同济大学高等数学1期末试题(含答案)
(完整word版)大一高数同济版期末考试题(精) - 副本
高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
同济大学《高等数学》(上)期末试卷A及答案
高等数学(上)期末考试试卷试 题一、填空、选择题1．函数)(x f 在],[b a 上可积是)(x f 在],[b a 上连续的 条件，函数)(x f 在],[b a 上可导是)(x f 在],[b a 上连续的 条件．2．曲线(ln y x =在点(),ln(1处的切线方程是 ．3．函数()(1)cos sin f x x x x =−−在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．4．曲线()x x y x −=2e 上有 个拐点．5．设可导函数()g x 满足(0)0g =，()00≠′g ，设())(sin 2x g x G =，则当0x →时， ．（A ）()G x 与()g x 是等价无穷小． （B ）()G x 与()g x 是同阶的无穷小． （C ）()G x 是比()g x 高阶的无穷小．（D ）()G x 是比()g x 低阶的无穷小．6．极限nnn nnn 333lim 21+++∞→"= ．7．如果一物体沿直线运动，物体的运动速度的变化曲线如图3所示（单位省略），则物体在这段位移过程中的平均速度为 ．8．微分方程x x y x y sind d =+的通解为 ． 二、1．设函数ln sec y x =，,22x ππ⎛⎞∈−⎜⎟⎝⎠．(1)讨论函数的单调区间与该函数的图形的凹凸性； (2)该曲线在哪点处的曲率半径为2？2．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫,0,,0,d e 22x a x x t x x xt ϕ 求a 的值，使得()x ϕ在0=x 处连续，并用导数定义求(0)ϕ′．三、1．求定积分I =∫−π22d sin 1x x x ．2．若()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=,0,11,0,112x x x x xx f 对于(,)x ∈−∞+∞，求()()∫∞−=xt t f x F d ．四、1．设曲边梯形由曲线1y x x=+（0x >）与直线0y =，x a =，1x a =+所围成（其中0a >），问：当a 为何值时，曲边梯形的面积为最小，最小面积是多少？2．设一平板浸没在水中且垂直于水面(水的密度为1000kg/m 3)，平板的形状为双曲四边形，即图形由双曲线2244x y −=，直线1y =与1y =−所围成(如图4所示，单位：m)．(1)如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的水的总压力是多少？(2)如果水位下降，在时刻t ，水面位于y =()h t 处，且水面匀速下降，速率为0.01（m/s ），问：当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率是多少？五、设函数()f x 满足方程x x f u u f x u x 2cos )(d )()(0+=−∫，求()f x ．参考答案一、1．必要，充分．2．|1x y ′，因此所求切线是ln(1y x =．3．()(1)sin f x x x ′=−−，在区间(0,)2π内有唯一驻点1x =且为极大值点，因此所求最大值是(1)sin1f =−．4．()x x y x 3e 2+=′′有2个零点3x =−与0x =，且y ′′在这2个零点的左、右两侧邻近异号，因此该曲线上有2个拐点．5．2222000(sin )(0)()(sin )sin (0)sin lim lim lim 00()(0)()()(0)x x x g x g G x g x x g x g x g g x g x x g x→→→−′==⋅=⋅=−′，因此当0x →时，()G x 是比()g x 高阶的无穷小，故选（C ）．6．利用定积分的定义，得3ln 2d 3333lim1021==+++∫∞→x n x nn n n n "． 7．1011()d 101v v t t =−∫，根据定积分的几何意义，其中的定积分101()d v t t ∫是图中的图形面积，即10111118()d [4(61)4(86)(24)(108)]1019223v v t t ==⋅⋅−+⋅−++⋅−=−∫． 8．通解为()11d d sin 1cose e d sin d x x x x x x Cy x C x x C x xx−⎛⎞−+∫∫=+=+=⎜⎟⎝⎠∫∫． 二、1．(1)tan y x ′=，在,02π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠内，0y ′<；在0,2π⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0y ′>．故,02π⎛⎤−⎜⎥⎝⎦是单调减少区间，0,2π⎡⎞⎟⎢⎣⎠是单调增加区间；而由2sec 0(,)22y x x ππ⎛⎞′′=>∈−⎜⎟⎝⎠得，该函数的图形是凹的． (2)322|||cos |(1)y K x y ′′==′+．由12K =，得3x π=±，故曲率半径为2的点是(,ln 2)3π±．2．11e e 2lim d e lim2224020=−=→→∫xx x xxt x xt ，因此1=a 时，()x ϕ在0=x 处连续． 22020d e lim1d e lim)0()(lim)0(22x x t xx t xx x xt x x xt x x −=−=−=′∫∫→→→ϕϕϕ02e 2e 16lim 21e e 2lim 22224040=−=−−=→→xx x x x x x x x ．三、 1．I =∫∫∫−=ππππ222022d cos d cos d |cos |x x x x x x x x x[][]πππ22202sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin xx x x xxx x x x −+−−+=4222−+=ππ．2．当0x <时，()2arctan d 112π+=+=∫∞−x t t x F x ； 当0x ≥时，()2arctan 2]arctan 2[2d )1(1d 11002ππ+=+=+++=∫∫∞−x t t t t t t x F xx ． 因此()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=.0,2arctan 2,0,2arctan x x x x x F ππ 四、1．