2021年北师大版高二数学下期中试卷及答案
北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)(必备优质)
高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．1-2. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B．2D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。
2022北京北师大实验高二(下)期中数学试题参考答案
北大附中2021-2022学年第2学期期中考试一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1.已知集合(1,3]A =，N 表示自然数集，则A N = （）A.{1,2}B.{1,2,3}C.{2}D.{2,3}2.设复数z 满足(45)1i z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.抛物线22y x =-的焦点到准线的距离是（）A.12B.1C.2D.44.不等式22log log (1)1x x +->的解集是（）A.(,1)(2,)-∞-+∞ B.(,1)-∞- C.(2,)+∞ D.(1,)+∞5.已知3()3f x x x =-，则120x x +=是12()()0f x f x +=的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.将定义域为R 的奇函数()y f x =的图像上所有点向右平移一个单位，再将得到的图形上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，下列等式一定成立的是（）A.(1)0g -= B.1(02g -= C.1(02g = D.(1)0g =7.已知圆2210x y +=与圆222450x y ax ay +---=相交，则a 的取值可能是（）A.23-B.24-C.26-D.28-8.直线1ax by +=被圆22(2)(2)4x y -+-=截得的弦长等于4，则ab 的最大值是（）A.12B.14C.18D.1169.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中真命题的个数是（）①若//,a b αα⊂，则a b =∅ ；②若,,//a b a b αβ⊥⊥，则a β⊥；③若//,//,a a b b αα≠∅ ，则b α⊂；10.生态学家希望预测在一个野生鸟类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平.令n x 表示n 年后老鼠的种群量，n y 表示n 年后斑点猫头鹰的种群量，生态学家提出了下列模型：1max{1.20.001,0}n n n n x x x y +=-，10.70.002n n n n y y x y +=+.注意：,n n x y 可以是分数，因为1以内的误差是允许的.下面有三条结论：①存在0,0a b >>，如果11,x a y b ==，那么对任意正整数n ，,n n x a y b ==；②如果10y >，那么对任意正整数n ，1n y +与n y 的大小关系只取决于n x ，而与n y 无关；③对任意110,0x y >>，存在正数M ，使得对任意正整数n ，n y M ≤；其中全部正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11.在1123()x x -的展开式中，含6x 项的系数为.12.已知角α的终边与角6πα+的终边关于直线y x =对称，写出一个符合条件的角α=.（用弧度制表示）13.已知平面向量,a b 满足||1,||,45==<>= a b a b ，则|2|+=a b ，cos ,2<+>=b a b .14.已知数列{}n a 的通项公式是2()()n n a a a R n+=∈，如果{}n a 是递增数列，那么a 的取值范围是.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1,AB PA PA ABCD ==⊥底面，AC BD O = .设E 是线段PC 上一动点，下面有四条结论：①无论E 在什么位置，//PA EBD 面；②无论E 在什么位置，EBD PAC ⊥面面；③点A 到平面EBD 的最小距离是22；④直线AB 与平面EBD 的最大夹角是45 .三、解答题（共6小题，85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本小题13分）在三角形ABC 中，60B = ，4ac =.（1）求三角形ABC 的面积；（2）从条件①、条件②中选择一个作为已知，求三角形ABC 的周长.条件①：sin 4sin A C =；条件②：b =.17.（本小题14分）菲尔兹奖（英语：Fields Medal ），是依加拿大数学家John Charles Fields 要求设立的国际性数学奖项，于1936年首次颁发.菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一.因诺贝尔奖未设置数学奖，故该奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”.菲尔兹奖每四年颁发一次（二战期间停发），在由国际数学联合会主办的四年一度的国际数学家大会上举行颁奖仪式，每次授予2至4名有卓越贡献的年轻数学家.获奖者必须在该年元旦前未满40岁，每人能获得1.5万加拿大元奖金和金质奖章一枚.英国数学家Andrew Wiles 于1994年证明了费马大定理，但因年龄原因，在1998年国际数学家大会上获得了特别制作的菲尔兹奖银质奖章.自菲尔兹奖设立以来至2018年，60位菲尔兹奖获奖者（不含Andrew Wiles ）获奖时的年龄的柱形图如下：（1）求60位菲尔兹奖获得者年龄的最小值，众数，25%分位数；（2）2002年的国际数学家大会是在北京召开的，这次数学家大会上有两位数学家获得菲尔兹奖，且获奖时的年龄都是36岁.现从历届36岁时获奖的菲尔兹奖得主中随机选取3人，用X 表示其中在2002年获奖的人数，求X 的具有M 国国籍不具有M 国国籍总计2000年之前获奖1527422000年之后获奖31518总计184260现从60位菲尔兹奖获得者中随机选取一人，用A 表示事件“这个人在2000年之后获奖”，用B 表示事件“这个人不具有．．．M 国国籍”.写出(|)P B A 和(|)P A B 的值.（只写出结论，不要求证明）18.（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，,,//PA ABCD AD CD AD BC ⊥⊥平面，3BC =，2PA AD CD ===，点E 为PD 的中点，点F 在线段PC 上.（1）证明：AEF PCD ⊥面面；（2）如果二面角F AE P --的正弦值等于63，求PFPC的值.19.（本小题14分）已知椭圆22:33C x y +=.点12,F F 分别为椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C 的短轴长和点12,F F 的坐标；（2）设00(,)P x y 为椭圆C 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若点1F 在以PQ 为直径的圆的外部，求0x 的取值范围.20.（本小题16分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中0a >.（1）若1a =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）如果对任意12,[0,1]x x ∈，都有12|()()|1f x f x -≤，求a 的取值范围.21.（本小题15分）“更相减损之术”是中国古代数学专著《九章算术》中提到的用来求两个正整数的最大公约数的算法.任给两个正整数,a b ，构造一个数列{}n a ，使得12,a a a b ==，且对任意正整数n ，21||n n n a a a ++=-.可以证明{}n a 中一定存在为0的项，且第一个为0的项的前一项就是,a b 的最大公约数.类似地，任给两个正整数,a b ，构造数列{}n b ，使得12,b a b b ==，且对任意正整数n ，21|2|n n n b b b ++=-.（1）若1,2a b ==，写出34100,,b b b 的值；（2）{}n b 是否有可能是递增数列？请对你的结论给出证明；（3）证明：对任意的正整数,a b ，要么{}n b 中不存在最大项，要么数列{}n b 从某一项起为常数.北京师范大学附属实验中学2021-2022学年度高二年级第二学期数学期中练习试卷答案一、选择题二、填空题 11、1 12、512 13、271314、3-；17683- 15、①②④（14题：第一个空3分，第二个空2分。
