复变函数教学指导

2.证明：设 ，则
在 处连续
在 处连续
在 处连续
在 处连续。
五、自测题B及答案
自测题B
一、单项选择题（每题3分，共12分）
1.下列那个命题为真（ ）
， 在负实轴上是不连续的，
， 当 时极限不存在。
2.设 ，则 。
， ， ，
3.下列哪个点集是多连通区域Байду номын сангаас
， ，
， 。
4.下列哪个轨迹不表示直线
， ，
， 。
解：由初等函数在定义域内是解析的，所以使得函数没有定义的点就是奇点， ，所以 为函数的奇点
2.
解：由 ，所以 是函数的奇点。
3.
解： 是函数的奇点。
例7：求下列函数的值
1.
解：
2.
解： ，
3. （主值）
解：
4.
解：方法1：
方法2：
例8：求方程 的所有解
解：由 求得
，其中 。
例9：如果 是解析函数，证明 。
证明：设 ，则 ，
因此 ，
只需要证明 中只要有一个在 时极限不存在，结论就成立，
因为 ,
所以： 在 时极限不存在，故 在 时极限不存在。
例10：证明： 在点 处连续的充分必要条件为 也在点 处连续。
证明：设 ，则
在 处连续
在 处连续
在 处连续
在 处连续。
四、自测题A及答案
自测题A
一、选择题（每题3分，共12分）
2.如果 是 的解析函数，试证明 是 的解析函数。
自测题A解答
一、单项选择题：
（A）、（D）、（A）、（B）
二、填空题：
1.
2.
3.
4.
三、计算题：
1.
2.
3.
4. ，
，
，
由 条件容易得出： ，从而 。
5. ，由 条件有 ，所以 。
四、证明题：
1.证明： ， ，所以：
2.证明：设 ，因为 是 的解析函数，所以 ，从而 是 的解析函数。
一、选择题
二、填空题
１、 ， ２、 ， ３、 ， ，
４、三角形式： ，指数形式：
三、计算题
1.解： ，
故，实部 、虚部 、共轭复数 、模 ，
辐角 。
2.解： ，其中
3.解： ，所以
，解出 ，其中
，解出
4.解：
有界多连通区域
5.解： 代入曲线方程中，得 任意，所以在w平面上是一条直线 。
四、证明题
1.证明：
（4）定理：解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的
2.复变函数 的可导与解析性
（1）当复变函数表达成 形式的时候，求导法则与一元实变函数一样，其导数的运算法则也和实变函数一样。
（2）与一元函数一样 在点z0的微分 ，因此可导与可微是等价的
（3）与一元函数一样可导必定连续，连续不一定可导。。
设复数 ， ， ，
三角形式：
指数形式：
欧拉公式：
4.复数的乘幂与方根的计算。
，
，
（1）乘法：
（2）商：
（3）乘幂：
（4）方根： ， 。
方根的 个点就是以原点为圆心，以 为半径的正 边形的 个顶点，其中一个顶点的角度为： 。
5.复球面：用球面上的点表示复数。为此引入无穷远点和扩充复平面，无穷远点与无穷大 相对应，注意无穷大是指模为无穷大的唯一的一个复数。
二、内容概述
1.复变函数的导数定义与解析函数的定义
（1）导数的定义：设 在D上有定义， 。若 存在，则称 在z0处可导。记为 。
（2）解析函数的定义
1)定义1：若 在 及 的邻域内处处可导，则称 在 处解析。
2)定义2：若 在D内处处解析，则称 是D内的解析函数（或称全纯函数、正则函数）。
3)定义3：若 在 处不解析，则称 为 的奇点（初等函数不在定义域中的点是奇点）。
二、填空题（每空3分，共18分）
1.设复数 的三角形式为 ，指数形式为 。
2.当 成立时， 。
3.用 ，或 表示 为 。
4.当 时， 的最大值为 。
三、计算题（每题10分，共50分）
1.求复数 的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。
2.若 ，试求n的值
3.设 ，求 。
4.画出方程 确定的区域，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
1.设 ，则
（A） （B） （C） （D）
2.下列那个等式不正确。
（A） （B）
（C） （D）
3.对于函数 ，下列那个结论正确？
（A）仅在直线 上可导（B）仅在直线 上可解析
（C）在直线 上即可导也解析（D）除直线 外处处解析
4.当 为何值时，幂函数 是单值函数
（A） 为正整数（B） 为负整数（C） 为正分数（D） 为负分数
（2）运算法则：设 ，则：
1)加减法：
2)乘法：
3)除法： 。
（3）运算规律：
1)交换律： ， ；
2)结合律： ， ；
3)分配律： ， 。
（4）共轭复数运算法则：
1) ；
2) ；
3) ；
4) ；
5) ；
6) ；
7) 。
（5）复数的模的性质
1) ；
2)
3)
4)
2.辐角的计算：
； ，其中： 。
3.复数的各种表示法的互相转换：
1)乘幂 的形式： （a为不等于0的复数，b为一个任意函数）（其中 ），主值为 。
2)幂函数
3)性质：
a)幂函数是一个指数函数与对数函数的复合函数，是一个多值函数。
b)当 时，单值，解析函数
c)当 时，多值，除了原点及负实数外处处解析
d) 。
（4）三角函数
1)函数形式：， ，
2)性质：
a) 、 处处解析， 。
方法二、
， ；
， ；
， ，除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处处解析。 =
例4：若函数 在复平面上解析，试确定实常数 的值
解： ，
则 ，
要 在复平面上解析，则满足 条件，故有 。
由解析函数的充要条件可知，当 时 在复平面上解析。
例5：求下列函数的导数
1.
