3 (修改)大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题
如何在强化学习算法中处理连续动作空间(Ⅲ)
在强化学习领域，处理连续动作空间是一个挑战性的问题。
传统的强化学习算法往往只适用于离散动作空间，而对于连续动作空间的处理则需要采用一些特殊的技巧和方法。
在本文中，我们将探讨如何在强化学习算法中处理连续动作空间的问题，并介绍一些常用的方法和技巧。
首先，要处理连续动作空间，我们需要了解什么是连续动作空间。
在强化学习中，动作空间通常可以分为离散动作空间和连续动作空间。
离散动作空间是指动作的取值是有限个数的，比如向左、向右、停止等；而连续动作空间则是指动作的取值是一个连续的范围，比如在一个连续的空间中选择一个位置或者一个方向。
处理连续动作空间的关键问题在于如何对动作空间进行建模和采样。
一种常用的处理连续动作空间的方法是使用参数化的策略。
在参数化的策略中，我们假设策略是由一个参数向量来决定的，然后通过优化这个参数向量来找到一个最优的策略。
这样的方法可以很好地处理连续动作空间，因为参数向量的维度通常是有限的，而且可以使用各种优化方法来对参数向量进行优化。
常见的参数化策略包括高斯策略和确定性策略等。
另一种处理连续动作空间的方法是使用动作值函数。
在强化学习中，动作值函数通常用来评估在当前状态下采取某个动作的价值。
对于连续动作空间，我们可以使用动作值函数来对动作空间进行建模，然后通过优化动作值函数来找到一个最优的策略。
常见的动作值函数包括Q函数和动作值函数等。
除了参数化的策略和动作值函数，还有一些其他方法可以用来处理连续动作空间。
比如，可以使用近似动作值函数来对动作空间进行建模，然后通过近似动作值函数来选择一个最优的动作。
这样的方法可以很好地处理动作空间的连续性，并且可以通过各种近似方法来对动作值函数进行优化。
除了上述方法以外，还有一些其他的技巧和方法可以用来处理连续动作空间。
比如，可以使用基于模型的强化学习方法来对动作空间进行建模，然后通过模型来选择一个最优的动作。
这样的方法可以很好地处理动作空间的连续性，并且可以通过各种模型来对动作空间进行建模和优化。
如何在强化学习算法中处理连续状态空间问题(四)
强化学习是一种通过与环境互动来学习如何最大化奖励的机器学习方法。
在强化学习中，智能体通过观察环境的状态并采取行动来最大化奖励。
其中，状态空间是描述环境状态的集合，而动作空间则是智能体可以采取的动作的集合。
在处理连续状态空间问题时，强化学习算法面临一些挑战，需要采取一些特殊的方法来解决这些问题。
一、值函数近似在强化学习中，值函数是描述智能体在特定状态下可以获得的奖励的函数。
对于离散状态空间问题，可以使用表格来存储值函数，但是对于连续状态空间问题，表格的存储会变得非常困难。
因此，值函数的近似成为处理连续状态空间问题的关键方法之一。
常见的值函数近似方法包括线性函数逼近、非参数方法以及深度神经网络等。
这些方法可以帮助智能体有效地处理连续状态空间问题。
二、策略梯度方法除了值函数近似之外，策略梯度方法也是处理连续状态空间问题的重要技术。
在强化学习中，策略是描述智能体在特定状态下采取的动作的概率分布。
在连续状态空间问题中，直接对策略进行建模是非常困难的，因此需要使用策略梯度方法来近似求解。
常见的策略梯度方法包括REINFORCE算法、Actor-Critic算法以及TRPO算法等。
这些方法可以帮助智能体有效地学习并优化策略，从而处理连续状态空间问题。
三、探索与利用的平衡在处理连续状态空间问题时，智能体往往面临探索与利用的平衡问题。
由于状态空间的连续性，智能体很难对所有可能的状态进行全面探索，因此需要采取一些特殊的方法来平衡探索和利用。
常见的方法包括ε-贪心策略、随机探索以及基于信息增益的探索等。
这些方法可以帮助智能体在处理连续状态空间问题时，有效地平衡探索与利用的关系，从而提高学习效率。