北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(文科)-精
高二下学期期中考试数学（文）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．12. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B C．．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. 经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）A. y2＝4xB. x2＝21y C. y2＝4x 或x2＝21y D. y2＝4x 或x2＝4y6．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89. 函数344+-=xxy在区间[]2,3-上的最小值为（）A 72B 36C 12D /010. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--.（1）求导数)(x f '；（2）若0)1(=-'f ，求()f x 在[-1,1]上的值域； （3）若()f x 在[-1,1]上是递减函数，求a 的取值范围21. 已知抛物线y x 42=，l 是它的准线. 若),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线互异两点，分别以Q P ,为切点作抛物线的切线，两切线交于点A.（I ）若AP ⊥AQ ，证明：421-=x x（II ）证明：AP ⊥AQ 的充要条件是点A 在直线l 上.数学答案（文）一、选择题：（将正确答案填入表格内，每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13.0135. 14. )35,(--∞,),1(+∞ 15)2,321(16. 082=-+y x 三、解答题（共70分）17.（本题满分14分）(1)9,6=-=b a (2) 0 18.（本题满分14分）13622=-y x 19.（本题满分14分）324 20. （本题满分14分）文科：（1）423)(2--='ax x x f （2）]29,23[- （3）]21,21[- 理科：(1)423)(2--='ax x x f (2)]29,2750[- (3) ]2,2[-21.（本题满分14分） 证明略。
【最新】北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(文科)
高二下学期期中考试数学（文）一、 选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ） A ．1 B ．3 C 1 D ．12. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(2,5)-C ．[)(,2)5,-∞-+∞UD ．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．544. 设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A.2211216x y +=B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. 经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ）A. y 2＝4xB. x 2＝21y C. y 2＝4x 或x 2＝21y D. y 2＝4x 或x 2＝4y 6．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（ ）A ．193 B ．163 C ．133 D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（ ） A.1-=x y B.1+-=x y C. 22-=x y D. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 89. 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A 72 B 36 C 12 D 010. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y )(x f '的图象） A B C D11. 方程0333=--x x 的实数根的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值 18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--.（1）求导数)(x f '；（2）若0)1(=-'f ，求()f x 在[-1,1]上的值域；（3）若()f x 在[-1,1]上是递减函数，求a 的取值范围21. 已知抛物线y x 42=，l 是它的准线. 若),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线互异两点，分别以Q P ,为切点作抛物线的切线，两切线交于点A.（I ）若AP ⊥AQ ，证明：421-=x x（II ）证明：AP ⊥AQ 的充要条件是点A 在直线l 上.数学答案（文）一、选择题：（将正确答案填入表格内，每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.0135. 14. )35,(--∞,),1(+∞ 15)2,321(16. 082=-+y x 三、解答题（共70分）17.（本题满分14分）(1)9,6=-=b a (2) 018.（本题满分14分） 13622=-y x 19.（本题满分14分）324 20. （本题满分14分）文科：（1）423)(2--='ax x x f （2）]29,23[-（3）]21,21[- 理科：(1)423)(2--='ax x x f (2)]29,2750[- (3) ]2,2[- 21.（本题满分14分）证明略。
2020-2021北京师范大学第二附属中学高中必修二数学下期中试卷含答案
2020-2021北京师范大学第二附属中学高中必修二数学下期中试卷含答案一、选择题1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥2．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）3．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π4．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．1763B．1603C．1283D．328．已知AB是圆22620x y x y+-+=内过点(2,1)E的最短弦，则||AB等于（）A．3B．22C．23D．259．已知直线()()():21110l k x k y k R++++=∈与圆()()221225x y-+-=交于A，B两点，则弦长AB的取值范围是（）A．[]4,10B．[]3,5C．[]8,10D．[]6,1010．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2B．1∶3C．1∶5D．3∶211．