《高等数学A》课程试卷)期末卷A
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
高等数学A下期末试卷A卷
南京邮电大学2009 /2010 学年第 二 学期《 高等数学A 》(下) 期末试卷（A ）院(系) 班级 学号 姓名一、选择题（每小题3分，共15分）1、设21:x y L -=，则⎰+Lds y x )(22= （ ）(A ) π2. (B ) π. (C )2π(D ) π4 2、∑为锥面 22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则=⎰⎰∑zdS （ ） (A )⎰⎰1320ρρθπd d (B ) ⎰⎰1220ρρθπd d(C ) ⎰⎰102202ρρθπd d (D ) ⎰⎰13202ρρθπd d3、已知2-=x 是∑∞=1n n n x a 的收敛点，则当21=x 时，级数 （ ） (A ) 发散 (B ) 绝对收敛 (C ) 条件收敛 (D ) 无法断定4、微分方程x y y 2cos 4=+''的特解形式可设为 （ ） (A ) x a 2cos (B ) x ax 2cos (C ) )2sin 2cos (x b x a x + (D )x b x a 2sin 2cos +5、若9:22=+y x L 为逆时针方向，则⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2= ( )(A ) π9 (B )π18 (C )π18- (D )π9-装 订 线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊二、填空题（每小题4分，共20分） 1、∑是球面,2222R z y x =++则.2=⎰⎰∑dS y2、∑∞=-11n n nx 的收敛域为_______，和函数=)(x s _____________.3、以x xe y -=为特解的二阶常系数线性齐次方程为__________________.4、设∑∞==≤≤=12,sin )(,10,)(n n x n b x s x x x f π其中⎰=12,sin 2xdx n x b n π,...3,2,1=n ，则.)21(=-s5、=+)1(i Ln ___________________，0=z 是函数521ze z-的____级极点. 三、讨论下列级数的敛散性。
高等数学A(一)期末试题及答案
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10211dx x 2π . (5) =⎰∞+121dx x1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)21. (2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d . 两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y所以得; yy ln 21+=' yy ln 21+='四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) ⎰10arctan xdx . 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x x x x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) ⎰10dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=10102dt te dx e t x 22][22101010=-==⎰⎰dt e te tde t t t 五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=⎰22031t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dxdy ，得0=t ，代入得：1=x 。
高数A期末试卷A试卷答案
1. limxa
n
等价于( D )
(A)对任给的0,在(a,a)内有数列{xn}的无穷多项;
(B)对任给的0,在(a,a)内只有数列{xn}的有限多项;
(C)对任给的0,在(a,a)外有数列{xn}的无穷多项;
(D)对任给的0,在(a,a)外只有数列{xn}的有限多项.
2. x为函数f(x)的( C)
1siny0确定隐函数yf(x),求
2
d2y
.
dx2
d2y
dx2
(2cosy)2
===========================教材103页例4===================================
xtsint
4.计算由摆线的参数方程y1cost所确定的函数yy(x)的一阶导数.
8.设函数f(x)连续，且满足f(x)3x2x1f(x)dx，求f(x).
0
令1f(x)dxA，则f(x)3x2Ax，两边积分，得
0
1AA
f(x)dx(3x2Ax)dxx3x2|11
00
202
即A1A，得A2.故f(x)3x22x.
2
四、证明题（本大题16分，每小题8分，共2小题）
1.证明：若函数f(x)在(,)内满足关系式f(x)f(x)，且有f(0)1，则f(x)ex.
x1ln(1x))elimx(x1)ln(x1)e.
x0x
x0
x(1x)x2
x0
x2(x1)2
=====================（单元测验用题）===========================================
2.已知yln(x1x2)，求dy.
