15. 设函数 f (u ) 具有二阶连续导数, 且 z = f (e xsin y ) ,解法(一): 设x=Rcosu, y=Rsinu, z=v, 则∑对应于 D: 0 ≤ u ≤ 2π ,0 ≤ v ≤ h .v v v u u u 2x = -R sin u , y = R cos u , z = 0, x = 0, y = 0, z = 1故E = R ,F = 0,G = 1,∂ 2 z ∂ 2 z (1) 求 ∂x 2 , ∂y2 ;(2) 若函数 z = f (e xsin y ) 满足方程 ∂ 2 z ∂x 2 + ∂ 2 z ∂y 2= e 2 xz, 求函数 f (u )四、应用题(10×1+6×1=16 分)16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段, 一段围成一个圆, 另一段围成一个长方形. 求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法.17. 已知一条非均匀金属线 L 放置于平面 Oxy 上, 刚好为抛物线 y = x 2对应于0 ≤ x ≤ 1 的那一段, 且它在点(x,y) 处的线密度 ρ (x , y ) = x ,求该金属丝的质量.五、证明题(6×1+4×1=10 分)18. 证明级数∑(-1)n n =1lnn + 1 n 条件收敛. ∞ 解: 将(1) 中结果代入方程, 得 f ' (u )e2 x= e 2 x z 即: f ' (u ) - f (u ) = 0 这是一个二阶常 2 1特征根为λ = 1, λ = -1 2系数线性齐次微分方程, 相应的特征方程为λ - 1 = 0 1 22 1 故 f (u ) = C e u + C e -u,其中C , C 为任意常数。
2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷
北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 ．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（ ）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（ ）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（ ）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310． 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（ ）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。
2009-2010(2)高等数学(90)A卷解答
广州大学2009-2010学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试参考解答与评分标准一．填空题(每小题4分,本大题满分20分) 1．已知{3,1,2}a =--,{1,2,1}b =- ,则a b⋅= 3,a b ⨯= (5,1,7).2．xO y 平面上的双曲线221xy -=绕x轴旋转一周生成一个旋转 双 叶双曲面,该曲面的方程是2221x y z --=.3．设2(,)arctanf x y y x =+,则(,)x f x y '=arctan,(0,1)y f '=2.4．已知曲线2:(03)C y x x =≤≤,则Cs =⎰39.5．幂级数1nn xn∞=∑的收敛半径R =1,收敛域为[1,1)-.二．解答下列各题(每小题5分,本大题满分15分)1．判别级数11ln (1n ∞=+∑的收敛性.解: 当n →∞时,ln (1~+所以1ln (1n ∞=+∑与1n ∞=∑…………(3分)而1n ∞=∑,所以1ln(1n ∞=+∑也发散 …………(5分)2．判别级数12!nnn n n∞=⋅∑的收敛性.解: 2!nn nn u n⋅=,1limn n nu u ρ+→∞=2lim(1)nnn nn →∞=+2lim1(1)n nn →∞=+2e=…………(4分)因1ρ<，所以级数12!nnn n n∞=⋅∑收敛 …………(5分)3．在区间(1,1)-内求幂级数1nn n x ∞=∑的和函数.解: 11111()nn nn n n n n n x x n xx x x x ∞∞∞∞-===='⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑ …………(3分)111x x '⎛⎫=- ⎪-⎝⎭2(1)x x =- …………(5分)三．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分)1．设(,)z f u v =具有连续的二阶偏导数,23u x y =+,v xy =,求z x∂∂和2z x y∂∂∂.解:2u v z z u z v f yf xuxv x∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ …………(4分) 22u v v f f z f yx yyy''∂∂∂'=++∂∂∂∂ …………(6分)2(3)(3)uuuv v vu vv f xf f y f xf '''''''''=++++ …………(8分) 6(23)v uuuv vv f f x y f xyf '''''''=++++ 2．已知由方程3333x y z xyz ++=确定函数(,)z z x y =,求z x∂∂、z y∂∂和d z .