二次函数增减性讲义
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数教学讲义
二次函数知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向教学目标：1． 理解二次函数的概念；2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容：（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 考查重难点与常见题型：1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
专题复习：二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、极值讲述
200 x 1700 x 5500
2
17 2 200( x ) 9112.5 4
因为a=－200<0,所以y有最大 值，当x= 17 时，y最大=9112.5 4 17 13.5－ 4 =9.25 答：当销售单价为9.25元时,可以获得最大利润,最 大利润是9112.5元.
13.5 x
元
销售额可表示为: (13.5 x )(500 200 x ) 元; 所获利润可表示为: y (13.5 x 2.5)(500 200 x )元; 当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利 润是 元.
解：设降价x元,销售利润为y，得
y (13.5 x 2.5)(500 200 x )
小试牛刀
学以致用，勤能补拙
1.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围 篱笆才能使其所围成矩形的面积最大? 解:如图,设矩形的一边AB=xm,那么 A D 2 另一边BC=(15-x)cm,面积为Scm , 则：S x (15 x ) x 2 15 x B C
∵a=-1＜0, b 15 当x 7.5cm 时, 2a 2 2 4ac b 225 2 y最大值 56.25cm . 4a 4
② y=3(x-2)2+1 （2，1） ④ y=3(x-2)2 （2，0） （0，1） ⑥ y=3x2+1 ⑧ y=-2x2+3x-1
3 1 , 4 8
⑨ y=(x+2)(x-3)
⑩ y=-(x-1)(x-3)+6 2, 7
课外实践
确定以下二次函数的开口方向、对 称轴、顶点坐标、增减性、极值：
2 3 4 5 6 7 2 6022 3 6032 4 6037 5 6042 6 7 6018 6045
二次函数的增减性与凹凸性
二次函数的增减性与凹凸性在数学中，二次函数是一类形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。
二次函数的图像通常呈现出一条平滑的弧线，这条曲线在数轴上有许多重要的性质，其中包括增减性和凹凸性。
一、二次函数的增减性二次函数的增减性是指函数图像在数轴上的增减规律。
为了分析二次函数的增减性，我们首先需要找到函数的导数。
对于f(x)=ax^2+bx+c 来说，它的导数为f'(x)=2ax+b。
当导数f'(x)大于零时，即2ax+b大于零时，二次函数的图像是上凸的，也就是说函数在该区间上是递增的。
当导数f'(x)小于零时，即2ax+b小于零时，二次函数的图像是下凸的，函数在该区间上是递减的。
具体来说，当a大于零时，二次函数的图像开口朝上，函数在整个定义域上是递增的；当a小于零时，二次函数的图像开口朝下，函数在整个定义域上是递减的。
而当a等于零时，二次函数退化成线性函数，其图像为一条直线，没有增减性。
二、二次函数的凹凸性二次函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
通过求解二次函数的二阶导数可以确定函数的凹凸性。
对于f(x)=ax^2+bx+c，它的二阶导数为f''(x)=2a。
当二阶导数f''(x)大于零时，即2a大于零时，二次函数的图像在该区间上是向上凸起的，也就是说函数是凹的。
当二阶导数f''(x)小于零时，即2a小于零时，二次函数的图像在该区间上是向下凸起的，函数是凸的。
同样地，当a大于零时，二次函数图像开口朝上，函数在整个定义域上是凹的；当a小于零时，二次函数图像开口朝下，函数在整个定义域上是凸的。
三、增减性与凹凸性的关系二次函数的增减性与凹凸性有着密切的关系。
当二次函数是递增的时，它的图像是上凸的；当二次函数是递减的时，它的图像是下凸的。
此外，当函数同时满足递增和凹时，函数在该区域内的值是不断增加的；当函数同时满足递减和凸时，函数在该区域内的值是不断减小的。
二次函数的增减性与像分析
二次函数的增减性与像分析二次函数是高中数学课程中的一大重点内容，它的形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，a不等于零。
在本文中，我们将探讨二次函数的增减性质以及对应的像的分析方法。
一、二次函数的增减性要了解二次函数的增减性，我们首先需要知道二次函数图像的一些基本特征。
通过观察二次函数的图像，我们可以发现：1. 当a>0时，二次函数的图像开口朝上，形状如一个“U”。
这时，函数的值随着自变量的增加而增加，即函数单调递增。
2. 当a<0时，二次函数的图像开口朝下，形状如一个“∩”。
这时，函数的值随着自变量的增加而减小，即函数单调递减。
简而言之，二次函数的增减性与其开口方向相关，开口朝上时函数单调递增，开口朝下时函数单调递减。
二、像分析要进行像的分析，我们需要考虑二次函数的定义域、值域、顶点以及对称轴等要素。
下面，我们将逐一介绍这些概念及其分析方法。
1. 定义域对于任意二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的定义域通常为全体实数集合R，即所有实数都可以作为自变量x的取值。
2. 值域二次函数的值域可以通过求解极值来确定。
