《二次根式的定义》PPT课件
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二次根式的定义 课件
分析：要使式子 x 有1意义，必须x-1≥0，
即x≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算：
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
二次根式概念
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
例2要使式子 x 1有意义，字母x3
练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2
3 ( 7)2
二次根式的性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
计算： ⑴ 25=2
；25 ⑵
= (；25)2 25
⑶ 0.=49 ；0.7 ⑷
=
.
1
2 3
数学概念的学习方法：抓住要满足的条件.
13
3.总结 ( a )2 和 a2 的联系与区别：
联系：当 a≥0时， =( a.)2 a2
区别：( a中)2a的取值范围是
a，≥0
而 a中2 a的取值范围是 a为任意. 实数
14
课堂练习
❖练习：P3第1、2、3
课堂小结： ⑴非负数a的算术平方根 a(a≥0)叫做二次根式.二次 根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有 “ ”，二是被开方数的取值必须大于或等于0. ⑵二次根式的性质: ①双重非负性：被开方数a≥0； ≥a0. ②基本性质： ( a=)a2 (a≥0)， =｜a2a｜.
即x≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算：
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
二次根式概念
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
例2要使式子 x 1有意义，字母x3
练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2
3 ( 7)2
二次根式的性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
计算： ⑴ 25=2
；25 ⑵
= (；25)2 25
⑶ 0.=49 ；0.7 ⑷
=
.
1
2 3
数学概念的学习方法：抓住要满足的条件.
13
3.总结 ( a )2 和 a2 的联系与区别：
联系：当 a≥0时， =( a.)2 a2
区别：( a中)2a的取值范围是
a，≥0
而 a中2 a的取值范围是 a为任意. 实数
14
课堂练习
❖练习：P3第1、2、3
课堂小结： ⑴非负数a的算术平方根 a(a≥0)叫做二次根式.二次 根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有 “ ”，二是被开方数的取值必须大于或等于0. ⑵二次根式的性质: ①双重非负性：被开方数a≥0； ≥a0. ②基本性质： ( a=)a2 (a≥0)， =｜a2a｜.
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
二次根式ppt
运算规则
总结词
掌握二次根式的运算规则是学习二次根式 的核心。
详细描述
二次根式的运算包括加减乘除以及化简求 值等，需要遵循二次根式的运算法则和运 算顺序，同时要掌握常见二次根式的值和 化简技巧。
实际应用
总结词
了解二次根式在实际生活中的应用有助于学 习二次根式。
详细描述
二次根式在现实生活中有着广泛的应用，如 求物体的高度、计算平均数等，通过这些实 例可以更好地理解二次根式的意义和作用。
性质
非负性
$\sqrt{a}≥0(a≥0)$
唯一性
当a>0时，$\sqrt{a}$有两个值；当a=0时，$\sqrt{a}$有一个值；当a<0时 ，$\sqrt{a}$无意义。
02
加减运算
定义
概念
二次根式的加减运算是指将同类二次根式进行合并、抵消或说成是合并同类项。
公式
$\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ = $\sqrt{a \pm b}$ （a≥0，b≥0）
解决实际问题
在解决某些实际问题时， 可以通过二次根式的加减 运算来得到最终的解决方 案或结果。
03
代数应用
根式定义
根式
如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这个数叫 做a的n次方根(或a的n次方根记作√a)，其中a叫做被开方数， n叫做根指数。
二次根式
如果一个非负数a的平方等于b，那么a是b的二次方根(或说b 的二次方根是a)，记作√b，其中a叫做被开方数，叫做二次方 根。
二次根式ppt
2023-11-01
contents
目录
• 定义与性质 • 加减运算 • 代数应用 • 平方根变换 • 二次根式的起源与发展 • 二次根式的挑战与困难
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
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HS版九年级上
第21章 二次根式
21.1 二次根式 第1课时 二次根式的定义
习题链接
提示：点击 进入习题
1C 2A
3C 4C
5D 6C 7C 8B
答案显示
习题链接
提示：点击 进入习题
91 10 D 11 B
14 2
15
5 6
16 (1)1.(2)3.
12 A
13 x，y的值分别为－1，3.
答案显示
探究培优
16．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后面两问的
作答．
例：已知 y＝ 2 021－x＋ x－2 021＋2 022，求xy的值．
解：由x2－02210－21x≥≥00，解得 x＝2 021，∴y＝2 022.
∴xy＝22
022 021.