解: 令3333F x y z xyz =++-,则233x F x yz =-,233y F y xz =-,233z F z xy =- …………(3分)22x z F z yz xx F z xy ∂-=-=∂- …………(5分) 22y zF z xz yyF z xy∂-=-=∂- …………(6分)2222d d d yz xxz yz x y z xyz xy--=+-- …………(8分)已知L 为曲面222:30S x y z y ++-=与平面23540x y z -+-=的交线,点(1,1,1)P 为曲线L 上一点.(1)求曲面S 在点P 的切平面方程; (2)求曲线L 在点P 的切线方程.解: (1) 法向量(1,1,1)(2,23,2)|(2,1,2)n x y z =-=-…………(2分) 所求切平面方程为 2(1)(1)2(1)0x y z ---+-=即 2230x y z -+-= …………(4分) (2) 平面23540x y z -+-=的法向量1(2,3,5)n =-…………(5分) 曲线L 在点P 的切线的切向量为121264235ij kT n n i j k =⨯=-=---…………(7分)所求切线方程为111164x y z ---==-- …………(9分)五．(本题满分9分)求函数2(,)624ln f x y y x xy x =+--的极值.解: 由 4620220xyf y x f y x ⎧=--=⎪⎨⎪=-=⎩,得驻点(1,1),(2,2) …………(4分)24xx A f x==，2xy B f ==-，2yy C f == …………(6分)在点(1,1)处,240A C B -=>,且40A =>,(1,1)5f =为极小值…………(8分) 在点(2,2)处,220A C B -=-<,(2,2)f 不是极值 …………(9分)设二重积分(,)d d DI f x y x y =⎰⎰,其中积分区域D 是由曲线2y x x =-与x 轴所围成的有界闭区域.(1)画出积分区域D ,并将二重积分I 化为先y 后x 的二次积分; (2)将二重积分I 化为极坐标形式的二次积分.解: (1)积分区域如图阴影部分 …………(2分)210d (,)d x x I x f x y y -=⎰⎰…………(5分)(2) (co s ,sin )d d DI f ρθρθρρθ=⎰⎰…………(7分)(1tan )sec 40d (co s ,sin )d f πθθθρθρθρρ-=⎰⎰…………(10分)七．(本题满分8分) 计算曲线积分22co s d (2sin )d CI y x x x y x y =++⎰,其中C 是从(0,0)沿曲线s i n y x =到(,0)π再沿x 轴返回到(0,0)的闭曲线.解: 记D 为由闭曲线C 围成的闭区域,由格林公式2d d DI x x y =-⎰⎰ …………(3分)sin 0d 2d x x x y π=-⎰⎰…………(5分)2sin d x x x π=-⎰…………(6分)2d co s x x π=⎰00[2co s ]2co s d x x x x ππ=-⎰2π=- …………(8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-, 2221(,):()2x y D x y h t ∈+≤(设长度单位为cm,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成比例(比例系数为0.9). (1)求体积函数()V t ;(2)求侧面积函数()S t ;(3)问高度为130(cm)的雪堆全部融化需多少时间? 解: (1) ()d dDV t z x y =⎰⎰ (2))2202d ()]d ()h t h t πρθρρ=-⋅⎰⎰…………(4分)3()4h t π=…………(5分)(2) ()d d DS t x y =⎰⎰ (6))d d Dx y =⎰⎰ (7))20d d πθρρ=⎰⎰…………(8分)213()12h t π=…………(9分)(3) 由题意知 d ()0.9()d V t S t t =- …………(10分) 得d ()13d 10h t t=-…………(11分)求得 13()10h t t C =-+由(0)130h =得 13()13010h t t =-+ …………(12分)令()0h t =得100t =(小时).雪堆全部融化需100小时 …………(13分)。
0910高等数学A（二）答案
0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
高数A(二)A卷参考答案
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
考试班级
05级A类
考试标准用时
120
试卷代号
A
参考答案及评分标准：
一、填空题：（每小题4分，共24分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、3
二、选择题：（每小题4分，共16分）
1、D 2、C 3、B 4、C
三、计算重积分：（每小题7分，共14分）
1、 3分
7分
2、 3分
7分
四、计算曲线积分（每小题7分，共14分）
1、 4分
7分
2、 ，
2分
= 4分
7分
五、（本题共有两小题，第1题5分，第2题7分，共12分）
1、 3分
发散5分
2、 2分
命题人
的收敛区域为 3分
5分
7分
六、求解微分方程（每小题7分，共14分）
1、先求对应的齐次方程： ，变量分离可得：
两边积分可得： 是对应的齐次方程的通解3分
再利用常数变易法，设 为原方程的解，代入原方程可得：
为原方程的通解6分
又 即 为原方程满足初始条件的解7分
2、特征方程为 得 所对应的齐次方程的通解为 2分
命题
时间
2006年6月16日
教研室
审核人
审核
时间
年月日
……………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
10级高等数学(A)2期末测试题答案
3.