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A．130B．140C．150D．16012．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．3B1033C．23D833二、填空题13．如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____14．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.15．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________． 16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．17．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 18．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．19．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥； （Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC 的值.22．在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ． （2）求证：BC SA ⊥．23．若圆M 的方程为22(2)(5)10x y -+-=，△ABC 中，已知(1,1)A ，(4,2)B ，点C 为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程； （2）求△ABC 面积的最小值．24．已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22（1）求M 的标准方程；（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33l 的方程．25．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围.26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得. 【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为 10， 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．9．D解析：D 【解析】 【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．11．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.12．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.二、填空题13．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常 解析：32设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．14．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.15．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所 解析：3210x y +-=【解析】 【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可． 【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ， 则直线l 的方程为：3212y x -=-+（） ，化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．16．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围． 【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤， 则PA a k ≤-或PB a k ≥-， 即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．17．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：()1,4,1--【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】 设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π【解析】 【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60o ，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可. 【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60o ，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803， 所以()46332k k k+=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.19．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2221251k+==+又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）3． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得APPC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴12PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴11133A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -x =，解得4x =.∴AP =53AP PC =. 22．（1）见解析（2）见解析 【解析】[证明] （1）∵AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，∴F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ； 同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E ⋂=，∴平面EFG ∥平面ABC .（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥， ∴AF ⊥平面SBC ，∵BC ⊂平面SBC ，∴AF BC ⊥， 又因为AB BC ⊥，AF AB A ⋂=，AF 、AB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB ，∵SA ⊂平面SAB ，∴BC SA ⊥.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 23．（1）2235()(3)22x y -+-= （2）12【解析】 【分析】（1）利用相关点法求出点D 的轨迹方程；（2）首先求出直线AB 的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出ABC ∆面积的最小值。
北京66中-学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)北师大版
