二次根式的复习PPT课件
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二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式单元复习全面PPT课件
根号内含有字母的代数式叫做二次根式。
一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 如 3
注意：被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1
x2
a2 b2
第23页/共95页
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.
当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
DP C
第41页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
第42页/共95页
拓展1
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
第39页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
第9页/共95页
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
第10页/共95页
达标检测
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 如 3
注意：被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1
x2
a2 b2
第23页/共95页
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.
当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
DP C
第41页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
第42页/共95页
拓展1
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
第39页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
第9页/共95页
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
第10页/共95页
达标检测
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
第五讲二次根式PPT课件
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
二次根式复习精选教学PPT课件
一、填空
1、当x 时 ( x 1)2 1 x 成立
2、将2 x2 3在实数范围内因式分解为
3、根 5a3 , a , b b , a2 2ab b2 式最简二次根式有
3a a 4、若a＞0， 将
a 4a 化成最简二次根式为
b
3 5、根式中 2, 75, 1 , 15, 1 与
她想她真是命苦，刚上班没几天就遇到了这样恐怖的事情，怕是没有生还的可能了。 终于他被警察包围了，所有的警察让他放下枪，不要伤害人质，他疯狂地喊着：“我身上好几条人命了，怎么着也是个死，无所谓了。”说着，他用刀子在她颈上划了一刀。
她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性不大了。 “害怕了？”劫匪问她。
比较 10 4 与 5 2的大小 10 2 5 3
10 4 10 2 2 1 2 1
10 2 10 2
10 2
5 2 5 31 1 1 1
53 53
5 3
10 4 5 2 10 2 5 3
10、化简比较（因式分解后化简或同除以分母等）
64 33
6 3 3
2 2
与
10
52 2 1
2
11、放缩法
比较 1 1 1 1 与 3大小 2345
1111 11111 2345 55555
4 16 , 16 3 5 55
练习
比较2 10 39与4 5 9大小中间数法 比较 3 10 13与 70的大小平方法 比较 2001 1与 2001 1大小求差法
例：比较 3 2与2 3大小
2、平方法
对于形如 a b与 c d或 a b与 c 的大小比较若常规法是 比较困难的若能将它
1、当x 时 ( x 1)2 1 x 成立
2、将2 x2 3在实数范围内因式分解为
3、根 5a3 , a , b b , a2 2ab b2 式最简二次根式有
3a a 4、若a＞0， 将
a 4a 化成最简二次根式为
b
3 5、根式中 2, 75, 1 , 15, 1 与
她想她真是命苦，刚上班没几天就遇到了这样恐怖的事情，怕是没有生还的可能了。 终于他被警察包围了，所有的警察让他放下枪，不要伤害人质，他疯狂地喊着：“我身上好几条人命了，怎么着也是个死，无所谓了。”说着，他用刀子在她颈上划了一刀。
她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性不大了。 “害怕了？”劫匪问她。
比较 10 4 与 5 2的大小 10 2 5 3
10 4 10 2 2 1 2 1
10 2 10 2
10 2
5 2 5 31 1 1 1
53 53
5 3
10 4 5 2 10 2 5 3
10、化简比较（因式分解后化简或同除以分母等）
64 33
6 3 3
2 2
与
10
52 2 1
2
11、放缩法
比较 1 1 1 1 与 3大小 2345
1111 11111 2345 55555
4 16 , 16 3 5 55
练习
比较2 10 39与4 5 9大小中间数法 比较 3 10 13与 70的大小平方法 比较 2001 1与 2001 1大小求差法
例：比较 3 2与2 3大小
2、平方法
对于形如 a b与 c d或 a b与 c 的大小比较若常规法是 比较困难的若能将它
二次根式全章复习PPT教学课件
探索性练习：
7、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
例1、判断下列各题是否正确
1、 a a 0 是二次根式。
2、代数式 1
在实数范围内有意义时x的
1 x
限制条件是x≠0
3、 16 x 是最简二次根式。
4、 1 1 与 32 42 是同 类二次根式。
49
5
5、 4a2 2aa 0
测试时间 0小时 1小 2小 4小 5小 后 时后 时后 时后 时后
雨水的pH值 4.74 4.63 4.57 4.53 4.53
1.请你写出酸雨开始呈酸性的化学方程式.