对于开口朝上的二次函数，它的值域是大于或等于顶点纵坐标的所有实数；对于开口朝下的二次函数，它的值域是小于或等于顶点纵坐标的所有实数。
3. 顶点和对称轴二次函数图像的顶点可以通过求解二次函数的导数为零来确定。
使用求导法可以得出：顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
注意，这里的横坐标取反是因为对称轴在y轴左侧。
对称轴是垂直于x轴的一条直线，过顶点，并且将图像分为两个相等的部分。
对称轴的方程为x = -b/2a。
通过计算顶点和求解对称轴的方法，我们可以更好地理解二次函数的形状和位置。
4. 过x轴的情况为了确定二次函数与x轴的交点（即零点），我们需要解二次方程ax^2 + bx + c = 0。
通过求解这个方程，我们可以找到函数与x轴相交的点，即函数的零点或根。
二次函数的增减性与凹凸性
二次函数的增减性与凹凸性二次函数是数学中一种重要的函数形式，它具有特定的增减性和凹凸性。
我们将在本文档中讨论二次函数的增减性和凹凸性的定义和性质。
二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数且 $a \neq 0$。
增减性二次函数的增减性指的是函数图像上的点的变化趋势。
根据二次函数的一般形式，我们可以利用一阶导数来判断二次函数的增减性。
- 当 $a > 0$ 时，二次函数是开口向上的，也就是说图像是一个向上凸的抛物线。
在凹性区间内，随着$x$ 增加，函数值也会增加，所以函数是递增的。
- 当 $a < 0$ 时，二次函数是开口向下的，也就是说图像是一个向下凹的抛物线。
在凸性区间内，随着 $x$ 增加，函数值会减小，所以函数是递减的。
凹凸性二次函数的凹凸性指的是图像上的曲线的形状。
同样地，我们可以利用二阶导数来判断二次函数的凹凸性。
- 当 $a > 0$ 时，二次函数是开口向上的，也就是说图像是一个向上凸的抛物线。
在该情况下，函数在整个定义域内都是凹的。
- 当 $a < 0$ 时，二次函数是开口向下的，也就是说图像是一个向下凸的抛物线。
在该情况下，函数在整个定义域内都是凸的。
值得注意的是，二次函数在顶点处取得极值。
当 $a > 0$ 时，函数取得最小值；当 $a < 0$ 时，函数取得最大值。
总结通过分析二次函数的一阶导数和二阶导数，我们可以判断二次函数的增减性和凹凸性。
增减性描述了函数图像上的点的变化趋势，凹凸性描述了函数图像的形状。
理解二次函数的增减性和凹凸性对于解决实际问题和优化函数至关重要。
希望本文档对您理解二次函数的增减性和凹凸性有所帮助。
如有任何疑问，请随时咨询。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
2024年中考数学复习课件---微专题2-二次函数的增减性、最值问题全
∴m2-2m-3=2m,解得m1=2+ (舍),m2=2- .∴m=2- ;
②当m-1>1时,m>2,x=m-1时,y取最小值,
∴(m-1)2-2(m-1)-3=2m,解得m1=0(舍),m2=6.∴m=6;
③当m-1≤1≤m时,1≤m≤2,y=-4为最小值,∴-4=2m,解得m=-2(舍).
数).当自变量x的值满足-1≤x≤2时,与其对应的函数值y随x的
增大而增大,则m的取值范围是 m≤-1
.
6
7
综上所述,m=2- 或6.
3
4
5
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
类型三
返回类型清单
对称轴不确定,求最值或取值范围
方法指导Βιβλιοθήκη 先用含字母的式子表示出抛物线的对称轴,然后分三种情况讨论:
①当对称轴大于x取值范围的最大值时;
②当对称轴小于x取值范围的最小值时;
③当对称轴位于x取值范围内时.
6
7
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
函数y=ax2-2ax+3的图象上.当x=1时,y<3,则y1,y2,y3的大小比较正
确的是( C
A.y1<y2<y3
C.y2<y1<y3
)
B.y1<y3<y2
D.y2<y3<y1
1
2
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
返回类型清单
2.已知二次函数y=ax2+4ax+c(a<0)的图象经过A(-5,y1),B(-3,y2),
微专题2
二次函数的增减性、最值问题
微专题2
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1
二次函数2y ax
bx c =++的性质——增减性 函数的增减性的识别，对于初中学生来说，既抽象又枯燥，而且难以理解。
那么怎样才能真
正理解它呢？
一、导入 如图所示，当人从A 点到B 点时，是在爬上坡，
在这个过程中，此人水平方的前进距离x 在逐渐增
加，同时他离地面的高度y 也在不断增加。
由图可知，人在上坡时，爬得越高，他离开起
点的水平距离也越大，即高度y 随着水平距离x 的
增加而增加，到达坡顶时，高度y 值达到最大。
不难知道，当人越过B 点向C 点进发时，开始
走下坡，这时人离开地面的高度（y ）随着水平距离
x 的增加而降低。
如果我们在图中建立如图所示的直角坐标系则水平距
离x 、高度y 刚好是此人爬坡时所在位置的纵横坐标，可
知爬上坡时y 随x 的增大而增大；走下坡时，y 随x 的增
大而减小。
由上可知，若一个函数的图象形状呈上坡时，图象上
的点的纵坐标的 变化规律是y 随横坐标x 的增大而增大，
反之，函数图象呈下坡时，y 随x 的增大而减小。
（附：由于实际爬坡时，去时是上坡，回来时则为下坡，易混淆，为了避免混淆，我们在坐标系里对“上、下坡”概念作统一规定：函数图象一律由“从左向右”这个方法来判定“上、下坡”。
如图2中，AB 坡始终为上坡，BC 坡为下坡）
二、二次函数增减性性质讲解
1、如图3，是函数y=-2x 2+4x-1的函数图象，由上
法可知，从左往右看，在对称轴左侧图象呈上坡状，右侧
呈下坡状。
那么，对称轴左侧图象上的点应是y 随x 的增
2。