曲边梯形的面积1111()()d ln2a a a A a x x a x a ++=+=++∫， 11()11A a a a ′=+−+．令()0A a ′=，解得在0a >范围内的唯一驻点12a −=，易知该点为极小值点，因此必为最小值点．而其最小面积min 1)ln 22A A −==+ 2．(1)水压力111000(1)2000F g y y g y −=−=∫∫10120002ln(10004ln 2g y g +⎤=++=+⎥⎦．(2)在时刻t ，水面位于()y h t =，平板一侧所受到的水压力为()(()1111000[()]1000()1000h t h t h t F g h t y y gh t y g y −−−=−=−∫∫∫，上式两边对t 求导，得(1d d 1000d d h t F hg y t t−=∫， 由于d 0.01d ht=−，因此，当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率为01d 10102ln(d F g y g y t −−⎤=−=−++⎥⎦∫154ln 2g =−+． 五、原方程为x x f u u f x u u f u xx 2cos )(d )(d )(0+=−∫∫，代入0x =，得(0)1f =−．上式两端对x 求导，得x x f u u f x2sin 2)(d )(0−′=−∫，代入0x =，得(0)0f ′=．上式两端再对x 求导，得x x f x f 2cos 4)()(−′′=−．故()y f x =满足初值问题⎩⎨⎧=′−==+′′==.0|,1|,2cos 400x x y y x y y 解得124cos sin cos 23y C x C x x =+−，代入初始条件解得113C =，20C =．故14()cos cos 233f x x x =−．。
同济大学大一公共课高等数学期末试卷及答案9
同济大学高等数学（下册）期末考试试卷考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设⎰=yz xzt dt e u 2， 则=∂∂zu。
2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数)0,0(lf ∂∂= 。
3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2，其中222:t y x D ≤+。
5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。
7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y 。
8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散，则p 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设),(b a f x '存在，则xb x a f b a x f x ),(),(lim0--+→=（ ）（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21),(b a f x'。
2、设2y x z =，结论正确的是（ ）（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ；（C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂xy z y x z 。
2022年《高等数学一》期末复习题及答案
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限2lim()xxx x 的结果是（C ）（A ）0（B ）（C ）12（D ）不存在2、方程3310xx 在区间(0,1)内（B）（A ）无实根（B ）有唯一实根（C ）有两个实根（D ）有三个实根3、)(x f 是连续函数, 则dx x f )(是)(x f 的（C）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D)全体导函数；4、由曲线)0(sin xx y和直线0y所围的面积是（C ）（A ）2/1 (B) 1(C)2 (D)5、微分方程2x y满足初始条件2|0xy 的特解是 ( D)（A ）3x（B ）331x（C ）23x （D ）2313x6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ）(A))1(ln x x (B))0(1lnxx(C) cos (0)x x(D))2(422xxx 7、极限011lim(sinsin )xx x xx的结果是（C）（A ）0（B ）1（C ）1（D ）不存在8、函数arctan xy ex 在区间1,1上（ A）（A ）单调增加（B ）单调减小（C ）无最大值（D ）无最小值9、不定积分dx xx 12= （D）(A)2arctan xC (B)2ln(1)xC (C)1arctan 2x C (D)21ln(1)2xC10、由曲线)10(xe yx 和直线0y 所围的面积是（ A）（A ）1e(B)1 (C)2 (D)e11、微分方程dy xy dx的通解为（ B ）（A ）2xy Ce（B ）212x y Ce（C ）Cxy e（D ）2xy Ce12、下列函数中哪一个是微分方程032x y 的解( D )（A ）2xy （B ）3xy（C ）23xy（D ）3xy 13、函数1cos sin xx y 是（ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数；(C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.14、当0x 时，下列是无穷小量的是（ B）（A ）1x e(B))1ln(x (C) )1sin(x (D)1x15、当x时，下列函数中有极限的是（ A）（A ）211x x(B)cosx (C)1xe(D)arctan x16、方程310(0)x px p的实根个数是（B ）（A ）零个（B ）一个（C ）二个（D ）三个17、21()1dxx（ B ）（A ）211x（B ）211Cx（C ）arctan x （D ）arctan x c18、定积分()baf x dx 是（ C）（A ）一个函数族（B ）()f x 的的一个原函数（C ）一个常数（D ）一个非负常数19、函数2ln 1y x x是（ A）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数20、设函数f