四、奖励设计与函数逼近在处理连续状态空间问题时，奖励设计与函数逼近也是非常重要的。
由于状态空间的连续性，智能体很难直接从环境中获得有效的奖励信号，因此需要设计合适的奖励函数来引导智能体的学习。
同时，函数逼近方法可以帮助智能体有效地近似奖励函数，从而提高学习的效率。
如何在强化学习算法中处理连续状态空间问题
强化学习是一种通过与环境互动来学习最优决策的机器学习方法。
在强化学习中，智能体通过尝试不同的行为来最大化累积的奖励。
强化学习算法通常分为值函数和策略的方法，其中值函数方法试图学习每个状态的值函数，而策略方法则试图直接学习最优策略。
在处理强化学习算法中的连续状态空间问题时，需要注意一些特定的技巧和方法。
处理连续状态空间问题的第一步是状态空间的离散化。
在现实世界中，许多问题的状态空间是连续的，例如机器人的位置和速度。
对于这样的问题，我们需要将连续的状态空间离散化为有限个状态。
这可以通过将状态空间分割成网格或使用其他方法来实现。
离散化状态空间可以使得强化学习算法更容易处理，并且可以降低计算复杂度。
其次，处理连续状态空间问题需要选择合适的函数逼近方法。
在离散状态空间问题中，通常使用表格来存储值函数或策略。
然而，在连续状态空间问题中，由于状态空间的维度可能非常高，使用表格来存储值函数或策略是不现实的。
因此，需要使用函数逼近方法来近似值函数或策略。
常用的函数逼近方法包括线性函数逼近、非线性函数逼近以及深度学习方法。
另外，处理连续状态空间问题需要注意收敛性和稳定性的问题。
由于连续状态空间问题的复杂性，强化学习算法很容易陷入局部最优解或者出现不稳定的训练现象。
因此，需要采取一些特定的措施来保证算法的收敛性和稳定性。
例如，可以使用经验回放方法来消除样本之间的相关性，或者使用探索策略来确保算法能够充分地探索状态空间。
此外，在处理连续状态空间问题时，还需要考虑动作空间的问题。
连续状态空间问题通常伴随着连续动作空间问题。
对于这样的问题，需要选择合适的动作选择方法。
常用的动作选择方法包括epsilon贪婪方法、Softmax方法以及深度学习方法。
选择合适的动作选择方法可以帮助算法更好地探索状态空间，从而找到最优策略。
最后，处理连续状态空间问题需要注意算法的效率和可扩展性。
由于连续状态空间问题通常伴随着高维度的状态空间和动作空间，因此需要选择高效的算法和数据结构来处理这样的问题。
强化学习算法中的状态空间建模技巧(八)
强化学习算法中的状态空间建模技巧强化学习是一种通过与环境交互来学习最优行为策略的机器学习方法。
它通过试错和反馈机制来不断优化决策策略，被广泛应用在机器人控制、游戏策略、自动驾驶等领域。
状态空间建模是强化学习算法中的重要环节，它对于算法的性能和收敛速度有着至关重要的影响。
本文将从状态空间建模的角度，探讨强化学习算法中的技巧和方法。
一、状态空间的抽象在强化学习中，状态空间是描述环境的重要概念，它包含了所有可能的状态以及状态之间的转移关系。
在实际问题中，状态空间往往非常庞大，甚至是连续的。
因此，对状态空间进行合理的抽象和建模是至关重要的。
一种常见的抽象方法是将状态空间离散化，将连续的状态划分为有限个离散的状态。
这样做的好处是可以降低状态空间的复杂度，使得算法更容易求解。
二、状态特征的提取在实际问题中，状态空间往往是高维的，包含了大量的信息。
为了降低状态空间的维度，我们可以通过特征提取的方法来对状态进行抽象。
特征提取可以将原始的状态信息转化为一组更加紧凑和抽象的特征向量，从而简化状态空间的建模。
常用的特征提取方法包括基于线性函数的特征映射、基于核方法的特征提取等。
三、状态空间的动态建模强化学习算法需要对环境的动态变化进行建模，以便有效地学习最优策略。
状态空间的动态建模是一个挑战性的问题，特别是在环境具有不确定性和非线性特性的情况下。