SO2+H2O H2SO3 2SO2+O2=2SO3 O2+2H2SO3=2 H2SO4 SO3+H2O=H2SO4
2.这种雨水的pH值逐渐减小,其原因何在? (提示:从硫元素的化合价和酸性强弱方面考虑)
化简与计算。
二氧化硫的性质和用途
酸雨
1. 什么是酸雨？ 2. 正常雨水pH应在什么范围？ 3. 酸雨是怎样形成的？ 4. 酸雨有什么危害？怎样防治?
一、物 理 性 质
颜色和状态
观察已制的ＳO2气体·
无色气体
气味
强烈的刺激性气味 ,
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
二次根式复习课PPT课件
2成立的条件是32232???xx1?x0?a0?aaa?20?a23?x???????002aaaaaa1二次根式中的取值范围是1?xx与的区别2a2a1式子表达的意义不同2a的取值范围不同请你来化简2232???aa????4177???????4411417417?????34417417???1417417?2417417???5417417???6本领3
A
D HQ
③ ①EG F
②
B
P
C
h
55
小结
畅 所 欲 言
1、这节课复习了哪些数学知识？ 2、你还有什么收获？
h
56
h
57
h
58
h
20
( a )2 与 a 2 的区别
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
h
21
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
h
22
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 4
17 4
（5）174174 （6）174174
h
31
做一做:
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
⑶ 为了保护草坪,用篱笆把四周围起来,
要做到合理用料,至少需要篱笆多少米?
h
32
例3、计算：
（1）
32 0.52 1 3
1 8
48;
解：原式 4 2 1 2 2 3 1 2 4 3 234
（A） x 2 1
A
D HQ
③ ①EG F
②
B
P
C
h
55
小结
畅 所 欲 言
1、这节课复习了哪些数学知识？ 2、你还有什么收获？
h
56
h
57
h
58
h
20
( a )2 与 a 2 的区别
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
h
21
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
h
22
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 4
17 4
（5）174174 （6）174174
h
31
做一做:
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
⑶ 为了保护草坪,用篱笆把四周围起来,
要做到合理用料,至少需要篱笆多少米?
h
32
例3、计算：
（1）
32 0.52 1 3
1 8
48;
解：原式 4 2 1 2 2 3 1 2 4 3 234
（A） x 2 1
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-
1
本章知识框架
-
2
本章总结提升
整合拓展创新
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非
负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
-
3
本章总结提升
例 1 x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？
(1)
1 3x＋2；
原式＝(2－ 10－2)2－10＝10－10＝0.
-
24
本章总结提升
► 类型之六 二次根式在实际生活中的应用 与二次根式有关的实际生活的应用题主要表现在两个方面：一
是用二次根式或含二次根式的式子表示未知量，二是通过二次根式 的四则混合运算求出未知量，并化简．
-
25
本章总结提升
例 7 如图 16－T－2，Rt△ABC 中，∠B＝90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动；
a2－3a＋1＝0，所以 b＋1＝0，
1 a＋a＝3，b＝－1，所以
a2＋a12＝a＋1a2－
2＝32－2＝7，所以 a2＋a12－|b|＝7－1＝6.
-
16
本章总结提升
► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
19
本章总结提升 【针对训练】 7．[2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
[答案] －6
[解析] 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ 6－3－2 6－ (3－ 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
-
20
本章总结提升
► 类型之五 与二次根式有关的化简求值 将包含二次根式的代数式化简求值时，可以先把原式化简后再
(2) x2＋2；
x＋1
x＋5
(3) x－2 ；
(4)
.