探究培优 (1)若 x，y 为实数，且 y> x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|；
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
解：由x3－ －3x≥≥00，解得 x＝3， ∴y>2.∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
探究培优 (2)若 y· 2x－2＋ 1－x＝y＋2，求 y2＋5x的值．
解：由21x－－x2≥≥00，解得 x＝1， ∴y＝－2，∴ y2＋5x＝3.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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长，则△ABC 的周长是( B ) A．12 B．10 C．8
D．6
【点拨】根据|m－2|＋ n－4＝0 得 m＝2，n＝4， 再根据三角形三边关系定理得：三角形三边长分 别为 4，4，2，故选 B.
夯实基础
12．【中考·黄石】若式子 xx－－21在实数范围内有意
义，则 x 的取值范围是( A )
A．x≥1 且 x≠2
B．x≤1
C．x>1 且 x≠2
D．x<1
【点拨】本题易错在漏掉分母不为0这个条件，
由题意知x－1≥0且x－2≠0，解得x≥1且x≠2.
整合方法
13．已知 x＋1＋ x＋y－2＝0，求 x，y 的值． 解：因为 x＋1≥0， x＋y－2≥0，且其和为 0，所 以 x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得 x＝－1，y＝3. 所以 x，y 的值分别为－1，3. 方法总结：a2，|a|， a都为非负数，即 a2≥0，|a|≥0， a≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则 这几个非负数同时为零”解决问题．
教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
探究培优
解：m2 －n1÷m2m＋nn2－5mn·2mn＋2mn＋2 ＝2nm－nm÷m2＋mn2n－5n2·m2＋42nm2＋n 4mn ＝2nm－nm·（m＋2n）m（n m－2n）·（m2＋m2nn）2 ＝－m2＋mn2n.∵ m＋1＋(n－3)2＝0，∴m＋1＝0，n－3＝0， ∴m＝－1，n＝3.∴原式＝－m2＋m2nn＝－2×－（1－＋12）×3×3＝56.
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
整合方法
14．当 x 取什么实数时，式子 3x－1＋2 的取值最 小？并求出这个最小值．
解：由二次根式有意义的条件得 3x－1≥0，即 x≥13， 所以当 x＝13时，式子 3x－1＋2 的取值最小，最 小值为 2.
探究培优
15．【中考·德州】先化简，再求值： m2 －n1÷m2m＋nn2－5mn·2mn＋2mn＋2，其中 m＋1＋ (n－3)2＝0.
① 13；② －3；③ x2＋1；④3 8；⑤ 132； ⑥ x2＋2x＋3. A．2 B．3 C．4 D．5 【点拨】二次根式必须满足两个条件：一是被开方数为
3
非负数，二是根指数为 2. －3无意义， 8的根指数不是 2，故②④不是二次根式．二次根式有①③⑤⑥，共 4 个．
夯实基础
4．【中考·武汉】式子 x－1在实数范围内有意义，
则 x 的取值范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
夯实基础
5．【中考·苏州】若 x＋2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是( D )
夯实基础
6．【中考·济宁】若 2x－1＋ 1－2x＋1 在实数范围内
有意义，则 x 满足的条件是( C )
A．x≥12
B．x≤12
C．x＝12
D．x≠12
【点拨】由题意可知：21x－－21x≥≥00，，解得 x＝12.
夯实基础
7．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
4 A.3
B．－43
3 C.4
D．－34
夯实基础
8．若式子 x－1有意义，则 x－2 的最小值是( B ) A．1 B．－1 C．0 D．－2
夯实基础
9．【中考·安顺】若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0， 则 a＋b＝___1_____.
夯实基础
10．【中考·桂林】若|3x－2y－1|＋ x＋y－2＝0，
则 x，y 的值为( D )
x＝1， A.y＝4
x＝2， B.y＝0
x＝0， C.y＝2
x＝1， D.y＝1
夯实基础
*11【. 中考·宿迁】若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4 ＝0，且 m，n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的
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夯实基础
1．下列式子一定是二次根式的是( C )
A. －x－2
B. x
C. x2＋2
D. x2－2
夯实基础
2．下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a
B. b2＋1
C. 0
D. （a＋b）2
【点拨】根据二次根式的定义进行识别. a中 a ＜0 时不是二次根式．
夯实基础
3．下列各式中，二次根式的个数为( C )
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
第21章 二次根式
21.1 二次根式 第1课时 二次根式的定义
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1C 2A
3C 4C
5D 6C 7C 8B
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91 10 D 11 B
14 2
15
5 6
16 (1)1.(2)3.
12 A
13 x，y的值分别为－1，3.