为了有效地建模状态空间的动态变化，我们可以借鉴深度学习领域的方法，采用递归神经网络（RNN）或者长短期记忆网络（LSTM）来对状态空间进行建模，从而捕捉状态之间的时序关系和动态变化规律。
四、状态空间的探索与利用在强化学习中，探索与利用的平衡是一个重要的问题。
状态空间的探索是指在学习过程中不断尝试新的状态，以便发现更优的决策策略。
而利用则是指在已知的最优策略下，选择已知的最优行为。
在状态空间建模中，我们可以通过设计合理的探索策略，如ε-greedy策略，来平衡探索和利用，从而提高算法的收敛速度和性能。
强化学习二：动态规划
注：这里的a不是由策略π(s)产生的，可以认为是别的策略π,(s)产生的 ，a也可以使用别的
符号代替。
接下来，可以通过比较Vπ和Qπ 的大小来决定动作a在这里是不是比原策略π(s)产生的动作要
好还是劣。
如果Vπ和Qπ 之间存在如下关系：
Qπ (s, π,(s)) ≥ Vπ(s)
那么可以认为改进后的策略π , (s)比原策略π (s)好，值得说明的是，我们可以这样理解这个不 等式，可以认为策略π,(s) = a = π(s),在其他地方π,(s)和π(s)完全相同。
3 策略迭代
策略迭代的整个流程如下
π0 → Vπ0 → π1 → Vπ1 → π2 → Vπ2 → … → π∗ → V ∗
file:///C:/Users/86156/Desktop/强化学习二（动态规划）.html
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2020/11/16
强化学习二（动态规划）
π0 → Vπ0 的过程就是前面提到的策略评估过程，Vπ0 → π1 的过程就是前面提到的策略提升
Vk+1 (s)
=
max
a
Qπ
(s,
a)
=
maax[Rsa
+
γ
∑
s, ∈S
Psas,
Vk (s,)]
下面给出值迭代的算法步骤 值迭代算法步骤：
1. 初始化状态值函数，一般初始化为全零状态值函数
2. 根据公式Qπ (s, a) = Rsa + γ ∑s,∈S Psas, Vπ(s,)计算状态行为价值函数Qπ (s, a) 3. 用Qπ (s, a)的最大值更新状态价值函数
file:///C:/Users/86156/Desktop/强化学习二（动态规划）.html
强化学习算法中的最优化方法详解(八)
强化学习（Reinforcement Learning, RL）作为一种机器学习的方法，已经在各个领域取得了广泛的应用。
它通过智能体与环境的交互不断学习，以达到在未知环境中做出正确决策的目的。
在强化学习算法中，最优化方法是至关重要的一部分，它决定了智能体在学习过程中如何调整自身的行为以获得最大的奖励。
本文将详细介绍强化学习算法中的最优化方法，包括值函数的优化、策略优化、以及近似动态规划等方面的内容。
值函数是强化学习中的一个重要概念，它用来评估一个状态或者一个状态-动作对的好坏程度。
值函数的优化是强化学习算法中最为基础的最优化方法之一。
在传统的值函数优化方法中，常用的算法包括动态规划、蒙特卡洛方法以及时序差分学习。
动态规划是一种基于贝尔曼方程的值函数优化方法，它通过递归地更新值函数来获得最优策略。
蒙特卡洛方法则是基于样本的值函数估计方法，它通过模拟多条轨迹来计算状态的值函数。
时序差分学习是一种在连续时间序列上进行更新的值函数优化方法，它通过逐步更新值函数来逼近最优值函数。
这些传统的值函数优化方法在强化学习的早期取得了一定的成功，但是在面对高维状态空间和大规模动作空间时往往显得力不从心。
策略优化是另一种重要的最优化方法，它通过优化策略来获得最优的值函数。
在强化学习中，策略通常用一个概率分布来表示，策略优化的目标是找到一个最优的概率分布，使得对应的值函数达到最大值。
常用的策略优化方法包括策略梯度方法、演员-评论家方法以及近似动态规划方法。