3－x
双人板演，选择练习
-
4
本章总结提升
[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于0；② 分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
-
5
本章总结提升
【针对训练】
1．要使 3－x＋ 1 有意义，则 x 应满足( D ) 2x－1
-
13
本章总结提升
例 3 已知△ABC 的三边 a，b，c 满足(a－5)2＋ b－5＋ | c－1－2|＝0，则△ABC 为( B )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
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14
本章总结提升
【针对训练】 5．[2013·广东] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4＝0，则 a2 b ＝________． [答案] 1
-
10
本章总结提升
【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x [解析] D x2－2x＋1＝ （x－1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0，∴原式＝1－x.
-
11
本章总结提升
4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简|a－b|－ a2的结果是( C )
-
8
本章总结提升
例2
计算：
2 －x×
x2.
注意：引导分析x的取值范围
2
2
2
解：由题意知－x≥0，∴x<0，∴ －x× x2＝ －x×
（－x）2＝
2 ×(－x)＝
－x
2× －x
－x
2
×(－x)＝
－2x －x ×(－x)
＝ －2x.
-
9
本章总结提升
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
-
17
例 4 计本算章：总(结－提3升)0－
27＋1－
2＋
1 3＋
2.
解：(－3)0－
27＋1－
2＋
1 3＋
2
＝1－3 3＋ 2－1＋ 3－ 2
＝－2 3.
-
18
例 5 计本算章：总结提升
(1)32 20×(－ 15)÷－13 48；
(2) 18－
92－
3＋ 3
6＋(
3－2)0＋
（1－
2）2.
-
代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
-
21
本章总结提升
例6
[2013·襄阳]
先化简，再求值：a2－a b2÷2aba－b2－a
，
其中 a＝1＋ 2，b＝1－ 2.
-
22
本章总结提升
[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分 母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将 分式的除法转化为乘法运算．
[解析] 由|a＋2|＋ b－4＝0 可得 a＋2＝0，b－4＝0，解 a2
得 a＝－2，b＝4，所以 b ＝1.
-
15
本章总结提升
6．若 a2－3a＋1＋b2＋2b＋1＝0，则 a2＋a12－b＝________． [答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1)2 ＝ 0 ， 所 以
A.12≤x≤3
B．x≤3
且
1 x≠2
C.12<x<3 D.12<x≤3
-
ห้องสมุดไป่ตู้
6
本章总结提升
2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015 －1
-
7
本章总结提升
► 类型之二 二次根式性质的应用
对于形如 a2的二次根式的化简，用公式 a2＝|a|＝a－（aa（≥a0<）0），.
图 16－T－1 A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b
[解析] C 由图 16－T－1 可知 a＞0，b＜0，所以 a－b＞0，
则|a－b|－ a2＝|a－b|－|a|＝a－b－a＝－b.
-
12
本章总结提升
► 类型之三 二次根式的非负性的应用
由 a≥0，b≥0 且 a＋b＝0 得到 a＝b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x＋ y＝0； x＋|y|＝0； x＋y2＋|z|＝0 等．
-
23
本章总结提升
【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10，试求代数式 x2－4x－6 的值．
解：方法一：∵x＝2－ 10，∴x－2＝－ 10， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6，
∴x2－4x－6＝6－6＝0.
方法二：x2－4x－6＝x2－4x＋4－10＝(x－2)2－10.
当 x＝2－ 10时，
1
本章知识框架
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2
本章总结提升
整合拓展创新
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非
负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
-
3
本章总结提升
例 1 x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？
(1)
1 3x＋2；
原式＝(2－ 10－2)2－10＝10－10＝0.