设 L : 点 (1, 0)到 点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折 线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
L
2 3 2
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x + y , Q(x , y )=3 xy ,由 =3 y = ,故此积分与路径无关.............2 分 ∂y ∂x 从而可选择 （1 ， 0 ）到（3， 0 ）的直线段,方程为： y = 0,1 ≤ x ≤ 3................4 分 3 26 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx = ...........6分 1 3 L
D
】
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ...........................2分
D D D
1 = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ ⋅1⋅ 2=3........................................6分 2 D
第 2 页共 3 页
解：(1) 联立方程可求得交线为： x 2 + y 2 = 1, z = 1, 从而D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}..........................2分
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy........................4分
).
32π
1. 设 zLeabharlann = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求
2009级本科高数二多学时期末A
级高等数学(二)期末试卷4．若曲面∑：2222a z y x =++，则S d z y x ⎰⎰++∑)(222＝（ ）.A. 4a p ；B. 42a p ；C. 44a p ；D. 46a p .5．已知函数22(,)f x y xy x y +=+，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+∂∂＝（ ）. A.22x y +； B.22x -； C.22x y -； D.22x +.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．直线32321x y z++==-与平面2260x y z +++=的交点为 ． 7．幂级数11212n n n x n-+∞-=∑的收敛半径为 ．8．设)(x f 是周期为π的周期函数，它在区间(0,]π上定义为2,(0)2()1,()2x x f x x x πππ⎧<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩,则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于 ．9．0(,)xudu f u v dv =⎰⎰变换积分次序 ．10．设空间立体Ω所占闭区域为1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥，Ω上任一点的体密度是(,,)1x y z ρ=，则此空间立体的质量为． 三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．2lim x y π→→求.12．已知2(,)x y f x y e =，求(1,1)x f ，(1,1)y f ．13．设函数(,)z z x y =由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定，求(1,1)dz．14．设2(,2)z f x y x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．15．1111(1)5()2n n n n n n n n a x na x -∞∞-==-+∑∑设级数的收敛半径为，求的收敛半径．16．设Ω是由2221x y z +-=,2z =-,2z =所围的有界闭区域.试计算2(1)I z dV Ω=-⎰⎰⎰．四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．设)(x f 可微，1)0(=f 且曲线积分2[2()]()x Lf x e ydx f x dy ++⎰与路径无关，求)(x f ．18．计算∑，其中∑为下半球面z =侧．五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．设级数1nn a∞=∑绝对收敛，1n n b ∞=∑条件收敛，证明()1n n n a b ∞=+∑条件收敛．20．设{}1),(22≤+=y x y x D ，),(y x u 与),(y x v 在D 上具有一阶连续偏导数，j y v x v i y u x u G j y x u i y x v F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=,),(),(，且在D 的边界曲线L （正向）上有y y x v y x u ≡≡),(,1),(，证明： πσ-=⎰⎰⋅d G F D.。
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 5 页
上 海 海 事 大 学 试 卷
2009 — 2010 学年第二学期期末考试
《 高等数学A （二）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)
1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ ） (A) 41 (B) 40
(C) 42 (D) 39
2、设圆域D ：x 2+y 2≤1,f 是域D 上的连续函数，则
答 ( )
3、如果81
lim
1=+∞→n
n n a a ,则幂级数∑∞
=03n n n x a (A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛；
(C) 当81
>
x 时,发散； (D) 当2
1
>x 时,发散；
答( )
--------------------------------------------------------------------------------------装