A5AB.大一高等期末试题(参考答案)
因此设 f ( x, y) x 2 g( y) ，从而
(t ,1)
2xydx
( 0,0 )
f (x , y)dy
t
0dx
0
12
2
[ t g ( y )] dy t
0
1
g( y)dy ，（ 5 分）
0
(1, t )
2 xydx
( 0,0 )
f ( x, y)dy
1
0dx
0
t
t
[1 g( y )]dy t
0，
2z
2
4 ，可知在驻点 (0, 2) 与 (0, 16 ) 有 H
y 1 2z 8y
7
0 。( 5 分)
在 (0, 2) 点， z 1 ，因此
2z
2
4
0 ，所以 (0, 2) 为极小值点，极小值为
z 1 ；( 6 分)
x 15
在 (0, 16 ) 点， z 7
2
8 ，因此
z
2
7
x
4
0 ，所以
(0,
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1
2
0 2
34
（7 分）
7.
解
：L所
围
区
域D
：
2
x
2
y
2
a
,由
格
林
公
式
，
可
得
2
xy d y
L
( xy 2 ) (
x
D
( x 2 y) )dxdy =
y
高等数学期末考试A(附答案)
-------------------------------------密-----------------------封-----------------------线---------------------------------系部___________ 班级___________ 考场_________ 姓名______________ 学号_________高等数学期末试卷（A ）一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分） 1．下列各对函数定义域相同的是（ ）.A.2)()(,)(x x g x x f ==B.x x g x x f ==)(,)(2C.x x g x x f lg 2)(,lg )(2== D.11)(,1)(2--=+=x x x g x x f2．下列函数在其定义域内不是奇函数的是（ ）. A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x x y -=33．函数)(x f 在0x x =处有定义是0x x →时)(x f 有极限的（ ）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D.无关条件 4．下列各式中正确的是（ ）. A.0sin lim0=→x x x B.1sin lim =∞→x x x C.e n n x =+∞→)11(lim D.e nx =+→)11(lim 05．=+→xx x 1)41(lim ( ).A.4-eB.4e C.41e D.41-e6．=→xxx 5tan 3tan lim( ). A .1 B.53 C.35D.07．设)2(x f y -=，则='y ( ).A.)2(x f 'B.)2(x f -'-C.)2(x f -'D.)2(2x f -'-8．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，是),(+∞-∞上的连续函数，则)(=aA. 0B.1C.1-D.2 9．下列各式错误的是( ).A.1-)(μμμx x ='B.a a a x x ln )(⋅='C.x x cos )(sin ='D.x x sin )(cos =' 10．函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的( ).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 11．函数2)(-=x x f 在点2=x 处的导数为( ). A.1 B.0 C.1- D.不存在12．设x 为自变量，当,1=x 0=∆x .1时，=)(3x d ( ). A.3.0 B.0 C.01.0 D.03.013．设)(),(x v v x u u ==都是可微函数，则=)(uv d ( ). A.vdv udu + B.du v dv u '+' C.vdu udv + D.vdu udv -14．设曲线22++=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ). A.）（4,1 B.）（1,4 C.)0,1( D.)1,0( 15．已知函数⎩⎨⎧>≤-=-,0,0,1)(x e x x x f x 则)(x f 在0=x 处( ).A.间断B.连续但不可导C.1)0(-='fD.1)0(='f 16．若)(x f 在点a x =的邻域内有定义，且除去点a x =外恒有0)()()(2>--a x a f x f ，则以下结论正确的是( ).A.)(x f 在点a 的邻域内单调增加B.)(x f 在点a 的邻域内单调减少C.)(a f 为函数)(x f 的极大值D.)(a f 为函数)(x f 的极小值 17．函数)(x f y =在点0x 处取极大值，则必有( ).A.0)(0='x fB.0)(0<''x fC.0)(0='x f ,0)(0<''x fD.0)(0='x f 或)(0x f '不存在 18．下列函数在其定义域内不是单调递增的是( ).A.x x x f 2)(3+=B.)1ln()(2x x x f +-=C.x x x f cos )(+=D.3)1)(1()(+-=x x x f 19．