策略梯度方法是一种基于梯度下降的策略优化方法，它通过直接优化策略参数来获得最优的值函数。
演员-评论家方法则是一种同时优化策略和值函数的方法，它通过两个网络分别表示策略和值函数，并通过双网络的交互来更新参数。
近似动态规划方法是一种将值函数优化和策略优化相结合的方法，它通过近似值函数和策略来降低计算复杂度，从而适用于高维状态空间和大规模动作空间。
除了传统的值函数优化和策略优化方法之外，近年来还出现了一些新的最优化方法，如深度强化学习、分布式强化学习以及多智能体强化学习。
强化学习算法中的状态空间建模技巧(五)
强化学习算法中的状态空间建模技巧强化学习是一种通过试错学习并根据环境反馈调整策略的机器学习方法。
在强化学习算法中，状态空间建模是非常关键的一环，它直接影响着算法的性能和效果。
本文将讨论强化学习算法中的状态空间建模技巧。
1. 特征提取在强化学习中，通常需要对状态进行特征提取，以便将原始状态空间映射到一个更小的特征空间。
特征提取可以帮助算法更好地理解和利用状态空间的结构。
常用的特征提取方法包括多项式特征、高斯特征和离散化等。
对于连续状态空间，多项式特征和高斯特征可以将状态空间映射到高维空间，从而更好地捕捉状态之间的关系。
而对于离散状态空间，则可以通过离散化将连续状态空间转化为离散状态空间，这样可以更好地利用强化学习算法进行学习。
2. 状态空间的表示在强化学习中，状态空间的表示至关重要。
合适的状态空间表示可以大大提高强化学习算法的效率和性能。
一种常用的状态空间表示方法是使用矩阵表示状态特征，这样可以更好地描述状态之间的关系。
另一种表示方法是使用图结构表示状态空间，通过将状态和状态之间的转移关系用图表示，可以更好地捕捉状态之间的关联。
状态空间的表示方式需要根据具体问题的特点来选择，以便更好地反映状态空间的结构和特性。
3. 动态特性建模在强化学习中，状态空间的动态特性对算法的学习效果起着至关重要的作用。
合理的动态特性建模可以帮助算法更好地理解状态空间的演化规律，从而更好地制定学习策略。
一种常用的动态特性建模方法是使用马尔可夫决策过程（MDP）进行建模。
MDP可以更好地描述状态空间的演化规律，同时也为强化学习算法提供了一个统一的框架。
除了MDP，还有一些其他的动态特性建模方法，如半马尔可夫决策过程（SMDP）等，这些方法可以更好地适应不同类型的状态空间，提高算法的适应性和泛化能力。
4. 环境模拟在强化学习中，状态空间的建模还需要考虑环境模拟的问题。
合适的环境模拟可以帮助算法更好地理解状态空间的特性和结构，从而更好地进行学习。
强化学习：常见问题解决方案(六)
强化学习（Reinforcement Learning）是一种机器学习方法，通过智能体与环境的交互学习，并根据环境的反馈来调整自身的行为，以达到最优的决策策略。
在实际应用中，强化学习常常会遇到一些常见的问题，本文将对这些问题进行解析，并提出相应的解决方案。
问题一：探索与利用的平衡在强化学习中，智能体需要在探索未知领域与利用已知信息之间找到平衡。
如果智能体过于偏向探索，可能会浪费大量时间在未知领域中，无法获得有效的反馈；而过于偏向利用已知信息，则可能错过一些潜在的最优策略。
解决方案：ε-贪心算法ε-贪心算法是一种常见的解决探索与利用平衡的方法。
在该算法中，智能体以1-ε的概率选择已知的最优策略，以ε的概率进行随机探索。
通过适当调节ε的取值，可以使得智能体在探索与利用之间找到平衡，从而有效地提高学习效率。
问题二：延迟奖励的处理在强化学习中，智能体通常会面临延迟奖励的问题，即某个行为的奖励可能要延迟到未来的某个时间点才能得到反馈。
这会导致智能体难以将某个行为与其所获得的奖励进行有效关联，从而影响学习效果。
解决方案：时序差分学习时序差分学习是一种处理延迟奖励的有效方法。
该方法通过将未来奖励的估计值引入到当前的价值函数中，使得智能体能够更好地理解行为与奖励之间的关系。