订
线------------------------------------------------------------------------------------
第 2 页 共 5 页
4、设Ω为球体x 2+y 2+z 2≤1,f (x ,y ,z )在Ω上连续，I =x 2yzf (x ,y 2,z 3),则I =
(A) 4x 2yzf (x ,y 2z 3)d v (B) 4
x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v
(C) 2
x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v (D) 0 答 ( )
5、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分
（ ）
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)
1、设)ln(),,(2
22z y x z y x f ++=，则=-)2,1,1(f d gra
2、=-=+++
dz z y x xyz 处全微分在)1,0,1(,2222
3、设L 为圆周122=+y x ，则⎰
=L
ds x 2
4、如果幂级数n n x a ∑在x = -2处条件收敛，则收敛半径为R=
5、曲面32=+-xy e z z 在（1，2，0）处切平面方程为
三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分）
已知2
2
)1()1(ln -+-=y x u ，试求：2222y
u
x u ∂∂∂∂+
2
222
222
2])1()1[()
1(2)1()1(1)1()1(1
-+---
-+-=
-+--=
y x x y x u y x x u •
xx x 解： 4分
第 3 页 共 5 页
2
2)
1()1(1
-+--=
y x y u y
2
222
22]
)1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy
7分
u u xx yy +=0。
（8分）
2、（本小题8分）
求函数223333y x y x z --+=的极值。
解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0630632
2
y y z x x z y
x ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2
xy
yy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 0
6)2,2(,
036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D
点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分 在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。
44= 8分
3、（本题12分，每题6分）
判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。
（1）
∑∞
=-+1
1
2)
1
2(
n n n n （1）解：,)1
2(
1
2-+=n n n n u
原级数收敛∴<=
+==-∞
→∞
→,14
1
)1
2(lim 12lim
n
n n n n n n n u ρ 。
……6分
或n
n n u ⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛<<-4122101
2，所以原级数收敛。
第 4 页 共 5 页
（2）
∑∞
=--1
1
4)1(n n
n n （2）解：14
1
441lim 1<=⋅
++∞→n n n n n ， 3分 ∑∞
=1
n n
u
收敛，所以原级数绝对收敛。
6分
4、（每小题8分）
在()0,π内把函数()f x x =-π展开成以2π为周期的正弦级数。
解：在()-π,0内对()f x 做奇延拓，延拓后所得函数的Fourier 系数 1分
a n n ==⋅⋅⋅0012,,,, 3分
()b x nx x n =
-⎰20π
ππ
sin d
()=-
--⎰2
020n x nx n nx x π
ππππcos cos d ⋅⋅⋅==,3,2,1,2n n
6分
由()f x 在()0,π内连续，单调，故在()0,π内
()f x x nx
n n =-==∞
∑
π21
sin 8分
5、（本小题8分）
计算⎰⎰∑
++xydxdy dxdz y dydz x 22，∑为曲面22
1z x y z =+=和所围立体表面外侧。
解：原式=⎰⎰⎰Ω
++dv y x )022( 4分
=
⎰⎰⎰
+1
10
20
2)sin 2cos 2(r
dz r r rdr d θθθπ
6分
=0 8分
6、（本小题8分）
已知)(x f n 满足n e x x f x f x n n n ,)()(1-+='为正整数，且n
e
f n =
)1(
第 5 页 共 5 页
求：∑+∞
=1
)(n n x f
6、（本题8分）
解：)(x f n )(C n
x e n
x
+=， 3分 由n e f n =)1(，得C=0，所以 )(x f n =n
e x x
n 4分
∑
+∞
=1
)(n n x f )1ln(1x e n
x e x n n
x -==∑+∞
=， 7分
收敛域[)1,1-。
8分
7、(本小题8分)
已知)(x f 连续，且满足⎰
--=x dt t f t x x x f 0
)()(sin )(，求)(x f 。
解：0
()cos (),()sin (),x
f x x f t dt f x x f x '''=-=--⎰
()()sin f x f x x ''+=- 4分
解得：121
()cos sin cos 2
f x C x C x x x =++
，且(0)0,(0)1f f '== 7分
得1210,2C C ==，所以11
()sin cos 22
f x x x x =+ 8分
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)
1、(C)
2、(A).
3、( A )
4、 D
5、（A ） 二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-32,31,
31
2、dy dx 2-
3、π
4、2
5、062=-+y x。