x 在区间0,1上连续，在开区间0,1内可导，且0fx ，则( B ) (A)00f (B)10f f (C) 10f (D)1f f 21、设曲线221xye，则下列选项成立的是（C）(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D)仅有水平渐近线22、(cos sin )x x dx( D )（A ）sin cos x x C （B ）sin cos x x C（C ）sin cos xxC（D ）sin cos x x C23、数列})1({nnn的极限为（ A）（A ）1(B) 1(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（B ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C ）两无穷大量的和仍为无穷大量（D ）两无穷大量的差为零25、若()()f x g x ，则下列式子一定成立的有（ C）(A)()()f x g x (B)()()df x dg x (C)(())(())df x dg x (D)()()1f xg x 26、下列曲线有斜渐近线的是( C )(A)sin y x x (B)2sin yxx(C)1sinyx x(D)21sinyxx二、填空题1、21cos lim x x x122、若2)(2xex f ，则)0('f 23、131(cos 51)x x x dx 2 4、dxe tte xC5、微分方程0y y满足初始条件|2xy 的特解为2xy e6、224lim 3x xx 07、极限42lim222xxxx 438、设sin 1,y x x 则()2f 19、11(cos 1)x x dx210、231dx x3arctan x C11、微分方程ydyxdx 的通解为22yxC12、1415x dx 213、sin2limxxx x114、设2cos y x ，则dy22sin x x dx15、设cos 3,y x x则()f -116、不定积分xxdee Cx2e 2117、微分方程2xye的通解为212xyeC22222222222111120,201122xxxxx xxdy y y e y edy e dx dx ydy e dxe C yy x yCe ye y代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x yln 的通解是xyeC19、xxx3)21(lim ＝6e20、,xyx y设函数则(ln 1)xx x 21、)21(lim 222nn nnn的值是1222、3(1)(2)lim23xx x x xx1223、,xyx dy设函数则(ln 1)xx x dx24、2231lim4xx x x1425、若2()sin6xf x e，则)0('f 226、25(1sin )a ax dx2().a 为任意实数27、设ln(1)xye ，则微分dy______1xx e dx e__________.28、3222(cos )d 1xxxx2三、解答题1、（本题满分9分）求函数162yx x 的定义域。
《高等数学1》期末考试试卷及答案
《高等数学1》期末考试试卷及答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数ln(1)yx =-+的定义域是 。
2、极限20limxt x e dt x→=⎰。
3、设0xx =是可导函数()y f x =的极大值点，则()0f x '= 。
4、计算定积分43121sin 11x x dx x -+=+⎰ 。
5、微分方程x y xe ''=的通解是 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点 7、当0x→时，下列函数中与sin 2x 是等价无穷小的是（ ）9、下列每对积分均采用分部积分法，其u 均选为幂函数的一对是（ ）。
A. x xe dx ⎰与ln x xdx ⎰B. xxe dx ⎰与sin x xdx ⎰C. ln x xdx ⎰与sin x xdx ⎰D. arcsin x xdx ⎰与sin x xdx ⎰10、)(x f 在区间),(b a 内恒有()()0,0f x f x '''<<时，曲线)(x f y =在),(b a 内是（ ）A. 单增且是凹的；B. 单增且是凸的；C. 单减且是凸的；D. 单减且是凹的三、判断题（正确打√，错误打Ⅹ，每小题2分，共10分）11、在闭区间上的连续函数必有原函数，从而必可积。
（ ） 12、设2sin x y e =，则()()()22sin 2x x y e e x ''''=。
（ ） 13、设点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有0()0f x ''=。
（ ）14、常数零是无穷小量，无穷小量就是常数零。
（ ）15、()22212t d x e dt x e e dx =-⎰ ( )四、极限、连续和微分解答题（每小题6分，共30分）16、求数列极限2lim nn ne-→∞17、111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭18、20limsin xt x e dtx→⎰19、已知(ln ,x y e =+求dy dx ，22d y dx20、求由方程x y xye -=所确定的隐函数的微分dy五、积分和微分方程解答题（每小题5分，共25分）21、2221tan x x e e x dx -⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰22、dx ⎰23、1e ⎰24、2-145dx x x +∞∞++⎰25、求微分方程2x dyy e dx-+=的通解六、应用题（每小题5分，共5分）26、求平面曲线y=2x ²与y ²=4x 所围成的图形面积A 。
《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]