时序差分学习不仅可以有效地处理延迟奖励的问题，还能够提高智能体的学习效率。
问题三：高维状态空间的处理在现实世界中，很多问题都会涉及到高维状态空间，智能体需要在这样的状态空间中进行搜索和决策。
然而，传统的强化学习方法在处理高维状态空间时往往会遇到维度灾难的问题，导致学习效率低下。
解决方案：函数逼近函数逼近是一种处理高维状态空间的有效方法。
通过将状态空间映射到一个低维的特征空间，并利用函数逼近方法来对价值函数进行估计，可以有效地降低维度灾难的影响，提高学习效率。
常用的函数逼近方法包括线性函数逼近、神经网络等。
问题四：稳定性与收敛性强化学习算法在实际应用中往往需要保证稳定性和收敛性，即智能体能够在不断与环境交互的过程中，逐渐学习到最优的策略，并保持稳定的行为。
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3 大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题本章我们将讨论大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题。
对于这类问题，我们一般很难求得问题的精确解，只能得到问题的近似解。
前面章节所介绍的一些算法，如值迭代、策略迭代和策略搜索，无法直接用于这类问题。
因此，本章将函数近似引入这些算法，提出三类基于函数近似的算法版本，分别是近似值迭代、近似策略迭代和近似策略搜索。
本章将从理论和实例两个角度分析算法的收敛性，讨论如何获取值函数逼近器的方法，最后比较分析三类算法的性能。
3.1 介绍第二章详细介绍了DP/RL中三类经典算法，这三类算法都需要有精确的值函数及策略表示。
一般来说，只有存储每一个状态动作对回报值的估计值才能得到精确地Q值函数，同样V值函数只有存储每一个状态的回报值的估计值才能得到；精确的策略描述也需要存储每一个状态对应的动作。
如果值函数中某些变量，比如某些状态动作对、状态等，存在很多个或者无穷多个潜在值（又或者这些值是连续的），那么我们就无法精确描述对应的Q值函数或者V值函数，因此，考虑将值函数和策略通过函数近似的方式来表示。
由于实际应用中大部分问题都存在大规模或者连续状态空间，因此，函数近似方法是求解动态规划和强化学习问题的基础。
逼近器主要可以分为两大类：带参的和非参的。
带参的逼近器主要是从参数空间到目标函数空间的映射。
映射函数及参数的个数由先验知识给定，参数的值由样本数据进行调整。
典型的例子是对一组给定的基函数进行加权线性组合，其中权重就是参数。
相比之下，非参的逼近器通过样本数据直接得到。
本质上，非参的函数逼近器也是含带参数的，只是不像带参的函数逼近器，参数的个数及参数的值直接有样本数据决定。
例如，本书中所讨论的基于核函数的逼近器就是带参数的函数逼近器，它为每一个数据点定义一个核函数，并对这些核函数做加权线性组合，其中权重就是参数。
本章主要对大规模状态空间中动态规划和强化学习问题进行广泛而深入的讨论。
第二章中所介绍的三类主要算法，值迭代、策略迭代和策略搜索，将与函数近似方法相结合，获得三类新的算法，分别是近似值迭代、近似策略迭代以及近似策略搜索。
本章将从理论和实例两个角度讨论算法的收敛性，并对比分析三类算法的性能。
关于值函数近似与策略逼近的一些其他重要问题，本章也将给予讨论。
为了帮助读者更好的阅读本章的内容，图3.1给出一个本章的内容脉络图。
图 3.1 本章内容脉络图。
其中实线指示的是推荐阅读顺序，虚线指示的是可选的阅读顺序3.2节给出大规模连续状态空间中，基于函数近似的动态规划及强化学习算法的前提条件。
函数近似不仅仅是关于值函数或者策略的近似表示，在动态规划和强化学习算法的其他方面，函数近似也起着很重要的作用。
在3.3节，我们将介绍带参的、非参的函数近似的构架，并对两种函数逼近器进行对比分析。