北京66中-学年高二数学下学期期中试题理（含解析）北师大版 2021-2021学年北京66中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2021?湖南）复数的值为（）A． 1��i B． 1+i C．��1��i D．��1+i 考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R），可得选项．解答：解：．故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，高考常考题，是基础题． 2．（3分）（）D． 3 A． 6 B． 5 C． 4 考点：定积分．专题：计算题．分析：直接根据定积分的运算法则求解即可． 12222解答：解：∫22xdx=x|1=2��1=3 故选D．点评：本题是定积分的简单计算，是基础题．323．（3分）设f（x）=ax+3x+2，若f′（��1）=4，则a的值等于（）A． B． C．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：先求出导函数，再代值算出a． 2解答：解：f′（x）=3ax+6x，∴f′（��1）=3a��6=4，∴a=D．故选D．点评：本题是对导数基本知识的考查，属于容易题，在近几年的高考中，对于导数的考查基本围绕导数的计算和导数的几何意义展开，是考生复习时的重点内容． 4．（3分）若，则实数x的值为（）C． 4或1 D．其它 A． 4 B． 1 考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：直接利用组合数公式的性质列式求解x的值．解答：解：由，得①或②解①得，x=1．解②得，x=4．所以x的值为4或1．故选C．点评：本题考查了组合及组合数公式，考查了组合数公式的性质，是基础的运算题． 35．（3分）（2021?江西模拟）曲线y=x��2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（） A．30° B．45° C．60° D．120° 考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． /22解答：解：y=3x��2，切线的斜率k=3×1��2=1．故倾斜角为45°．故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题． 6．（3分）（2021?杭州二模）在的展开式中的常数项是（）A． 7 B．��7 C． 28 D．��28 考二项式系数的性质．点：专计算题．题：分利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项．析：解解：展开式的通项为答：令故选A 点本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题．评： 327．（3分）函数f（x）=x��3x+2x的极值点的个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数． 2解答：解：由题知f（x）的导函数f'（x）=3x��6x+2，当x∈则函数f（x）在32时，f'（x）＜0，当x∈上单调递减，函数f（x）在或（1，+∞）时，f'（x）＞0，，（1，+∞）上单调递增，∴函数 f（x）=x��3x+2x有2个极值点．故答案为：C．点评：本题考查利用导数研究函数的极值．属于基础题． n8．（3分）在（x+y）的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（）A． 13，14 B． 14，15 C． 12，13 D． 11，12，13 考点：二项式系数的性质．专题：计算题；分类讨论．分析：根据题意，分三种情况讨论，①若仅T7系数最大，②若T7与T6系数相等且最大，③若T7与T8系数相等且最大，由二项式系数的性质，分析其项数，综合可得答案．解答：解：根据题意，分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n=12；②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n=11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n=13；所以n的值可能等于11，12，13；故选D．点评：本题考查二项式系数的性质，注意分清系数与二项式系数的区别于联系；其次注意什么时候系数会取到最大值． 39．（3分）（2021?昌图县模拟）若函数f（x）=x+ax��2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（） A． [��3，+∞） B．（��3，+∞） C． [0，+∞） D．（0，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题． 2分析：由已知，f′（x）=3x≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围． 2解答：解：f′（x）=3x+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成222立，即a≥��3x，恒成立，只需a大于��3x 的最大值即可，而��3x 在[1，+∞）上的最大值为��3，所以a≥��3．即数a的取值范围是[��3，+∞）．故选A．点评：本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．本题采用了参数分离的方法． 10．（3分）已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（） A． P（k）对k=2021成立 B． P（k）对每一个自然数k成立C． P（k）对每一个正偶数k成立 D． P（k）对某些偶数可能不成立考点：进行简单的合情推理．专题：概率与统计． *分析：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立，故可得结论． *解答：解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立故p（k）对于k=2021不一定成立，对于某些偶数可能成立，对于每一个偶数k不一定成立，对于每一个自然数k不一定成立．故选D．点评：本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，考查学生的推理能力，属于中档题．二．填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）函数f（x）=1��lnx在x=1处的切线方程是 y=2��x ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．解答：解：∵f（x）=1��lnx，∴f′（x）=�� x=1时，f′（1）=��1，f（1）=1 ∴函数f（x）=1��lnx在x=1处的切线方程是y��1=��（x��1），即y=2��x 故答案为：y=2��x．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 12．（4分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=��x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．解答：解：由题意，f（5）=��5+8=3，f′（5）=��1 ∴f（5）+f′（5）=2 故答案为：2 点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 13．（4分）由0，1，3，5，7，9这六个数字组成 480 个没有重复数字的六位奇数．考点：计数原理的应用．专题：概率与统计．分析：先排第一位、第六位，再排中间，利用乘法原理，即可得到结论．解答：解：第一位不能取0，只能在5个奇数中取1个，有5种取法；第六位不能取0，只能在剩余的4个奇数中取1个，有4种取法；中间的共四位，以余下的4个数作全排列．所以，由0，1，3，5，7，9这六个数字组成的没有重复数字的六位奇数有5×4×=480个．故答案为：480 点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．77614．