-
24
本章总结提升
► 类型之六 二次根式在实际生活中的应用 与二次根式有关的实际生活的应用题主要表现在两个方面：一
是用二次根式或含二次根式的式子表示未知量，二是通过二次根式 的四则混合运算求出未知量，并化简．
-
25
本章总结提升
例 7 如图 16－T－2，Rt△ABC 中，∠B＝90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动；
a2－3a＋1＝0，所以 b＋1＝0，
1 a＋a＝3，b＝－1，所以
a2＋a12＝a＋1a2－
2＝32－2＝7，所以 a2＋a12－|b|＝7－1＝6.
-
16
本章总结提升
► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
19
本章总结提升 【针对训练】 7．[2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
[答案] －6
[解析] 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ 6－3－2 6－ (3－ 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
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本章总结提升
► 类型之五 与二次根式有关的化简求值 将包含二次根式的代数式化简求值时，可以先把原式化简后再
(2) x2＋2；
x＋1
x＋5
(3) x－2 ；
(4)
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3－x
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4
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[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于0；② 分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
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5
本章总结提升
【针对训练】
1．要使 3－x＋ 1 有意义，则 x 应满足( D ) 2x－1
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13
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例 3 已知△ABC 的三边 a，b，c 满足(a－5)2＋ b－5＋ | c－1－2|＝0，则△ABC 为( B )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
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【针对训练】 5．[2013·广东] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4＝0，则 a2 b ＝________． [答案] 1
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【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x [解析] D x2－2x＋1＝ （x－1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0，∴原式＝1－x.
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4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简|a－b|－ a2的结果是( C )
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例2
计算：
2 －x×
x2.
注意：引导分析x的取值范围
2
2
2
解：由题意知－x≥0，∴x<0，∴ －x× x2＝ －x×
（－x）2＝
2 ×(－x)＝
－x
2× －x
－x
2
×(－x)＝
－2x －x ×(－x)
＝ －2x.
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9
本章总结提升
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
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例 4 计本算章：总(结－提3升)0－
27＋1－
2＋
1 3＋
2.
解：(－3)0－
27＋1－
2＋
1 3＋
2
＝1－3 3＋ 2－1＋ 3－ 2
＝－2 3.
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18
例 5 计本算章：总结提升
(1)32 20×(－ 15)÷－13 48；
(2) 18－
92－
3＋ 3
6＋(
3－2)0＋
（1－
2）2.
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代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
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21
本章总结提升
例6
[2013·襄阳]
先化简，再求值：a2－a b2÷2aba－b2－a
，
其中 a＝1＋ 2，b＝1－ 2.
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22
本章总结提升
[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分 母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将 分式的除法转化为乘法运算．
[解析] 由|a＋2|＋ b－4＝0 可得 a＋2＝0，b－4＝0，解 a2
得 a＝－2，b＝4，所以 b ＝1.
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6．若 a2－3a＋1＋b2＋2b＋1＝0，则 a2＋a12－b＝________． [答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1)2 ＝ 0 ， 所 以
A.12≤x≤3
B．x≤3
且
1 x≠2
C.12<x<3 D.12<x≤3
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ห้องสมุดไป่ตู้
6
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2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015 －1
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7
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► 类型之二 二次根式性质的应用
对于形如 a2的二次根式的化简，用公式 a2＝|a|＝a－（aa（≥a0<）0），.
图 16－T－1 A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b
[解析] C 由图 16－T－1 可知 a＞0，b＜0，所以 a－b＞0，
则|a－b|－ a2＝|a－b|－|a|＝a－b－a＝－b.
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本章总结提升
► 类型之三 二次根式的非负性的应用
由 a≥0，b≥0 且 a＋b＝0 得到 a＝b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x＋ y＝0； x＋|y|＝0； x＋y2＋|z|＝0 等．
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23
本章总结提升
【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10，试求代数式 x2－4x－6 的值．
解：方法一：∵x＝2－ 10，∴x－2＝－ 10， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6，
∴x2－4x－6＝6－6＝0.
方法二：x2－4x－6＝x2－4x＋4－10＝(x－2)2－10.
当 x＝2－ 10时，