下列极限计算正确的是（ ）.A.626lim )2(223lim )2(42lim 222232==--=---→→→x x x x x x x x x B.6122lim 222lim )2()22)(2(lim )2(42lim 222222232=+=-++=-++-=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x C.∞=--=---→→)2(223lim )2(42lim 22232x x x x x x x D.不存在2232232)2(lim )42(lim )2(42lim---=---→→→x x x x x x x x x20．当0→x 时，1)1(212-+ax与x cos 1-为等价无穷小，则=a ( ).x2A.1 B.0 C.1- D.常数21．设)(x f 是可导函数，则))(('⎰dx x f 为( ). A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 22．下列等式中成立的是( ).A.⎰=)()(x f dx x f dB.⎰=dx x f dx x f dxd)()(C.⎰+=c x f dx x f dxd)()( D.dx x f dx x df )()(= 23．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则下列各式中一定成立的是( ). A.)()(x g x f = B.1)()(+=x g x f C.))(())(('='⎰⎰dx x g dx x f D.⎰⎰'='dx x g dx x f )()( 24．)(x f 在区间[]b a ,上连续，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(( ).A. 小于零B.等于零C.大于零D.不确定25．用定积分表示右图x y 2=，2=x 和x 轴围成的面积，正确的是( A.⎰212xdx B.⎰22xdx C.⎰xtdt 02 D.⎰22xtdt二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 26．(=dx ))32(x d - )()(xxe d dx e --=．27．设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，则[]=')0(f ．28．若函数bx ax x f +=2)(在点1=x 处取极大值2，则=a ，=b ．29．设⎰=xx e dt t f 02)(，则=)(x f ．30．判断下列两个定积分的大小，⎰12dx x⎰13dx x ． 三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．驻点一定是极值点．（ ）32．可导一定连续，连续不一定可导．( )33．设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数,且0)(,0)(00≠''='x f x f ，则当0)(0<''x f 时，)(x f 在点0x 处取极大值．（ ）34．若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．( )35．1)21(211122222-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰--x dx x ．( )四、求下列各式的极限（共2小题，每题4分，共计8分）36．xe e xx x 20lim-→- 37．xdt txa tx ⎰++∞→)11(lim )0(>a五、计算下列不定积分（共2小题，每题4分，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin( 39．⎰xdx x cos六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-17)12(dx x七、综合题（共1小题，共计10分）41．平面图形D 由抛物线2x y =，1=x 和x 轴组成，请 （1）画出D 的草图 （2）求D 的面积答案：一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分）1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A. 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．D 17．D 18．D 19．C 20．A 21．A. 22．D 23．C 24．B 25．B二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分）26．31- - 27．0 28．=a -2 =b 4 29．=)(x f x e 22 30．>三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．× 32．√ 33．√ 34．× 5．× 四、求下列各式的极限（共2小题，共计8分）36．x e e xx x 20lim -→-=1)2(lim 20x e e x x x ---→————3分=1————————————1分37．