（4分）若（2x��1）=a7x+a6x+…+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1= 1094 ．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在所给的等式中，令x=1可得 a7+a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=��1可得��a7 +a6 ��55+a4��a3+a2��a1 +a07=��3 ②．把①减去②，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1的值．解答：解：在所给的等式中，令x=1可得a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=��1可得��a7 +a6��55+a4��a3+a27��a1 +a0 =��3 ②．把①减去②，两边再同时除以2求得a7+a5+a3+a1==1094，故答案为1094．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题． 15．（4分）已知x＞0，观察下列几个不等式：；；；；…；归纳猜想一般的不等式为，（n是正整数）．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据题意，对给出的几个等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，类推可得变化规律，左式为x+，右式为n+1，即可得答案．解答：解：根据题意，对给出的等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，则一般的不等式为x+≥n+1，（n是正整数）；故答案为x+≥n+1（n是正整数）．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
北师大附中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题及参考答案
北京师大附中2020－2021学年下学期高二年级期中考试数学试卷本试卷有四道大题，考试时长120分钟，满分150分。
一、单项选择题，本大题共8小题，共32分。
在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求的选项。
1.函数x y 2=在区间[0x ，0x +∆x ]上的平均变化率为A.xx ∆+0 B.1+x∆ C.x∆+2 D.22.一个物体的位移s 关于时间t 的运动方程为s=1－t+t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在t=3s 时的瞬时速度是A.5m ／sB.6m ／sC.7m ／sD.8m ／s3.下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是A.2xy = B.y =ln x C.y =x +sin x D.y =x34.函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是5.已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次从集合M ，N 中各取出一个数分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P 的个数是A.4B.5C.6D.76.若曲线b ax x y ++=2在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则A.a=1，b=1B.a=－l ，b=lC.a=l ，b=－1D.a=－1，b=－16。
7.“a ≥0”是“函数)(x f =x a x ln 2+在[1，+∞）上单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW ·h ／公里）剩余续航里程（单位：公里）2019年1月1日40000.1252802019年1月2日41000.126146（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计里程累计耗电量，剩余续航里程=平均耗电量剩余电量下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A.等于12.5 B.12.5到12.6之间C.等于12.6D.大于12.6二、多项选择题，本大题共2小题，共8分。
北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)-精选
高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1B．3C1D．12. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞-B．(2,5)-C．[)(,2)5,-∞-+∞D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5B C D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（) （的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ． 16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分） 17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值 18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。
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高二年级数学学科期中试卷金台高中 命题人:李海强参考公式及数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k0.455 0.708 1.323 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281. 对两个变量Y 与X 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是( )(A )模型Ⅰ的相关系数r 为0.96 (B )模型Ⅱ的相关系数r 为0.81 (C )模型Ⅲ的相关系数r 为0.53 (D )模型Ⅳ的相关系数r 为0.35 2．用反证法证明“如果a b <，那么33a b <”，假设的内容应是( )(A)33b a = (B)33b a < (D)33b a =且33b a < (D)33b a =或33a b >3．复数132z i =-，21z i =+，则z=12z z ⋅在复平面内的对应点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．右图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在( ) (A)“集合”的下位 (B)“含义与表示”的下位(C)“基本关系”的下位(D)“基本运算”的下位5. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k>5.024,那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A.25％B.75％C.2.5％D.97.5％ 6．2213(3)ii -+等于 A ．1344+ B ．1344i -- C ．1322i + D ．1322i -- 7．下面使用类比推理正确的是(A)“若33,a b ⋅=⋅则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =基本关系 基本运算(B)“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” (C)“若()a b c ac bc +=+”类推出“(0)a b a bc c c c+=+≠” (D)“()nn nab a b =”类推出“()nnna b a b +=+”8．