解：
2.
解：
例6：求下列函数的奇点
1.
1)函数形式： ， ；
2)性质：
a)是解析函数，
b) ；
c)
是一个周期函数，周期为 ，最小周期为
（2）对数函数
1)定义：满足 的函数 称为对数函数。
2)函数形式：
，称为对数函数的主值。
3)性质：
a)对数函数 是一个多值函数（无穷多个值），除了原点及负实轴外处处解析，
b)
c)
注意： ， 不再成立。
（3）幂函数
二、填空题：（每空3分，共18分）
1. 的奇点为。
2. 在处可导。
3. ， 。
4. ，用三角函数表示为。
三、计算题：（每题10分，共50分）
1.
2.求 的实部与虚部。
3.求方程 的所有解。
4.求出常数 使函数 解析
5.设 在区域D内解析，并且 ，求 。
四、证明题：（每题10分，共20分）
1.设 ，试证：Re ，
b) ，偶函数； ，奇函数
c)
d) 都是以 为周期的周期函数
e)实的三角函数中的一些公式，如两角和、诱导公式等都适用于复变函数；如 ， 。
都是无界函数；
（5）反三角函数
1)函数形式；
2)性质：同实函数一样。如
（6）双曲函数
1)函数形式： ， ，
2)性质：
a)与实函数一样（如 ）
b) ； 。
（7）反双曲函数
（6）熟练掌握复数的乘幂与方根的计算。
（7）了解区域的概念
（8）理解复变函数的定义
（9）深刻理解复变函数的极限与连续的概念
2.难点及重点
（1）重点：复数的概念及其代数运算，复数的各种表示法的互相转换，复数的乘幂与方根的计算。
（2）难点：复变函数的极限与连续的概念
二、内容概述
1.复数及代数运算
（1）复数的定义： 称为复数，其中 为实数， 为虚数单位，实部记为 、虚部记为 ； 称为 的共轭复数。
5.将方程 （ 为实参数）用一个实数方程表示。
四、证明题（每题10分，共20分）
1.试用恒等式 ，证明
2.求函数 的定义域，并证明当 时， ，这里 。
自测题B解答
一、选择题
， ， ，
二、填空题
1.三角形式： ，
指数形式：
2. ；3. ；4. 2。
三、计算题
1.解：求复数 的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。
（4）定理3：设 在区域D内有定义，则 在D内解析的充要条件是 在D内可微，且满足 条件。
4.复变初等函数
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的推广，因此他们保留了一些后者的基本性质。由于他们的定义都基于指数函数 ，因此复变初等函数是无界的；由于辐角的多值性，因此对数函数是多值函数。
（1）指数函数
第一章复数与复变函数
一、基本要求及重点、难点
1.基本要求
（1）理解复数及其代数运算（包括运算法则，运算规律，共轭复数运算法则）。
（2）了解复数与向量的关系。
（3）了解复球面，理解无穷远点的概念。
（4）会求辐角，正确理解辐角的多值性，熟悉两个复数的乘积和商的辐角公式。
（5）熟练掌握复数的各种表示法的互相转换。
1.设复数 ，则 。
， ， ，
2.设 ，则 。
， ， ，
3.下列哪个点集是有界区域
， ， ，
4.下列哪个命题为真
复数有大小， 零的辐角是零，