接下来，3.4节和3.5节分别介绍了近似值迭代和近似策略迭代；3.6节介绍如何自动获取值函数逼近器的方法，这在近似值迭代和近似策略迭代中很重要；3.7将对近似策略搜索给出详细的介绍。
将这三类算法中的典型算法用于直流马达最优控制实例，从实例角度分析三类算法的收敛性。
本章结束之前，3.8节对三类算法进行对比分析，3.9节对本章内容给出一个总结。
为了适当缩小本章所讨论的范围，对于本章的内容，我们给出几点限制：（1）本章所提到的值函数近似，我们特指Q值函数近似及基于Q值函数的算法，因为本书大部分章节都是关于讨论关于Q值函数的算法。
（2）本章我们将介绍带参数的函数近似方法，因为本书的后续章节都是基于带参的函数近似方法介绍的，但是我们也将简单回顾下在值迭代和策略搜索中的非参函数近似方法。
（3）当我们在介绍带参的函数近似方法时，我们考虑的是更一般的参数化方法（非线性的参数化方法）。
但是，有时我们会重点介绍线性的参数化方法，因为这类算法通常能更容易从理论的角度保证其收敛性。
接下来，我们再详细介绍下文章主要内容的组织架构。
本章主要包含3.4节的近似值迭代、3.5节的近似策略迭代以及3.7节的近似策略搜索。
另外，图3.2用一种树形的方式给出本章所介绍算法的组织架构。
树形结构中所有的终端（右侧）节点所表示的算法都是3.4、3.5及3.7节中的子章节。
当然，图3.2并没有给出关于所有算法的很详细的分类。
在近似值迭代中，首先介绍带带参数的近似值迭代算法，并分为基于模型的和模型无关的两类近似算法。
然后，简单回顾非参的近似值迭代算法。
近似策略迭代主要包含两个显著地问题：近似策略评估，主要对给定的策略确定一个近似值函数，以及策略改进。
除了这两个问题，近似策略迭代提出很多有意思的理论问题，因为比如像近似值迭代，它主要是求出一个关于Bellman等式的近似解。
为此，不得不给定一些特定的条件确保近似解存在，并通过恰当的算法可以求得这个近似解。
相反，策略改进仅仅是在动作空间的基础之上求解一个极大化问题，且这类问题通常在技术上更容易实现（当然，在动作空间很大的时候，这类问题也比较难以求解）。
因此，在本章我们将重点关注近似策略评估。
首先，像介绍近似值迭代一样，我们给出一类近似策略评估的算法。
然后，我们介绍基于线性函数近似的模型无关策略评估算法，并简单回顾基于非参的近似策略评估算法。
另外，我们介绍一种基于模型的策略评估算法，它通过Monte Carlo方法直接对参数进行估计，这种方法被称为“Rollout（滚动求解算法）”。
在3.7节的近似策略搜索中，我们将依次讨论基于梯度和梯度无关的两类算法，用于求解最优策略。
在基于梯度的方法中，我们将重点考虑一种很重要的行动者-评论家方法。
图 3.2算法组织架构图3.2 大规模连续状态空间中函数近似的必要性在2.3节介绍的基于查询表的值迭代算法中，需要存储每一个状态或者状态动作对相应的回报值的估计值。
但是当其中某些状态对应大量或者无限个可能的值（比如对应的值是连续的）时，精确的存储每一个状态所对应的V值是无法实现的，因此，我们只能近似地表示状态值函数（V 值函数）。
同样，对于大规模或者连续状态空间问题，我们也只能近似地表示动作值函数（Q 值函数）。
在2.4节所介绍的策略迭代中，值函数以及某些策略一般也需要利用近似的方法去表示。
同样地，在2.5节的策略搜索中，当面对大规模或者连续状态空间问题时，我们也只能用近似的方法表示策略。
在强化学习或者动态规划中，函数近似并不仅仅是一种表示方法。
我们需要考虑另外两个方面。
第一，在强化学习或者动态规划中，基于样本的函数近似是一类重要的求解方法；第二，值迭代及策略迭代需要在动作空间中反复迭代求解潜在的非凹最大化问题，其中策略搜索主要用于寻找最优策略参数，在这一点上，与第一类函数近似问题存在相同的困难。
一般来讲，这些最优化问题都可以通过近似的方法求解。
接下来，我们将分别详细介绍两种函数近似。