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )(A)2 (B) 4 (C) 8 (D)169．参数方程为2()1x t y t t =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数表示的曲线是( )(A)一条直线 (B)两条直线 (C)一条射线 (D)两条射线10.数列{}n a 中，nnn a a a 311+=+，且21=a ，则n a 等于( )(A)1651n - (B)265n - (C)465n - (D)431n -二、填空题(每小题4分，共20分)11．若P 表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q 表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是 ．12．观察下列的图形中小正方形的个数，猜测第n 个图中有 个小正方形.13．计算(1)(12)1i i i++=-__ __14．对大于或等于2的自然数m 的3次方幂有如下分解方式:23=3+5,最小数是3, 33=7+9+11,最小数是7, 43=13+15+17+19,最小数是13。
根据上述分解规律，在93的分解中，最小数是 。
15．已知复数z 满足i z 2472--=，则z = .三、解答题(每小题10分，共60分)16．已知复数1z i =-(i 是虚数单位)(1)计算2z ； (2)若233z az b i ++=-，求实数a ，b 的值．17．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是:患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人． (1)根据以上数据列出22⨯列联表；(2)能够以99%的把握认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？18．已知实数,x y 满足:22330x y +-=，求x y +的取值范围.19．已知非零实数,,,x y a b ，,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，`且满足2a cx y+=，求证:非零实数,,a b c 成等比数列.20.已知()22xf x =+，分别求)1()0(f f +，)2()1(f f +-，)3()2(f f +-，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．21．我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题:若数列{}{}n n a b 、是两个等差数列，它们的前n 项的和分别是,n n S T ，则2121n n n n a S b T --= (1)请你证明上述命题；(2)请你就数列{}{}n n a b 、是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明。
参考答案与评分标准一、选择题(每小题4分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADADDBCCDB二、填空题(每小题4分，共20分)11．_综合法_12．(1)2n n + 13．-2+i ； 14．73 15、i 43+或i 43--三、解答题(每小题10分，共60分) 16．已知复数i z -=1(i 是虚数单位)(1)计算2z ； (2)若233z az b i ++=-，求实数a ，b 的值．解:(1)2z =i i i i i 212121)1(22-=--=+-=- …………………4分(2)22(1)()(2)33z az b i a i b a b a i i ++=-+++=++-=- ……………6分所以由复数相等的充要条件得:323a b a +=⎧⎨-=-⎩ ……………8分 所以14a b =-⎧⎨=⎩ ………10分 17．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是:患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人． (1)根据以上数据列出22⨯列联表；(2)能够以99%的把握认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？解:(1)由已知可列22⨯列联表得:(4分)患胃病 未患胃病 合计生活规律20 200 220 生活不规律 60260 320 合计 80 460 540 (2)根据列联表中的数据，由计算公式得2K 的观测值为:2540(2026020060)9.63880460220320k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ (8分)635.6638.9>因此，我们有%99的把握说40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．(10分)18．已知实数,x y 满足:22330x y +-=，求x y +的取值范围.解:已知等式22330x y +-=可化为:2213x y +=，此为椭圆方程， 故由椭圆的参数方程可知3cos ,(sin ,x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数) (4分)所以3cos sin 2sin()3x y πϕϕϕ+=+=+，(8分)故由三角函数的性质，可知x y +的取值范围为[-2,2]. (10分)19．已知非零实数,,,x y a b ，,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，`且满足2a cx y+=，求证:非零实数,,a b c 成等比数列.证明:由,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，得,22a b b cx y ++==，(4分) 代入已知等式:2a c x y+=中，有222a ca b b c +=++，化简整理，得2b ac =，(9分)所以非零实数,,a b c 成等比数列．(10分) 20.已知1()22xf x =+，分别求)1()0(f f +，)2()1(f f +-，)3()2(f f +-，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论． 0112231()22112112(0)(1);(1)(2)2222222222112(2)(3)22222x f x f f f f f f --=+∴+=+=-+=+=++++-+=+=++：解2()(1).2f x f x -++=归纳猜想一般性结论： (6分) 111112222222()(1)22221222221212222222(12)x x x x x x x x x x x x f x f x -+++++⋅⋅⋅⋅⋅=-++=+=+++++++=+==++++证明如下： (10分)21．(1)证明:{}{}{}*1211211212121121121()211(21)2211(21)22n n n n n n n n n n n n n a a a a n N a b a a a a n a S b T b b b n -------+=∈++-===++-在等差数列中，那么对于等差数列、有：（）（）（）（b ）(2)猜想:数列{}{}n n a b 、是两个各项均为正的等比数列，它们的前n 项的积分别是{}{}{}21212*12122221*123212112321211232121,,n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n a X X Y b Y a a a a a a n N a a a a a n N a b a a a a a X b b b b Y -----------⎛⎫= ⎪⎝⎭===∈=∈⎛⎫==⎪⎝⎭则证明：在等比数列中，…()…()那么对于等比数列、有……b。