x dt t xa t x ⎰++∞→)11(lim )0(>a =1)11(lim x x x ++∞→——3分 =e ————1分五、计算下列不定积分（共2小题，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin(=⎰++)23()23sin(31x d x ——2分 =C x ++-)23cos(31————2分39．⎰xdx x cos =⎰x xd sin ——2分=⎰-xdx x x sin sin ————1分 =C x x x ++cos sin ————1分六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-107)12(dx x =⎰--107)12()12(21x d x ——2分=108])12(81[21-⋅x ————1分 =0]11[161=-————1分七、综合题（共1小题，共计10分） 41．（1）略————5分（2）⎰=12dx x D ————3分=10331⎥⎦⎤⎢⎣⎡x ————1分 =31——————1分。
《高等数学》A试卷A答案
《⾼等数学》A试卷A答案⼀、填空题（每⼩题4分,共20分）： 1．设ln(y x =，则1d 2x y dx ==. 2．曲线sin ,1cos x t t y t =-??=-? 在 2t π= 处的切线斜率为1.3．若1lim ()x f x →存在，且111()2lim ()x x f x xf x -→=+，则1()2x f x x e -=-.4．若01()f x '=，则000(2)()lim arctan u f x u f x u u→+--=3.5．若2lim 8xx x a x a →∞+??= ?-??，则a =ln 2.⼆、选择题（每⼩题4分,共20分）：1．设()232x x f x =+-，则当0x →时（ D ）. （A ）()f x 与x 是等价⽆穷⼩量（B ）()f x 是⽐x 较低阶的⽆穷⼩量（C ）()f x 是⽐x 较⾼阶的⽆穷⼩量（D ）()f x 与x 是同阶但⾮等价⽆穷⼩量2．若函数()f x 在0x 点存在左、右导数，则()f x 在点0x （ A ）.（A ）连续（B ）可导（C ）不可导（D ）不连续3．当1x →时，12111x x e x ---的极限（ C ）. （A ）等于2 （B ）等于0 （C ）不存在但不为∞ （D ）为∞4．设函数21()1lim nn xf x x →∞+=+，讨论()f x 的间断点，其结论为（ A ）.（A ）存在间断点1x = （B ）存在间断点1x =-（C ）存在间断点0x = （D ）不存在间断点5．设对任意的x ，总有()()()x f x x ?ψ≤≤，且[]lim ()()0x x x ψ?→∞-=，则lim ()x f x →∞（ C ）.（A ）存在且等于0 （B ）存在但不⼀定等于0（C ）不⼀定存在（D ）⼀定不存在三、计算题（本题共4题，共计24分）： 1.（5分）设tan y x y =+，求d y ；解：(tan )()d y d x y =+ 22s c 1e 1sec d ydy dx y d d xyy ==-+2.（6分）求极限：)lim x xx →-∞；解：)lim x xx →-∞limlim 05x x ==-=3.（6分）求极限：lim x +→；解：01lim lim 1()2x x x x ++→→=?22lim lim 212x x x x ++→→===4.（7分）设2(cos )y f x =，且f ⼆阶可导，求22d d yx.解：22(cos )2cos (sin )sin 2(cos )dyf x x x xf x dx''=?-=- (2cos 2)2sin )((cos 2sin )(cos 2cos 2'2''2'2 2xf x x xf x xf dx yd -=---=四、解答题（本题共3⼩题，共计24分）： 1.（6分）设1x =1n x +=列{}n x 的极限存在，并求其极限.证明：单调性：当1n =时，1x =，21x x =>，假设当n k =时有1k k x x +>，则当1n k =+时仍然有，21k k x x ++=即，数列}{n x 是单调增加数列。
《高等数学》期末考试试卷A
四川文轩职业学院 13 级 建筑/计算机/服装 专业2013—2014学年度第一学期期末考试《高等数学》课程试卷(A)答卷说明： 1、满分100分 2、120分钟完卷一、判断题（正确的划“√”，错误的划“×”。
每小题2分，共10分）1．当x →∞时，1arctan x x是无穷小量。
（ ） 2．若函数()y f x =在0x x =处没有定义，则函数在0x x =处可能连续。
（ ） 3.定义域为R 的()f x 和()g x 都为奇函数，则()()f x g x 为偶函数。
（ ） 4．函数()f x 在0x 处可导，则函数在0x 处一定连续。
（ ） 5．如果数列{n x }有界 ，那么数列一定收敛。
（ ）二、选择题（每小题3分，共30分） 1.当0x →时，函数3sin ()3xf x x x=+的极限为（ ） A13B 0C 3D 不存在。
2．当0x →时， sin~5xx b， 则b=( ) A 0 B 5 C 15D ∞ 3．求cos(21)y x =+的微分=dy ( )A. sin(21)x dx -+B. 2sin(21)x dx -+C. 2sin(21)x dx +D. 2sin(21)x -+4．设函数⎩⎨⎧>-≤-=2,122,4)(2x x x x x f ,试指出函数在x=2处的间断点的类型（ ）A 可去间断的B 振荡间断的C 无穷间断的D 跳跃间断的 5．设函数23223+-=x x y ,那么函数在区间[0，2]内的有（ ） A 最小值35,最大值310B 最小值0，最大值2C 最小值35,最大值 2D 最小值310,无最大值6．曲线32x x y -=在点（-2,4）的切线方程是（ ）。