答案显示
探究培优
16．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后面两问的
作答．
例：已知 y＝ 2 021－x＋ x－2 021＋2 022，求xy的值．
解：由x2－02210－21x≥≥00，解得 x＝2 021，∴y＝2 022.
∴xy＝22
022 021.
探究培优 (1)若 x，y 为实数，且 y> x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|；
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
解：由x3－ －3x≥≥00，解得 x＝3， ∴y>2.∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
探究培优 (2)若 y· 2x－2＋ 1－x＝y＋2，求 y2＋5x的值．
解：由21x－－x2≥≥00，解得 x＝1， ∴y＝－2，∴ y2＋5x＝3.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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长，则△ABC 的周长是( B ) A．12 B．10 C．8
D．6
【点拨】根据|m－2|＋ n－4＝0 得 m＝2，n＝4， 再根据三角形三边关系定理得：三角形三边长分 别为 4，4，2，故选 B.
夯实基础
12．【中考·黄石】若式子 xx－－21在实数范围内有意
义，则 x 的取值范围是( A )
A．x≥1 且 x≠2
B．x≤1
C．x>1 且 x≠2
D．x<1
【点拨】本题易错在漏掉分母不为0这个条件，
由题意知x－1≥0且x－2≠0，解得x≥1且x≠2.
整合方法
13．已知 x＋1＋ x＋y－2＝0，求 x，y 的值． 解：因为 x＋1≥0， x＋y－2≥0，且其和为 0，所 以 x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得 x＝－1，y＝3. 所以 x，y 的值分别为－1，3. 方法总结：a2，|a|， a都为非负数，即 a2≥0，|a|≥0， a≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则 这几个非负数同时为零”解决问题．
教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
探究培优
解：m2 －n1÷m2m＋nn2－5mn·2mn＋2mn＋2 ＝2nm－nm÷m2＋mn2n－5n2·m2＋42nm2＋n 4mn ＝2nm－nm·（m＋2n）m（n m－2n）·（m2＋m2nn）2 ＝－m2＋mn2n.∵ m＋1＋(n－3)2＝0，∴m＋1＝0，n－3＝0， ∴m＝－1，n＝3.∴原式＝－m2＋m2nn＝－2×－（1－＋12）×3×3＝56.
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
整合方法
14．当 x 取什么实数时，式子 3x－1＋2 的取值最 小？并求出这个最小值．
解：由二次根式有意义的条件得 3x－1≥0，即 x≥13， 所以当 x＝13时，式子 3x－1＋2 的取值最小，最 小值为 2.
探究培优
15．【中考·德州】先化简，再求值： m2 －n1÷m2m＋nn2－5mn·2mn＋2mn＋2，其中 m＋1＋ (n－3)2＝0.
① 13；② －3；③ x2＋1；④3 8；⑤ 132； ⑥ x2＋2x＋3. A．2 B．3 C．4 D．5 【点拨】二次根式必须满足两个条件：一是被开方数为
3
非负数，二是根指数为 2. －3无意义， 8的根指数不是 2，故②④不是二次根式．二次根式有①③⑤⑥，共 4 个．
夯实基础
4．【中考·武汉】式子 x－1在实数范围内有意义，
则 x 的取值范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
夯实基础
5．【中考·苏州】若 x＋2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是( D )
夯实基础
6．【中考·济宁】若 2x－1＋ 1－2x＋1 在实数范围内
有意义，则 x 满足的条件是( C )
A．x≥12
B．x≤12
C．x＝12
D．x≠12
【点拨】由题意可知：21x－－21x≥≥00，，解得 x＝12.
夯实基础
7．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
4 A.3
B．－43
3 C.4
D．－34
夯实基础
8．若式子 x－1有意义，则 x－2 的最小值是( B ) A．1 B．－1 C．0 D．－2
夯实基础
9．【中考·安顺】若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0， 则 a＋b＝___1_____.
夯实基础
10．【中考·桂林】若|3x－2y－1|＋ x＋y－2＝0，
则 x，y 的值为( D )
x＝1， A.y＝4
x＝2， B.y＝0
x＝0， C.y＝2
x＝1， D.y＝1
夯实基础
*11【. 中考·宿迁】若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4 ＝0，且 m，n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的
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夯实基础
1．下列式子一定是二次根式的是( C )
A. －x－2
B. x
C. x2＋2
D. x2－2
夯实基础
2．下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a
B. b2＋1
C. 0
D. （a＋b）2
【点拨】根据二次根式的定义进行识别. a中 a ＜0 时不是二次根式．
夯实基础
3．下列各式中，二次根式的个数为( C )
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！