在值函数估计中，针对上述两个方面，我们需要利用函数近似进行求解。
首先，针对第一个目的，我们来看一个例子，对于确定MDP 问题的Q 值迭代算法，也就是算法2.1。
在算法执行过程中，每一次迭代都根据公式（3.1）更新Q 值：1'(,)(,)max ((,),')l l u Q x u x u Q f x u u ργ+=+ （3.1） 当状态动作空间无限，我们无法在有限的时间里遍历更新所有的状态动作对。
相反，对于基于样本的函数近似方法，我们只需要考状态动作空间中有限的状态动作样本。
在随机MDP 问题中，我们也需要利用基于样本的更新方法进行求解。
针对第二个方面，在随机MDP 问题中，我们考虑利用基于样本的函数近似方法。
比如，在求解一般的随机MDP 问题的Q 值迭代算法中，对于每一个状态动作对(,)x u ，都需要根据公式（3.2）进行更新：1'(,)'(,){(,,')max (',')}l l x f x u u Q x u E x u x Q x u ργ+=+ 很显然，我们一般无法精确计算出公式（3.2）右侧的期望值，只能通过有限的样本根据某些方法求得期望值的估计值，比如利用Monte Carlo 方法求估计值。
因此，在强化学习算法中，我们一般通过样本求得期望值的估计值。
比如算法2.3的Q 学习算法就是一个典型的例子，其中通过随机函数近似的方法求得期望值的估计值。
在公式（3.1）、（3.2）中（或者在其他值迭代算法中），关于动作空间的极大化操作必须考虑每一个被选择的样本。
但是，在连续状态空间中，这种极大化操作是潜在的非凹最优化问题，这类问题很难求解，因此，我们只能通过近似的方式求解。
为了简化这类问题的求解，许多算法首先将连续的动作空间离散成一个有限的动作空间，然后在有限的离散动作空间上求解每一个动作的值函数，最后通过枚举的方法找出最大值。
在策略迭代中，在策略评估步，需要利用基于样本的函数近似方法求解每一个状态对应的V 值函数，原因正如前文所述。
极大化操作影响的是策略改进步，其中利用公式（2.34）迭代求解新策略1l h +：1arg max (,)l h l uh Q x u += 注意，采样以及极大化问题都最终影响算法的执行，因为算法中都需要计算V 值函数。
在策略搜索中，一些方法，比如行动者-评论家算法，由于需要估计值函数，因此也被前文所提及的采样问题所影响。
甚至对于不需要估计值函数的算法，也同样需要通过估计回报值来评估策略，这里对于回报值的评估同样也需要利用基于样本的近似方法，我们将在后面介绍这部分内容。
原则上，我们可以通过对于所有初始状态的回报值进行极大化操作获得一个策略。
然而，对于无限状态空间，我们只能估计出整个状态空间的有限子集，即有限初始状态的回报值。
此外，在随机MDP 问题中，对于所有初始状态，回报值的期望值（如公式（2.5））只能够通过有限的样本迹进行评估，比如通过Monte Carlo 方法进行评估。
除了这些采样问题，策略搜索方法必须能够在一类策略中找出最优策略。
这也是一个很难的最优化问题，这一问题一般也只能通过近似的方法求解，即得到原问题的一个近似解。
但是，这里我们只需要执行一次，不像在值迭代和策略迭代中关于动作空间的极值问题，需要考虑所有的样本。
从这个意思上来讲，与值迭代或者策略迭代相比，关于极大化问题所面临的困难对策略搜索算法的影响较小。
从另一个角度考虑，在模型无关的强化学习算法中，函数近似方法可以帮助我们求解问题。
考虑一种估计Q 值函数的值迭代算法，比如算法2.3的Q 学习算法。
不通过函数近似方法，我们需要单独估计每一个状态动作对的Q 值（假如能够在有限的时间里，对所有的状态动作对的Q 值进行估计）。
假如在学习过程中对于其中的某些状态，缺乏足够的信息或者没有任何信息，那么就无法很好地估计这些状态所关联的状态动作对的Q 值，最终导致算法在这些状态上无法得到很好的控制策略。