A 、06=++y xB 、01610=++y xC 、02410=+-y xD 、06=+-y x7．(arccos )x '=（ ）A.C 8．求极限0tan 3limsin 2x xx →=（ ）A 、32B 、23C 、1D 、09．求有参数方程⎩⎨⎧+=+=2cos 1sin 2t y t x （t 为参数）所确定的函数的导数dydx = ( )A.t t sin cos 2-B.t t sin cos 2C.t tan 21D.t tan 21- 10．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin )(x a x x xx f 在x=0处连续，那么a=（ ）A.2B. 1C. 0D.21三、填空题（ 每小题3分，共１５分）1．设函数63-+=x e y x,那么该函数的二价导数y ''= 2．若函数)1(12≠-=x x y ,则函数的反函数为 3．设x x f =)(,x x g tan )(=,则=)]([x g f4．xxx βαsin sin lim0→= ；（0≠αβ）5．设分段函数⎩⎨⎧<+≥-=2,322,4)(2x x x x x f ,则有f(0)=________,f(3)=_________四、计算题（每小题6分，共36分）1． x x x x x -+-→32123lim 2．2lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭3． 20tan lim tan x x x x x→- 4.设)1sin(23x y +=,求y '。
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学《高等数学A 》课程试卷
____________ 学院（系） _____ 年级 __________ 专业
主考教师：高数 A 教学组 试卷类型：（A 卷）200662
2.由球面z
4 2 x y 2
和锥面z
x 2
y 2
所围成的区域为
，则
之体积是
n
2 4 r 2
2 n
n
2 2
(A )
d
dr
rdz ;
(B ) d 4
d
sin d
0 0 0
2n
n
2 2
,2 2 x 2
4 x 2 y 2
(C )
d
d
sin d ;
(D )
dx
2 dy
dz 。
2
2 x 2
2
2 2
X V Z
3
•设是椭球面匸7 ? 1
上半部分之外侧，则展妙
y2dzdx zdxdy
1 (A )
J2
n ； (B )
—V 2 n (C )
4
二n (D )
—/ 2 n 。
3
3
3
6
4.正项级数
1 1 1 L 之和等于 。
1 2 3
2 3 4
3 4 5
(A ) 1;
(B ) 1 . (C ) 1 .
(D )
1
—。
2 3
4
二、填空题： （每小
题
5分， 共20分）
2 2
1. __________________________________________________________ 设f x, y 2x 2xy y 4x 3，则它的最小值等于 __________________________________________________________ 。
2 2 2
2. __________________________________________________________________ 设 是整个球面 x y z 9，取外侧，则
° zdxdy 的值是 ___________________________________________________ 。
(A) 5 x 1 4 y 2 z 3 0
；
(B) 5 x 1 4 y 2 z 3 0 ； (C) 5 x 1 4 y 2 z 3 0
； (D) 5 x 1
3 y 2
z 3 0。
（
）。
、选择题 （每小题 5分，共20分） 1 •设曲线 为球面x
14和平面x y z 0之交线，则曲线 在点1,2, 3处的法平面为
3.设是螺线x a cost, y a si nt, z bt的一段，起点为a,0,0 ,终点a,0,4 n ,则
2
yz x dx zx y dy xy 1 dz ____________________ 。
4 .幕级数（x的收敛域为。
n i n3
三、证明题：（每小题10分，共20分）
1.设x xy,z,y y z, x ,z z x,y都是由方程F x,y, z 0所确定的函数,
证明:
2•设正项级数a n发散，S n
n 1
a k，证明
k 1
(1)n1a n
S
；
绝对收
敛。
四、计算题：(每小题8分，共40分)
1 •把直线 Z 2y 4绕z 轴旋转一周成一旋转曲面，写出曲面方程和名称，并求出在点 X 1 位外法向量。
2•设曲线 是菱形之边界，方向为逆时针方向，其顶点分别为
2,0 , 0,3 , 2,0 , 0
2展成麦克劳林(Maclaurin )级数。
(1 x)
5ydx xdy 3
厂
2 y 之值。
2,1,0处的单
3 ，求曲线积分
3.把 f x
22
5 •求密度为 的均匀圆柱体x y a , h z h 对直线x
4．求椭圆
y 1
上的点到原点的最大距离和最小距离。
z2
y z 之转动惯量。