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《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]一、选择题（本题共5小题；每小题3分；共15分）1、若函数xx x f =)(；则=→)(lim 0x f x （ ）.A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中；是无穷小量的为（ ）. A 、1ln(0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.A 、必要但非充分条件B 、充分但非必要条件C 、充分必要条件D 、既非充分又非必要条件5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、⎰+∞sin xdx B 、dx ex⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01二、填空题（本题共5小题；每小题3分；共15分）6、当k= 时；2,0(),x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.7、设x x y ln +=,则_______________dxdy=. 8、曲线x e y x-=在点（0；1）处的切线方程是 .9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(；C 为常数；则()____________f x =10、定积分dx x xx ⎰-+554231sin =____________.三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→.12、求极限 2cos 12limxt x e dtx-→⎰.13、设)1ln(25x x e y +++=；求dy .14、设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定；求dy dx 和22dx yd .15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰.16、设,0()1,01x e x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩；求20(1)f x dx -⎰.四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分）17、证明：dx x x n m )1(1-⎰=dx x x m n )1(1-⎰ (N n m ∈,).18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时；ln b a b b ab a a--<<.五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分）19、要造一圆柱形油罐；体积为V ；问底半径r 和高h 各等于多少时；才能使表面积最小？20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ；求 （1）平面图形A 的面积；（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.《高等数学》试卷（同济六版上）答案一．选择题（每小题3分；本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分；本题共15分）6、17、1xx+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、解：x x x 2sin 24lim-+→x →= 3分01128x →== 6分12、解：2cos 12limxdt e x tx ⎰-→2cos0sin lim 2xx xe x-→-= 3分12e=-6分 13、解：)111(1122xxx y ++++=' 4分211x +=6分14、解：t t t t dx dy 21121122=++= 3分222232112()241d y t d dydxt dtt dt dxdx t t -+===-+ 6分15、解：212122sin(3)sin(3)(3)23dx d x x x +=-++⎰⎰ 3分 12cos(3)2C x=++ 6分 16、解：⎰⎰⎰⎰--+==-011112d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 0110d 1xxe dx x -=++⎰⎰ 3分1010|ln(1)x e x -=++11ln 2e -=-+ 6分四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分） 17、证明：11(1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分11(1)(1)m nm nt t dt x x dx=-=-⎰⎰ 8分18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈；0a b <<显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分由于1()f x x'=, 因此上式即为 l n l n b a b a ξ--=.又由.a b ξ<< b a b a b ab aξ---∴<< 当0a b <<时；ln b a b b a b a a--<< 8分五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=∴表面积2222222222V V S r rh r rr r rππππππ=+=+=+ 4分令22'40VS r r π=-= 得r =2h =答：底半径r =2h = 8分 20、解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1；1）； 2分于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为31]3132[)(10210232=-=-=⎰x x dx x x A 6分A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：()πππ10352)(10521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 10分。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。
同济大学2019-2020学年第一学期《高等数学C(上)》期末试卷及参考答案
同济大学 2019-2020 学年第一学期高等数学 C(上)期终试卷一. 填空题( 4'⨯6 = 24' )13 1. 已知当 x → 0 时, (1+ ax 2 )3-1与cos x -1是等价无穷小, 则a = - .22. lim( n - 2)n=e -3n →∞ n +13. 已知 f '(3) = 2 , 则lim f (3 - h ) - f (3)= -1 .h →0 2hx4. 曲线 y =⎰(t -1)(t - 2)dt 在点(0, 0) 处的切线方程是y = 2x5. 已知 f '(x ) =2x 则 df (x 2) =dx 36. 若函数 f (x ) = a ln x + bx 2+ x 在 x =1及 x = 2 取得极值, 则a = - 3 , b = - 126二． 计算题( 5'⨯9 = 45' )e x - e - x - 2x1. 求 limx →0 x - sin x[ 2 ]2. 求 lim(1- cot 2 x ) [ 2]x →0x 233. 求 lim(1- 2)5 x -2[ e -10 ]x →∞x4. 设 y = ln(cos 2x +, 求 y ' [ y ' -sin 2x ) ]5. 设y =1- x , 求 1+ xy (n )[ y(n ) =(-1)n 2n !(1+ x )n +1 ]6. 设 y = (tan x )sin x, 求 dy [ y ' = (tan x )sin x(cos x ln tan x + sec x ) ]9. 求,[ 2a 2 - x 2dt = 7. 求a + xdx a - x[ a a rcsinx- ac ]8. 求 ⎰x arctan xdx[ 1x 2arctan x - x + 1arctan x + c ]22 2⎰adx= ⎰πcos t πx +0 sin t + c os t 4三. 解答题( 31' )1. ( 7' )求曲线 xy + 2 ln x = y 4 在点(1, 1) 处的切线与法线方程[ y ' (1, 1) = 1⇒ y = x ;x + y = 2 ]sin t x2. ( 7' )设 f (x ) = lim( )sin t -sin x , 求 f (x ) 的间断点及其类型t →x sin xx[ f (x ) = esin x⇒ x = 0 可去;x = k π (k ≠ 0) 第二类]3. ( 7' )求正数a , 使 axdx1 +∞xdx , 并说出它的几何意义⎰(1+ x 2 )22 ⎰0 (1+ x 2 )2[a xdx = 1(1-1),+∞xdx = 1⇒ a = 1 ]⎰(1+ x 2 )221+ a 2⎰(1+ x 2 )2 24. (10' )设曲线 y = ax 2 (a > 0, x ≥ 0) 与 y = 1- x 2 交于点 A , 过坐标原点O 和点 A 的直线与曲线 y = ax 2围成一个平面图形. 问: a 为何值时, 该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大.ax 1ax 2 - 5[ OA : y = , v = π ⎰ 1+a [( )2 - (ax 2 )2 ]dx = π a 2 (1+ a ) 21+ a 0 1+ a15 = a 2 - x 2 ]⇒V ' =0 ⇒a = 4 ⇒V " < 0 ]。
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1. 若82lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1
cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2
3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n
n n n n n πππ
______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分）
1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ）
A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
D.A 、B 、C 均不对.
2.设函数)(x f y =二阶可导，且
,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ∆'=-∆+=∆<''<'，
当,0>∆x 时，有（A ） A. ,0<<∆dy y B. ,0>>∆dy y C. ,0<∆<y dy D. .0>∆>y dy
3. =+⎰-dx e x x x ||2
2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e
4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ）
A. dx x f ⎰3
0)( B.
dx x f dx x f ⎰⎰-3110)()( C. dx x f ⎰-30)( D. dx x f dx x f ⎰⎰+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361
，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ）
A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
1.求数列极限n n n n +∞→1!sin lim 3
2. 0 2.求极限2200
sin lim 2x tdt e x t x ⎰→. 2
三、计算题（每题9分）
1. ⎰+=C x dx x xf arcsin )(（其中C 为任意常数），求⎰
dx x f )
(1. C 131-32+-）（x 2.设函数)(x f 连续，且dx x f x x x x f ⎰-++=1022
)(11)(，求dx x f ⎰10)(. π-42ln 2 四、10分
设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个解为x x x xe e e y ++=2，求常数c b a ,,的值. 1-,2,3==-=c b a
五、证明题（8分）
设函数)(x f 在],[b a 上可导，且0)()(==b f a f ，并存在一点),(b a c ∈，使得0)(>c f ，证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(<'ξf .
证明：函数)(x f 在],[b c 上应用拉格朗日中值定理，则存在),(b c ∈ξ 使得0)()()()(<--=--='c
b c f c b c f b f f ξ. 六、应用题（8分）
设有长为l ，质量为M 的均匀直细棒AB ，在AB 的延长线上与其近端点相距r 处有一质量为m 的质点，求细棒对质点的引力.
)()(0
2l r r GMm dx x r GMm F l +=-=⎰-。